Bài tập ôn tập Toán 11 Chân trời sáng tạo Chương 9 có đáp án
55 câu hỏi
A. Trắc nghiệm
Dạng 1. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Trong một cuộc khảo sát số người mắc bệnh trong mùa hè ở Quảng Trị, người ta chọn ngẫu nhiên một gia đình ở Quảng Trị. Xét các biến cố sau:
\(A\): “Gia đình đó có người mắc bệnh sốt xuất huyết”.
\(B\): “Gia đình đó có người bị ngộ độc thực phẩm”.
\(C\): “Gia đình đó có người mắc bệnh sốt xuất huyết và có người bị ngộ độc thực phẩm”. Khẳng định nào sau đây đúng?
\(C = A\overline B \).
\(C = \overline A B\).
\(C = A \cup B\).
\(C = AB\).
\(C = AB\): “Gia đình đó có người mắc bệnh sốt xuất huyết và có người bị ngộ độc thực phẩm”. Chọn D.
Hai quả cầu lấy ra cùng màu.
Hai quả cầu lấy ra khác màu.
Hai quả cầu lấy ra cùng màu trắng.
Hai quả cầu lấy ra cùng màu xanh.
\(\frac{2}{5}\).
\(\frac{2}{{45}}\).
\(\frac{{11}}{{15}}\).
\(\frac{7}{{15}}\).
Vì \(A,B\) là hai biến cố độc lập nên \(P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right)\)\( \Rightarrow P\left( B \right) = \frac{2}{{15}}:\frac{1}{3} = \frac{2}{5}\). Chọn A.
\(0,42\).
\(0,9\).
\(0,94\).
\(0,234\).
Gọi \(A\) là biến cố “Người thứ nhất ném trúng rổ”; \(B\) là biến cố “Người thứ hai ném trúng rổ”;
\(C\) là biến cố “Ít nhất một vận động viên ném trúng rổ”.
Khi đó \(C = A \cup B\). Khi đó \(P\left( C \right) = 1 - P\left( {\overline A \overline B } \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {\overline B } \right) = 1 - 0,2 \cdot 0,3 = 0,94\). Chọn C.
\(\frac{1}{{15}}\).
\(\frac{2}{{15}}\).
\(\frac{4}{{15}}\).
\(\frac{1}{{30}}\).
Số phần tử của không gian mẫu là \(5 \cdot 6 = 30\).
Ta có \(AB\) là biến cố “Tổng các số ghi trên thẻ bằng 8 và tích các số ghi trên thẻ là số chẵn”.
Khi đó \(AB = \left\{ {\left( {2;6} \right);\left( {4;4} \right)} \right\}\)\( \Rightarrow n\left( {AB} \right) = 2\).
Do đó \(P\left( {AB} \right) = \frac{2}{{30}} = \frac{1}{{15}}\). Chọn A.
\(0,18\).
\(0,3\).
\(0,1\).
\(0,28\).
Vì \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập nên \(A\) và \(\overline B \) cũng là hai biến cố độc lập.
Ta có \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right) \Rightarrow P\left( B \right) = 0,5:0,8 = 0,625 \Rightarrow P\left( {\overline B } \right) = 0,375\).
Có \(P\left( {A\overline B } \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {\overline B } \right) = 0,8 \cdot 0,375 = 0,3\). Chọn B.
\(\frac{1}{6}\).
\(\frac{1}{3}\).
\(\frac{4}{9}\).
\(\frac{1}{2}\).
Gọi \(A\) là biến cố “Rút được thẻ chia hết cho 3”.
Suy ra \(A = \left\{ {3;6;9;12;15;18} \right\} \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{6}{{18}} = \frac{1}{3}\).
\(B\) là biến cố “Rút được thẻ chia hết cho 5”.
Suy ra \(B = \left\{ {5;10;15} \right\}\)\( \Rightarrow P\left( B \right) = \frac{3}{{18}} = \frac{1}{6}\).
\(AB\) là biến cố “Rút được thẻ chia hết cho cả 3 và 5”.
Suy ra \(AB = \left\{ {15} \right\} \Rightarrow P\left( {AB} \right) = \frac{1}{{18}}\).
Do đó \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right) = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} - \frac{1}{{18}} = \frac{4}{9}\). Chọn C.
\(\frac{2}{9}\).
\(\frac{2}{3}\).
\(\frac{5}{{18}}\).
\(\frac{3}{{11}}\).
Gọi \(A\) là biến cố “Lấy được 2 viên bi xanh”;
\(B\) là biến cố “Lấy được 2 viên bi đỏ”;
\(C\) là biến cố “Lấy được 2 viên bi vàng”.
Khi đó \(A \cup B \cup C\) là biến cố “Lấy được 2 viên bi cùng màu”.
Ta có \(P\left( {A \cup B \cup C} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) + P\left( C \right) = \frac{{C_4^2}}{{C_{11}^2}} + \frac{{C_3^2}}{{C_{11}^2}} + \frac{{C_4^2}}{{C_{11}^2}} = \frac{3}{{11}}\). Chọn D.
\(\frac{{90}}{{133}}\).
\(\frac{{44}}{{135}}\).
\(\frac{{29}}{{90}}\).
\(\frac{{29}}{{131}}\).
Gọi \(A\) là biến cố “Lấy được 2 viên bi trắng”;
\(B\) là biến cố “Lấy được 2 viên bi đỏ”;
\(C\) là biến cố “Lấy được 2 viên bi xanh”.
Khi đó \(A \cup B \cup C\) là biến cố “Lấy được 2 viên bi cùng màu”.
Ta có \(P\left( {A \cup B \cup C} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) + P\left( C \right) = \frac{3}{{12}} \cdot \frac{6}{{15}} + \frac{4}{{12}} \cdot \frac{5}{{15}} + \frac{5}{{12}} \cdot \frac{4}{{15}} = \frac{{29}}{{90}}\). Chọn C.
\(0,65\).
\(0,35\).
\(0,85\).
\(0,15\).
Gọi \(A\) là biến cố “Xạ thủ A bắn trúng bia”; \(B\) là biến cố “Xạ thủ B bắn trúng bia”.
\(AB\) là biến cố “Cả hai xạ thủ bắn trúng bia”.
Theo đề có \(P\left( A \right) = 0,5;P\left( B \right) = 0,7\).
Vì \(A,B\) là hai biến cố độc lập nên \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right) = 0,5 \cdot 0,7 = 0,35\). Chọn B.
Hai viên bi lấy ra có cùng màu và \(n\left( {A \cup B} \right) = 25\).
Hai viên bi lấy ra có cùng đỏ và \(n\left( {A \cup B} \right) = 20\).
Hai viên bi lấy ra có cùng màu và \(n\left( {A \cup B} \right) = 13\).
Hai viên bi lấy ra có cùng màu xanh và \(n\left( {A \cup B} \right) = 10\).
\(A \cup B\) là biến cố “Hai viên bi lấy ra có cùng màu”.
Khi đó \(n\left( {A \cup B} \right) = C_5^2 + C_3^2 = 13\). Chọn C.
\(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập.
\(A \cap B\) là biến cố “Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai lần gieo bằng 12”.
\(A\) và \(B\) là hai biến cố xung khắc.
\(A \cup B\) là biến cố “Ít nhất một lần xuất hiện mặt 6 chấm”.
Ta có \(A \cap B = \left\{ {\left( {6;6} \right)} \right\} \ne \emptyset \).
Do đó \(A\) và \(B\) là không là hai biến cố xung khắc. Chọn C.
\(0,24\).
\(0,36\).
\(0,16\).
\(0,48\).
Gọi \(A\) là biến cố “Bạn A đỗ kì thi đó”; \(B\) là biến cố “Bạn B đỗ kì thi đó”.
Xác suất chỉ có 1 bạn đỗ là \(P\left( {A\overline B \cup \overline A B} \right) = P\left( A \right)P\left( {\overline B } \right) + P\left( {\overline A } \right)P\left( B \right)\)\( = 0,6 \cdot 0,4 + 0,4 \cdot 0,6 = 0,48\). Chọn D.
\(\frac{1}{2}\).
\(\frac{5}{6}\).
\(\frac{1}{3}\).
\(\frac{2}{3}\).
Ta có \(A = \left\{ {1;3;5} \right\} \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\); \(B = \left\{ {5;6} \right\} \Rightarrow P\left( B \right) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\);
\(AB = \left\{ 5 \right\} \Rightarrow P\left( {AB} \right) = \frac{1}{6}\).
Khi đó \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{2}{3}\). Chọn D.
\(C = A \cup B\).
\(C = A \cap B\).
\(C = \overline A \cup B\).
\(C = A \cup \overline B \).
\(C = A \cup B\) là biến cố “Có ít nhất một xạ thủ bắn trúng bia”. Chọn A.
\(2\).
\(1\).
\(12\).
\(3\).
Ta có \(A = \left\{ {10;12;14;16;18;20} \right\}\); \(B = \left\{ {8;9;10;11;12;13;14;15} \right\}\).
Khi đó \(A \cap B = \left\{ {10;12;14} \right\}\).
Vậy số phần tử của \(A \cap B\) là 3. Chọn D.
Lấy được ít nhất một viên bi màu xanh.
Lấy được hai viên bi khác màu.
Lấy được ít nhất một viên bi màu đỏ.
Lấy được hai viên bi cùng màu.
\(A \cup B\) là biến cố “Lấy được hai viên bi cùng màu”. Chọn D.
Xuất hiện hai mặt có cùng số chấm.
Tổng số chấm xuất hiện là số lẻ.
Xuất hiện ít nhất một mặt có số chấm là số lẻ.
Xuất hiện hai mặt có số chấm khác nhau.
Tích số chấm xuất hiện là số lẻ thì tổng số chấm xuất hiện số chẵn.
Do đó biến cố \(A\) và biến cố “Tổng số chấm xuất hiện là số lẻ” là hai biến cố xung khắc. Chọn B.
\(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\).
\(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right)\).
\(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) + P\left( {AB} \right)\).
\(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right)\).
\(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right)\). Chọn B.
Cho \(A,B\)là hai biến cố độc lập thỏa mãn \(P\left( A \right) = 0,3\) và \(P\left( {AB} \right) = 0,06\). Khi đó, \(P\left( {\overline B } \right)\) bằng
\(0,6\).
\(0,15\).
\(0,8\).
\(0,2\).
\(A,B\)là hai biến cố độc lập nên \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right) \Rightarrow P\left( B \right) = 0,06:0,3 = 0,2\).
Suy ra \(P\left( {\overline B } \right) = 1 - 0,2 = 0,8\). Chọn C.
\(0,03842\).
\(0,384\).
\(0,03384\).
\(0,0384\).
Để bắn đến viên thứ 4 thì ngừng bắn thì 3 viên đầu trượt đến viên thứ 4 thì bắn trúng mục tiêu.
Khi đó \(P = 0,4 \cdot 0,4 \cdot 0,4 \cdot 0,6 = 0,0384\). Chọn D.
\(0,2\).
\(0,3\).
\(0,4\).
\(0,65\).
\(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right) \Rightarrow P\left( {AB} \right) = 0,4 + 0,5 - 0,6 = 0,3\). Chọn B.
An và Bình không quen biết nhau và học ở hai nơi khác nhau. Xác suất để An và Bình đạt điểm giỏi về môn Toán trong kì thi cuối năm tương ứng là 0,92 và 0,88. Tính xác suất để cả An và Bình đều không đạt điểm giỏi.
\(0,8096\).
\(0,0096\).
\(0,3649\).
\(0,3597\).
Gọi \(A\) là biến cố “An đạt điểm giỏi”; \(B\) là biến cố “Bình đạt điểm giỏi”.
Theo đề ta có \(A,B\) độc lập và \(P\left( A \right) = 0,92;P\left( B \right) = 0,88\). Suy ra \(P\left( {\overline A } \right) = 0,08;P\left( {\overline B } \right) = 0,12\).
Xác suất để cả An và Bình đều không đạt điểm giỏi là
\(P\left( {\overline A \overline B } \right) = P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {\overline B } \right) = 0,08 \cdot 0,12 = 0,0096\). Chọn B.
\(\frac{1}{4}\).
\(\frac{5}{{12}}\).
\(\frac{1}{2}\).
\(\frac{7}{{12}}\).
Xác suất để cả hai khẩu pháo bắn trượt mục tiêu là \({P_1} = \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{2}\).
Suy ra xác suất để mục tiêu bị trúng đạn là \(P = 1 - {P_1} = \frac{1}{2}\). Chọn C.
\(\frac{{13}}{{18}}\).
\(\frac{5}{{18}}\).
\(\frac{3}{{18}}\).
\(\frac{{11}}{{18}}\).
Gọi \(A\) là biến cố lấy được 2 viên bi cùng màu.
Khi đó \(P\left( A \right) = \frac{{C_4^2 + C_3^2 + C_2^2}}{{C_9^2}} = \frac{5}{{18}}\).
Suy ra xác suất chọn được 2 viên bi khác màu là \(P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right) = 1 - \frac{5}{{18}} = \frac{{13}}{{18}}\). Chọn A.
\(\frac{{13}}{{18}}\).
\(\frac{{11}}{{18}}\).
\(\frac{{10}}{{18}}\).
\(\frac{9}{{18}}\).
Gọi \(A\) là biến cố “Tích hai số trên thẻ là một số chẵn”.
TH1: Rút được hai thẻ mang số chẵn có \(C_4^2 = 6\) cách.
Xác suất trong trường hợp này là \({P_1} = \frac{6}{{C_9^2}} = \frac{1}{6}\).
TH2: Rút được 1 thẻ mang số chẵn và 1 thẻ mang số lẻ có \(C_5^1 \cdot C_4^1 = 20\) cách.
Xác suất trong trường hợp này là \({P_2} = \frac{{20}}{{C_9^2}} = \frac{5}{9}\).
Vậy \(P\left( A \right) = {P_1} + {P_2} = \frac{1}{6} + \frac{5}{9} = \frac{{13}}{{18}}\). Chọn A.
Có 2 bình, mỗi bình đựng 6 viên bi trắng và 5 viên bi đen. Lần lượt lấy ngẫu nhiên ra 1 viên bi từ bình thứ nhất và 1 viên bi từ bình thứ 2. Tính xác suất để lấy được viên bi thứ nhất màu trắng và viên bi thứ hai màu đen?
\(\frac{1}{{35}}\).
\(\frac{{35}}{{144}}\).
\(\frac{{30}}{{121}}\).
\(\frac{{23}}{{22}}\).
Gọi \(A\) là biến cố “Lấy được viên bi màu trắng ở bình thứ nhất”;
\(B\) là biến cố “Lấy được viên bi màu đen ở bình thứ hai”.
Theo đề ta có \(A,B\) là hai biến cố độc lập và \(P\left( A \right) = \frac{6}{{11}};P\left( B \right) = \frac{5}{{11}}\).
Xác suất cần tìm là \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right) = \frac{6}{{11}} \cdot \frac{5}{{11}} = \frac{{30}}{{121}}\). Chọn C.
\(\frac{1}{9}\).
\(\frac{4}{9}\).
\(\frac{2}{9}\).
\(\frac{4}{3}\).
Xác suất để cầu thủ sút không vào cầu môn là \(\frac{2}{3}\).
Vì hai lần sút độc lập nhau nên xác suất để cầu thủ sút bóng hai lần đều không vào cầu môn là \(\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{9}\). Chọn B.
Một người có một chùm chìa khóa gồm 9 chiếc, bề ngoài của chúng giống hệt nhau và chỉ có đúng hai chiếc mở được cửa nhà. Người đó thử ngẫu nhiên từng chìa. Xác suất để mở được cửa trong lần mở thứ ba là
\(\frac{{14}}{{81}}\).
\(\frac{7}{{81}}\).
\(\frac{1}{6}\).
\(\frac{2}{7}\).
Để mở được cửa trong lần mở thứ ba thì lần thứ nhất và lần thứ hai không mở được và lần thứ 3 mở được.
Xác suất để lần thứ nhất không mở được là \(\frac{7}{9}\).
Xác suất lần thứ hai không mở được cửa là \(\frac{6}{8} = \frac{3}{4}\).
Xác suất lần thứ ba mở được là \(\frac{2}{7}\).
Vì ba lần mở cửa độc lập với nhau nên xác suất để mở được cửa trong lần mở thứ ba là \(\frac{7}{9} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{7} = \frac{1}{6}\). Chọn C.
\(A = \left\{ {\left( {1;4} \right),\left( {2;3} \right),\left( {3;2} \right),\left( {4;1} \right)} \right\}\).
\(B = \left\{ {\left( {1;6} \right),\left( {2;3} \right),\left( {3;2} \right),\left( {6;1} \right)} \right\}\).
\(C = \left\{ {\left( {2;1} \right),\left( {2;2} \right),\left( {2;3} \right),\left( {2;4} \right),\left( {2;5} \right),\left( {2;6} \right)} \right\}\).
\(AC = \left\{ {\left( {2;3} \right),\left( {3;2} \right)} \right\}\).
\(AC\) là biến cố “Tổng số chấm 2 lần gieo là 5 và lần gieo thứ hai xuất hiện mặt 2 chấm”.
Khi đó \(AC = \left\{ {\left( {3;2} \right)} \right\}\). Chọn D.
Dạng 2. Trắc nghiệm đúng sai
Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Ba người cùng bắn vào 1 bia. Xác suất bắn trúng đích của người thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt là 0,5; 0,7; 0,8. Khi đó:
Gọi \(C\) là biến cố “Người thứ ba bắn trúng đích” \( \Rightarrow P\left( C \right) = 0,8;P\left( {\overline C } \right) = 0,2\).
Gọi \(B\) là biến cố “Người thứ hai bắn trúng đích” \( \Rightarrow P\left( B \right) = 0,7;P\left( {\overline B } \right) = 0,3\).
Gọi \(A\) là biến cố “Người thứ nhất bắn trúng đích” \( \Rightarrow P\left( A \right) = 0,5;P\left( {\overline A } \right) = 0,5\).
Xác suất để đúng 2 người bắn trúng đích là 0,483.
a) Gọi \(C\) là biến cố “Người thứ ba bắn trúng đích” \( \Rightarrow P\left( C \right) = 0,8;P\left( {\overline C } \right) = 0,2\).
b) Gọi \(B\) là biến cố “Người thứ hai bắn trúng đích” \( \Rightarrow P\left( B \right) = 0,7;P\left( {\overline B } \right) = 0,3\).
c) Gọi \(A\) là biến cố “Người thứ nhất bắn trúng đích” \( \Rightarrow P\left( A \right) = 0,5;P\left( {\overline A } \right) = 0,5\).
d) Gọi \(D\)là biến cố “Có đúng 2 người bắn trúng đích”.
Khi đó \(D = AB\overline C \cup A\overline B C \cup \overline A BC\).
Khi đó \(P\left( D \right) = P\left( {AB\overline C \cup A\overline B C \cup \overline A BC} \right)\)\( = P\left( A \right)P\left( B \right)P\left( {\overline C } \right) + P\left( A \right)P\left( {\overline B } \right)P\left( C \right) + P\left( {\overline A } \right)P\left( B \right)P\left( C \right)\)
\( = 0,5 \cdot 0,7 \cdot 0,2 + 0,5 \cdot 0,3 \cdot 0,8 + 0,5 \cdot 0,7 \cdot 0,8 = 0,47\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
\(P\left( {AB} \right) = 0,9\).
\(P\left( {A\overline B } \right) = 0,13\).
\(P\left( {\overline A \overline B } \right) = 0,28\).
\(P\left( {A \cup B} \right) = 0,58\).
Ta có \(P\left( {\overline A } \right) = 0,7;P\left( {\overline B } \right) = 0,4\).
Vì \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập.
a) \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right) = 0,3 \cdot 0,6 = 0,18\).
b) \(P\left( {A\overline B } \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {\overline B } \right) = 0,3 \cdot 0,4 = 0,12\).
c) \(P\left( {\overline A \overline B } \right) = P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {\overline B } \right) = 0,7 \cdot 0,4 = 0,28\).
d) \(P\left( {A \cup B} \right) = 1 - P\left( {\overline A \overline B } \right) = 1 - 0,28 = 0,72\).
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
\(P\left( {\overline A B \cup \overline B C} \right) = 0,55\).
\(P\left( {A\overline B } \right) = 0,2\).
\(P\left( {\overline A \overline B C} \right) = 0,14\).
\(P\left( B \right) = 0,24\).
\(A,B\) là hai biến cố độc lập nên \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right) \Rightarrow P\left( B \right) = 0,3:0,6 = 0,5\).
Ta có \(P\left( {\overline A } \right) = 0,4;P\left( {\overline B } \right) = 0,5\).
a) \(P\left( {\overline A B \cup \overline B C} \right) = P\left( {\overline A } \right)P\left( B \right) + P\left( {\overline B } \right)P\left( C \right)\)\( = 0,4 \cdot 0,5 + 0,5 \cdot 0,7 = 0,55\).
b) \(P\left( {A\overline B } \right) = P\left( A \right)P\left( {\overline B } \right) = 0,6 \cdot 0,5 = 0,3\).
c) \(P\left( {\overline A \overline B C} \right) = P\left( {\overline A } \right)P\left( {\overline B } \right)P\left( C \right) = 0,4 \cdot 0,5 \cdot 0,7 = 0,14\).
d) \(P\left( B \right) = 0,5\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Xác suất để có ít nhất một bạn lọt vào vòng chung kết là 0,56.
Xác suất có đúng một trong hai bạn lọt vào vòng chung kết là 0,38.
Xác suất để bạn Nam không lọt vào vòng chung kết là 0,3.
Xác suất để cả hai bạn lọt vào vòng chung kết là 0,8.
Gọi \(A\) là biến cố “Việt lọt vào vòng chung kết”; \(B\) là biến cố “Nam lọt vào vòng chung kết”.
Ta có \(A,B\) là hai biến cố độc lập.
Theo đề ta có \(P\left( A \right) = 0,8;P\left( B \right) = 0,7\). Suy ra \(P\left( {\overline A } \right) = 0,2;P\left( {\overline B } \right) = 0,3\).
a) Gọi \(A \cup B\) là biến cố “Có ít nhất một bạn lọt vào vòng chung kết”.
\(\overline A \overline B \) là biến cố “Cả hai bạn đều không lọt vào vòng chung kết”.
Khi đó \(P\left( {\overline A \overline B } \right) = P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {\overline B } \right) = 0,2 \cdot 0,3 = 0,06\).
Khi đó \(P\left( {A \cup B} \right) = 1 - P\left( {\overline A \overline B } \right) = 1 - 0,06 = 0,94\).
b) \(A\overline B \cup \overline A B\) là biến cố “Có đúng một bạn lọt vào vòng chung kết”.
Khi đó \[P\left( {A\overline B \cup \overline A B} \right) = P\left( {A\overline B } \right) + P\left( {\overline A B} \right) = P\left( A \right)P\left( {\overline B } \right) + P\left( {\overline A } \right)P\left( B \right) = 0,8 \cdot 0,3 + 0,2 \cdot 0,7 = 0,38\].
c) \(A\overline B \cup \overline A \overline B \) là biến cố “Nam không lọt vào vòng chung kết”.
Khi đó \[P\left( {A\overline B \cup \overline A \overline B } \right) = P\left( {A\overline B } \right) + P\left( {\overline A \overline B } \right)\]\( = P\left( A \right)P\left( {\overline B } \right) + P\left( {\overline A } \right)P\left( {\overline B } \right)\)\( = 0,8 \cdot 0,3 + 0,2 \cdot 0,3 = 0,3\).
d) \(AB\) là biến cố “Cả hai bạn lọt vào chung kết”.
Khi đó \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right)P\left( B \right) = 0,8 \cdot 0,7 = 0,56\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Số cách chọn một học sinh trong lớp 38.
Xác suất chọn được một hoc sinh giỏi cả hai môn Toán và Ngữ Văn là \(\frac{4}{{19}}\).
Xác suất để chọn được một học sinh hoặc giỏi môn Toán hoặc giỏi môn Ngữ Văn là \(\frac{{16}}{{19}}\).
Số cách chọn một học sinh giỏi cả hai môn Toán và Ngữ văn là 15.
Gọi \(A\) là biến cố “Học sinh được chọn giỏi môn Toán”; \(B\) là biến cố “Học sinh được chọn giỏi môn Văn”.
Theo đề ta có \(P\left( A \right) = \frac{{17}}{{38}};P\left( B \right) = \frac{{15}}{{38}}\).
a) Có 38 cách chọn một học sinh trong lớp.
b) Xác suất chọn được một hoc sinh giỏi cả hai môn Toán và Ngữ Văn là \(\frac{8}{{38}} = \frac{4}{{19}}\).
c) \(A \cup B\) là biến cố “Học sinh được chọn giỏi môn Toán hoặc môn Văn”.
Khi đó \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right) = \frac{{17}}{{38}} + \frac{{15}}{{38}} - \frac{8}{{38}} = \frac{{12}}{{19}}\).
d) Số cách chọn một học sinh giỏi cả hai môn Toán và Ngữ văn là 8.
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
\(P\left( A \right) = \frac{9}{{20}}\).
\(P\left( B \right) = \frac{1}{4}\).
\(P\left( {AB} \right) = \frac{7}{{20}}\).
Xác suất để học sinh được chọn có tham gia ít nhất một trong hai môn thể thao bằng \(\frac{{13}}{{20}}\).
a) \(P\left( A \right) = \frac{{18}}{{40}} = \frac{9}{{20}}\).
b) \(P\left( B \right) = \frac{{10}}{{40}} = \frac{1}{4}\).
c) \(P\left( {AB} \right) = \frac{6}{{40}} = \frac{3}{{20}}\).
d) \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right) = \frac{9}{{20}} + \frac{1}{4} - \frac{3}{{20}} = \frac{{11}}{{20}}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
\(A\) và \(B\) là hai biến cố xung khắc.
\(P\left( A \right) = \frac{1}{2}\).
\(P\left( {AB} \right) = \frac{1}{3}\).
\(P\left( {A \cup B} \right) = 1\).
Ta có \(A = \left\{ {2;4;6} \right\},B = \left\{ {4;5;6} \right\} \Rightarrow A \cap B = \left\{ {4;6} \right\} \ne \emptyset \).
a) Vì \(A \cap B \ne \emptyset \) nên \(A\) và \(B\) không là hai biến cố xung khắc.
b) \(P\left( A \right) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\).
c) \(P\left( {AB} \right) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\).
d) \(P\left( B \right) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\).
Khi đó \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Có 30 kết quả thuận lợi cho biến cố \(A\).
Có 4 kết quả thuận lợi cho biến cố \(B\).
Xác suất của biến cố \(A\) bằng \(\frac{1}{6}\).
Xác suất để “Ba bút lấy ra từ hộp có ít nhất 1 bút màu xanh” là \(\frac{{29}}{{30}}\).
a) \(n\left( A \right) = C_6^3 = 20\).
b) \(n\left( B \right) = C_4^3 = 4\).
c) \(P\left( A \right) = \frac{{20}}{{C_{10}^3}} = \frac{1}{6}\).
d) Ta có \(P\left( B \right) = \frac{4}{{C_{10}^3}} = \frac{1}{{30}}\).
Xác suất để “Ba bút lấy ra từ hộp có ít nhất 1 bút màu xanh” là \(1 - \frac{1}{{30}} = \frac{{29}}{{30}}\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.
Xác suất của biến cố “Bệnh nhân X không bị biến chứng nặng” là 0,9.
Xác suất của biến cố “Cả hai bệnh nhân đều bị biến chứng nặng” là 0,2.
Xác suất của biến cố “Cả hai bệnh nhân đều không bị biến chứng nặng” là 0,72.
Xác suất của biến cố “Bệnh nhân \(X\) bị biến chứng nặng, bệnh nhân \(Y\) không bị biến chứng nặng” là 0,02.
Gọi \(X\) là biến cố “Bệnh nhân \(X\) bị biến chứng nặng”;
\(Y\) là biến cố “Bệnh nhân \(Y\) bị biến chứng nặng”.
Theo đề ta có \(P\left( X \right) = 0,1;P\left( Y \right) = 0,2\).
a) \(P\left( {\overline X } \right) = 1 - P\left( X \right) = 1 - 0,1 = 0,9\).
b) \(P\left( {XY} \right) = P\left( X \right) \cdot P\left( Y \right) = 0,1 \cdot 0,2 = 0,02\).
c) \(P\left( {\overline X \overline Y } \right) = P\left( {\overline X } \right) \cdot P\left( {\overline Y } \right) = 0,9 \cdot 0,8 = 0,72\).
d) \(P\left( {X\overline Y } \right) = P\left( X \right) \cdot P\left( {\overline Y } \right) = 0,1 \cdot 0,8 = 0,08\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Xác suất hai động cơ đều hoạt động bình thường là 0,855.
Xác suất hai động cơ đều bị hỏng là 0,005.
Xác suất để động cơ I hoạt động bình thường và động cơ II hỏng là 0,095.
Xác suất ít nhất một động cơ hoạt động là 0,905.
Gọi \(A\) là biến cố “Động cơ I hoạt động bình thường”;
\(B\) là biến cố “Động cơ II hoạt động bình thường”.
Theo đề ta có \(A,B\) là hai biến cố độc lập và \(P\left( A \right) = 0,95;P\left( {\overline B } \right) = 0,1\). Suy ra \(P\left( {\overline A } \right) = 0,05;P\left( B \right) = 0,9\).
a) \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right) = 0,95 \cdot 0,9 = 0,855\).
b) \(P\left( {\overline A \overline B } \right) = P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {\overline B } \right) = 0,05 \cdot 0,1 = 0,005\).
c) \(P\left( {A\overline B } \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {\overline B } \right) = 0,95 \cdot 0,1 = 0,095\).
d) Xác suất để ít nhất một động cơ hoạt động là \(P = 1 - P\left( {\overline A \overline B } \right) = 1 - 0,005 = 0,995\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Dạng 3. Trắc nghiệm trả lời ngắn
Một bệnh truyền nhiễm có xác suất lây bệnh là 0,9 nếu tiếp xúc với người bệnh mà không đeo khẩu trang; là 0,15 nếu tiếp xúc với người bệnh mà có đeo khẩu trang. Anh An tiếp xúc với một người bệnh hai lần, trong đó có một lần đeo khẩu trang và một lần không đeo khẩu trang. Tính xác suất để anh An bị lây bệnh từ người bệnh mà anh tiếp xúc đó (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Gọi \(A\) là biến cố “Anh An bị lây bệnh từ người bệnh nếu tiếp xúc với người bệnh mà không đeo khẩu trang”. Khi đó \(P\left( A \right) = 0,9\).
Gọi \(B\) là biến cố “Anh An bị lây bệnh từ người bệnh nếu tiếp xúc với người bệnh mà có đeo khẩu trang”. Khi đó \(P\left( B \right) = 0,15\).
Gọi \(C\) là biến cố “Anh An bị lây bệnh từ người bệnh”.
Vì \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập.
Khi đó \(P\left( {\overline C } \right) = P\left( {\overline A \overline B } \right) = P\left( {\overline A } \right)P\left( {\overline B } \right) = 0,1 \cdot 0,85 = 0,085\)
Suy ra \(P\left( C \right) = 1 - P\left( {\overline C } \right) = 1 - 0,085 \approx 0,92\).
Trả lời: 0,92.
Một hộp chứa 100 thẻ cùng loại được đánh số lần lượt từ 1 đến 100. Chọn ngẫu nhiên một thẻ từ hộp. Tính xác suất của biến cố “Số ghi trên thẻ được chọn chia hết cho 3 hoặc 5”.
Gọi \(A\) là biến cố “Số ghi trên thẻ được chọn chia hết cho 3”; \(B\) là biến cố “Số ghi trên thẻ được chọn chia hết cho 5”.
Khi đó \(A \cup B\) là biến cố “Số ghi trên thẻ được chọn chia hết cho 3 hoặc 5”.
Từ 1 đến 100 có 33 số chia hết cho 3 nên \(P\left( A \right) = \frac{{33}}{{100}} = 0,33\).
Từ 1 đến 100 có 20 số chia hết cho 5 nên \(P\left( A \right) = \frac{{20}}{{100}} = 0,2\).
Từ 1 đến 100 có 6 số chia hết cho 15 nên \(P\left( {AB} \right) = \frac{6}{{100}} = 0,06\).
Vậy \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right) = 0,47\).
Trả lời: 0,47.
Cho \(A,B\) là hai biến cố độc lập và \(P\left( {AB} \right) = 0,1;P\left( {A\overline B } \right) = 0,4\). Tính \(P\left( B \right)\).
Lời giải
Ta có \(A = AB \cup A\overline B \). Suy ra \(P\left( A \right) = P\left( {AB} \right) + P\left( {A\overline B } \right) = 0,1 + 0,4 = 0,5\).
Do \(A,B\) là hai biến cố độc lập nên \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right)P\left( B \right) \Rightarrow P\left( B \right) = 0,1:0,5 = 0,2\).
Trả lời: 0,2.
Một hộp có 25 chiếc thẻ cùng loại được đánh số từ 1 đến 25. Hai bạn An và Bình chơi trò chơi rút thẻ trong hộp như sau: hai bạn lần lượt rút thẻ, mỗi lượt rút ngẫu nhiên một thẻ rồi ghi lại số trên thẻ vừa rút sau đó trả lại thẻ vào hộp. An sẽ thắng nếu rút được thẻ ghi số chia hết cho 6, Bình sẽ thắng nếu rút được thẻ ghi số chia hết cho 5. Giả sử An chơi trước, tính xác suất để Bình thắng có dạng \(\frac{a}{b}\). Tính \(a + b\).
Gọi \(A\) là biến cố “Rút được thẻ ghi số chia hết cho 6”; \(B\) là biến cố “Rút được thẻ ghi số chia hết cho 5”.
Từ 1 đến 25 có 4 số chia hết cho 6. Suy ra \(P\left( A \right) = \frac{4}{{25}} \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = \frac{{21}}{{25}}\).
Từ 1 đến 25 có 5 số chia hết cho 5. Suy ra \(P\left( B \right) = \frac{5}{{25}} = \frac{1}{5} \Rightarrow P\left( {\overline B } \right) = \frac{4}{5}\).
Giả sử Bình thắng ở lần rút thứ n.
Vì các lần rút là độc lập với nhau nên xác suất để Bình thắng ở lần rút thứ n là
\({P_n} = {\left( {\frac{{21}}{{25}}} \right)^n} \cdot {\left( {\frac{4}{5}} \right)^{n - 1}} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{4} \cdot {\left( {\frac{{84}}{{125}}} \right)^n}\).
Do đó xác suất để Bình thắng là:
\(P = \frac{1}{4} \cdot \frac{{84}}{{125}} + \frac{1}{4} \cdot {\left( {\frac{{84}}{{125}}} \right)^2} + ... + \frac{1}{4} \cdot {\left( {\frac{{84}}{{125}}} \right)^n} + ...\)\( = \frac{1}{4}\left[ {\left( {\frac{{84}}{{125}}} \right) + {{\left( {\frac{{84}}{{125}}} \right)}^2} + ... + {{\left( {\frac{{84}}{{125}}} \right)}^n} + ...} \right]\).
Vì \(\left( {\frac{{84}}{{125}}} \right),{\left( {\frac{{84}}{{125}}} \right)^2},...,{\left( {\frac{{84}}{{125}}} \right)^n},...\) lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu \(\frac{{84}}{{125}}\) công bội là \(\frac{{84}}{{125}}\) nên \(P = \frac{1}{4} \cdot \frac{{\frac{{84}}{{125}}}}{{1 - \frac{{84}}{{125}}}} = \frac{{21}}{{41}}\).
Suy ra \(a = 21;b = 41 \Rightarrow a + b = 62\).
Trả lời: 62.
Trong một lớp có 50 học sinh. Khi đăng kí cho học phụ đạo thì có 38 học sinh đăng kí học Toán, 30 học sinh đăng kí học Lý, 25 học sinh đăng kí học cả Toán và Lý. Nếu chọn ngẫu nhiên 1 học sinh của lớp đó thì xác suất để em này không đăng kí học phụ đạo môn nào cả là bao nhiêu?
Gọi \(A\) là biến cố “Học sinh đó đăng kí học Toán”; \(B\) là biến cố “Học sinh đó đăng kí học Lý”.
\(A \cup B\) là biến cố “Học sinh đó đăng kí ít nhất một môn học”.
Theo đề ta có \(P\left( A \right) = \frac{{38}}{{50}};P\left( B \right) = \frac{{30}}{{50}};P\left( {AB} \right) = \frac{{25}}{{50}}\).
Khi đó \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right) = \frac{{38}}{{50}} + \frac{{30}}{{50}} - \frac{{25}}{{50}} = \frac{{43}}{{50}} = 0,86\).
Suy ra xác suất để học sinh đó không đăng kí môn học phụ đạo nào là \(1 - 0,86 = 0,14\)
Trả lời: 0,14.
Một xạ thủ bắn từ khoảng cách 100 m có xác suất bắn trúng tâm 10 điểm là 0,4; trúng vòng 9 điểm là 0,3; trúng vòng 8 điểm là 0,1 và ngoài vòng 8 điểm là 0,2. Tính xác suất để xạ thủ đó đạt được 18 điểm sau hai lần bắn.
Gọi \(A\) là biến cố “Xạ thủ đó đạt được 18 điểm sau hai lần bắn”.
TH1. Xạ thủ bắn được vòng 10 và vòng 8.
Khi đó xác suất là \({P_1} = 2 \cdot 0,4 \cdot 0,1 = 0,08\).
TH2. Xạ thủ bắn được 2 vòng 9.
Khi đó xác suất là \({P_2} = 0,3 \cdot 0,3 = 0,09\).
Do đó \(P\left( A \right) = {P_1} + {P_2} = 0,08 + 0,09 = 0,17\).
Trả lời: 0,17.
Một chiếc máy có hai động cơ I và II hoạt động độc lập với nhau. Xác suất để động cơ I và động cơ II chạy tốt lần lượt là 0,8 và 0,5. Hãy tính xác suất để có đúng một động cơ chạy tốt.
Gọi \(A\) là biến cố “Động cơ I chạy tốt”;
\(B\) là biến cố “Động cơ II chạy tốt”.
Theo đề ta có\(A,B\) là hai biến cố độc lập và \(P\left( A \right) = 0,8;P\left( B \right) = 0,5\). Suy ra \(P\left( {\overline A } \right) = 0,2;P\left( {\overline B } \right) = 0,5\).
Xác suất để có đúng một động cơ chạy tốt là
\(P\left( {A\overline B } \right) + P\left( {\overline A B} \right) = 0,8 \cdot 0,5 + 0,2 \cdot 0,5 = 0,5\).
Trả lời: 0,5.
Tung đồng thời một đồng xu và một cục xúc xắc 12 mặt (1 – 12). Tính xác suất xuất hiện mặt ngửa và mặt là bội của 3 (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
\(A\) là biến cố “Đồng xu xuất hiện mặt ngửa”
Xác suất xuất hiện mặt ngửa là \(\frac{1}{2}\).
Gọi \(C\) là biến cố “Xúc xắc xuất hiện mặt là bội của 3”: \(P\left( C \right) = \frac{4}{{12}} = \frac{1}{3}\).
Xác suất xuất hiện mặt ngửa và mặt là bội của 3 là \(P\left( {AC} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( C \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \approx 0,2\).
Trả lời: 0,2.
Hai xạ thủ cùng bắn vào bia một cách độc lập với nhau. Xác suất bắn trúng bia của xạ thủ thứ nhất bằng \(\frac{1}{2}\), xác suất bắn trúng bia của xạ thủ thứ hai bằng \(\frac{1}{3}\). Tính xác suất của biến cố xạ thủ thứ nhất bắn trúng bia, xạ thủ thứ hai bắn không trúng bia (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
Gọi \(A\) là biến cố “Xạ thủ thứ nhất bắn trúng bia”;
\(B\) là biến cố “Xạ thủ thứ hai bắn trúng bia”.
Theo đề ta có \(A,B\) là hai biến cố độc lập và \(P\left( A \right) = \frac{1}{2};P\left( B \right) = \frac{1}{3}\).
Suy ra \(P\left( {\overline A } \right) = \frac{1}{2};P\left( {\overline B } \right) = \frac{2}{3}\).
Xác suất biến cố \(A\overline B \) là \(P\left( {A\overline B } \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {\overline B } \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \approx 0,3\).
Trả lời: 0,3.
Có 2 hộp, hộp I đựng 4 gói quà màu đỏ và 6 gói quà màu xanh, hộp II đựng 2 gói quà màu đỏ và 8 gói quà màu xanh. Gieo một con xúc xắc nếu được mặt 6 chấm thì lấy một gói quà từ hộp I, nếu mặt khác thì lấy một gói quà từ hộp II. Xác suất để lấy được gói quà màu đỏ bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Gọi \(A\) là biến cố “Lấy gói quà màu đỏ từ hộp I”;
\(B\) là biến cố “Lấy gói quà màu đỏ từ hộp II”.
\(C\) là biến cố “Xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm”.
Theo đề ta có \(A,B,C\) là các biến cố độc lập và \(P\left( A \right) = \frac{4}{{10}} = \frac{2}{5};P\left( B \right) = \frac{2}{{10}} = \frac{1}{5}\); \(P\left( C \right) = \frac{1}{6} \Rightarrow P\left( {\overline C } \right) = \frac{5}{6}\).
Gọi \(D\) là biến cố “Lấy được gói quà màu đỏ” \( \Rightarrow D = AC \cup B\overline C \).
Vậy \(P\left( D \right) = P\left( {AC} \right) + P\left( {B\overline C } \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( C \right) + P\left( B \right) \cdot P\left( {\overline C } \right) = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{6} = \frac{7}{{30}} \approx 0,23\).
Trả lời: 0,23.
B. Tự luận
Lớp 11A của một trường có 39 học sinh, trong đó có 14 bạn thích nhạc cổ điển, 17 bạn thích nhạc trẻ (biết không có bạn nào thích hai loại nhạc). Chọn ngẫu nhiên hai bạn trong lớp. Tính xác suất để hai bạn được chọn đó cùng thích một loại nhạc.
Gọi \(A\) là biến cố “Hai học sinh đó cùng thích nhạc cổ điển”;
\(B\) là biến cố “Hai học sinh đó cùng thích nhạc trẻ”.
\(A \cup B\) là biến cố “Hai học sinh đó cùng thích nhạc cổ điển hoặc cùng thích nhạc trẻ”.
Khi đó \(P\left( A \right) = \frac{{C_{14}^2}}{{C_{39}^2}};P\left( B \right) = \frac{{C_{17}^2}}{{C_{39}^2}}\).
Ta có \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) = \frac{{227}}{{741}}\).
Hai bạn An và Bình cùng chơi một trận cầu lông diễn ra tối đa 5 sét đấu. Người nào thắng 3 sét trước sẽ thắng trận đấu. Biết xác suất giành chiến thắng mỗi sét của An là 0,4. Tính xác suất để An là người thắng trận thi đấu cầu lông này.
Gọi \(A\) là biến cố “An thắng trận cầu lông”.
TH1: An thắng cả ba sét đầu.
Khi đó \({P_1} = 0,{4^3} = 0,064\).
TH2: An thắng khi thi đấu 4 sét đầu
Khi đó \({P_2} = 3 \cdot {\left( {0,4} \right)^3} \cdot 0,6 = 0,1152\).
TH3: An thắng khi thi đấu 5 sét
Khi đó \({P_3} = C_4^2 \cdot 0,{4^3} \cdot 0,{6^2} = 0,13824\).
Vậy \(P\left( A \right) = {P_1} + {P_2} + {P_3} = 0,064 + 0,1152 + 0,13824 = 0,31744\).
Một lớp học 40 học sinh gồm có 15 học sinh nam giỏi toán và 8 học sinh nữ giỏi lý. Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Hãy tính xác suất để chọn được một nam sinh giỏi toán hoặc một nữ sinh giỏi lý.
\(A\) là biến cố “Chọn được một nam sinh giỏi Toán”;
\(B\) là biến cố “Chọn được một nữ sinh giỏi Lý ”;
\(A \cup B\) là biến cố “Chọn một nam sinh giỏi Toán hay một nữ sinh giỏi Lý”.
Theo đề \(P\left( A \right) = \frac{{15}}{{40}} = \frac{3}{8};P\left( B \right) = \frac{8}{{40}} = \frac{1}{5}\).
Vì \(A\) và \(B\) là hai biến cố xúng khắc nên \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) = \frac{3}{8} + \frac{1}{5} = \frac{{23}}{{40}}\).
Ở lúa, hạt gạo đục là tính trạng trội hoàn toàn so với hạt gạo trong. Cho cây lúa có hạt gạo đục thuần chủng thụ phấn với cây lúa có hạt gạo trong được \({F_1}\) toàn là hạt gạo đục. Tiếp tục cho các cây lúa \({F_1}\) thụ phấn với nhau và thu được các hạt gạo mới. Lần lượt chọn ra ngẫu nhiên 2 gạo hạt mới, tính xác suất của biến cố “Có đúng 1 hạt gạo đục trong 2 hạt gạo được lấy ra”.
Quy ước gene \(A\): hạt gạo đục và gene \(a\): hạt gạo trong.
Ở thế hệ \({F_2}\) có ba kiểu gene \(AA,Aa,aa\) xuất hiện với tỉ lệ 1 : 2 : 1.
Nên tỉ lệ hạt gạo đục so với hạt gạo trong là 3 : 1.
Gọi \({A_1}\) là biến cố “Hạt gạo lấy ra lần thứ nhất là hạt gạo đục”;
\({A_2}\) là biến cố “Hạt gạo lấy ra lần thứ hai là hạt gạo đục”.
Ta có \({A_1};{A_2}\) là hai biến cố độc lập và \(P\left( {{A_1}} \right) = P\left( {{A_2}} \right) = \frac{3}{4}\).
Xác suất của biến cố “Có đúng 1 hạt gạo đục trong 2 hạt gạo được lấy ra” là
\(P\left( {{A_1}\overline {{A_2}} \cup \overline {{A_1}} {A_2}} \right) = P\left( {{A_1}\overline {{A_2}} } \right) + P\left( {\overline {{A_1}} {A_2}} \right) = P\left( {{A_1}} \right)P\left( {\overline {{A_2}} } \right) + P\left( {\overline {{A_1}} } \right)P\left( {{A_2}} \right) = 2 \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{8}\).
Có hai hòm đựng thẻ, mỗi hòm đựng 13 thẻ đánh số từ 1 đến 13. Từ mỗi hòm rút ngẫu nhiên một thẻ. Tính xác suất để trong hai thẻ rút ra có ít nhất một thẻ đánh số 9.
Gọi \(A\) là biến cố “Trong hai thẻ rút ra có ít nhất một thẻ đánh số 9”;
\(H\) là biến cố “Thẻ rút ra từ hòm thứ nhất không đánh số 9”;
\(K\) là biến cố “Thẻ rút ra từ hòm thứ hai không đánh số 9”.
Khi đó \(\overline A = HK\). Ta có \(P\left( H \right) = \frac{{12}}{{13}};P\left( K \right) = \frac{{12}}{{13}}\).
Vì \(H\)và \(K\) là hai biến cố độc lập nên \(P\left( {\overline A } \right) = P\left( {HK} \right) = P\left( H \right) \cdot P\left( K \right) = \frac{{144}}{{169}}\).
Do đó \(P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right) = 1 - \frac{{144}}{{169}} = \frac{{25}}{{169}}\).
