Bài tập ôn tập Toán 8 Chương 6 (có đáp án)

Chọn C

Phân thức đại số là biểu thức có dạng \(\frac{A}{B}\) với \(A,B\) là các đa thức và \(B\) khác đa thức không. Trong các phương án, chỉ có \(\frac{{{x^2} - 1}}{{x + 5}}\) thỏa mãn vì \({x^2} - 1\) và \(x + 5\) là các đa thức.

Chọn C

Mẫu thức \({x^2} - {y^2} = \left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) \ne 0\) khi cả \(x - y \ne 0\) và \(x + y \ne 0\), tức là \(x \ne y\) và \(x \ne  - y\).

Chọn A

Mẫu thức \({x^2} - 4x + 4 = {\left( {x - 2} \right)^2}\).

Để phân thức đã cho xác định thì \({\left( {x - 2} \right)^2} \ne 0,\) tức là \(x - 2 \ne 0\), hay \(x \ne 2\).

Chọn C

Phân thức \(\frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}}\) xác định khi \(x - 1 \ne 0,\) tức là \(x \ne 1.\)

Thay \(x = 2\) (thỏa mãn) vào phân thức đã cho, ta có \(\frac{{{2^2} - 1}}{{2 - 1}} = \frac{{4 - 1}}{1} = 3\).

Chọn B

Phân thức \(\frac{{x - 5}}{{2x + 4}}\) xác định khi \(2x + 4 \ne 0,\) tức là \(x \ne  - 2.\)

Phân thức \(\frac{{x - 5}}{{2x + 4}}\) bằng 0 khi \(x - 5 = 0\) hay \(x = 5\) (thỏa mãn).

Chọn C

Phân thức \(\frac{{x + 1}}{{{x^2} + 1}}\) xác định khi \({x^2} + 1 \ne 0\) (luôn đúng).

Để phân thức \(\frac{{x + 1}}{{{x^2} + 1}}\) bằng 1 thì

\(\frac{{x + 1}}{{{x^2} + 1}} = 1\)

\(x + 1 = {x^2} + 1\)

\({x^2} - x = 0\)

\(x\left( {x - 1} \right) = 0\)

Suy ra \(x = 0\) hoặc \(x = 1\).

Vậy \(x \in \left\{ {0;\,\,1} \right\}\).

Chọn A

Phân thức \(\frac{{x - 1}}{{x + 1}}\) xác định khi \(x + 1 \ne 0,\) tức là \(x \ne  - 1.\)

Để thức \(\frac{{x - 1}}{{x + 1}}\) có giá trị bằng 2 thì

\(\frac{{x - 1}}{{x + 1}} = 2\)

\(x - 1 = 2\left( {x + 1} \right)\)

\(x - 1 = 2x + 2\)

\(x =  - 3\) (thỏa mãn).

Vậy \(x =  - 3\).

Chọn B

Ta có \(\frac{{x - y}}{{y - x}} = \frac{{x - y}}{{ - \left( {x - y} \right)}} =  - 1\).

Chọn B

Nhận thấy \({x^2} - 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\).

Để mẫu thức \(x - 1\) thành \({x^2} - 1\), ta nhân cả tử và mẫu của vế trái với \(\left( {x + 1} \right)\).

Khi đó \(M = \left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)\).

Chọn C

Ta có \(\frac{{5{x^2}y}}{{10x{y^2}}} = \frac{{5xy \cdot x}}{{5xy \cdot 2y}} = \frac{x}{{2y}}\).

Chọn A

Ta có \(A = \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{{x^2} - 1}} = \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\).

Chọn B

Ta có \(\frac{{{x^3} - 1}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{x - 1}} = {x^2} + x + 1.\)

Chọn A

Ta có \(\frac{{2x}}{{x + 1}} + \frac{2}{{x + 1}} = \frac{{2x + 2}}{{x + 1}} = \frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{{x + 1}} = 2\).

Chọn B

Ta có \(\frac{1}{{x - y}} - \frac{1}{{x + y}} = \frac{{x + y}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} - \frac{{x - y}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} = \frac{{x + y - x + y}}{{{x^2} - {y^2}}} = \frac{{2y}}{{{x^2} - {y^2}}}\).

Chọn C

Ta có \(\frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} + \frac{1}{{x + 1}} = \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} + \frac{x}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{x + 1}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{1}{x}\).

Chọn A

Ta có \({x^2} - x = x\left( {x - 1} \right)\) và \({x^2} - 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\).

Mẫu thức chung nhỏ nhất là \(x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\).

Chọn D

Phân thức đối của \(\frac{A}{B}\) là \( - \frac{A}{B} = \frac{{ - A}}{B} = \frac{A}{{ - B}}\).

Phân thức đối của \(\frac{{x - 1}}{{x - 2}}\) là \(\frac{{ - \left( {x - 1} \right)}}{{x - 2}} = \frac{{1 - x}}{{x - 2}}\) và cũng bằng \(\frac{{x - 1}}{{ - \left( {x - 2} \right)}} = \frac{{x - 1}}{{2 - x}}\).

Chọn A

Ta có \(\frac{{2x}}{y} \cdot \frac{{3{y^2}}}{{{x^2}}} = \frac{{2x \cdot 3{y^2}}}{{y \cdot {x^2}}} = \frac{{6x{y^2}}}{{{x^2}y}} = \frac{{6y}}{x}\).

Chọn B

Phân thức nghịch đảo của \(\frac{A}{B}\) là \(\frac{B}{A}\) (với \(A,B\) khác đa thức không).

Phân thức nghịch đảo của phân thức \(\frac{{x + 1}}{{x - 2}}\) là \(\frac{{x - 2}}{{x + 1}}\).

Chọn B

Ta có \(\frac{{{x^2}}}{y}:\frac{x}{{{y^2}}} = \frac{{{x^2}}}{y} \cdot \frac{{{y^2}}}{x} = xy\).

Chọn A

Ta có \(\frac{{x + 3}}{{{x^2} - 4}} \cdot \frac{{x - 2}}{x} = \frac{{x + 3}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} \cdot \frac{{x - 2}}{x} = \frac{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{x\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{x + 3}}{{x\left( {x + 2} \right)}}\).

Chọn A

Ta có \(\frac{x}{{{y^2}}}:\frac{{{x^2}}}{y} = \frac{x}{{{y^2}}} \cdot \frac{y}{{{x^2}}} = \frac{{xy}}{{{x^2}{y^2}}} = \frac{1}{{xy}}\).

Chọn A

Ta có \(\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) \cdot \frac{{xy}}{{x + y}} = \frac{{x + y}}{{xy}} \cdot \frac{{xy}}{{x + y}} = 1\).

Chọn A

Ta có \(\frac{{{x^2} + xy}}{{{x^2} - {y^2}}}:\frac{x}{{x - y}} = \frac{{x\left( {x + y} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} \cdot \frac{{x - y}}{x} = \frac{x}{{x - y}} \cdot \frac{{x - y}}{x} = 1\).

Chọn B

\(M = \frac{{x - y}}{{xy}} + \frac{{y - z}}{{yz}} + \frac{{z - x}}{{zx}}\)

\( = \frac{{z\left( {x - y} \right) + x\left( {y - z} \right) + y\left( {z - x} \right)}}{{xyz}}\)

\( = \frac{{xz - yz + xy - xz + yz - xy}}{{xyz}} = \frac{0}{{xyz}} = 0\).

Chọn B

Áp dụng công thức: \(\frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} = \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}}\).

\(A = \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} + \frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \frac{1}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \frac{1}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 4} \right)}}\)

   \( = \left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}} \right) + \left( {\frac{1}{{x + 1}} - \frac{1}{{x + 2}}} \right) + \left( {\frac{1}{{x + 2}} - \frac{1}{{x + 3}}} \right) + \left( {\frac{1}{{x + 3}} - \frac{1}{{x + 4}}} \right)\)

 \( = \frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 4}} = \frac{{x + 4 - x}}{{x\left( {x + 4} \right)}} = \frac{4}{{x\left( {x + 4} \right)}}\).

Chọn B

Điều kiện xác định của biểu thức \(P = \frac{{2{x^3} - 6{x^2} + x - 8}}{{x - 3}}\) là \(x \ne 3.\)

Ta có \(P = \frac{{2{x^3} - 6{x^2} + x - 8}}{{x - 3}} = \frac{{2{x^2}\left( {x - 3} \right) + \left( {x - 3} \right) - 5}}{{x - 3}} = 2{x^2} + 1 - \frac{5}{{x - 3}}\).

Để \(P\) nhận giá trị nguyên với \(x\) nguyên thì \(x - 3\) phải là ước của \(5\).

Mà Ư\[\left( 5 \right) = \left\{ {1;\,\, - 1;\,\,5;\,\, - 5} \right\}\] nên \(x - 3 \in \left\{ {1;\,\, - 1;\,\,5;\,\, - 5} \right\}.\)

Ta xét các trường hợp:

⦁ Nếu \(x - 3 = 1\) thì \(x = 4\) (thỏa mãn);

⦁ Nếu \(x - 3 =  - 1\) thì \(x = 2\) (thỏa mãn);

⦁ Nếu \(x - 3 = 5\) thì \(x = 8\) (thỏa mãn);

⦁ Nếu \(x - 3 =  - 5\) thì \(x =  - 2\) (thỏa mãn).

Vậy có 4 giá trị nguyên của \(x\) thỏa mãn bài toán.

Chọn A

Với \(x \ne 0\) ta có \(B = \frac{{{x^4} + 1}}{{{x^2}}} = \frac{{{x^4}}}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^2}}} = {x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}\).

Mặt khác, từ \(x + \frac{1}{x} = 3\), bình phương hai vế ta được

\({\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^2} = 9\)

\({x^2} + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}} = 9\)

\({x^2} + 2 + \frac{1}{{{x^2}}} = 9\)

Từ đó tính được: \({x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = 9 - 2 = 7\)

Vậy \(B = 7\).

Chọn C

Ta có \(M = \frac{{{{\left( {{x^2} + {y^2} - {z^2}} \right)}^2} - 4{x^2}{y^2}}}{{{x^2} + {y^2} + 2xy - {z^2}}}\)

              \( = \frac{{{{\left( {{x^2} + {y^2} - {z^2}} \right)}^2} - {{\left( {2xy} \right)}^2}}}{{{x^2} + {y^2} + 2xy - {z^2}}}\)

              \( = \frac{{\left( {{x^2} + {y^2} - {z^2} - 2xy} \right)\left( {{x^2} + {y^2} - {z^2} + 2xy} \right)}}{{{x^2} + {y^2} + 2xy - {z^2}}}\)

              \( = {x^2} + {y^2} - {z^2} - 2xy\)

              \( = \left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right) - {z^2}\)

              \( = {\left( {x - y} \right)^2} - {z^2}\)

\( = \left( {x - y - z} \right)\left( {x - y + z} \right).\)

Chọn A

\(S = \frac{1}{{1 - x}} + \frac{1}{{1 + x}} + \frac{2}{{1 + {x^2}}} + \frac{4}{{1 + {x^4}}}\)

   \[ = \frac{{1 + x}}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}} + \frac{{1 - x}}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}} + \frac{2}{{1 + {x^2}}} + \frac{4}{{1 + {x^4}}}\]

   \( = \frac{{1 + x + 1 - x}}{{1 - {x^2}}} + \frac{2}{{1 + {x^2}}} + \frac{4}{{1 + {x^4}}}\)

   \( = \frac{2}{{1 - {x^2}}} + \frac{2}{{1 + {x^2}}} + \frac{4}{{1 + {x^4}}}\)

   \( = \frac{{2 + 2{x^2} + 2 - 2{x^2}}}{{1 - {x^4}}} + \frac{4}{{1 + {x^4}}}\)

   \( = \frac{4}{{1 - {x^4}}} + \frac{4}{{1 + {x^4}}}\)

   \( = \frac{{4 + 4{x^4} + 4 - 4{x^4}}}{{1 - {x^8}}}\)

   \( = \frac{8}{{1 - {x^8}}}.\)

a) Sai. Điều kiện xác định của đẳng thức là \(x\left( {x - 3} \right) \ne 0\) và \(x \ne 0\), tức là \(x \ne 0\) và \(x \ne 3.\)

b) Đúng. Ta có \(\frac{{{x^2} - 9}}{{{x^2} - 3x}} = \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{x\left( {x - 3} \right)}} = \frac{{x + 3}}{x}\).

c) Đúng. Để \(\frac{{{x^2} - 9}}{{{x^2} - 3x}} = \frac{P}{x}\) thì \(\frac{{x + 3}}{x} = \frac{P}{x}\), suy ra \(P = x + 3\).

d) Sai. Ta có \({P^2} - {x^2} = {\left( {x + 3} \right)^2} - {x^2} = {x^2} + 6x + 9 - {x^2} = 6x + 9\), giá trị này phụ thuộc vào \(x.\)

a) Đúng. Ta có \(1 - x =  - \left( {x - 1} \right)\).

b) Sai. \(M = \frac{x}{{x - 1}} + \frac{1}{{1 - x}} = \frac{x}{{x - 1}} + \frac{1}{{ - \left( {x - 1} \right)}} = \frac{x}{{x - 1}} - \frac{1}{{x - 1}}.\)

c) Đúng. Do \(M = \frac{x}{{x - 1}} - \frac{1}{{x - 1}} = \frac{{x - 1}}{{x - 1}} = 1.\)

d) Sai. \(M\) chỉ bằng 1 khi phân thức xác định, tức là \(x - 1 \ne 0\) suy ra \(x \ne 1\).

a) Đúng. Mẫu thức chung \({x^2} - 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\).

b) Đúng. Tử thức là \(\left( {3x + 1} \right) - \left( {x + 3} \right) = 2x - 2\).

c) Sai. Thực hiện phép trừ phân thức:

\(\frac{{3x + 1}}{{{x^2} - 1}} - \frac{{x + 3}}{{{x^2} - 1}} = \frac{{2x - 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{2\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{2}{{x + 1}}\).

d) Sai. Kết quả rút gọn đúng là \(\frac{2}{{x + 1}}\), nhưng tại \(x = 1\) thì phân thức ban đầu không xác định, do đó không thể tính giá trị.

a) Sai. Điều kiện xác định đúng là mẫu thức khác 0, suy ra \(x + 3 \ne 0\) và \(x - 2 \ne 0\), tức là \(x \ne  - 3\) và \(x \ne 2\).

b) Đúng. \(K = \frac{{{x^2} - 4}}{{x + 3}} \cdot \frac{{x + 3}}{{x - 2}} = \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)}} = x + 2\).

c) Đúng. Để \(K = 0\) thì \(x + 2 = 0\) suy ra \(x =  - 2\).

d) Sai. Giá trị \(x =  - 2\) thỏa mãn điều kiện \(x \ne  - 3\) và \(x \ne 2\), nên có giá trị của \(x\) để \(K = 0\).

a) Sai. \(H = \frac{{{x^3}}}{{{y^3}}}:\frac{{{x^4}}}{{{y^2}}} = \frac{{{x^3}}}{{{y^3}}} \cdot \frac{{{y^2}}}{{{x^4}}}.\)

b) Đúng. \(H = \frac{{{x^3}}}{{{y^3}}}:\frac{{{x^4}}}{{{y^2}}} = \frac{{{x^3}}}{{{y^3}}} \cdot \frac{{{y^2}}}{{{x^4}}} = \frac{1}{{xy}}\).

c) Sai. Để \(H = 1\) thì \(\frac{1}{{xy}} = 1\), suy ra \(xy = 1\).

Như vậy, \(x\) và \(y\) là hai số nghịch đảo của nhau, chứ không phải hai số đối nhau (đối nhau là \(x + y = 0\)).

d) Đúng. Cách 1: Từ \(xy = 1\), suy ra \(y = \frac{1}{x}\). Thay vào phân thức thứ hai của \(K\), ta có:

\(K = \frac{x}{{x + 1}} + \frac{y}{{y + 1}} = \frac{x}{{x + 1}} + \frac{{\frac{1}{x}}}{{\frac{1}{x} + 1}} = \frac{x}{{x + 1}} + \frac{{\frac{1}{x}}}{{\frac{{x + 1}}{x}}} = \frac{x}{{x + 1}} + \frac{1}{{x + 1}} = \frac{{x + 1}}{{x + 1}} = 1.\)

Cách 2: Ta có \(K = \frac{x}{{x + 1}} + \frac{y}{{y + 1}} = \frac{{x\left( {y + 1} \right) + y\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right)}} = \frac{{xy + x + xy + y}}{{xy + x + y + 1}} = \frac{{2xy + x + y}}{{xy + x + y + 1}}.\)

Thay điều kiện \(xy = 1\) vào tử thức và mẫu thức:

\(K = \frac{{2xy + x + y}}{{xy + x + y + 1}} = \frac{{2 \cdot 1 + x + y}}{{1 + x + y + 1}} = \frac{{x + y + 2}}{{x + y + 2}} = 1\).

a) Đúng. Để phân thức \(E = \left( {\frac{1}{{x - 1}} + \frac{1}{{x + 1}}} \right) \cdot \frac{{{x^2} - 1}}{x}\) xác định thì \(x - 1 \ne 0\), \(x + 1 \ne 0\) và \(x \ne 0\), tức là \(x \ne 1\), \(x \ne  - 1\) và \(x \ne 0\).

b) Sai. Ta có \(\frac{1}{{x - 1}} + \frac{1}{{x + 1}} = \frac{{x + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} + \frac{{x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{x + 1 + x - 1}}{{{x^2} - 1}} = \frac{{2x}}{{{x^2} - 1}}\).

c) Đúng. \(E = \left( {\frac{1}{{x - 1}} + \frac{1}{{x + 1}}} \right) \cdot \frac{{{x^2} - 1}}{x}\)\( = \frac{{2x}}{{{x^2} - 1}} \cdot \frac{{{x^2} - 1}}{x} = 2\).

d) Sai. Dù biểu thức rút gọn ra một hằng số \(E = 2\), nhưng tại \(x = 1\), biểu thức ban đầu không xác định. Do đó, không thể tính được giá trị của \(E\) tại \(x = 1\).

a) Đúng. Chiều rộng bằng diện tích chia cho chiều dài.

Do đó \(b = \frac{S}{a} = \frac{{{x^2} - {y^2}}}{{x + y}}\).

b) Sai. Ta có \(b = \frac{{{x^2} - {y^2}}}{{x + y}} = \frac{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}}{{x + y}} = x - y\).

c) Đúng. Chu vi hình chữ nhật đó là: \(2\left( {a + b} \right) = 2\left( {x + y + x - y} \right) = 2 \cdot 2x = 4x\).

 Biểu thức này không chứa \(y\).

d) Sai. Chu vi là \(4x\).

Nếu \(x\) và \(y\) đều tăng gấp đôi thì chu vi mới là \(4 \cdot \left( {2x} \right) = 8x\), tức là chỉ tăng gấp đôi, không phải gấp bốn.

a) Sai. Thời gian được tính bằng quãng đường chia cho vận tốc.

Do đó, phân thức đúng biểu diễn thời gian dự định phải là \(\frac{{120}}{x}\) (giờ).

b) Đúng. Vận tốc thực tế của ô tô là \(x + 10\) (km/h).

Quãng đường không đổi là 120 km. Vậy thời gian thực tế là \(\frac{{120}}{{x + 10}}\) (giờ).

c) Đúng. Thời gian ô tô đến sớm hơn dự định chính là hiệu giữa thời gian dự định và thời gian thực tế. Thực hiện phép trừ và quy đồng phân thức:

\(\frac{{120}}{x} - \frac{{120}}{{x + 10}} = \frac{{120\left( {x + 10} \right) - 120x}}{{x\left( {x + 10} \right)}} = \frac{{120x + 1200 - 120x}}{{{x^2} + 10x}} = \frac{{1200}}{{{x^2} + 10x}}\) (giờ).

d) Sai. Thay \(x = 40\) vào phân thức đã được thu gọn ở ý c), ta được:

\(\frac{{1200}}{{{{40}^2} + 10 \cdot 40}} = \frac{{1200}}{{1600 + 400}} = \frac{{1200}}{{2000}} = \frac{3}{5}\) (giờ) = 36 phút.

Vậy xe chỉ đến sớm 36 phút.

a) Sai. Ta có \(\frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}\).

b) Đúng. \(U = \left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}} \right) + \left( {\frac{1}{{x + 1}} - \frac{1}{{x + 2}}} \right) = \frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 2}}\).

c) Đúng. \(U = \frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 2}} = \frac{{x + 2 - x}}{{x\left( {x + 2} \right)}} = \frac{2}{{{x^2} + 2x}}\).

d) Sai. Điều kiện xác định của biểu thức \(U\) ban đầu là \(x \ne 0\), \(x \ne  - 1\) và \(x \ne  - 2\).

Với \(x\) nguyên, để biểu thức \(U = \frac{2}{{{x^2} + 2x}}\) nhận giá trị nguyên, thì \[{x^2} + 2x = x\left( {x + 2} \right)\] phải là ước nguyên của 2.

Mà Ư\[\left( 2 \right) = \left\{ {1;\,\, - 1;\,\,2;\,\, - 2} \right\}\]. Ta xét các trường hợp:

⦁ \({x^2} + 2x = 1\) hay \({x^2} + 2x + 1 = 2\), tức là \({\left( {x + 1} \right)^2} = 2\) suy ra không có giá trị nguyên của \(x\) thỏa mãn.

⦁ \({x^2} + 2x =  - 1\) hay \({x^2} + 2x + 1 = 0\), tức là \({\left( {x + 1} \right)^2} = 0\), suy ra \(x =  - 1\).

⦁ \({x^2} + 2x = 2\) hay \({x^2} + 2x + 1 = 3\), tức là \({\left( {x + 1} \right)^2} = 3\) suy ra không có giá trị nguyên của \(x\) thỏa mãn.

⦁ \({x^2} + 2x =  - 2\) hay \({x^2} + 2x + 1 =  - 1\), tức là \({\left( {x + 1} \right)^2} =  - 1\) (vô lí).

Do đó có đúng một giá trị nguyên là \(x =  - 1\). Tuy nhiên, khi đối chiếu với ĐKXĐ ban đầu, giá trị \(x =  - 1\) làm phân thức không xác định.

Vậy không có giá trị nguyên nào của \(x\) để biểu thức \(U\) nhận giá trị nguyên.

a) Sai. Điều kiện xác định của biểu thức P là \(x - 3 \ne 0\), \(x + 3 \ne 0\), \({x^2} - 9 \ne 0\) và \(x - 5 \ne 0,\) tức là \(x \ne 3\), \(x \ne  - 3\) và \(x \ne 5\).

b) Đúng. \(\frac{x}{{x - 3}} - \frac{x}{{x + 3}} + \frac{{18}}{{{x^2} - 9}}\)

            \( = \frac{{x\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} - \frac{{x\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \frac{{18}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\)

            \( = \frac{{{x^2} + 3x - \left( {{x^2} - 3x} \right) + 18}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\)

            \( = \frac{{{x^2} + 3x - {x^2} + 3x + 18}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\)

            \( = \frac{{6x + 18}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\)

            \( = \frac{{6\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{6}{{x - 3}}\).

c) Đúng. \(P = \left( {\frac{x}{{x - 3}} - \frac{x}{{x + 3}} + \frac{{18}}{{{x^2} - 9}}} \right):\frac{{x - 5}}{{x - 3}} = \frac{6}{{x - 3}} \cdot \frac{{x - 3}}{{x - 5}}\)\( = \frac{6}{{x - 5}}.\)

d) Sai. Với \(x\) nguyên, để \(P\) là số nguyên thì \(\left( {x - 5} \right)\) phải là ước nguyên của 6.

Mà \(\left( 6 \right) = \left\{ {1;\,\, - 1;\,\,2;\,\, - 2;\,\,3;\,\, - 3;\,\,6;\,\, - 6} \right\}\) nên \(\left( {x - 5} \right) \in \left\{ {1;\,\, - 1;\,\,2;\,\, - 2;\,\,3;\,\, - 3;\,\,6;\,\, - 6} \right\}\).

Lập bảng giá trị, ta giải ra 8 giá trị của \(x\) tương ứng là: \(\left\{ {6;\,\,4;\,\,7;\,\,3;\,\,8;\,\,2;\,\,11;\,\, - 1} \right\}.\)

Đối chiếu với điều kiện xác định ở ý a), ta thấy giá trị \(x = 3\) không thỏa mãn.

Vậy chỉ có đúng 7 giá trị nguyên của \(x\) thỏa mãn.

Đáp án: 2.

Điều kiện xác định: \(x \ne 1,x \ne  - 1\) và \(x \ne 0\).

\(A = \left( {\frac{{x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right):\frac{{2x}}{{5x - 5}}\)

\( = \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} - {{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \cdot \frac{{5\left( {x - 1} \right)}}{{2x}}\)

\( = \frac{{{x^2} + 2x + 1 - \left( {{x^2} - 2x + 1} \right)}}{{{x^2} - 1}} \cdot \frac{{5\left( {x - 1} \right)}}{{2x}}\)

\( = \frac{{4x}}{{{x^2} - 1}} \cdot \frac{{5\left( {x - 1} \right)}}{{2x}}\)

\( = \frac{{4x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \cdot \frac{{5\left( {x - 1} \right)}}{{2x}}\).

\( = \frac{{10}}{{x + 1}}.\)

Thay \(x = 4\) (thỏa mãn ĐKXĐ) vào biểu thức A đã thu gọn, ta có: \(A = \frac{{10}}{{4 + 1}} = 2\).

Đáp án: 7.

Điều kiện xác định: \(x \ne 2\) và \(x \ne  - 2\).

\(C = \left( {\frac{{x + 2}}{{x - 2}} - \frac{{x - 2}}{{x + 2}} - \frac{{16}}{{{x^2} - 4}}} \right):\frac{4}{{x - 2}}\)

\( = \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2} - {{\left( {x - 2} \right)}^2} - 16}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} \cdot \frac{{x - 2}}{4}\)

\( = \frac{{\left( {{x^2} + 4x + 4} \right) - \left( {{x^2} - 4x + 4} \right) - 16}}{{{x^2} - 4}} \cdot \frac{{x - 2}}{4}\)

\( = \frac{{8x - 16}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} \cdot \frac{{x - 2}}{4}\)

\( = \frac{{8\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} \cdot \frac{{x - 2}}{4}\)

\( = \frac{8}{{x + 2}} \cdot \frac{{x - 2}}{4}\)\( = \frac{{2\left( {x - 2} \right)}}{{x + 2}}\)

\( = \frac{{2x + 4 - 8}}{{x + 2}} = 2 - \frac{8}{{x + 2}}.\)

Với \(x\) nguyên, để C nguyên thì \(x + 2\) phải là ước của 8.

Mà Ư\(\left( 8 \right) = \left\{ {1;\,\, - 1;\,\,2;\,\, - 2;\,\,4;\,\, - 4;\,\,8;\,\, - 8} \right\}.\) Do đó \(x + 2 \in \left\{ {1;\,\, - 1;\,\,2;\,\, - 2;\,\,4;\,\, - 4;\,\,8;\,\, - 8} \right\}.\)

Giải ra các giá trị tương ứng của \(x\) là: \(\left\{ { - 1;\,\, - 3;\,\,0;\,\, - 4;\,\,2;\,\, - 6;\,\,6;\,\, - 10} \right\}\).

Ta thấy \(x = 2\) không thỏa mãn ĐKXĐ ban đầu.

Vậy chỉ còn 7 giá trị hợp lệ.

Đáp án: 2.

Điều kiện xác định: \(x \ne 3,x \ne  - 3\) và \(x \ne 0\) (Đa thức \({x^2} - 2x + 2 = {\left( {x - 1} \right)^2} + 1 > 0\)).

Khi đó, ta có:

\(E = \left( {\frac{5}{{x - 3}} + \frac{5}{{x + 3}}} \right):\frac{{x\left( {{x^2} - 2x + 2} \right)}}{{{x^2} - 9}}\)

   \[ = \frac{{5\left( {x - 3} \right) + 5\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} \cdot \frac{{{x^2} - 9}}{{x\left( {{x^2} - 2x + 2} \right)}}\]

   \( = \frac{{5x + 15 + 5x - 15}}{{{x^2} - 9}} \cdot \frac{{{x^2} - 9}}{{x\left( {{x^2} - 2x + 2} \right)}}\)

   \[ = \frac{{10x}}{{{x^2} - 9}} \cdot \frac{{{x^2} - 9}}{{x\left( {{x^2} - 2x + 2} \right)}}\]

   \( = \frac{{10}}{{{x^2} - 2x + 2}}\)

   \( = \frac{{10}}{{\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + 1}} = \frac{{10}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 1}}\).

Với \(x \ne 3,x \ne  - 3\) và \(x \ne 0\) ta luôn có \({\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0\) nên \({\left( {x - 1} \right)^2} + 1 \ge 1\).

Do tử số là hằng số dương, E đạt giá trị lớn nhất khi mẫu số đạt giá trị nhỏ nhất, tức là bằng 1 khi \(x - 1 = 0\), suy ra \(x = 1\) (thỏa mãn ĐKXĐ).

Vậy \({E_{max}} = \frac{{10}}{1} = 10\) khi \(x = 1\).

Đáp án: 4.

Điều kiện xác định: \(x \ne 0,x \ne 1\) và \(x \ne 2\).

Khi đó, ta có:

\(G = \left[ {\frac{{x - 1}}{x} + \frac{2}{{x - 1}} - \frac{2}{{x\left( {x - 1} \right)}}} \right] \cdot \frac{x}{{x - 2}}\)

   \( = \left[ {\frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 2x - 2}}{{x\left( {x - 1} \right)}}} \right] \cdot \frac{x}{{x - 2}}\)

   \( = \frac{{{x^2} - 2x + 1 + 2x - 2}}{{x\left( {x - 1} \right)}} \cdot \frac{x}{{x - 2}}\)

   \( = \frac{{{x^2} - 1}}{{x\left( {x - 1} \right)}} \cdot \frac{x}{{x - 2}}\)

   \[ = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{x\left( {x - 1} \right)}} \cdot \frac{x}{{x - 2}}\]

   \( = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}.\)

Theo bài, \(G \cdot \left( {x - 2} \right) > 4\) nên ta có:

\(\frac{{x + 1}}{{x - 2}} \cdot \left( {x - 2} \right) > 4\)

\(x + 1 > 4\)                    (vì \(x \ne 2)\)

\(x > 3\).

Số nguyên dương nhỏ nhất lớn hơn 3 là 4.

Đáp án: 6.

Điều kiện xác định: \(x \ne 4\) và \(x \ne  - 4\).

Khi đó, ta có:

\(H = \left( {\frac{3}{{x - 4}} - \frac{2}{{x + 4}} - \frac{{16}}{{{x^2} - 16}}} \right) \cdot \frac{{{x^2} - 5x + 4}}{{x + 4}}\)

    \( = \frac{{3\left( {x + 4} \right) - 2\left( {x - 4} \right) - 16}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)}} \cdot \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 4} \right)}}{{x + 4}}\)

    \( = \frac{{3x + 12 - 2x + 8 - 16}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)}} \cdot \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 4} \right)}}{{x + 4}}\)

    \( = \frac{{x + 4}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)}} \cdot \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 4} \right)}}{{x + 4}}\)

    \( = \frac{{x - 1}}{{x + 4}}\).

Với \(x \ne 4\) và \(x \ne  - 4\), để \(H = \frac{1}{2}\), ta có:

   \(\frac{{x - 1}}{{x + 4}} = \frac{1}{2}\)

   \(2\left( {x - 1} \right) = x + 4\)

   \(2x - 2 = x + 4\)

   \(x = 6\) (thỏa mãn ĐKXĐ).

Vậy \(x = 6\).

Đáp án: 5.

Điều kiện xác định: \(x \ne 3\) và \(x \ne  - 3\).

Khi đó, ta có:

\(I = \left( {\frac{{x + 2}}{{x - 3}} + \frac{{x - 2}}{{x + 3}} - \frac{{2{x^2}}}{{{x^2} - 9}}} \right):\frac{2}{{x - 3}}\)

   \( = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) + \left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) - 2{x^2}}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} \cdot \frac{{x - 3}}{2}\)

   \( = \frac{{\left( {{x^2} + 3x + 2x + 6} \right) + \left( {{x^2} - 3x - 2x + 6} \right) - 2{x^2}}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} \cdot \frac{{x - 3}}{2}\)

   \( = \frac{{{x^2} + 5x + 6 + {x^2} - 5x + 6 - 2{x^2}}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} \cdot \frac{{x - 3}}{2}\)

   \( = \frac{{2{x^2} + 12 - 2{x^2}}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} \cdot \frac{{x - 3}}{2}\)

   \( = \frac{{12}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} \cdot \frac{{x - 3}}{2}\)

   \( = \frac{6}{{x + 3}}\).

Theo bài, \(I \ge 1\) nên ta có:

\(\frac{6}{{x + 3}} \ge 1\)

\(\frac{6}{{x + 3}} - 1 \ge 0\)

\(\frac{{3 - x}}{{x + 3}} \ge 0\)

Trường hợp 1: \(3 - x \le 0\) và \(x + 3 < 0\)

                         \(x \ge 3\) và \(x <  - 3\) (vô lí).

Trường hợp 2: \(3 - x \ge 0\) và \(x + 3 > 0\)

                         \(x \le 3\) và \(x >  - 3\)

                         \( - 3 < x \le 3\).

Các giá trị nguyên thỏa mãn là: \( - 2;\,\, - 1;\,\,0;\,\,1;\,\,2;\,\,3.\)

Giá trị \(x = 3\) không thỏa mãn điều kiện xác định.

Vậy chỉ còn 5 giá trị hợp lệ là: \( - 2;\,\, - 1;\,\,0;\,\,1;\,\,2.\)

Đáp án: 14.

Điều kiện xác định: \(x \ne 2\) và \(x \ne  - 2\).

\(K = \left( {\frac{x}{{x - 2}} - \frac{2}{{x + 2}} - \frac{8}{{{x^2} - 4}}} \right):\frac{{x - 2}}{{x + 2}}\)

    \( = \frac{{x\left( {x + 2} \right) - 2\left( {x - 2} \right) - 8}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} \cdot \frac{{x + 2}}{{x - 2}}\)

    \( = \frac{{{x^2} + 2x - 2x + 4 - 8}}{{{x^2} - 4}} \cdot \frac{{x + 2}}{{x - 2}}\)

    \( = \frac{{{x^2} - 4}}{{{x^2} - 4}} \cdot \frac{{x + 2}}{{x - 2}}\)

    \( = 1 \cdot \frac{{x + 2}}{{x - 2}}\)

    \( = \frac{{x + 2}}{{x - 2}} = 1 + \frac{4}{{x - 2}}.\)

Với \(x\) nguyên, để \(K\) nguyên thì \(x - 2\) phải là ước của 4.

Mà Ư\(\left( 4 \right) = \left\{ {1;\,\, - 1;\,\,2;\,\, - 2;\,\,4;\,\, - 4} \right\}\) nên \(x - 2 \in \left\{ {1;\,\, - 1;\,\,2;\,\, - 2;\,\,4;\,\, - 4} \right\}\).

Các giá trị của \(x\) lần lượt tương ứng là: \(3;\,\,1;\,\,4;\,\,0;\,\,6;\,\, - 2.\)

Giá trị \(x =  - 2\) không thỏa mãn ĐKXĐ.

Do đó, các giá trị hợp lệ là \(3;\,\,1;\,\,4;\,\,0;\,\,6.\)

Tổng các giá trị trên là \(3 + 1 + 4 + 0 + 6 = 14.\).

Đáp án: –1,5.

Từ \(x + y + z = 0\), ta có \(y + z =  - x\).

Bình phương hai vế ta được \({y^2} + 2yz + {z^2} = {x^2}\), do đó: \({y^2} + {z^2} - {x^2} =  - 2yz\)

Tương tự, ta có:

\({z^2} + {x^2} - {y^2} =  - 2zx\);

\({x^2} + {y^2} - {z^2} =  - 2xy\).

Thay vào biểu thức \(P\), ta có:

\(P = \frac{{{x^2}}}{{ - 2yz}} + \frac{{{y^2}}}{{ - 2zx}} + \frac{{{z^2}}}{{ - 2xy}} = \frac{{{x^3} + {y^3} + {z^3}}}{{ - 2xyz}}\).

Vì \(x + y + z = 0\) nên \(y + z =  - x\).

Lập phương hai vế ta được

\({\left( {y + z} \right)^3} =  - {x^3}\)

\({y^3} + 3{y^2}z + 3y{z^2} + {z^3} =  - {x^3}\)

\({x^3} + {y^3} + {z^3} =  - 3{y^2}z - 3y{z^2}\)

\({x^3} + {y^3} + {z^3} =  - 3yz\left( {y + z} \right)\)

\({x^3} + {y^3} + {z^3} =  - 3yz \cdot \left( { - x} \right)\)

\({x^3} + {y^3} + {z^3} = 3xyz\).

Thay vào \(P\), ta được: \(P = \frac{{3xyz}}{{ - 2xyz}} =  - \frac{3}{2} =  - 1,5.\)

Đáp án: 3.

Từ \({x^2} + {y^2} + {z^2} = xy + yz + zx\), ta nhân cả hai vế với 2:

\(2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 2xy - 2yz - 2zx = 0\)

\(\left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right) + \left( {{y^2} - 2yz + {z^2}} \right) + \left( {{z^2} - 2zx + {x^2}} \right) = 0\)

\({\left( {x - y} \right)^2} + {\left( {y - z} \right)^2} + {\left( {z - x} \right)^2} = 0\)

Vì bình phương của mọi số thực đều không âm nên đẳng thức chỉ xảy ra khi \(x - y = 0\), \(y - z = 0\) và \(z - x = 0\), tức là \(x = y = z\).

Khi đó ta có: \(Q = \frac{{{x^{100}}}}{{{y^{100}}}} + \frac{{{y^{100}}}}{{{z^{100}}}} + \frac{{{z^{100}}}}{{{x^{100}}}} = \frac{{{x^{100}}}}{{{x^{100}}}} + \frac{{{x^{100}}}}{{{x^{100}}}} + \frac{{{x^{100}}}}{{{x^{100}}}} = 1 + 1 + 1 = 3\).

Đáp án: 3.

Đặt \(x = \frac{1}{a},y = \frac{1}{b},z = \frac{1}{c}\), từ giả thiết ta có \(x + y + z = 0\).

Viết lại biểu thức \(H\) theo \(x,y,z\) ta được:

\[H = \frac{{bc}}{{{a^2}}} + \frac{{ca}}{{{b^2}}} + \frac{{ab}}{{{c^2}}} = \frac{{\frac{1}{{{a^2}}}}}{{\frac{1}{{bc}}}} + \frac{{\frac{1}{{{b^2}}}}}{{\frac{1}{{ca}}}} + \frac{{\frac{1}{{{c^2}}}}}{{\frac{1}{{ab}}}} = \frac{{{x^2}}}{{yz}} + \frac{{{y^2}}}{{zx}} + \frac{{{z^2}}}{{xy}} = \frac{{{x^3} + {y^3} + {z^3}}}{{xyz}}\]

Vì \(x + y + z = 0\) nên chứng minh được \({x^3} + {y^3} + {z^3} = 3xyz\) (chứng minh tương tự Câu 48).

Do đó: \(H = \frac{{3xyz}}{{xyz}} = 3\).