Bài tập Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử (có lời giải chi tiết)

Ta có

$$\begin{gathered} a^4+a^3+a^{3}b+a^{2}b \\ =\left(a^4+a^3\right)+\left(a^{3}b+a^{2}b\right) \\ =a^3\left(a+1\right)+a^{2}b\left(a+1\right) \\ =\left(a+1\right)\left(a^3+a^{2}b\right) \\ =\left(a+1\right)a^2\left(a+b\right) \\ =a^2\left(a+b\right)\left(a+1\right) \end{gathered}$$

Đáp án cần chọn là: A

$$\begin{gathered} 5x^2 + 10xy – 4x – 8y \\ = \left(5x^2 + 10xy\right)– \left(4x + 8y\right) \\ = 5x\left(x + 2y\right) – 4\left(x + 2y\right) \\ = \left(5x-4\right)\left(x+2y\right) \end{gathered}$$

Đáp án cần chọn là: C

Ta có

$$\begin{gathered} x^2 + x – 2ax – 2a \\ = \left(x^2+x\right)-\left(2ax + 2a\right) \\ = x\left(x+1\right) – 2a\left(x+1\right) \\ = \left(x – 2a\right)\left(x+1\right) \end{gathered}$$

Đáp án cần chọn là: B

Ta có

$$\begin{gathered} 2a^{2}x – 5by – 5a^{2}y + 2bx \\ = \left(2a^{2}x – 5a^{2}y\right) + \left(2bx – 5by\right) \\ = a^2\left(2x – 5y\right) + b\left(2x – 5y\right) \\ = \left(a^2 + b\right)\left(2x – 5y\right) \end{gathered}$$

Đáp án cần chọn là: D

Ta có

$$\begin{gathered} x^2 + ax + x + a \\ = \left(x^2 + x\right) + \left(ax + a\right) \\ = x\left(x+1\right) + a\left(x+1\right) \\ = \left(x+a\right)\left(x+1\right) \end{gathered}$$

Đáp án cần chọn là: A

$$\begin{gathered} 3x^2+6x{y}^2-3y^2+6x^{2}y \\ =\left(3x^2-3y^2\right)+\left(6x{y}^2+6x^{2}y\right) \\ =3\left(x^2-y^2\right)+6xy\left(x+y\right) \\ =3\left(x-y\right)\left(x+y\right)+6xy\left(x+y\right) \\ =\left[3\left(x-y\right)+6xy\right]\left(x+y\right) \\ =3\left(x-y+2xy\right)\left(x+y\right) \end{gathered}$$

Vậy chỗ trống là $x-y+2xy$.

Đáp án cần chọn là: B

Ta có

$$\begin{gathered} x^3 – 4x^2 – 9x + 36 \\ = \left(x^3-4x^2\right) – \left(9x - 36\right) \\ = x^2\left(x-4\right) – 9\left(x-4\right) \\ = \left(x^2-9\right)\left(x-4\right) \\ = \left(x-3\right)\left(x+3\right)\left(x-4\right) \end{gathered}$$

Đáp án cần chọn là: B

Ta có

$$\begin{gathered} 2a^2{c}^2 – 2abc + bd – acd \\ = 2ac\left(ac-b\right) + d\left(b-ac\right) \\ = 2ac\left(ac-b\right) – d\left(ac-b\right) \\ = \left(2ac-d\right)\left(ac-b\right) \end{gathered}$$

Đáp án cần chọn là: A

Ta có

$$\begin{gathered} ax – bx + ab – x^2 = \left(ax – x^2\right) + \left(ab – bx\right) \\ = x\left(a – x\right) + b\left(a – x\right) = \left(x + b\right)\left(a – x\right) nên A đúng \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} x^2 – y^2 + 4x + 4 = \left(x^2 + 4x + 4\right) – y^2 \\ = {\left(x+2\right)}^2 – y^2 = \left(x + 2 + y\right)\left(x + 2 – y\right) nên B sai \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} ax + ay – 3x – 3y = a\left(x + y\right) – 3\left(x + y\right) \\ = \left(a – 3\right)\left(x + y\right) nên C đúng \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} xy + 1 – x – y = \left(xy – x\right) + \left(1 – y\right) \\ = x\left(y – 1\right) – \left(y – 1\right) = \left(x – 1\right)\left(y – 1\right) nên D đúng \end{gathered}$$

Đáp án cần chọn là: B

Ta có

$$\begin{gathered} 56x^2 – 45y – 40xy + 63x \\ = \left(56x^2 + 63x\right) – \left(45y + 40xy\right) \\ = 7x\left(8x + 9\right) – 5y\left(8x + 9\right) \\ =\left(7x-5y\right)\left(8x+9\right) \end{gathered}$$

Suy ra m = 8; n = 9

Đáp án cần chọn là: A

Ta có

$$\begin{gathered} a{x}^2 – 5x^2 – ax + 5x + a – 5 \\ = x^2\left(a – 5\right) – x\left(a – 5\right) + a – 5 \\ = \left(a – 5\right)\left(x^2 – x + 1\right) \end{gathered}$$

Suy ra m = -5; n = 1

Đáp án cần chọn là: D

Ta có

$$\begin{gathered} x^2 – 4y^2 – 2x – 4y \\ = \left(x^2 – 4y^2\right) – \left(2x + 4y\right) \\ = \left(x – 2y\right)\left(x + 2y\right) – 2\left(x + 2y\right) \\ = \left(x + 2y\right)\left(x – 2y – 2\right) \end{gathered}$$

Suy ra m = -2

Đáp án cần chọn là: A

Ta có

$$\begin{gathered} x^2 – 4xy + 4y^2 – 4 \\ = \left(x^2 – 2.x.2y + {\left(2y\right)}^2\right) – 4 \\ = {\left(x – 2y\right)}^2 – 2^2 \\ = \left(x – 2y – 2\right)\left(x – 2y + 2\right) \end{gathered}$$

Vậy m = 2.

Đáp án cần chọn là: B

Ta có

$\begin{array}{l}{x}^4+4x^3+4x^2=0\\ x^2\left(x^2+4x+4\right)=0\\ x^2{\left(x+2\right)}^2=0\\ \Rightarrow \left[\begin{array}{l}{x}^2=0\\ {\left(x+2\right)}^2=0\end{array}\right.\Rightarrow \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=-2\end{array}\right.\end{array}$

Vậy x = 0; x = -2.

Đáp án cần chọn là: C

x(2x – 7) – 4x + 14 = 0

x(2x – 7) – 2(2x – 7) = 0

(2x – 7)(x – 2) = 0

Suy ra $2x-7=0$ hoặc $x=2$.

Suy ra $x=\frac{7}{2}$ hoặc $x=2$.

Đáp án cần chọn là: C

Ta có

$$\begin{gathered} x^3 + 2x^2 – 9x – 18 = 0 \\ \iff (x^3 + 2x^2) – (9x + 18) = 0 \\ \iff x^2(x + 2) – 9(x + 2) = 0 \\ \iff (x + 2)(x^2 – 9) = 0 \end{gathered}$$

Vậy x = -2; x = 3; x =-3

Đáp án cần chọn là: D

Ta có

x(x – 1)(x + 1) + $x^2$ – 1 = 0

ó x(x – 1)(x + 1) + ($x^2$ – 1) = 0

ó x(x – 1)(x + 1) + (x – 1)(x + 1) = 0

ó (x + 1)(x – 1)(x + 1) = 0

ó ${(x + 1)}^2(x – 1)$ = 0

Vậy x = 1; x = -1

Đáp án cần chọn là: B

Ta có:

$$\begin{gathered} A = x^4 + 2x^3 – 8x – 16 = (x^4 – 16) + (2x^3 – 8x) \\ = (x^2 – 4)(x^2 + 4) + 2x(x^2 – 4) \\ = (x^2 – 4)(x^2 + 2x + 4) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} x^2 + 2x + 4 = x^2 + 2x + 1 + 3 = {(x + 1)}^2 + 3 \ge 3 > 0, Ɐx \\ Mà \left|x\right| < 2 \iff x^2 < 4 \iff x^2 – 4 < 0 \end{gathered}$$

Suy ra A = $(x^2 – 4)(x^2 + 2x + 4)$ < 0 khi |x| < 2

Đáp án cần chọn là: C

Ta có

$$\begin{gathered} N = x^3 + 3x^{2}y + 3x{y}^2 + y^3 + x^2 + 2xy + y^2 \\ = (x^3 + 3x^{2}y + 3x{y}^2 + y^3) + (x^2 + 2xy + y^2) \\ = {(x + y)}^3 + {(x + y)}^2 = {(x + y)}^2(x + y + 1) \end{gathered}$$

Từ đề bài x = 10 – y ó x + y = 10. Thay x + y = 10 vào N = ${(x + y)}^2$(x + y + 1) ta được

N = ${10}^2$(10 + 1) = 1100

Suy ra N > 1000 khi x = 10 – y

Đáp án cần chọn là: D

Ta có

$$\begin{gathered} a{b}^3{c}^2-a^2{b}^2{c}^2+a{b}^2{c}^3-a^{2}b{c}^3 \\ = ab{c}^2(b^2 – ab + bc – ac) \\ = ab{c}^2\left[\right(b^2 – ab) + (bc – ac\left)\right] \\ = ab{c}^2\left[b\right(b – a) + c(b – a\left)\right] \\ = ab{c}^2(b + c)(b – a) \end{gathered}$$

Vậy ta cần điền b – a

Đáp án cần chọn là: A

37.7 + 7.63 – 8.3 – 3.2 = (37.7 + 7.63) – (8.3 + 3.2)

                                     = 7(37 + 63) – 3(8 + 2)

                                     = 7.100 – 3.10

                                     = 700 – 30 = 670

Đáp án cần chọn là: D

A = $x^2$– 5x + xy – 5y = ($x^2$ + xy) – (5x + 5y) = x(x + y) – 5(x + y) = (x – 5)(x + y)

Tại x = -5; y = -8 ta có:

A = (-5 – 5)(-5 – 8) = (-10)(-13) = 130

Đáp án cần chọn là: A

A = (x – 1)(x – 2)(x – 3) + (x – 1)(x – 2) + x – 1

A = (x – 1)(x – 2)(x – 3) + (x – 1)(x – 2) + (x – 1)

A = (x – 1)[(x – 2)(x – 3) + (x – 2) + 1]

A = (x – 1)[(x – 2)(x – 3 + 1) + 1]

A = (x – 1)[(x – 2)(x – 2) + 1]

A = (x – 1)[${(x – 2)}^2$ + 1]

Tại x = 5 ta có

A = (5 – 1)[${(5 – 2)}^2$ + 1] = 4.$(3^2 + 1)$ = 4.(9 + 1) = 4.10 = 40

Vậy A = 40.

Đáp án cần chọn là: B

$$\begin{gathered} B = x^6 – 2x^4 + x^3 + x^2 – x \\ B = x^6 – x^4 – x^4 + x^3 + x^2 – x \\ B = (x^6 – x^4) – (x^4 – x^2) + (x^3 – x) \\ B = x^3(x^3 – x) – x(x^3 – x) + (x^3 – x) \\ B = (x^3 – x + 1)(x^3 – x) \end{gathered}$$

Tại $x^3$ – x = 6, ta có B = (6 + 1).6 = 7.6 = 42.

Đáp án cần chọn là: B

Từ đẳng thức đã cho suy ra $a^3 + b^3 + c^3$ – 3abc = 0

$b^3 + c^3$ = (b + c)($b^2 + c^2$ – bc)

= (b + c)[${(b + c)}^2$ – 3bc]

= ${(b + c)}^3$ – 3bc(b + c)

=> $a^3 + b^3 + c^3$ – 3abc = $a^3 + (b^3 + c^3)$ – 3abc

ó $a^3 + b^3 + c^3$ – 3abc = $a^3 + {(b + c)}^3$ – 3bc(b + c) – 3abc

ó $a^3 + (b^3 + c^3)$ – 3abc = (a + b + c)($a^2 – a(b + c) + {(b + c)}^2$) – [3bc(b + c) + 3abc]

ó $a^3 + (b^3 + c^3)$– 3abc = (a + b + c)($a^2 – a(b + c) + {(b + c)}^2$) – 3bc(a + b + c)

ó $a^3 + (b^3 + c^3)$ – 3abc = (a + b + c)($a^2 – a(b + c) + {(b + c)}^2$ – 3bc)

ó $a^3 + (b^3 + c^3)$– 3abc = (a + b + c)($a^2$ – ab  - ac + $b^2$ + 2bc + $c^2$– 3bc)

ó $a^3 + (b^3 + c^3)$ – 3abc = (a + b + c)($a^2 + b^2 + c^2$ – ab – ac – bc)

Do đó nếu $a^3 + (b^3 + c^3)$ – 3abc = 0 thì a + b + c  = 0 hoặc $a^2 + b^2 + c^2$ – ab – ac – bc = 0

Mà $a^2 + b^2 + c^2$ – ab – ac – bc = $\frac{1}{2}$[${(a – b)}^2 + {(a – c)}^2 + {(b – c)}^2$]

Nếu ${(a – b)}^2 + {(a – c)}^2 + {(b – c)}^2$ = 0 suy ra a = b = c

Vậy $a^3 + (b^3 + c^3)$ = 3abc thì a = b = c hoặc a + b + c = 0

Đáp án cần chọn là: C

Vì ab + bc + ca = 1 nên

$a^2$ + 1 = $a^2$ + ab + bc + ca = a(a + b) + c(a + b) = (a + c)(a + b)

$b^2$ + 1 = $b^2$ + ab + bc + ca = b(a + b) + c(a + b) = (b + c)(a + b)

$c^2$ + 1 = $c^2$ + ab + bc + ca = c(c + b) + a(b + c) = (a + c)(b + c)

Từ đó suy ra $(a^2 + 1)(b^2 + 1)(c^2 + 1)$

= (a + c)(a + b).(b + c)(a + b).(a + c)(b + c)

$= {(a + c)}^2{(a + b)}^2{(b + c)}^2$

Vậy $(a^2 + 1)(b^2 + 1)(c^2 + 1) = {(a + c)}^2{(a + b)}^2{(b + c)}^2$

Đáp án cần chọn là: D

Ta có

$$\begin{gathered} x{(x + 1)}^4 + x{(x + 1)}^3 + x{(x + 1)}^2 + {(x + 1)}^2 \\ = x{(x + 1)}^4 + x{(x + 1)}^3 + {(x + 1)}^2(x + 1) \\ = x{(x + 1)}^4 + x{(x + 1)}^3 + {(x + 1)}^3 \\ = x{(x + 1)}^4 + {(x + 1)}^3(x + 1) \\ = x{(x + 1)}^4 + {(x + 1)}^4 \\ = {(x + 1)}^5 \end{gathered}$$

Đáp án cần chọn là: A