Bài tập ôn tập Toán 9 Chương 6 (có đáp án)

Chọn B

Hai điểm \(\left( {x;y} \right)\) và \(\left( { - x;y} \right)\) đối xứng nhau qua trục tung \(Oy.\)

Chọn A

Thay \[{x_0} =  - 5\] vào hàm số \[y = f\left( x \right) = \frac{4}{5}{x^2}\] ta được \[f\left( { - 5} \right) = 45 \cdot \left( { - 5} \right) \cdot \,2 = 20.\]

Chọn A

Hàm số \(y = \left( {m + 2} \right){x^2}\) có đồ thị đi qua điểm \(\left( { - 1\,;\,\,3} \right)\) nên ta có:

\(3 = \left( {m + 2} \right){\left( { - 1} \right)^2}\)

\(m + 2 = 3\)

\(m = 1.\)

Vậy để đồ thị hàm số \(y = \left( {m + 2} \right){x^2}\) đi qua điểm \(\left( { - 1\,;\,\,3} \right)\) thì \(m = 1.\)

Chọn C

Thay tọa độ điểm \[B\left( { - 3\,;\,\,5} \right)\] vào hàm số \[y = f\left( x \right) = \frac{{2m - 3}}{3}{x^2}\], ta được

\[\frac{{2m - 3}}{3} \cdot {\left( { - 3} \right)^2} = 5\]

\[3\left( {2m - 3} \right) = 5\]

\[6m - 9 = 5\]

\[m = \frac{7}{3}\].

Vậy \[m = \frac{7}{3}\] là giá trị cần tìm.

Chọn B

Ta thấy hàm số \[y = \left( { - {m^2} + 4m - 5} \right){x^2}\] có:

\[a =  - {m^2} + 4m - 5 =  - \left( {{m^2} - 4m + 4} \right) - 1 =  - {\left( {m - 2} \right)^2} - 1 \le  - 1 < 0\] với mọi giá trị \[m \in \mathbb{R}.\]

• Đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành, đồ thị nhận \[Oy\] làm trục đối xứng. Do đó phương án A, C sai.

• Đồ thị hàm số là một parabol nằm phía dưới trục hoành, \[O\] là điểm cao nhất của đồ thị. Do đó D sai, B đúng.

Chọn D

Từ đồ thị ta thấy:

Đây là đồ thị hàm số \(y = a{x^2}\,\,\left( {a \ne 0} \right)\).

Vì đồ thị của hàm số đi qua điểm \(\left( {1\,;\,2} \right)\) nên ta thay vào hàm số \(y = a{x^2}\,\,\left( {a \ne 0} \right)\), ta được

\(2 = a{.1^2}\) suy ra \(a = 2\).

Vậy đồ thị trên là đồ thị của hàm số \(y = 2{x^2}.\)

Chọn B

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}4x - 3y =  - 2\\x - 2y =  - 3\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2y - 3\\4\left( {2y - 3} \right) - 3y =  - 2\end{array} \right.\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2y - 3\\5y = 10\end{array} \right.\).

Giải hệ ta được \[\left\{ \begin{array}{l}y = 2\\x = 1\end{array} \right..\] Do đó ta có \[A\left( {1\,;\,\,2} \right)\].

Thay \[x = 1\,;\,\,y = 2\] vào hàm số \[y = \left( { - 3m + 1} \right){x^2}\], ta được:

\[2 = \left( { - 3m + 1} \right) \cdot {1^2}\] nên \[ - 3m + 1 = 2\] suy ra \[m = \frac{{ - 1}}{3}\].

Vậy \[m =  - \frac{1}{3}\] là giá trị cần tìm.

Chọn D

Gọi điểm \[M\left( {x\,;\,y} \right)\] là điểm cần tìm.

Vì \[M\]có tung độ gấp đôi hoành độ nên \[M\left( {x\,;\,2x} \right).\] Thay tọa độ điểm \[M\]vào hàm số ta được:

\[2x = \sqrt 3 {x^2}\]

\[\sqrt 3 {x^2} - 2x = 0\]

\[x\left( {\sqrt 3 x - 2} \right) = 0\]

\[x\left( {\sqrt 3 x - 2} \right) = 0\]

\[x = 0\] hoặc \[x = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\]

• Với \[x = 0\] thì \[y = 0\];            • Với \[x = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\] thì \[y = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}\].

Vậy có hai điểm thỏa mãn điều kiện là \[O\left( {0\,;\,\,0} \right),\,\,M\left( {\frac{{2\sqrt 3 }}{3}\,;\,\,\frac{{4\sqrt 3 }}{3}} \right)\].

Chọn A

Phương trình hoành độ giao điểm: \[{x^2} = 4x + 5\]

\[{x^2} - 4x - 5 = 0\]
\[\left( {x + 1} \right)\left( {x - 5} \right) = 0\]

\[x =  - 1\] hoặc \[x = 5\]

• Với \[x =  - 1\] thì \[y = {\left( { - 1} \right)^2} = 1\];     • Với \[x = 5\] thì \[y = {5^2} = 25\].

Giao điểm của \[d\] và \((P)\)là \[A\left( { - 1\,;\,\,1} \right)\,;\,\,B\left( {5\,;\,\,25} \right)\].

Chọn A

Xét phương trình \({x^2} - 2m + 4 = 0\) \(\left( * \right)\) hay \({x^2} = 2m - 4\) nên  \(\frac{1}{2}{x^2} = m - 2\).

Số nghiệm của phương trình \(\left( * \right)\) là số giao điểm của parabol \(\left( P \right):y = \frac{1}{2}{x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = m - 2\).

Để \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt thì \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại 2 điểm phân biệt.

Từ đồ thị hàm số ta thấy

Với \(m - 2 > 0\) hay \(m > 2\) thì \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại 2 điểm phân biệt hay phương trình \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt khi \(m > 2.\)

Chọn A

Thay \[y = 4\] vào phương trình đường thẳng \[d\] ta được \[2x + 2 = 4\] hay \[x = 1\]

Suy ra tọa độ giao điểm của đường thẳng \[d\] và parabol \((P)\) là \[\left( {1\,;\,\,4} \right)\]

Thay \[x = 1\,;\,\,y = 4\] vào hàm số \[y = \left( {\frac{{1 - 2m}}{2}} \right){x^2}\], ta được:

\[\frac{{1 - 2m}}{2} \cdot {1^2} = 4\] hay \[1 - 2m = 8\] nên \[m =  - \frac{7}{2}\].

Phương trình hoành độ giao điểm của \[d\] và \(\left( P \right)\) là

\[4{x^2} = 2x + 2\]

\[2{x^2} - x - 1 = 0\]

\[\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\]

\[2x + 1 = 0\] hoặc \[x - 1 = 0\]

\[x =  - \frac{1}{2}\] hoặc \[x = 1\].

Vậy hoành độ giao điểm còn lại là \[x =  - \frac{1}{2}\].

Chọn A

Phương trình hoành độ giao điểm \[{x^2} = 5x - m - 4\] hay \[{x^2} - 5x + m + 4 = 0\] có \[\Delta  = 9 - 4m\]

Để đường thẳng \[d\] cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \[{x_1};{x_2}\] thì \[\Delta  > 0\] hay \[9 - 4m > 0\] nên \[m < \frac{9}{4}\].

Theo hệ thức Viète, ta có \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 5\\{x_1}.{x_2} = m + 4\end{array} \right.\] (\[{x_1};{x_2} \ne 0\] nên \[m \ne  - 4\]).

Ta có \[\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}} = 5\]

\[\frac{{{x_1}^2 + x_2^2}}{{{x_1}{x_2}}} = 5\]

\[{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 7{x_1}{x_2} = 0\]

\[25 - 7m - 28 = 0\]

\[m =  - \frac{3}{7}\] (TMĐK)

Vậy \[m =  - \frac{3}{7}\] là giá trị cần tìm.

Chọn D

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) là

\({x^2} = \left( {m + 1} \right)x - m\) hay \({x^2} - \left( {m + 1} \right)x + m = 0\).

Phương trình có \(a + b + c = 1 - m + 1 = 0\) nên phương trình đã cho có hai nghiệm \(x = 1\,;\,\,x = m.\)

Vì vai trò \({x_1}\,;\,\,{x_2}\) là như nhau nên ta có

\(\left| {{x_1}} \right| + \left| {{x_2}} \right| = 2022\)

\(\left| 1 \right| + \left| m \right| = 2022\)

\(\left| m \right| = 2021\)

\(m = 2021\) hoặc \(m =  - 2021\)

Vậy \(m \in \left\{ { - 2021\,;\,\,2021} \right\}.\)

Chọn D

Phương trình hoành độ giao điểm \[{x^2} = \left( {m - 2} \right)x + 3m\] hay \[{x^2} - \left( {m - 2} \right)x - 3m = 0.\]

Đường thẳng \[d\] cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt nằm hai phía trục tung.

Do đó phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu khi \[ac < 0\] hay \[ - 3m < 0\] nên \[m > 0\].

Chọn A

Xét phương trình hoành độ giao điểm \[2{x^2} = 2x + m\]  hay \[2{x^2} - 2x - m = 0\] có \[\Delta ' = 1 + 2m\]

Để đường thẳng \[d:y = 2x + m\] không cắt parabol \[\left( P \right):y = 2{x^2}\] thì

\[\Delta ' < 0\] hay \[2m + 1 < 0\] nên \[m <  - \frac{1}{2}\].

Vậy để đường thẳng \[d\] không cắt parabol \(\left( P \right)\) thì \[m <  - \frac{1}{2}\].

Chọn C

Ta có \(mx + \left( {m - 1} \right){x^2} - 1 = 0\) hay \(\left( {m - 1} \right){x^2} + mx - 1 = 0\).

Để phương trình \(\left( {m - 1} \right){x^2} + mx - 1 = 0\) là phương trình bậc hai một ẩn thì \(m - 1 \ne 0\) hay \(m \ne 1\).

Chọn C

Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có biệt thức \(\Delta  = {b^2} - 4ac = 0\).

Suy ra phương trình có nghiệm kép.

Chọn A

Cách 1: Hai số 3 và \( - 8\) có tổng \(S = 3 + \left( { - 8} \right) =  - 5\), tích \(P = 3 \cdot \left( { - 8} \right) =  - 24\).

Vì hai số 3 và \( - 8\) là nghiệm của phương trình \({x^2} - Sx + P = 0\), tức là \({x^2} + 5x - 24 = 0\).

Cách 2: Phương trình bậc hai nhận 3 và \( - 8\) làm nghiệm là

\[\left( {x - 3\,} \right)\left[ {x - \left( { - 8} \right)} \right] = 0\]

\(\left( {x - 3} \right)\left( {x + 8} \right) = 0\)

\({x^2} + 5x - 24 = 0\)

Chọn C

Phương trình đã cho có \(\Delta ' = {\left( {m - 1} \right)^2} + m = {m^2} - m + 1 = {\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0,\) với mọi giá trị \(m\) nên phương trình đã cho luôn có hai nghiệm \({x_1}\); \({x_2}\).

Theo định lí Viète, ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - 2m + 2\\{x_1}{x_2} =  - m.\end{array} \right.\).

Khi đó \(A = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 3{x_1}{x_2} = {\left( { - 2m + 2} \right)^2} + 3m = 4{m^2} - 5m + 1 = {\left( {2m - \frac{5}{4}} \right)^2} + \frac{{39}}{{16}} \ge \frac{{39}}{{16}}.\)

Suy ra biểu thức \(A\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(2m - \frac{5}{4} = 0\) hay \(m = \frac{5}{8}.\)

Vậy \(m = \frac{5}{8}\) là giá trị cần tìm.

Chọn A

Phương trình \({x^2} - mx - {m^2} = 0\) có \(\Delta  = 5{m^2} \ge 0,\,\forall m\) nên luôn có hai nghiệm \({x_1}\), \({x_2}\)

Theo định lí Viète ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\\{x_1}{x_2} =  - {m^2}.\end{array} \right.\)

Suy ra \({\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} + {x_1}{x_2} = {m^2} - {m^2} = 0.\)

Vậy hệ thức của \({x_1}\), \({x_2}\) độc lập với tham số \[m\] là \({\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} + {x_1}{x_2} = 0\).

Chọn C

Phương trình \({x^2} - \left( {2m + 3} \right)x - 2m - 4 = 0\)có \(a - b + c = 1 + \left( {2m + 3} \right) - 2m - 4 = 0\)nên luôn có hai nghiệm \({x_1} =  - 1,\,{x_2} = 2m + 4\).

Để \({x_1} \ne {x_2}\)thì \(2m + 4 \ne  - 1\) nên \(m \ne \frac{{ - 5}}{2}\).

Ta có \(\left| {{x_1}} \right| + \left| {{x_2}} \right| = 5\)

\(1 + \left| {2m + 4} \right| = 5\)

\(\left| {2m + 4} \right| = 4\)

\(2m + 4 = 4\) hoặc \[2m + 4 =  - 4\]

\(m = 0\) hoặc \(m =  - 4\).

Cả hai giá trị \(m\) tìm được đều thỏa mãn điều kiện.

Vậy \(m = 0\) hoặc \(m =  - 4\).

Chọn C

Vì đồ thị hàm số \[y =  - 2{x^2} + x - m\] (\[m\] là tham số) cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ là \[3\] và \[b\] nên \[3\] và \[b\] là các nghiệm của phương trình \[ - 2{x^2} + x - m = 0{\rm{   }}\left( 1 \right)\]

Vì \[x = 3\] là một nghiệm của phương trình \[\left( 1 \right)\] nên \[ - {2.3^2} + 3 - m = 0\] hay \[m =  - 15\].

Theo định lí Viète, tổng hai nghiệm của phương trình \[\left( 1 \right)\] là \[3 + b = \frac{1}{2}\] hay \[b =  - \frac{5}{2}\].

Chọn A

Đổi: 1 giờ 36 phút \[ = \frac{8}{5}\] giờ.

Gọi \[x\] (cái cốc/giờ) là năng suất dự định ban đầu \[\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right)\].

Thời gian làm theo năng suất dự định là \[\frac{{200}}{x}\] (giờ).

Hai giờ đầu làm được số cốc là \[2x\], nên số cốc còn lại là \[200 - 2x\] (cái).

Thời gian còn lại sau khi tăng năng suất lên \[5\] cái cốc mỗi giờ là \[\frac{{200 - 2x}}{{x + 5}}\] (giờ).

Theo bài ra ta có \[\frac{{200}}{x} = 2 + \frac{8}{5} + \frac{{200 - 2x}}{{x + 5}}\]

\[\frac{{200}}{x} = \frac{{8x + 1090}}{{5\left( {x + 5} \right)}}\]

\[4{x^2} + 45x - 2500 = 0\]

\(\left( {x - 20} \right)\left( {4x + 125} \right) = 0\)

\(x = 20\) (TMĐK) hoặc \(x = \frac{{ - 125}}{4}\) (loại)

Vậy năng suất dự định ban đầu là \[20\] cái cốc/giờ.

Chọn A

Gọi \(x\) (km) là chiều dài quãng đường \(AB\) \(\left( {x > 0} \right)\).

Thời gian xe chạy với vận tốc \(40\) km/h và \(50\) km/h lần lượt là \(\frac{x}{{40}}\) và \(\frac{x}{{50}}\).

Theo bài ra ta có phương trình: \(\frac{x}{{40}} - 2 = \frac{x}{{50}} + 1\)

\(5x - 400 = 4x + 200\)

\(x = 600\)

Vậy quãng đường \(AB\)dài \(600\) km; thời gian dự định là \(\frac{{600}}{{40}} - 2 = 13\).

Chọn A

Đổi \(24\) phút \( = \frac{2}{5}\) giờ.

Gọi \(x\) (giờ) là thời gian từ lúc xe máy xuất phát đến lúc gặp nhau \[\left( {x > \frac{2}{5}} \right)\].

Thời gian ô tô đi từ Hà Nam đến lúc gặp nhau là \(x - \frac{2}{5}\) (giờ).

Quãng đường xe máy đi từ Hà Nội đến lúc gặp nhau là \(35x\) (km).

Quãng đường ô tô đi từ Hà Nam đến lúc gặp nhau là \(45\left( {x - \frac{2}{5}} \right)\) (km).

Theo bài ra ta có phương trình: \(35x + 45\left( {x - \frac{2}{5}} \right) = 90\)

\(35x + 45x - 18 = 90\)

\(80x = 108\)

\(x = \frac{{27}}{{20}}\) (TMĐK)

Vậy sau \(\frac{{27}}{{20}}\) giờ hay 1 giờ 21 phút kể từ khi xe máy xuất phát hai xe gặp nhau.

Chọn B

Gọi \[x{\rm{ }}({{\rm{m}}^{\rm{3}}}/\]giờ) là công suất máy bơm theo kế hoạch \[\left( {x > 0} \right)\].

Thời gian hoàn thành theo kế hoạch là \[\frac{{120}}{x}\] (giờ).

Thời gian hoàn thành sau khi tăng công suất thêm \[2{\rm{ }}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}/\]giờ là \[\frac{{120}}{{x + 2}}\] (giờ).

Theo bài ra ta có: \[\frac{{120}}{x} - \frac{{120}}{{x + 2}} = 2\]

\[{x^2} + 2x - 120 = 0\]

\[\left( {x - 10} \right)\left( {x + 12} \right) = 0\]

\[x = 10\] (TMĐK) hoặc \(x =  - 12\) (loại)

Vậy công suất của máy bơm theo kế hoạch là \[10{\rm{ }}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}/\]giờ.

Chọn A

Cách 1. Sau \[1\] năm Hải nhận được số tiền là \[100 + 100 \cdot 6,5\%  = 106,5\].

Sau \[2\] năm Hải nhận được số tiền là \[106,5 + 106,5 \cdot 6,5\%  = 113,42\].

Sau \[3\] năm Hải nhận được số tiền là \[113,42\, + \,113,42.6,5\% \, = \,120,79\].

Cách 2. Áp dụng công thức tính “lãi kép” tổng quát:

Giả sử có \[X\] đồng, lãi suất là \[r\] một tháng, số tiền nhận được sau \[n\] tháng là \[{B_n}\, = \,X{\left( {1\, + \,r} \right)^n}\].

Sau \[3\] năm Hải nhận được số tiền là \[100{\left( {1\, + \,6,5\% } \right)^3}\, = \,120,79\].

Chọn C

Số tiền ông Bách thu được trong ba năm đầu là:

\[20\,\,000\,\,000.{(1 + 3,35\% )^3} = 22\,\,078\,\,087\] (đồng).

Số tiền ông Bách thu được trong hai năm tiếp theo là:

\[22\,\,078\,\,087.{(1 + 3,75\% )^2} = 23\,\,764\,\,991\] (đồng).

Số tiền ông Bách thu được trong năm năm tiếp theo là:

\[23\,\,764\,\,991 \cdot {\left( {1 + 4,8\% } \right)^5} = 30\,\,043\,\,053\] (đồng).

Chọn C

Gọi \[x\] (món hàng) là số món hàng khách mua (\[x \in {\mathbb{N}^*}\]và \[x > 4\]).

Khi giảm giá \[20\% \] cho một món hàng thì giá bán một món hàng là:

\[80\%  \cdot 40\,\,000 = 32\,\,000\] (đồng).

Trả \[60\% \] giá đang bán, tức là \[60\%  \cdot 40\,\,000 = 24\,\,000\] (đồng).

Khách hàng phải trả \[272\,\,000\] đồng nên khách hàng đã mua nhiều hơn 4 món hàng, từ món hàng thứ 5 khách mua với giá \[24\,\,000\] đồng.

Theo bài ra, ta có phương trình:

\[4 \cdot 32\,\,000 + \left( {x - 4} \right) \cdot 24\,\,000 = 272\,\,000\]

\[128\,\,000 + 24\,\,000x - 96\,\,000 = 272\,\,000\]

\[24\,\,000x = 240\,\,000\]

\[x = 10\] (TMĐK)

Vậy nếu khách hàng phải trả \[272\,\,000\] đồng thì khách đó mua 10 món hàng.

Chọn B

Gọi \[x\] (xe) là số xe tải được điều đến \[\left( {x > 5} \right)\].

Theo dự định mỗi xe chở \(\frac{{120}}{x}\), có \[5\] xe hỏng nên số xe chở than là \[x--5\].

Do đó thực tế mỗi xe chở \(\frac{{120}}{{x - 5}}\).

Theo giả thiết ta có

\(\frac{{120}}{{x - 5}} - \frac{{120}}{x} = 2\)

\({x^2} - 5x - 300 = 0\)

\(\left( {x - 20} \right)\left( {x + 15} \right) = 0\)

\(x = 20\).

Vậy số xe được điều đến là \[20\] xe.

a) Đúng. Thay \[x = 2\,;\,\,y = 4\] vào hàm số \[y = a{x^2}\], ta được: \[a \cdot {2^2} = 4\] suy ra \[a = 1\].

b) Sai. Ta có \[a = 1\] nên hàm số đó là \[y = {x^2}\].

Thay \[y = 8\] vào hàm số \[y = {x^2}\], ta được \[{x^2} = 8\], suy ra \[x = 2\sqrt 2 \] hoặc \[x =  - 2\sqrt 2 \].

Vậy có hai điểm có tung độ bằng 8 là \[\left( {2\sqrt 2 \,;\,\,8} \right)\] và \[\left( { - 2\sqrt 2 \,;\,\,8} \right)\].

c) Sai. Thay \[x = m\,;\,\,y = {m^3}\] vào hàm số \[y = {x^2}\], ta được: \[{m^2} = {m^3}\].

Suy ra \[{m^3} - {m^2} = 0\] hay \[{m^2}\left( {m - 1} \right) = 0\]. Do đó \[m = 0\] hoặc \[m = 1\].

d) Đúng. Gọi \[A\left( {{x_0}\,;\,\,{y_0}} \right)\] là điểm thuộc đồ thị hàm số \[y = {x^2}\] cách đều hai trục tọa độ.

Ta có \[d\left( {A\,;\,\,Ox} \right) = \left| {{y_0}} \right| = x_0^2\]; \[d\left( {A\,;\,\,Oy} \right) = \left| {{x_0}} \right|\]. Theo giả thiết thì ta có: \[x_0^2 = \left| {{x_0}} \right|\]

Suy ra \[\left| {{x_0}} \right| = 0\] (loại do khác gốc tọa độ) hoặc \[\left| {{x_0}} \right| = 1\].

Suy ra \[{x_0} = 1\] hoặc \[{x_0} =  - 1\].

Do đó, các điểm có tọa độ \[\left( {1\,;\,\,1} \right)\] và \[\left( { - 1\,;\,\,1} \right)\] cách đều các trục tọa độ.

a) Đúng. Vì khi tốc độ gió của là \[2\,\,{\rm{m/s}}\] thì lực tác động lên cánh buồm của con thuyền bằng \[120\,{\rm{N}}\] nên \[a \cdot {2^2} = 120\] hay \[4a = 120\], suy ra \[a = 30\].

b) Đúng. Ta có \[a = 30\] suy ra \[F = 30{v^2}\].

Khi tốc độ của gió \[v = 10\,\,{\rm{m/s}}\] thì lực \[F = 30 \cdot {10^2} = 3\,\,000\,\,\left( {\rm{N}} \right)\].

c) Sai. Ta có \[F = 6\,\,750\] nên \[30{v^2} = 6\,\,750\] suy ra \[{v^2} = 225\].

Do đó \[v = \sqrt {225}  = 15\,\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)\].

d) Đúng. Đổi \[90\,\,{\rm{km/h}} = 25\,\,{\rm{m/s}}\].

Khi đó, ta có: \[F = 30 \cdot {25^2} = 18\,\,750\,\,\left( {\rm{N}} \right) > 12\,000\,\,\left( {\rm{N}} \right)\].

Vậy con thuyền không thể ra khơi với tốc độ gió 90 km/h được.

a) Đúng. Ta có \(m{x^2} - 3x + 1 = 0\) có biệt thức là \(\Delta  = {\left( { - 3} \right)^2} - 4m = 9 - 4m\).

b) Sai. Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \(\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta  > 0\end{array} \right.\).

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\9 - 4m > 0\end{array} \right.\) do đó \(\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m < \frac{9}{4}\end{array} \right.\).

Vậy để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \(m < \frac{9}{4}\,;\,\,m \ne 0\).

c) Sai. Để phương trình vô nghiệm thì \(\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta  < 0\end{array} \right.\).

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\9 - 4m < 0\end{array} \right.\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m > \frac{4}{9}\end{array} \right.\) do đó \(m > \frac{9}{4}\).

Vậy để phương trình vô nghiệm thì \(m > \frac{9}{4}\).

d) Đúng. Thay \(x = \frac{2}{3}\) vào phương trình, ta được:

\(m{\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} - 3.\frac{2}{3} + 1 = 0\) hay \(\frac{4}{9}m - 1 = 0\) do đó \(\frac{4}{9}m = 1\) suy ra \(m = \frac{9}{4}\).

Vậy phương trình có nghiệm kép \(x = \frac{2}{3}\) khi \(m = \frac{9}{4}\).

a) Đúng. Với \[m = 2\] thì ta có phương trình:

\[{x^2} - 2x = 0\]

\[x\left( {x - 2} \right) = 0\]

\[x = 0\] hoặc \[x = 2\].

Vậy với \[m = 2\] thì phương trình (1) có nghiệm là \[x = 0\]; \[x = 2\].

b) Sai. Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \[\Delta ' > 0\].

Ta có \[\Delta ' = {\left[ { - \left( {m - 1} \right)} \right]^2} - {m^2} + 4 = {m^2} - 2m + 1 - {m^2} + 4 =  - 2m + 5\].

Suy ra \[ - 2m + 5 > 0\], do đó \[m < \frac{5}{2}\].

c) Đúng. Khi phương trình có hai nghiệm \[{x_1};{x_2}\] phân biệt thì theo định lí Viète, ta có:

\[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m - 1} \right)\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 4\end{array} \right.\].

d) Sai. Ta có: \[{x_1}\left( {{x_1} - 3} \right) + {x_2}\left( {{x_2} - 3} \right) = 6\]

\[x_1^2 - 3{x_1} + x_2^2 - 3{x_2} = 6\]

\[{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 2{x_1}{x_2} = 6\]

\[4{\left( {m - 1} \right)^2} - 6\left( {m - 1} \right) - 2\left( {{m^2} - 4} \right) = 6\]

\[4{m^2} - 8m + 4 - 6m + 6 - 2{m^2} + 8 - 6 = 0\]

 \[2{m^2} - 14m + 12 = 0\]

\[{m^2} - 7m + 6 = 0\]

\[\left( {m - 1} \right)\left( {m - 6} \right) = 0\]

Do đó, \[m = 1\] (thỏa mãn) hoặc \[m = 6\] (loại do \[m < \frac{5}{2}\]).

Vậy có giá trị \[m = 1\] thỏa mãn.

a) Đúng. Với \[m = 3\], ta có phương trình: \[{x^2} - 10x + 16 = 0\].

Ta có \[{x^2} - 10x + 16 = 0\] hay \[{x^2} - 2x - 8x + 16 = 0\] suy ra \[x\left( {x - 2} \right) - 8\left( {x - 2} \right) = 0\],

Do đó \[\left( {x - 2} \right)\left( {x - 8} \right) = 0\] nên \[x = 2\] hoặc \[x = 8\].

b) Sai. Để phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt thì \[\Delta ' > 0\].

Ta có: \[\Delta ' = {\left[ { - \left( {m + 2} \right)} \right]^2} - {m^2} - 3m + 2 = m + 6 > 0\] suy ra \[m >  - 6\].

c) Đúng. Khi phương trình có hai nghiệm phân biệt thì theo định lí Viète, có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 2} \right)\\{x_1}{x_2} = {m^2} + 3m - 2\end{array} \right.\]

d) Đúng. Ta có: \[A = 2018 + 3{x_1}{x_2} - x_1^2 - x_2^2\]

\[ = 2018 + 5{x_1}{x_2} - \left( {2{x_1}{x_2} + x_1^2 + x_2^2} \right)\]

\[ = 2018 + 5{x_1}{x_2} - {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2}\]

\[ = 2018 + 5\left( {{m^2} + 3m - 2} \right) - {\left[ {2\left( {m + 2} \right)} \right]^2}\]

\[ = 2018 + {m^2} + 7m - 18\]

\[ = {m^2} + 7m + 2000\]\[ = {\left( {m + \frac{7}{2}} \right)^2} + \frac{{7591}}{4}\].

Vì \[{\left( {m + \frac{7}{2}} \right)^2} \ge 0\] nên \[A = {\left( {m + \frac{7}{2}} \right)^2} + \frac{{7591}}{4} \ge \frac{{7591}}{4}\].

Dấu “=” xảy ra khi \[m + \frac{7}{2} = 0\] hay \[m =  - \frac{7}{2}\] (thỏa mãn).

Vậy biểu thức \[A = 2018 + 3{x_1}{x_2} - x_1^2 - x_2^2\] đạt giá trị nhỏ nhất bằng \[\frac{{7591}}{4}\] khi \[m =  - \frac{7}{2}\].

a) Sai. Quỹ đạo máy bay là parabol có dạng: \(\left( P \right):y = a{x^2}\,\left( {a < 0} \right)\).

b) Đúng. Sau 6 giây kể từ vị trí cao nhất đó, máy bay rơi xuống đất nên khi \(y =  - 18\) thì \(x = 6\).

Khi đó \[ - 18 = a \cdot {6^2}\] suy ra \[a = \frac{{ - 18}}{{36}} = \frac{{ - 1}}{2}\].

Vậy hàm số biểu thị quỹ đạo của máy bay đồ chơi là: \((P):y =  - \frac{1}{2}{x^2}\).

c) Sai. Thay \(x = 3\) vào \(\left( P \right):y =  - \frac{1}{2}{x^2}\) suy ra \(y =  - \frac{1}{2} \cdot {3^2} =  - 4,5\).

Do đó \(MB = 4,5\,\,{\rm{m}}\) nên \(MH = BH - MB = 18 - 4,5 = 13,5\;\,\,({\rm{m)}}\).

Vậy sau 3 giây thì máy bay cách mặt đất \(13,5\;{\rm{m}}\).

d) Sai. Máy bay ở độ cao \(15{\rm{ m}}\) tức là đã rơi được quãng đường \(y = 45 - 15 = 30{\rm{ m}}\).

Ta có phương trình: \(1,25{x^2} = 30\) nên \({x^2} = 24\) suy ra \(x = 2\sqrt 6  \approx 4,9\) (giây).

a) Đúng. Từ công thức \(d = \frac{{{s^2}}}{g}\) suy ra \({s^2} = g \cdot d\).

Vì vận tốc \(s > 0\) nên ta có \(s = \sqrt {g \cdot d} \).

b) Sai. Thay \(d = 3785{\rm{ m}}\) và \(g = 9,81{\rm{ m/}}{{\rm{s}}^2}\) vào công thức \(s = \sqrt {g \cdot d} \) ta tính được:

\(s = \sqrt {9,81 \cdot 3785}  \approx 192,69{\rm{ (m/s)}}\)\( \approx 693,68{\rm{ (km/h)}}\).

c) Đúng. Thay tốc độ \(s = 225{\rm{ m/s}}\) vào công thức ban đầu để tìm chiều sâu \(d\), ta được:

\(d = \frac{{{s^2}}}{g} = \frac{{{{225}^2}}}{{9,81}} \approx 5160,55{\rm{ (m)}}\).

d) Sai. Dựa vào công thức \(s = \sqrt {g \cdot d} \) (với \(g\) là hằng số), ta thấy \(s\) tỉ lệ thuận \(\sqrt d .\)

Do đó, khi tiến vào gần đất liền (đáy biển nông hơn hay độ sâu \(d\) giảm) thì tốc độ \(s\) của sóng thần cũng sẽ giảm đi.

a) Đúng. Số xe của đoàn khi sắp khởi hành là \(x + 3\) (chiếc).

Khối lượng hàng ban đầu mà mỗi xe phải chở là \(\frac{{480}}{x}\) (tấn).

Khối lượng hàng thực tế mà mỗi xe phải chở là \(\frac{{480}}{{x + 3}}\) (tấn).

b) Đúng. Theo đề, khi sắp khởi hành đoàn có thêm \(3\) xe nên thực tế khối lượng mỗi xe phải chở ít hơn \(8\) tấn so với dự định nên ta có phương trình \(\frac{{480}}{x} - \frac{{480}}{{x + 3}} = 8\) (tấn).

c) Sai. Giải phương trình \(\frac{{480}}{x} - \frac{{480}}{{x + 3}} = 8\)

\(480\left( {x + 3} \right) - 480x = 8x\left( {x + 3} \right)\)

\(480x + 1440 - 480x = 8{x^2} + 24x\)

\(8{x^2} + 24x - 1440 = 0\)

\({x^2} + 3x - 180 = 0\)

\({x^2} - 12x + 15x - 180 = 0\)

\(x\left( {x - 12} \right) + 15\left( {x - 12} \right) = 0\)

\(\left( {x - 12} \right)\left( {x + 15} \right) = 0\)

Suy ra \(x = 12\) (thỏa mãn) hoặc \(x =  - 15\) (loại).

Vậy số lượng xe ban đầu của đoàn là \(12\) chiếc.

d) Sai. Do đó, ban đầu mỗi xe phải chở số tấn hàng là: \(480:12 = 40\) (tấn).

a) Đúng. Vì chiều dài hơn chiều rộng \(14\) m nên ta có chiều dài là \(x + 14\) (m).

b) Sai. Để biểu diễn phương trình bài toán, ta sử dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông có các cạnh \(x + 14\,\,({\rm{m}}),\,\,x\,\,({\rm{m}}),\,\,26\,\,{\rm{m}}\), ta được: \({x^2} + {\left( {x + 14} \right)^2} = {26^2}.\)

c) Đúng. Giải phương trình, được: \({x^2} + {\left( {x + 14} \right)^2} = {26^2}.\)

\({x^2} + {x^2} + 28x + 196 = 676\)

\(2{x^2} + 28x - 480 = 0\)

\({x^2} + 14x - 240 = 0\)

Ta có: \(\Delta ' = {7^2} - 1.\left( { - 240} \right) = 289 > 0\).

Vì \(\Delta ' > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\({x_1} = \frac{{ - 7 - \sqrt {289} }}{1} =  - 24\) (loại); \({x_2} = \frac{{ - 7 + \sqrt {289} }}{1} = 10\) (TMĐK);

Vậy chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật là \(10\) m và chiều dài của mảnh đất hình chữ nhật là \(10 + 14 = 24\,\,\left( {\rm{m}} \right).\)

d) Sai. Diện tích của mảnh đất là: \(10 \cdot 24 = 240\,\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right).\)

a) Đúng. Vận tốc xuôi dòng của ca nô là \(x + 2\) (km/h).

Thời gian ca nô xuôi dòng là \(\frac{{40}}{{x + 2}}\) (giờ).

b) Đúng. Vận tốc ngược dòng của ca nô là \(x - 2\) (km/h).

Thời gian ca nô ngược dòng là \(\frac{{40}}{{x - 2}}\) (giờ).

c) Sai. Đổi 4 giờ 30 phút = \(4,5\) giờ.

Vì ca nô xuôi dòng một khúc sông dài \(40{\rm{ km}}\), rồi ngược dòng khúc sông ấy mất 4 giờ 30 phút nên ta có phương trình: \(\frac{{40}}{{x + 2}} + \frac{{40}}{{x - 2}} = 4,5\).

d) Đúng. Giải phương trình \(\frac{{40}}{{x + 2}} + \frac{{40}}{{x - 2}} = 4,5\), ta được:

\(40\left( {x - 2} \right) + 40\left( {x + 2} \right) = 4,5\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\)

\(80x = 4,5{x^2} - 18\)

\(9{x^2} - 160x - 36 = 0\)

\(9{x^2} - 162x + 2x - 36 = 0\)

\(9x\left( {x - 18} \right) + 2\left( {x - 18} \right) = 0\)

\(\left( {x - 18} \right)\left( {9x + 2} \right) = 0\)

\(x = 18\) (TMĐK) hoặc \(x =  - \frac{2}{9}\) (loại).

Vậy vận tốc của ca nô là \(18\) km/h.

Thay \[y = 5\] vào phương trình đường thẳng \[d\] ta được \[5 = 3 - 2x\] suy ra \[x =  - 1\].

Suy ra tọa độ giao điểm của đường thẳng \[d\] và parabol \(\left( P \right)\) là \[\left( { - 1\,;\,\,5} \right)\].

Thay \[x =  - 1\,;\,\,y = 5\] vào hàm số \(y = \left( {m - 1} \right){x^2}\), ta được

\[\left( {m - 1} \right) \cdot {\left( { - 1} \right)^2} = 5\] hay \[m - 1 = 5\] nên \[m = 6\].

Vậy để đường thẳng \[d\] cắt \(\left( P \right)\) tại điểm có tung độ \(y = 5\) thì \[m = 6\].

Đáp án: 6.

Đồ thị hàm số \(y = ({m^2} + 3m - 3){x^2}\) với \(({m^2} + 3m - 3 \ne 0)\) đi qua điểm \(A\left( { - 1\,;\,\,1} \right)\) nên

\(1 = \left( {{m^2} + 3m - 3} \right){( - 1)^2}\)

\({m^2} + 3m - 4 = 0\)

\[m = 1\] hoặc \[m =  - 4\]

Khi đó tổng các giá trị của \(m\) là \[ - 4 + 1 =  - 3.\]

Đáp án: −3.

Áp dụng công thức \(h = 9,8{t^2}\) với \[h = 156,8\,\,{\rm{(m)}}\], ta có:

\({t^2} = \frac{{156,8}}{{9,8}} = 16\) suy ra \(t = 4\) giây.

Vậy mất 4 giây để hòn đá chạm đất.

Đáp án: 4.

Thay \(R = 10\,;\,\,t = 5\) vào hàm số ta được: \(Q = 0,24 \cdot 10 \cdot {I^2} \cdot 5 = 12{I^2}.\)

Cường độ dòng điện khi tỏa nhiệt \(180{\rm{J}}\) là: \(Q = 12{I^2}\) suy ra \({I^2} = \frac{Q}{{12}} = \frac{{180}}{{12}} = 15\).

Suy ra \(I = 3,87\) (TMĐK) hoặc \({\rm{I}} =  - 3,87\) (loại).

Vậy cường độ dòng điện khoảng 3,87A.

Đáp án: 3,87.

Gọi \[OA = OC = x > 0\] (bán kính của cung tròn lớn)

Suy ra \[OB = x - 1,1\]

Áp dụng định lí Pythagore vào \[\Delta OBC\]vuông tại \[B\], ta có:

\[O{C^2} = O{B^2} + B{C^2}\]

\[{x^2} = {\left( {x - 1,1} \right)^2} + {28,4^2}\]

\[2,2x - 807,77 = 0\]

\[x = \frac{{807,77}}{{2,2}} \approx 367\](m)

Vậy bán kính của đoạn ray khoảng 367 m.

Đáp án: 367.

Phương trình parabol của cổng trường có dạng: \(\left( P \right):y = a{x^2}\,\,\left( {a < 0} \right)\).

\[OA = \frac{{AB}}{2} = \frac{9}{2} = 4,5\;\,\,{\rm{(m)}}\,;\,\,OE = OA - AE = 4,5 - 0,5 = 4\;\,\,{\rm{(m)}}\].

Vì \(OS = 7,6\,\,{\rm{m}}\) nên \(A\left( {4,5\,;\,\, - 7,6} \right)\).

Do \(A\left( {4,5\,;\,\, - 7,6} \right) \in \left( P \right):y = a{x^2}\) nên \( - 7,6 = a \cdot {\left( {4,5} \right)^2}\) suy ra \(a =  - \frac{{152}}{{405}}\).

Do đó \(\left( P \right):y =  - \frac{{152}}{{405}}{x^2}\)

Thay \(x = 4\) vào \(\left( P \right):y =  - \frac{{152}}{{405}}{x^2}\), ta có: \(y =  - \frac{{152}}{{405}}{4^2} \approx  - 6\).

Suy ra \[HM = 6\,\,{\rm{m}}\], do đó \[ME = HE - HM = 7,6 - 6 = 1,6\,\,({\rm{m)}}\].

Vậy bạn sinh viên đó cao \(1,6\;{\rm{m}}\).

Đáp án: 1,6.

Gọi \(x\,\,(\user2{g})\) là khối lượng nước trong dung dịch trước khi đổ thêm nước \((x > 0)\)

Nồng độ muối của dung dịch khi đó là \(\frac{{50}}{{x + 50}}\,\% \).

Nếu đổ thêm \[100\] gam nước vào dung dịch thì khối lượng của dung dịch sẽ là:

\(x + 50 + 100 = x + 150\,\,(\user2{g})\)

Khi đó nồng độ muối của dung dịch là: \(\frac{{50}}{{x + 150}}\% \).

Theo đề bài, ta có phương trình:

\[\frac{{50}}{{x + 50}} - \frac{{50}}{{x + 150}} = 25\% \]

\[{x^2} + 200x - 12500 = 0\]

\[\left( {x - 50} \right)\left( {x + 250} \right) = 0\]

\[x - 50 = 0\] hoặc \[x + 250 = 0\]

\[x = 50\] (TMĐK) hoặc \[x =  - 250\] (loại)

Vậy trước khi đổ thêm nước thì dung dịch chứa \[50\] gam nước.

Đáp án: 50.

Gọi \(x\)(triệu đồng) là giá tiền thuê mỗi gian hàng tăng lên \(\left( {x > 0} \right)\).

Tăng \(5\% \) của \[100\] triệu tương đương tăng \(5\) triệu.

Vì mỗi gian hàng của trung tâm cho thuê với giá \(100\,\,000\,\,000\) đồng một năm thì tất cả gian hàng đều được thuê hết nên để tăng doanh thu thì người quản lý phải cho thuê với giá lớn hơn \(100\,\,000\,\,000\) đồng một năm.

Khi đó giá mỗi gian hàng cho thuê là \(100 + x\) (triệu đồng).

Tăng \(5\% \) tức là \(5\) triệu tiền thuê mỗi gian hàng thì có thêm 2 gian hàng trống

Do đó, khi tăng \(x\) (triệu đồng) thì có thêm \(\frac{{2x}}{5}\) gian hàng trống thì số gian hàng được thuê sau khi tăng giá là \(100 - \frac{{2x}}{5}\) (gian hàng).

Khi đó, số tiền thu được là \[T = \left( {100 + x} \right)\left( {100 - \frac{{2x}}{5}} \right)\] (triệu đồng).

Bài toán trở thành tìm \(x\) để \({T_{\max }}\).

Ta có \(T = \left( {100 + x} \right)\left( {100 - \frac{{2x}}{5}} \right) =  - \frac{2}{5}{x^2} + 60x + 10\,\,000\)

\( =  - \frac{2}{5}{\left( {x - 75} \right)^2} + 12\,\,250 \le 12\,\,250\).

Suy ra khi \({T_{\max }} = 12\,\,250\) nên \(x = 75\) (TMĐK)

Mỗi năm người quản lý phải cho thuê mỗi gian hàng với giá: \(100 + 75 = 175\) (triệu đồng).

Vậy người quản lý phải cho thuê mỗi gian hàng với giá là 175 triệu đồng một năm thì doanh thu từ tiền cho thuê gian hàng đạt lớn nhất.

Đáp án: 175.