Bài tập ôn tập Toán 9 Chân trời sáng tạo Chương 1 có đáp án

Chọn C

Điều kiện xác định của phương trình là \(x + 2 \ne 0\) khi \(x \ne  - 2\) và \(x - 3 \ne 0\) khi \(x \ne 3\).

Chọn D

Phương trình tích là \(\left( {x + 4} \right)\left( {5 - 2x} \right) = 0\).

Chọn C

Ta viết phương trình \(\frac{{x + 3}}{{x - 3}} + \frac{{2x - 1}}{{3 - x}} = 5\) thành  \(\frac{{x + 3}}{{x - 3}} - \frac{{2x - 1}}{{x - 3}} = 5\).

Do đó mẫu chung đơn giản nhất khi quy đồng mẫu thức hai vế của phương trình đó là \(x - 3\).

Chọn A

Điều kiện xác định: \[x \ne  - 5.\]

Giải phương trình:

\[\frac{{x + 6}}{{x + 5}} + \frac{3}{2} = 2\]

\[\frac{{x + 6}}{{x + 5}} = \frac{1}{2}\]

\[2\left( {x + 6} \right) = x + 5\]

\[2x + 12 = x + 5\]

\[x =  - 7.\]

Ta thấy \[x =  - 7\] thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \[x =  - 7.\]

Chọn C

Thay \[x =  - 7\] vào phương trình \[\left( {2m - 5} \right)x - 2{m^2} + 8 = 43\], ta được:

\(\left( {2m - 5} \right) \cdot \left( { - 7} \right) - 2{m^2} + 8 = 43\)

\( - 14m + 35 - 2{m^2} - 35 = 0\)

\(2{m^2} + 14m = 0\)

\(2m\left( {m + 7} \right) = 0\).

Chọn C

Phương trình \[2x + \frac{y}{2} - 1 = 0\] là phương trình bậc nhất hai ẩn.

Chọn A

Phương trình bậc nhất hai ẩn \( - 2x = 13\) hay \( - 2x + 0y = 13\) với \(a =  - 2\), \(b = 0\) và \(c = 13\).

Chọn B

Phương trình \(0x + 3y = 1\) không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn do \(a,\,\,b\) đồng thời là bằng \(0.\)

Chọn B

Thay \[x =  - 2;y = 4\] vào từng phương trình ta được

• \[x - 2y =  - 2 - 2 \cdot 4 =  - 10 \ne 0\] nên loại A.

• \[x - y =  - 2 - 4 =  - 6 \ne 0\] nên loại C.

• \[x + 2y + 1 =  - 2 + 2 \cdot 4 + 1 = 7 \ne 0\] nên loại D.

• \[2x + y =  - 2 \cdot 2 + 4 = 0\] nên chọn B.

Chọn C

• Thay \(x = 1\) và \(y =  - 2\) vào phương trình \(x + 2y =  - 3\) ta được \(1 + 2 \cdot \left( { - 2} \right) =  - 3\) (thỏa mãn).

Do đó \(\left( {1; - 2} \right)\)là nghiệm phương trình.

• Thay \(x =  - 2\) và \(y =  - 0,5\) vào phương trình \(x + 2y =  - 3\) ta được \( - 2 + 2\left( { - 0,5} \right) =  - 3\) (thỏa mãn).

Do đó \(\left( { - 2; - 0,5} \right)\) là nghiệm phương trình.

• Tương tự thì cặp số \(\left( {3; - 3} \right)\) không phải là nghiệm của phương trình.

• Tương tự thì cặp số \(\left( { - 5;1} \right)\) là nghiệm của phương trình.

Chọn B

Ta có: \(x =  - 2\) và \(y = 3\).

• Thay vào phương trình \(x - y = 1\) ta được \( - 2 - 3 =  - 5 \ne 1\) (không thỏa mãn).

Do đó \[\left( { - 2;\,\,3} \right)\] không phải là nghiệm của phương trình.

• Thay vào phương trình \(2x - y =  - 7\) ta được \(2\left( { - 2} \right) - 3 =  - 7\) (thỏa mãn).

Do đó \[\left( { - 2;\,\,3} \right)\] là nghiệm của phương trình.

• Thay vào phương trình \(2x + y = 2\) ta được \(2\left( { - 2} \right) + 3 =  - 1 \ne 2\) (không thỏa mãn).

Do đó \[\left( { - 2;\,\,3} \right)\] không phải là nghiệm của phương trình.

• Thay vào phương trình \(x - 3y =  - 10\) ta được \( - 2 - 3 \cdot 3 =  - 11 \ne  - 10\) (không thỏa mãn).

Do đó \[\left( { - 2;\,\,3} \right)\] không phải là nghiệm của phương trình.

Chọn A

Ta có với \[a \ne 0\,,\,\,b \ne 0\] thì \[by =  - ax + c\] nên \[y =  - \frac{a}{b}x + \frac{c}{b}\].

Nghiệm của phương trình được biểu diễn bởi \[\left\{ \begin{array}{l}x \in \mathbb{R}\\y =  - \frac{a}{b}x + \frac{c}{b}\end{array} \right.\].

Chọn A

Ta có \[0x + 4y =  - 16\] nên \[y =  - 4\].

Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là \[\left\{ \begin{array}{l}x \in \mathbb{R}\\y =  - 4\end{array} \right.\].

Chọn C

Ta có: \(5x + 0y = 2\) suy ra \(5x = 2\) suy ra \(x = \frac{2}{5}\).

Nên tập nghiệm của phương trình \(5x + 0y = 2\) được biểu diễn bằng đường thẳng \(x = \frac{2}{5}\).

Chọn B

Ta có: \[4x--3y =  - 1\] suy ra \(3y = 4x + 1\) suy ra \(y = \frac{4}{3}x + \frac{1}{3}\).

Nên tập nghiệm của phương trình \[4x--3y =  - 1\] được biểu diễn bằng đường thẳng \(y = \frac{4}{3}x + \frac{1}{3}.\)

Chọn B

Do \(\left( {{x_0};\,\, - 1} \right)\) là nghiệm của phương trình \(3x + y = 2\).

Nên \(3{x_0} + \left( { - 1} \right) = 2\) suy ra \(3{x_0} = 3\) suy ra \({x_0} = 1\).

Chọn C

Vì \(\left( {0,5\,;\,\,{y_0}} \right)\) là nghiệm của phương trình \( - 2x + 2y = 3\).

Nên \( - 2 \cdot 0,5 + 2{y_0} = 3\) suy ra \(2{y_0} = 4\) suy ra \({y_0} = 2.\)

Chọn B

Thay \[x =  - 10\,;\,\,y =  - 1\] vào phương trình \[2x - {\left( {m - 2} \right)^2}y = 5\] ta được

\[2 \cdot ( - 10) - {\left( {m - 2} \right)^2} \cdot \left( { - 1} \right) = 5\]

\[{\left( {m - 2} \right)^2} = 25\]

\[m - 2 = 5\] hoặc \[m - 2 =  - 5\].

\[m = 7\](nhận) hoặc \[m =  - 3\] (loại vì \(m > 0\)).

Vậy \[m = 7\].

Chọn C

Để đường thẳng \[d\] đi qua gốc tọa độ \[O\left( {0\,;\,\,0} \right)\] thì

\[\left( {2m - 4} \right)x + \left( {m - 1} \right)y = m - 5\]

\[\left( {2m - 4} \right) \cdot 0 + \left( {m - 1} \right) \cdot 0 = m - 5\]

\[m - 5 = 0\]

\[m = 5\].

Vậy để đường thẳng \(d\) đi qua gốc tọa độ thì \[m = 5\].

Chọn B

Vì phương trình \(3x + my = 5\) có nghiệm \(\left( {1\,;\,\,2} \right)\) nên

\(3 \cdot 1 + m \cdot 2 = 5\) suy ra \(2m = 2\) suy ra \(m = 1\).

Chọn B

Để \(d\) song song với trục hoành thì \[\left\{ \begin{array}{l}m - 2 = 0\\3m - 1 \ne 0\\6m - 2 \ne 0\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}m = 2\\m \ne \frac{1}{3}\end{array} \right.\] suy ra \[m = 2\].

Vậy để \[d\] song song với trục hoành thì \[m = 2\].

Chọn A

Để \(d\) song song với trục tung thì \[\left\{ \begin{array}{l}m - 2 \ne 0\\3m - 1 = 0\\6m - 2 \ne 0\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}m \ne 2\\m = \frac{1}{3}\\m \ne  - \frac{1}{3}\end{array} \right.\] suy ra \[m = \frac{1}{3}\].

Vậy để \(d\) song song với trục tung thì \[m = \frac{1}{3}\].

Chọn A

Ta thấy phương trình \[5y = 7\] có \[a = 0\,;\,\,b = 5\] và \[c = 7 \ne 0\] nên biểu diễn nghiệm của phương trình là đường thẳng \[y = \frac{7}{5}\] song song với trục hoành.

Chọn D

• Phương trình \(2x - 4y = 7\) không có nghiệm nguyên, vì nếu có nghiệm \({x_0},\,\,{y_0}\) với \({x_0},\,\,{y_0} \in \mathbb{Z}\) thì: \(2{x_0} - 4{y_0} = 7\) suy ra \(2\left( {{x_0} - 2{y_0}} \right) = 7\) suy ra \(2\) là ước của \(7\). Điều đó vô lí.

• Tương tự phương trình \(3x + 6y = 19\)và \(5x - 10y = 14\) không có nghiệm nguyên.

• Phương trình \(3x + 12y = 6\) có nghiệm nguyên, vì nếu có nghiệm \({x_0},\,\,{y_0}\) với \({x_0},\,\,{y_0} \in \mathbb{Z}\) thì: \(3{x_0} + 12{y_0} = 6\) suy ra \(3\left( {{x_0} + 4{y_0}} \right) = 6\) suy ra \(3\) là ước của \(6\). Điều đó đúng.

Chọn A

Ta có \[5x - 3y = 8\] suy ra \[y = \frac{{5x - 8}}{3} = 2x - \frac{{x + 8}}{3}.\]

Đặt \[\frac{{x + 8}}{3} = t\,\,(t \in \mathbb{Z})\] suy ra \[x = 3t - 8\] và \[y = 2x - \frac{{x + 8}}{3} = 2\left( {3t - 8} \right) - t = 5t - 16\].

Vậy ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 3t - 8\\y = 5t - 16\end{array} \right.\,\,(t \in \mathbb{Z})\].

Chọn C

Ta có \[ - 5x + 2y = 7\] nên \[2y = 7 + 5x\] hay \[y = \frac{{5x + 7}}{2} = 2x + \frac{{x + 7}}{2}\].

Đặt \[\frac{{x + 7}}{2} = t\] suy ra \[x = 2t - 7\] nên \[y = 2\left( {2t - 7} \right) + t = 5t - 14{\mkern 1mu} \,\,(t \in \mathbb{Z})\].

Suy ra, nghiệm nguyên của phương trình là \[\left\{ \begin{array}{l}x = 2t - 7\\y = 5t - 14\end{array} \right.{\mkern 1mu} \,\,(t \in \mathbb{Z})\].

Vì \[x,y\] nguyên âm nên \[\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\y < 0\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}2t - 7 < 0\\5t - 14 < 0\end{array} \right.\].

Suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}t < \frac{7}{2}\\t < \frac{{14}}{5}\end{array} \right.\] từ đó \[t < \frac{{14}}{5}\;\], mà \[t \in \mathbb{Z}\] nên \[t \le 2\].

Nghiệm nguyên âm lớn nhất nhất của phương trình đạt được khi \[t = 2\] nên \[\left\{ \begin{array}{l}x = 2 \cdot 2 - 7 =  - 3\\y = 5 \cdot 2 - 14 =  - 4\end{array} \right..\]

Vậy nghiệm cần tìm là \[( - 3\,;\,\, - 4)\].

Chọn A

Ta có \[3x + 4y =  - 10\] suy ra \[3x =  - 4y - 10\] nên \[x = \frac{{ - 4y - 10}}{3} =  - y - \frac{{y + 10}}{3}\] .

Đặt \[\frac{{y + 10}}{3} = t\,\,(t \in \mathbb{Z})\] suy ra \[y = 3t - 10\] nên \[x =  - (3t - 10) - t =  - 4t + 10\].

Hay nghiệm nguyên của phương trình \[3x + 4y =  - 10\] là \[\left\{ \begin{array}{l}x =  - 4t + 10\\y = 3t - 10\end{array} \right.\,\,(t \in \mathbb{Z}).\]

Vì \[x,\,\,y\] nguyên âm hay \[x < 0\,;\,\,y < 0\] nên \[\left\{ \begin{array}{l} - 4t + 10 < 0\\3t - 10 < 0\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}t > 2,25\\t < \frac{{10}}{3}\end{array} \right.\] mà \[t \in \mathbb{Z}\] nên \[t = 3.\]

Suy ra \[x =  - 4.3 + 10 =  - 2;y = 3.3 - 10 =  - 1\] nên nghiệm nguyên âm cần tìm là \[(x;y) = ( - 2\,;\,\, - 1).\] Vậy \[x \cdot y = \left( { - 2} \right) \cdot \left( { - 1} \right) = 2\].

Chọn B

Vì hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}ax - 3y = 1\\x + by =  - 5\end{array} \right.\] nhận cặp số \(\left( {2;\,\, - 3} \right)\) là nghiệm nên ta thay \(x = 2\) và \(y =  - 3\) vào hai phương trình của hệ đã cho, ta được: \[\left\{ \begin{array}{l}a \cdot 2 - 3 \cdot \left( { - 3} \right) = 1\\2 + b \cdot \left( { - 3} \right) =  - 5\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}2a =  - 8\\ - 3b =  - 7\end{array} \right.\] nên \[\left\{ \begin{array}{l}a =  - 4\\b = \frac{7}{3}\end{array} \right..\]

Vậy \[a =  - 4;\] \[b = \frac{7}{3}\].

Chọn D

Gọi  lần lượt là số lạng thịt bò, số lạng thịt cá mà bác An ăn trong một ngày.

Do một lạng (0,1 kg) thịt bò\(x + 22y = 70\) ch\(26\,\,{\rm{g}}\)ứa  protein, một lạng (0,1 kg) cá chứa \(22\,\,{\rm{g}}\) protein.

Và bác An định chỉ bổ sung \(70\,\,{\rm{g}}\) protein từ thịt bò và thịt cá trong một ngày.

Do đó, phương trình bậc nhất hai ẩn \(x,\,\,y\) biểu diễn nhu cầu bổ sung protein của bác An là \(26x + 22y = 70\).

Chọn B

Hệ phương trình cho điều kiện xác định là \(x \ne 0\) và \(y \ne 0.\)

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ với 2 và nhân hai vế của phương trình thứ hai của hệ với 3, ta được hệ mới:

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ mới, ta được:

 suy ra \(\frac{1}{y} = 5\) nên \(y = \frac{1}{5}\) (thỏa mãn).

Thay \(\frac{1}{y} = 5\) vào phương trình \[\frac{3}{x} + \frac{2}{y} = 7\], ta được:

\[\frac{3}{x} + 2 \cdot 5 = 7\] suy ra \[\frac{3}{x} =  - 3\] nên \(x =  - 1\) (thỏa mãn).

Như vậy, hệ phương trình đã cho có nghiệm là \(\left( { - 1;\,\,\frac{1}{5}} \right)\).

Tổng bình phương của \(x\) và \(y\) là: \({\left( { - 1} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{5}} \right)^2} = \frac{{26}}{{25}} < 20\).

Vậy chỉ có 1 khẳng định đúng là (i).

Chọn A

Gọi \(x\) và \(y\) lần lượt là số kilogam thịt lợn và cá chép mà bác Ngọc đã mua.

Do bác Ngọc chỉ mua \(3,5\,\,{\rm{kg}}\) hai loại thực phẩm trên.

Ta có phương trình: \(x + y = 3,5\).

Giá tiền thịt lợn là \(130\) nghìn đồng/kg, giá tiền cá chép là \(50\) nghìn đồng/kg.

Bác Ngọc đã chi \(295\) nghìn để mua \(3,5\,\,{\rm{kg}}\) hai loại thực phẩm trên.

Ta có phương trình: \(130x + 50y = 295\).

Vậy ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 3,5\\130x + 50y = 295\end{array} \right.\).

Chọn C

Vì \({d_1}\) cắt \({d_2}\) nên ta có phương trình hoành độ giao điểm:

\(\frac{1}{2}x =  - x + 3\)

\(x =  - 2x + 6\)

\(3x = 6\)

\(x = 2\) suy \(y = 1\)

Do đó, \({d_1}\) cắt \({d_2}\) tại \(M\left( {2\,;\,\,1} \right).\)

Thay \(x = 2\) và \(y = 1\) vào đã cho, ta được \(\left\{ \begin{array}{l}2 - 2 \cdot 1 = 0\\2 + 1 = 3\end{array} \right.\) (thỏa mãn).

Chọn A

Thay \(x = 1\,;\,\,y = 4\) ta có hệ phương trình:\[\left\{ \begin{array}{l}2 + \left( {a - 3} \right) \cdot 4 =  - 2\\b - 2 + 12 = 13\end{array} \right.\] ta được \(a = 2\,;\,\,b = 3\).

Chọn C

Đặt \(a = \sqrt x ,b = \sqrt {y - 3} \) ta được \(\left\{ \begin{array}{l}2a + 3b = 18\\3a - b = 5\end{array} \right.\).

Suy ra \(a = 3\,;\,\,b = 4\) nên \(x = 9\,;\,\,y = 19\).

Vậy \(x + y = 9 + 19 = 38.\)

Chọn C

Nhân hai vế của phương trình thứ hai của hệ đã cho với 2, ta được \[\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 5m - 1\\2x - 4y = 4\end{array} \right..\]

Trừ vế theo vế hai phương trình của hệ mới, ta được \[5y = 5m - 5\] nên \[y = m - 1\].

Từ đó \[x - 2\left( {m - 1} \right) = 2\] hay \[x - 2m + 2 = 2\] nên \[x = 2m\].

Thay vào \[{x^2} - 2{y^2} =  - 2\] ta có \[{x^2} - 2{y^2} =  - 2\] hay \[{\left( {2m} \right)^2} - 2{\left( {m - 1} \right)^2} =  - 2\] nên \[2{m^2} + 4m = 0.\]

Giải phương trình này ta được \[m = 0\]; \[m =  - 2\].

Vậy có 2 giá trị của \[m\] để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn bài toán.

Ta có \[9{x^2} - 1 - 2x\left( {3x - 1} \right) = 0\]

\[\left( {3x + 1} \right)\left( {3x - 1} \right) - 2x\left( {3x - 1} \right) = 0\]

\[\left( {3x - 1} \right)\left( {3x + 1 - 2x} \right) = 0\]

\[\left( {3x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\]

\[3x - 1 = 0\] hoặc \[x + 1 = 0\]

\[x = \frac{1}{3}\] hoặc \[x =  - 1\].

a) Đúng. Phương trình có một nghiệm nguyên là \[x =  - 1\].

b) Sai. Phương trình có hai nghiệm là \[x =  - 1\,;\,\,\,x = \frac{1}{3}\].

c) Đúng. Tổng hai nghiệm của phương trình là \( - 1 + \frac{1}{3} = \frac{{ - 2}}{3}\).

d) Sai. Tích hai nghiệm của phương trình là \( - 1 \cdot \frac{1}{3} = \frac{{ - 2}}{3}\).

a) Đúng. Phương trình \[\frac{{2x + m}}{{x - 1}} = \frac{{5\left( {x - 1} \right)}}{{x + 1}}\] (với \(m\) là tham số) là phương trình chứa ẩn ở mẫu.

b) Sai. Điều kiện xác định của phương trình đã cho khi \(x \ne 1\) và \(x \ne  - 1.\)

Do đó, khi \(x = 1\) và \(x =  - 1\) thì phương trình đã cho không xác định.

c) Sai. Với \[x = \frac{1}{3}\] thì \[\frac{{2 \cdot \frac{1}{3} + m}}{{\frac{1}{3} - 1}} = \frac{{5\left( {\frac{1}{3} - 1} \right)}}{{\frac{1}{3} + 1}}\] hay \[\frac{{\frac{2}{3} + m}}{{\frac{{ - 2}}{3}}} = \frac{{ - 5}}{2}\] nên \[\frac{2}{3} + m = \frac{5}{3}\], suy ra \[m = 1.\]

d) Đúng. Với \(m =  - 2\) thì phương trình đã cho trở thành:

\[\frac{{2x - 2}}{{x - 1}} = \frac{{5\left( {x - 1} \right)}}{{x + 1}}\]

\[\frac{{5\left( {x - 1} \right)}}{{x + 1}} - \frac{{2\left( {x - 1} \right)}}{{x - 1}} = 0\]

\[\frac{5}{{x + 1}} - \frac{2}{{x - 1}} = 0\] (vì \(x \ne 1\))

\[\frac{{5\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} - \frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = 0\]

\[5\left( {x - 1} \right) - 2\left( {x + 1} \right) = 0\]

\[5x - 5 - 2x - 2 = 0\]

\[3x = 7\]

\[x = \frac{7}{3}\] (TMĐK).

Vậy với \(m =  - 2\) thì phương trình đã cho có nghiệm \[x = \frac{7}{3}\].

a) Sai. Thay \(x = 2\,;\,\,y = 5\) vào phương trình \(2x + 5y = 7\), ta được \(2 \cdot 2 + 5 \cdot 5 = 29 \ne 7\).

Do đó, cặp số \(\left( {2;5} \right)\) không phải là nghiệm của phương trình.

b) Đúng. Ta có \(2x + 5y = 7\), suy ra \(2x = 7 - 5y\).

c) Đúng. Ta có \(2x + 5y = 7\) suy ra \(y = \frac{{ - 2}}{5}x + \frac{7}{5} =  - 0,4x + 1,4\).

Do đó \(a - b =  - 0,4 - 1,4 =  - 1,8\).

d) Sai. Ta có \(ab =  - 0,4 \cdot 1,4 =  - 0,56\).

a) Sai. Ta có \(2x + y = 4\), suy ra \(y =  - 2x + 4\).

Phương trình \(2x + y = 4\) có nghiệm tổng quát là \(\left( {x;\,\, - 2x + 4} \right)\) với \(x \in \mathbb{R}\) tùy ý.

b) Sai. Thay \[x = 2\,;{\rm{ }}y = 0\] vào phương trình \(2x + y = 4\) ta có: \[2 \cdot 2 + 0 = 4\] (thỏa mãn).

Vậy \(\left( {2\,;\,\,0} \right)\) là một nghiệm của phương trình đã cho.

Thay \[x = 0\,;{\rm{ }}y =  - 4\] vào phương trình \(2x + y = 4\) ta có: \[2 \cdot 0 + \left( { - 4} \right) = 4\] (không thỏa mãn).

Vậy \(\left( {0\,;\,\, - 4} \right)\) không phải là nghiệm của phương trình đã cho.

c) Đúng. Phương trình \(2x + y = 4\) là đường thẳng \(2x + y = 4\).

d) Đúng. Với \(y = 0\) thì \(2x + 0 = 4\) nên \(x = 2\).

Do đó, đường thẳng \(2x + y = 4\) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là 2.

a) Đúng. Thay \[x = 2\,;{\rm{ }}y = 1\] vào phương trình \(\frac{1}{2}x - 2y =  - 1\) ta có: \(\frac{1}{2} \cdot 2 - 2 \cdot 1 =  - 1\).

Do đó, cặp số \(\left( {2\,;\,\,1} \right)\) là nghiệm của phương trình đã cho.

b) Đúng. Thay \[x = 1\,;{\rm{ }}y = \frac{1}{4}\] vào phương trình \(\frac{1}{2}x - 2y =  - 1\) ta có: \(\frac{1}{2} \cdot 1 - 2 \cdot \frac{1}{4} \ne  - 1\).

Do đó, cặp số \(\left( {1\,;\,\,\frac{1}{4}} \right)\) không là nghiệm của phương trình đã cho.

c) Đúng. Ta có \(\frac{1}{2}x - 2y =  - 1\), suy ra \(2y = \frac{1}{2}x + 1\)

d) Sai. Vì \(y = \frac{1}{4}x + \frac{1}{2}\) nên công thức nghiệm của phương trình (1) là \(\left\{ \begin{array}{l}x \in \mathbb{R}\\y = \frac{1}{4}x + \frac{1}{2}\end{array} \right.\).

a) Đúng. Điều kiện xác định của hệ phương trình (I) là \(\left\{ \begin{array}{l}y \ne 9\\y \ge 0\end{array} \right.\).

b) Đúng. Đặt \(\frac{1}{{\sqrt y  - 3}} = a\). Hệ phương trình (I) trở thành:O10-2024-GV154 O10-2024-GV147 \(\left\{ \begin{array}{l}(x + 2) + 2a = 9\\2(x + 2) - a = 8\end{array} \right.\) (II).

c) Đúng. Nhân hai vế của phương trình thứ hai của hệ (II) với 2, ta được \(\left\{ \begin{array}{l}(x + 2) + 2a = 9\\4(x + 2) - 2a = 16\end{array} \right..\)

Cộng vế theo vế hai phương trình của hệ mới, ta được: \(5\left( {x + 2} \right) = 25\), suy ra \(x + 2 = 5\) nên \(x = 3.\)

Thế vào phương trình thứ nhất của hệ mới, ta có: \(\left( {3 + 2} \right) + 2a = 9\) nên \(a = 2.\)

d) Sai. Khi đó \(\frac{1}{{\sqrt y  - 3}} = 2\) hay \(\sqrt y  - 3 = \frac{1}{2}\) nên \(\sqrt y  - 3 = \frac{1}{2}\), suy ra \(y = \frac{{49}}{4}.\)

Vậy hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất \(\left( {x\,;\,\,y} \right) = \left( {3\,;\,\,\frac{{49}}{4}} \right)\).

a) Đúng. Phương trình \(x - y = m + 1\) là phương trình bậc nhất hai ẩn với \(a = 1\,;\,\,b =  - 1\,;\,\,c = m + 1\)(\(m\) là tham số).

b) Sai. Với \(m = 2\) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 3\\2x + y = 12\end{array} \right.\).

Cộng vế theo vế của hai phương trình của hệ mới, ta được \(3x = 15\) nên \(x = 5\).

Từ đó \(5 - y = 3\) nên \(y = 2\).

Vậy nghiệm của hệ phương trình khi \(m = 2\) là \((x\,;\,\,y) = \left( {5\,;\,\,2} \right).\)

c) Đúng. Cộng vế theo vế của hai phương trình của hệ đã cho, ta được \(3x = 6m + 3\) nên \(x = 2m + 1.\)

Từ đó \(2m + 1 - y = m + 1\) nên \(y = \left( {2m + 1} \right) - \left( {m + 1} \right) = m.\)

d) Đúng. Để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn \(x > 1\,;\,\,y < 2\) thì

\(\left\{ \begin{array}{l}2m + 1 > 1\\m < 2\end{array} \right.\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}m > 0\\m < 2\end{array} \right.\) hay \(0 < m < 2\).

a) Đúng. Gọi \(x,\,\,y\) (tấn/ha) lần lượt là năng suất lúa giống mới và năng suất lúa giống cũ trên 1 ha \(\left( {x \in \mathbb{N}*,\,\,y \in \mathbb{N}*} \right).\)

b) Đúng. Số tấn thóc khi cấy 60 ha lúa giống mới là \[60x\] (tấn thóc).

Số tấn thóc khi cấy 40 ha lúa giống cũ là \[40y\] (tấn thóc).

Tổng sản lượng thóc thu hoạch theo \(x,\,\,y\) là \(60x + 40y\) (tấn).

c) Sai. Với 3 ha trồng lúa giống mới thu hoạch được ít hơn 4 ha trồng lúa giống cũ là 3 tấn nên ta có \[4y--3x = 3\] hay \[--3x + 4y = 3.\] (1)

d) Sai. Trên một cánh đồng, người ta thu hoạch được tất cả 660 tấn thóc nên

\[60x + 40y = 660\] hay \[3x + 2y = 33.\]  (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} - 3x + 4y = 3\\3x + 2y = 33\end{array} \right.\).

Cộng từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được \[6y = 36.\] Suy ra \[y = 6\] (thỏa mãn).

Thay \[y = 6\] vào phương trình thứ nhất, ta được \[3x + 2 \cdot 6 = 33.\] Do đó \[x = 7\] (thỏa mãn).

Vậy năng suất lúa giống mới trên 1 ha bằng 7 ha.

Gọi \[x,{\rm{ }}y\] lần lượt là số chuyến của xe thứ hai, thứ ba \[\left( {x,\,\,y \in \mathbb{N}*;\,\,x,{\rm{ }}y < 500} \right)\].

a) Sai. Số chuyến xe thứ nhất chở gấp rưỡi số chuyến xe thứ hai nên ô tô thứ nhất chở được nhiều chuyến hơn ô tô thứ hai.

b) Đúng. Mỗi chuyến xe thứ nhất chở 2 tấn, xe thứ hai chở 2,5 tấn, xe thứ ba chở 3 tấn.

Do đó, mỗi chuyến ô tô thứ nhất chở được ít hàng nhất.

c) Sai. Số chuyến xe thứ nhất chở được là \[1,5x\] (chuyến).

Ba xe ô tô chở tổng cộng 50 chuyến nên \[x + 1,5x + y = 50\] hay \[2,5x + y = 50\].            (1)

Mỗi chuyến xe thứ nhất chở 2 tấn, xe thứ 2 chở 2,5 tấn, xe thứ 3 chở 3 tấn mà ba xe chở tổng cộng 118 tấn hàng nên \[2 \cdot 1,5x + 2,5x + 3y = 118\] hay \[5,5x + 3y = 118.\]  (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}2,5x + y = 50\\5,5x + 3y = 118\end{array} \right.\].

Giải hệ phương trình ta được \[\left\{ \begin{array}{l}x = 16\\y = 10\end{array} \right.\].

Khi đó, số chuyến xe thứ nhất chở được là \[1,5 \cdot 16 = 24\] (chuyến).

Số chuyến xe thứ ba chở được là 10 chuyến.

Vậy tổng số hàng (tấn) ô tô thứ ba chở bằng \(\frac{{10}}{{24}} = \frac{5}{{12}}\) tổng số hàng ô tô thứ nhất chở.

d) Sai. Nếu ô tô thứ ba chở hộ số hàng (tấn) mà ô tô thứ hai chở trong 2 chuyến. Khi đó

Số hàng ô tô thứ ba chở được là: \[10 + 2 \cdot 2,5 = 15\] (tấn).

Số hàng ô tô thứ hai chở được là: \[16 - 2 \cdot 2,5 = 11\] (tấn).

Vậy nếu ô tô thứ ba chở hộ số hàng (tấn) mà ô tô thứ hai chở trong 2 chuyến thì số hàng ô tô thứ ba chở được nhiều hơn ô tô thứ hai.

Gọi số học sinh dự thi của hai trường A, B lần lượt là \[x,{\rm{ }}y{\rm{ }}\left( {0 < x,{\rm{ }}y < 350} \right)\] (học sinh).

a) Đúng. Vì trường A có 97% và trường B có 96% số học sinh trúng tuyển nên tỉ lệ trúng tuyển của trường A cao hơn trường B.

b) Đúng. Theo đề bài, hai trường A, B có tổng cộng 350 học sinh dự thi và có 338 học sinh trúng tuyển.

Do đó, số học không trúng tuyển của hai trường là: \[350 - 338 = 12\] (học sinh).

c) Sai. Vì trường A có 97% và trường B có 96% số học sinh trúng tuyển và cả hai trường đó có 338 học sinh trúng tuyển nên ta có phương trình \[97\% x + 96\% y = 338.\]

d) Sai. Vì hai trường A, B có tổng cộng 350 học sinh dự thi nên ta có phương trình

\[x + y = 350\] (học sinh).

Từ đó, ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 350\\97\% x + 96\% y = 338\end{array} \right.\).

Nhân hai vế của phương trình thứ hai với 100, ta được hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 350\\97x + 96y = 33\,\,800\end{array} \right.\).

Từ phương trình thứ nhất của hệ mới, ta có: \[y = 350 - x.\] Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được: \[97x + 96\left( {350 - x} \right) = 33\,\,800\] hay \[97x + 33\,\,600 - 96x = 33\,\,800\] nên \[x = 200.\]

Từ đó \[y = 350 - 200 = 150.\]

Vậy trường A có 200 thí sinh dự thi.

• Thay \(x = 0\) vào phương trình ta được \(\frac{1}{1} - \frac{{0 - m}}{{0 + 1}} = \frac{4}{{0 - 0 + 1}}\) nên \(1 + m = 4\) suy ra \(m = 3.\)

• Thay \(m = 3\) vào phương trình ta được

\(\frac{1}{{x + 1}} - \frac{{2{x^2} - 3}}{{{x^3} + 1}} = \frac{4}{{{x^2} - x + 1}}\) (ĐKXĐ \(x \ne  - 1\))

\({x^2} - x + 1 - {x^2} +  = 4(x + 1)\)

\( - {x^2} - 5x = 0\)

\( - x\left( {x + 5} \right) = 0\)

\(x = 0\) (TMĐK) hoặc \(x =  - 5\) (TMĐK)

Vậy \(x =  - 5\) là nghiệm còn lại của phương trình.

Đáp án: −5.

Theo đề, ta có \[A = B\].

Tức là, \[\frac{3}{{3x + 1}} + \frac{2}{{1 - 3x}} = \frac{{x - 5}}{{9{x^2} - 1}}\].    (1)

Điều kiện xác định: \[x \ne \frac{1}{3}\] và \[x \ne  - \frac{1}{3}.\]

Từ (1), ta có: \[\frac{3}{{3x + 1}} - \frac{2}{{3x - 1}} = \frac{{x - 5}}{{\left( {3x + 1} \right)\left( {3x - 1} \right)}}\]

\[\frac{{3\left( {3x - 1} \right)}}{{\left( {3x + 1} \right)\left( {3x - 1} \right)}} - \frac{{2\left( {3x + 1} \right)}}{{\left( {3x - 1} \right)\left( {3x + 1} \right)}} = \frac{{x - 5}}{{\left( {3x + 1} \right)\left( {3x - 1} \right)}}\]

\[3\left( {3x - 1} \right) - 2\left( {3x + 1} \right) = x - 5\] \[A = B.\]

\[9x - 3 - 6x - 2 = x - 5\]

\[2x = 0\]

\[x = 0\] (TMĐK).

Do đó, khi \[x = 0\] thì

Vậy có 1 giá trị nào của \[x\] để hai biểu thức \[A\] và \[B\] có cùng một giá trị.

Đáp án: 1.

Diện tích làm nhà là: \[\left( {12 - x} \right)\left[ {14 - \left( {x + 2} \right)} \right] = \left( {12 - x} \right)\left( {12 - x} \right)\,\,\,({{\rm{m}}^{\rm{2}}})\] (điều kiện \(0 < x < 12\)).

Vì diện tích đất làm nhà là \(100\,\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\) nên ta có phương trình

\(\left( {12 - x} \right)\left( {12 - x} \right)\, = 100\)

\({\left( {12 - x} \right)^2} - {10^2} = 0\)

\(\left( {12 - x - 10} \right)\left( {12 - x + 10} \right) = 0\)

\(\left( {2 - x} \right)\left( {22 - x} \right) = 0\)

\(2 - x = 0\) hoặc \(22 - x = 0\)

\(x = 2\) (TMĐK) hoặc \(x = 22\) (loại)

Vậy \(x = 2\,\,{\rm{m}}\).

Đáp án: 2

Theo đề bài ta có phương trình

\(420 = \frac{{80}}{{100 - p}}\)

\(\frac{{420(100 - p)}}{{100 - p}} = \frac{{80}}{{100 - p}}\)

\(420(100 - p) = 80\)

\(42000 - 420p = 80\)

\(420p = 41\,\,920\)

\(p \approx 99,8\) (thỏa mãn \(0 \le p < 100\))

Vậy với \(420\) triệu đồng thì doanh nghiệp loại bỏ được \(99,8\% \) chất gây ô nhiễm môi trường.

Đáp án: 99,8.

Gọi năng suất dự kiến của người công nhân là \[x\] (sản phẩm/giờ, \[x \in {\mathbb{N}^ * })\].

Năng suất thực tế của người công nhân là \[x + 3\] (sản phẩm/giờ).

Thời gian công nhân làm hết 33 sản phẩm theo dự kiến là \[\frac{{33}}{x}\] (giờ).

Số sản phẩm người công nhân được giao trên thực tế là: \[33 + 29 = 62\] (sản phẩm).

Thời gian người công nhân đó làm trên thực tế là: \[\frac{{62}}{{x + 3}}\] (giờ)

Mặc dù mỗi giờ công nhân đó đã làm thêm 3 sản phẩm những vẫn hoàn thành chậm hơn dự kiến \[1\] giờ \[30\] phút \[ = \frac{3}{2}\] giờ, nên ta có phương trình: \[\frac{{62}}{{x + 3}} - \frac{{33}}{x} = \frac{3}{2}\].

Giải phương trình:

\[\frac{{62 \cdot 2x}}{{2x\left( {x + 3} \right)}} - \frac{{33 \cdot 2\left( {x + 3} \right)}}{{2x\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{3x\left( {x + 3} \right)}}{{2x\left( {x + 3} \right)}}\]

\[62 \cdot 2x - 33 \cdot 2\left( {x + 3} \right) = 3x\left( {x + 3} \right)\]

\[124x - 66x - 198 = 3{x^2} + 9x\]

\[3{x^2} - 49x + 198 = 0\]

\[3{x^2} - 27x - 22x + 198 = 0\]

\[3x\left( {x - 9} \right) - 22\left( {x - 9} \right) = 0\]

\[\left( {x - 9} \right)\left( {3x - 22} \right) = 0\]

\[3x - 22 = 0\] hoặc \[x - 9 = 0\]

\[3x = 22\] hoặc \[x = 9\]

\[x = \frac{{22}}{3}\] (không thỏa mãn) hoặc \[x = 9\] (thỏa mãn).

Do đó, năng suất dự kiến của công nhân đó là \[9\] (sản phẩm/giờ).

Đáp án: 9.

Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 1\\3x - 2y = 0\end{array} \right.\)ta được \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2\\y =  - 3\end{array} \right.\) .

Vậy \({x^2} + 2xy + {y^2} = {\left( {x + y} \right)^2} = {\left( { - 2 - 3} \right)^2} = 25\).

Đáp án: 25.

Ta có \( - 5x + 2y = 7\) hay \(2y = 5x + 7\).

Khi đó \(y = \frac{{5x + 7}}{2} = 2x + \frac{{x + 7}}{2}.\)

Đặt \(t = \frac{{x + 7}}{2}\) nên \(x = 2t - 7\).

Suy ra \(y = 2\left( {2t - 7} \right) + t\) nên \(y = 5t - 14\,\,\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)\).

Nên nghiệm nguyên của phương trình là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2t - 7}\\{y = 5t - 14}\end{array}} \right.\)\(\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)\).

Vì \[x,{\rm{ }}y\] nguyên âm nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2t - 7 < 0}\\{5t - 14 < 0}\end{array}} \right.\)O10-2024-GV154O10-2024-GV147 nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t < \frac{7}{2}}\\{t < \frac{{14}}{5}}\end{array}} \right.\) suy ra \(t\)\( < \frac{{14}}{5}\).

Vì nghiệm nguyên âm lớn nhất, mà \[t\] nguyên nên \(t = 2\)

Vậy \(x =  - 3\,;\,\,y =  - 4.\)

Đáp án: −7.

Giả sử \(M\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right)\) là điểm cố định mà đường thẳng \(mx + 2y = 4\) đi qua.

Với mọi \(m \in \mathbb{R},\) ta có \(m{x_0} + 2{y_0} = 4\;\) hay \(m{x_0} + 2{y_0} - 4 = 0\).

Khi đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m{x_0} = 0}\\{2{y_0} - 4 = 0}\end{array}} \right.\) nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_0} = 0}\\{{y_0} = 2}\end{array}} \right.\).

Vậy điểm \(M\left( {0\,;\,\,2} \right)\) là điểm cố định mà đường thẳng \(mx + 2y = 4\) đi qua.

Đáp án: 2.

Vì số nguyên tử của P và O ở cả hai vế của phương trình phản ứng phải bằng nhau nên ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}4 = 2y\\2x = 5y\end{array} \right.\] nên \[\left\{ \begin{array}{l}y = 2{\rm{ }}\\x = 5\end{array} \right.\].

Vậy hệ số \[x\] trong phản ứng hoá học đã được cân bằng 5.

Đáp án: 5.

Theo đề bài, hệ phương trình có hai nghiệm \(\left( {x\,;\,\,y} \right)\) trong đó có \(1\) nghiệm là \(\left( {2\,;\,\,4} \right)\).

Suy ra, nghiệm còn lại là \(\left( {4\,;\,\,2} \right)\).

Vì \(x > y\) nên \(x = 4;y = 2\). Vậy \(3x + 2y = 3.4 + 2.2 = 16\)

Đáp án: 16.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = {a^2} + a + 1\\x - y =  - {a^2} + a - 1\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = {a^2} + a + 1\\2x = 2a\end{array} \right.\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}x = a\\y = {a^2} + 1\end{array} \right.\).

Do đó: \(3x + y = {a^2} + 3a + 1 = {\left( {a + \frac{3}{2}} \right)^2} - \frac{5}{4} \ge  - \frac{5}{4}\) với mọi \(a \in \mathbb{R}.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(3x + y\) bằng \( - \frac{5}{4}\) khi \(a =  - \frac{3}{2}\).

Đáp án: −1,5.

Với \(m \ge  - 1\) thì hệ phương trình có nghiệm

Thay \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 2m\\xy = {m^2} - m - 1\end{array} \right.\) vào biểu thức \[P\] ta được:

\(P = {m^2} - m - 1 - 3.2m\)\( = {m^2} - 7m - 1\)\( = {\left( {m - \frac{7}{2}} \right)^2} - \frac{{54}}{3} \ge  - \frac{{54}}{3}\).

Dấu  xảy ra khi \(m = \frac{7}{2} = 3,5\).

Đáp án: 3,5.

Thay\(x = 21^\circ {\rm{C}}\); \(y = 3000\) calo vào \(y = a.x + b\) nên \(21a + b = 3\,\,000\).             (1)

Thay\(x = 20^\circ {\rm{C}}\); \(y = 3030\) calo calo vào \(y = a.x + b\)nên \(20a + b = 3\,\,030\).       (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình\(\left\{ \begin{array}{l}21a + b = 3\,\,000\\20a + b = 3\,\,030\end{array} \right.\).

Giải hệ phương trình, ta được \(\left\{ \begin{array}{l}a =  - 30\\b = 3630\end{array} \right.\).

Ta có hàm số có dạng \(y =  - 30x + 3630\).

Thay \(x = 50^\circ {\rm{C}}\) vào \(y =  - 30x + 3630\) suy ra \(y =  - 30 \cdot 50 + 3\,\,630 = 2\,\,130\).

Vậy một người làm việc ở sa mạc Sahara trong nhiệt độ \(50^\circ {\rm{C}}\) thì cần 2130 calo.

Đáp án: 2130.

Đổi \[4\] giờ \(48\) phút \( = \frac{{24}}{5}\) giờ.

Gọi thời gian vòi I chảy một mình đầy bể là \(x\) (giờ, \(x > 0\)).

Thời gian vời II chảy một mình đầy bể là \(y\) (giờ, \(y > 0\)).

Hai vòi cùng chảy thì sau \[4\] giờ \(48\) phút đầy bể, ta có phương trình: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{{24}}\). (1)

Theo bài thì vòi I chảy trong \[4\] giờ rồi khóa vòi thứ nhất, vòi thứ hai tiếp tục chảy trong \(2\) giờ thì được \(\frac{2}{3}\) bể nên ta có phương trình: \(\frac{4}{x} + \frac{2}{y} = \frac{2}{3}\).                   (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{{24}}\\\frac{4}{x} + \frac{2}{y} = \frac{2}{3}\end{array} \right.\).

Giải hệ phương trình trên ta được: \(x = 8\,;\,\,\,y = 12\) (TMĐK).

Vậy để chảy riêng một mình đầy bể thì vòi I cần thời gian là \(8\) giờ.

Đáp án: 8.

Gọi \[x{\rm{\;(m)}},\,\,y{\rm{\;(m)}}\]lần lượt là chiều dài, chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật  \[\left( {x > y > 0,\,\,x > 1} \right).\]

Vì chu vi của mảnh đất là \[56{\rm{\;m}}\] nên ta có phương trình \[2\left( {x + y} \right) = 56\] hay \[x + y = 28\].    (1)

Diện tích của mảnh đất ban đầu là \[xy{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\]

Chiều dài mảnh đất sau khi tăng là \[x - 1{\rm{\;(m)}}\];

Chiều rộng mảnh đất sau khi giảm là \[y + 2{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\]

Khi đó diện tích mảnh đất tăng thêm \[18{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}\] nên ta có phương trình

\[\left( {x - 1} \right)\left( {y + 2} \right) = xy + 18\] hay \[xy + 2x - y - 2 = xy + 18\], tức là, \[2x - y = 20\]. (2)

Từ (1), (2), ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x + y = 28\\2x - y = 20\end{array} \right.\]

Từ phương trình thứ hai của hệ, ta có \[y = 2x - 20\]. Thế vào phương trình thứ nhất của hệ, ta được:

\[x + 2x - 20 = 28\] hay \[3x = 48\], tức là, \[x = 16\] (TMĐK).

Từ đó, ta có \[y = 2 \cdot 16 - 20 = 12\] (TMĐK).

Do đó, chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó lần lượt là \[16{\rm{\;m}}\] và \[12{\rm{\;m}}\].

Vậy diện tích mảnh đất đó bằng \[16 \cdot 12 = 192{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\]

Đáp án: 192.