Bài tập ôn tập Toán 11 Cánh diều Chương 6 có đáp án
55 câu hỏi
A. Trắc nghiệm
Dạng 1. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Cho \({\log _2}3 = a;{\log _2}5 = b\). Tính \({\log _{15}}4\) theo \(a,b\).
\({\log _{15}}4 = \frac{{a + b}}{2}\).
\({\log _{15}}4 = \frac{2}{{a - b}}\).
\({\log _{15}}4 = \frac{{a - b}}{2}\).
\({\log _{15}}4 = \frac{2}{{a + b}}\).
Ta có \({\log _{15}}4 = 2{\log _{15}}2 = \frac{2}{{{{\log }_2}15}} = \frac{2}{{{{\log }_2}3 + {{\log }_2}5}} = \frac{2}{{a + b}}\). Chọn D.
Rút gọn biểu thức \(P = {\log _3}\left( {{x^3} + x} \right) - {\log _3}\left( {{x^2} + 1} \right)\) với \(x > 0\).
\(P = {\log _3}\frac{1}{x}\).
\(P = {\log _3}x\).
\(P = 1\).
\(P = {\log _3}\left( {{x^2} + 1} \right)\).
Ta có \(P = {\log _3}\left( {{x^3} + x} \right) - {\log _3}\left( {{x^2} + 1} \right)\)\( = {\log _3}\frac{{{x^3} + x}}{{{x^2} + 1}} = {\log _3}\frac{{x\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{x^2} + 1}} = {\log _3}x\). Chọn B.
\(m \ge n\).
\(m > n\).
\(m = n\).
\(m < n\).
Vì \({e^m} < {e^n}\) nên \(m < n\). Chọn D.
\(P = - 1\).
\(P = 0\).
\(P = 2\).
\(P = 1\).
\(P = \log 200 - \log 2\)\( = \log 2 + \log {10^2} - \log 2\)\( = 2\). Chọn C.
\(x = - 4\).
\(x = - 2\).
\(x = 2\).
\(x = - \frac{3}{2}\).
Ta có \({4^x} = \frac{1}{8}\)\( \Leftrightarrow {2^{2x}} = {2^{ - 3}}\)\( \Leftrightarrow 2x = - 3 \Leftrightarrow x = - \frac{3}{2}\). Chọn D.
\({\log _a}{M^\alpha } = \alpha {\log _a}M\).
\({\log _a}\frac{M}{N} = {\log _a}M - {\log _a}N\).
\({a^{{{\log }_a}M}} = M\).
\({\log _a}\left( {MN} \right) = {\log _a}M \cdot {\log _a}N\).
\({\log _a}\left( {MN} \right) = {\log _a}M + {\log _a}N\). Chọn D.
\(P = {a^{\frac{1}{2}}}\).
\(P = {a^{\frac{3}{2}}}\).
\(P = {a^{\frac{2}{3}}}\).
\(P = {a^2}\).
\(P = a\sqrt a = a \cdot {a^{\frac{1}{2}}} = {a^{\frac{3}{2}}}\). Chọn B.
\(y = {8^x}\).
\(y = {16^x}\).
\(y = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^x}\).
\(y = {4^x}\).
Đồ thị có dạng \(y = {a^x}\) với \(a > 1\).
Đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( {1;8} \right)\). Suy ra \(a = 8\). Vậy \(y = {8^x}\). Chọn A.
Đồ thị bên dưới của hàm số nào sau đây?
\(y = {\log _5}x\).
\(y = {\log _{15}}x\).
\(y = {\log _{10}}x\).
\(y = {\log _{\frac{1}{5}}}x\).
Đồ thị hàm số có dạng \(y = {\log _a}x\) với \(a > 1\).
Đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( {5;1} \right)\) nên \(a = 5\). Vậy \(y = {\log _5}x\). Chọn A.
\(D = \left[ {\frac{5}{2}; + \infty } \right)\).
\(D = \left( { - \infty ;\frac{5}{2}} \right)\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{5}{2}} \right\}\).
\(D = \left( {\frac{5}{2}; + \infty } \right)\).
Điều kiện \(2x - 5 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{5}{2}\).
Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \left( {\frac{5}{2}; + \infty } \right)\). Chọn D.
\(y = {\left( {\frac{e}{2}} \right)^x}\).
\(y = {\log _3}x\).
\(y = {\log _{\frac{1}{4}}}x\).
\(y = {\left( {\frac{\pi }{4}} \right)^x}\).
Hàm số \(y = {\left( {\frac{e}{2}} \right)^x}\) có cơ số \(\frac{e}{2} > 1\) nên hàm số \(y = {\left( {\frac{e}{2}} \right)^x}\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\). Chọn A.
\(S = \left( {4; + \infty } \right)\).
\(S = \left( {2; + \infty } \right)\).
\(S = \left( { - \infty ;4} \right)\).
\(S = \left( { - \infty ;2} \right)\).
\({2^{2x + 1}} - {4^x} < 16\)\( \Leftrightarrow 2 \cdot {2^{2x}} - {2^{2x}} < 16\)\( \Leftrightarrow {2^{2x}} < {2^4}\)\( \Leftrightarrow 2x < 4 \Leftrightarrow x < 2\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( { - \infty ;2} \right)\). Chọn D.
Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _{0,3}}\left( {3x - 2} \right) \ge 0\) là
\(\left( {\frac{2}{3};1} \right)\).
\(\left( {\frac{2}{3}; + \infty } \right)\).
\(\left( {\frac{2}{3};1} \right]\).
\(\left( {2; + \infty } \right)\).
Điều kiện: \(3x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{2}{3}\).
\({\log _{0,3}}\left( {3x - 2} \right) \ge 0\)\( \Leftrightarrow 3x - 2 \le 1\)\( \Leftrightarrow 3x \le 3 \Leftrightarrow x \le 1\).
Kết hợp điều kiện, ta có tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( {\frac{2}{3};1} \right]\). Chọn C.
\(x = \frac{1}{3}\).
\(x = \frac{1}{9}\).
\(x = 9\).
\(x = 3\).
Điều kiện: \(x > 0\).
\({\log _{\frac{1}{3}}}x = - 2\)\[ \Leftrightarrow x = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{ - 2}} = 9\]. Chọn C.
\(7\).
\(9\).
\(8\).
\(6\).
Điều kiện: \(x > 0\).
\(2{\log _2}\left( {2x} \right) + {\log _{\frac{1}{4}}}{x^2} < 5\)\( \Leftrightarrow 2 + 2{\log _2}x - {\log _2}x < 5\)\( \Leftrightarrow {\log _2}x < 3\)\( \Leftrightarrow x < 8\).
Kết hợp điều kiện ta có \(0 < x < 8\) mà \(x \in \mathbb{Z}\) nên \(x \in \left\{ {1;2;3;4;5;6;7} \right\}\).
Vậy có 7 giá trị nguyên của bất phương trình. Chọn A.
\(14\) năm.
\(16\) năm.
\(15\) năm.
\(13\) năm.
Số tiền ông An nhận được sau \(n\) năm là \({P_n} = 100{\left( {1 + 8,4\% } \right)^n}\).
Theo đề ta có \(100{\left( {1 + 8,4\% } \right)^n} \ge 300\)\( \Leftrightarrow {\left( {1 + 8,4\% } \right)^n} \ge 3\)\( \Leftrightarrow n \ge {\log _{\left( {1 + 8,4\% } \right)}}3 \approx 14\).
Vậy sau ít nhất 14 năm ông An thu được cả vốn lẫn lãi ít nhất 300 triệu. Chọn A.
\(\ln 4a\).
\(\frac{{\ln 7}}{{\ln 3}}\).
\(\frac{{\ln 7a}}{{\ln 3a}}\).
\(\ln \frac{7}{3}\).
\(\ln \left( {7a} \right) - \ln \left( {3a} \right)\)\( = \ln \frac{{7a}}{{3a}} = \ln \frac{7}{3}\). Chọn D.
\(\log \left( {3a} \right) = \frac{1}{3}\log a\).
\(\log {a^3} = 3\log a\).
\(\log {a^3} = \frac{1}{3}\log a\).
\(\log \left( {3a} \right) = 3\log a\).
\(\log {a^3} = 3\log a\). Chọn B.
\(P = 30\).
\(P = 31\).
\(P = 13\).
\(P = 108\).
\(P = {\log _a}\left( {{b^2}{c^3}} \right)\)\( = {\log _a}{b^2} + {\log _a}{c^3}\)\( = 2{\log _a}b + 3{\log _a}c\)\( = 2 \cdot 2 + 3 \cdot 3 = 13\). Chọn C.
\(x = 2\).
\(x = 1\).
\(x = \frac{2}{3}\).
\(x = \frac{4}{3}\).
Điều kiện \(3x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{2}{3}\).
\({\log _2}\left( {3x - 2} \right) = 2\)\( \Leftrightarrow 3x - 2 = 4\)\( \Leftrightarrow x = 2\). Chọn A.
\(98\).
\(99\).
\(100\).
\[101\].
\({\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^{2x - 1}} < {\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^{x + 3}}\)\( \Leftrightarrow {\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^{1 - 2x}} < {\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^{x + 3}}\)\( \Leftrightarrow 1 - 2x < x + 3\)\( \Leftrightarrow x > - \frac{2}{3}\).
Vì \(x\) nguyên thuộc \(\left[ { - 100;100} \right]\) nên \(x \in \left\{ {0;1;2;...;100} \right\}\).
Do đó có 101 nghiệm nguyên thỏa mãn bất phương trình. Chọn D.
\(x = \frac{1}{2}\left( {3 - {{\log }_5}4} \right)\).
\(x = \frac{1}{2}\left( {3 + {{\log }_5}4} \right)\).
\(x = \frac{1}{2}\left( {3 - {{\log }_4}5} \right)\).
\(x = \frac{1}{2}\left( {3 + {{\log }_4}5} \right)\).
Ta có \({4^{2x - 3}} = 5\)\( \Leftrightarrow 2x - 3 = {\log _4}5\)\( \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\left( {{{\log }_4}5 + 3} \right)\). Chọn D.
\(x\).
\({x^{1 - \sqrt 3 }}\).
\({x^{\sqrt 3 }}\).
\({x^{2\sqrt 3 - 1}}\).
\(P = {x^{\sqrt 3 }} \cdot {\left( {\frac{1}{x}} \right)^{\sqrt 3 - 1}}\)\( = {x^{\sqrt 3 }} \cdot {x^{1 - \sqrt 3 }}\)\( = x\). Chọn A.
\(\frac{{13}}{6}\).
\(\frac{5}{6}\).
\( - \frac{5}{6}\).
\[\frac{{ - 13}}{6}\].
Ta có \(\frac{{\sqrt {2\sqrt[3]{4}} }}{{{{16}^{0,75}}}}\)\( = \frac{{\sqrt {2 \cdot {2^{\frac{2}{3}}}} }}{{{2^{4 \cdot }}^{0,75}}}\)\( = \frac{{\sqrt {{2^{\frac{5}{3}}}} }}{{{2^3}}}\)\[ = \frac{{{2^{\frac{5}{6}}}}}{{{2^3}}}\]\[ = {2^{\frac{{ - 13}}{6}}}\]. Suy ra \(m = - \frac{{13}}{6}\). Chọn D.
\({\log _a}b > c \Leftrightarrow b > c\).
\({\log _a}b > {\log _a}c \Leftrightarrow b > c\).
\({a^b} > {a^c} \Leftrightarrow b > c\).
\[{\log _a}b < {\log _a}c \Leftrightarrow b < c\].
\({\log _a}b > c \Leftrightarrow b > {a^c}\). Chọn A.
\(y = {e^{ - x}}\).
\(y = {e^x}\).
\(y = \ln x\).
\[y = \log x\].
Đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( {e;1} \right)\). Vậy \(y = \ln x\). Chọn C.
Hàm số \(y = {3^x}\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Hàm số \(y = \log x\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Hàm số \(y = \ln x\) nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\).
Hàm số \(y = {2^x}\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Hàm số \(y = \ln x\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\). Chọn C.
\(\left( { - \infty ;{{\log }_3}2} \right)\).
\(\left( {{{\log }_3}2; + \infty } \right)\).
\(\left( { - \infty ;{{\log }_2}3} \right)\).
\(\left( {{{\log }_2}3; + \infty } \right)\).
Ta có \({3^x} < 2 \Leftrightarrow x < {\log _3}2\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình \(\left( { - \infty ;{{\log }_3}2} \right)\). Chọn A.
\(P = 4\log \left( {ab} \right)\).
\(P = 2\left( {\log a + \log b} \right)\).
\(P = \log {\left( {a + b} \right)^2}\).
\[P = 2\log {\left( {a + b} \right)^2}\].
\(P = \log {a^2} + 2\log \left( {ab} \right) + \log {b^2}\)\( = 2\log a + 2\log a + 2\log b + 2\log b\)\( = 4\left( {\log a + \log b} \right) = 4\log \left( {ab} \right)\). Chọn A.
\(0 < a < b < 1\).
\(0 < b < a < 1\).
\(0 < a < 1 < b\).
\[0 < b < 1 < a\].
Hàm số \(y = {a^x}\) đồng biến nên \(a > 1\).
Hàm số \(y = {b^x}\) nghịch biến nên \(0 < b < 1\).
Do đó \[0 < b < 1 < a\]. Chọn D.
Dạng 2. Trắc nghiệm đúng sai
Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hàm số \(y = {\log _3}x\).
Tập xác định của hàm số là \(D = \left( {0; + \infty } \right)\).
Phương trình \({\log _3}x = 1\) có nghiệm \(x = 1\).
Bất phương trình \({\log _3}x < 2\) có tập nghiệm là \(\left( {0;8} \right)\).
Có đúng 80 điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) có tọa độ nguyên thuộc đồ thị hàm số \(y = {\log _3}x\) và nằm dưới đường thẳng \(y = 4\).
a) Điều kiện \(x > 0\).
Tập xác định của hàm số là \(D = \left( {0; + \infty } \right)\).
b) \({\log _3}x = 1\)\( \Leftrightarrow x = 3\).
c) \({\log _3}x < 2 \Leftrightarrow x < 9\).
Kết hợp điều kiện, ta có tập nghiệm của bất phương trình \(\left( {0;9} \right)\).
d) Ta có \({\log _3}x < 4 \Leftrightarrow x < {3^4} = 81\).
Mà \(x > 0,x \in \mathbb{Z}\) nên \(x \in \left\{ {1;2;3;...;80} \right\}\).
Để \(y \in \mathbb{Z}\) thì \(x \in \left\{ {1;3;9;27} \right\}\).
Vậy có 4 điểm M có tọa nguyên thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.
Hàm số \(y = {\log _{\frac{e}{2}}}x\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Hàm số \(y = {\log _{\frac{1}{2}}}x\) nghịch biến trên tập xác định của hàm số đó.
Hàm số \(y = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}\) là hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}\) và đường thẳng \(y = \frac{1}{4}\) là \(\left( {2;\frac{1}{4}} \right)\).
a) Hàm số \(y = {\log _{\frac{e}{2}}}x\) có cơ số \(\frac{e}{2} > 1\) nên hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).
b) Hàm số \(y = {\log _{\frac{1}{2}}}x\) có cơ số \(0 < \frac{1}{2} < 1\) nên hàm số nghịch biến trên tập xác định của hàm số đó.
c) Hàm số \(y = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}\) có cơ số \(0 < \frac{1}{2} < 1\) nên hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).
d) Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình\({\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} = \frac{1}{4} \Rightarrow x = 2\).
Vậy tọa độ giao điểm là \(\left( {2;\frac{1}{4}} \right)\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Ta có \(M = {a^{\frac{2}{3}}}\).
\({\log _a}{M^2} = 2\).
\(M > 1\) khi \(a > 1\).
\({M^{{{\log }_a}4}} = 8\).
a) \(M = a\sqrt a \)\(M = a \cdot {a^{\frac{1}{2}}} = {a^{\frac{3}{2}}}\).
b) \({\log _a}{\left( {a\sqrt a } \right)^2}\)\( = {\log _a}{a^3} = 3\).
c) Ta có \(M > 1\)\( \Leftrightarrow {a^{\frac{3}{2}}} > 1\)\( \Leftrightarrow a > 1\).
d) \({M^{{{\log }_a}4}} = {\left( {{a^{\frac{3}{2}}}} \right)^{{{\log }_a}4}} = {4^{\frac{3}{2}}} = 8\).
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Tập xác định \(D = \left( {0; + \infty } \right)\).
Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Đồ thị hàm số \(\left( C \right)\) đi qua điểm \(\left( {4;2} \right)\).
Tổng \(T = f\left( {\frac{1}{2}} \right) + f\left( {\frac{2}{3}} \right) + f\left( {\frac{3}{4}} \right) + ... + f\left( {\frac{{63}}{{64}}} \right) = 6\).
a) Tập xác định \(D = \left( {0; + \infty } \right)\).
b) Hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
c) Thay \(x = 4\) vào hàm số ta được \(y = {\log _2}4 = 2\).
Vậy đồ thị hàm số \(\left( C \right)\) đi qua điểm \(\left( {4;2} \right)\).
d) \(T = f\left( {\frac{1}{2}} \right) + f\left( {\frac{2}{3}} \right) + f\left( {\frac{3}{4}} \right) + ... + f\left( {\frac{{63}}{{64}}} \right)\)\( = {\log _2}\frac{1}{2} + {\log _2}\frac{2}{3} + {\log _2}\frac{3}{4} + ... + {\log _2}\frac{{63}}{{64}}\)
\( = {\log _2}\left( {\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot ... \cdot \frac{{63}}{{64}}} \right)\)\( = {\log _2}\frac{1}{{64}} = - 6\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Đồ thị hàm số đã cho cắt đường thẳng \(y = - x + 1\) tại điểm có hoành độ dương.
Hàm số cho bởi công thức \(y = {3^x}\).
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0; 1).\(y = - x + 1\)
Đồ thị hàm số đã cho cắt đường thẳng \(y = \frac{1}{3}\) tại điểm có hoành độ không âm.
a) Đường thẳng đi qua điểm \(\left( {0;1} \right)\) và \(\left( {1;0} \right)\).
Ta có đồ thị như sau
Dựa vào đồ thị hàm số ta có đường thẳng \(y = - x + 1\) cắt đồ thị hàm số \(y = {a^x}\) tại điểm \(\left( {0;1} \right)\) có hoành độ không âm.
b) Đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( {1;3} \right)\) nên \(a = 3\). Vậy \(y = {3^x}\).
c) Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
d)
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đồ thị hàm số đã cho cắt đường thẳng \(y = \frac{1}{3}\) tại điểm có hoành độ âm.
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
Cho bất phương trình \({\log _2}\left( {3 - x} \right) \ge 1\).
Điều kiện xác định của bất phương trình là \(x > 3\).
Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _2}\left( {3 - x} \right) \ge 1\) là \(S = \left( { - \infty ;1} \right]\).
Số giá trị nguyên dương thuộc tập nghiệm của bất phương trình là 1.
\(x = 2\) thuộc tập nghiệm của bất phương trình đã cho.
a) Điều kiện \(3 - x > 0 \Leftrightarrow x < 3\).
b) \({\log _2}\left( {3 - x} \right) \ge 1\)\( \Leftrightarrow 3 - x \ge 2\)\( \Leftrightarrow x \le 1\).
Kết hợp điều kiện, ta có tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( { - \infty ;1} \right]\).
c) Vì \(x\) nguyên dương nên \(x = 1\).
Vậy số giá trị nguyên dương thuộc tập nghiệm của bất phương trình là 1.
d) \(x = 2\) không thuộc tập nghiệm của bất phương trình đã cho.
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
\(4{x^2} + 3{y^2} = 84\).
\(7x \cdot 2y = 80\).
\(5x + 3y = 31\).
\(x = 3;y = 4\).
\(x = {\log _2}8 = {\log _2}{2^3} = 3;y = {\log _3}81 = {\log _3}{3^4} = 4\).
a) \(4{x^2} + 3{y^2} = 4 \cdot {3^2} + 3 \cdot {4^2} = 84\).
b) \(7x \cdot 2y = 7 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 4 = 168\).
c) \(5x + 3y = 5 \cdot 3 + 3 \cdot 4 = 27\).
d) \(x = 3;y = 4\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
\({\log _2}10 = \frac{1}{a} + 1\).
\({\log _2}\frac{1}{5} = - a\).
\({4^a} = 25\).
\({a^2} = 5\).
a) \({\log _2}10 = {\log _2}\left( {2 \cdot 5} \right) = {\log _2}2 + {\log _2}5 = 1 + a\).
b) \({\log _2}\frac{1}{5} = {\log _2}{5^{ - 1}} = - {\log _2}5 = - a\).
c) \({4^a} = {4^{{{\log }_2}5}} = {2^{2{{\log }_2}5}} = {5^2} = 25\).
d) \({a^2} = {\left( {{{\log }_2}5} \right)^2}\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Điều kiện xác định của phương trình là \(x > 0\).
Tổng bình phương các nghiệm bằng 10.
Phương trình có 2 nghiệm.
Tổng các nghiệm của phương trình bằng 1.
a) Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3 > 0\\{x^2} + 4x > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - \frac{3}{2}\\\left[ \begin{array}{l}x < - 4\\x > 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow x > 0\).
b) \({\log _3}\left( {2x + 3} \right) = {\log _3}\left( {{x^2} + 4x} \right)\)\( \Leftrightarrow 2x + 3 = {x^2} + 4x\)\( \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 3 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 3\end{array} \right.\).
Vì \(x > 0\) nên \(x = 1\).
Tổng bình phương các nghiệm là 1.
c) Phương trình có 1 nghiệm.
d) Tổng các nghiệm của phương trình bằng 1.
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Tập xác định của hàm số \(D = \left[ { - \frac{3}{2}; + \infty } \right)\).
Nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = 1\) là \(x = 0\).
Tập nghiệm của bất phương trình \(f\left( x \right) < 2\) có đúng 3 số nguyên.
Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(\left[ {0;3} \right]\) là 3
a) Điều kiện \(2x + 3 > 0 \Leftrightarrow x > - \frac{3}{2}\).
Tập xác định của hàm số \(D = \left( { - \frac{3}{2}; + \infty } \right)\).
b) \(f\left( x \right) = 1\) \( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {2x + 3} \right) = 1\)\( \Leftrightarrow 2x + 3 = 3\)\( \Leftrightarrow x = 0\).
c) Ta có \(f\left( x \right) < 2 \Leftrightarrow {\log _3}\left( {2x + 3} \right) < 2\)\( \Leftrightarrow 2x + 3 < 9\)\( \Leftrightarrow x < 3\).
Kết hợp với điều kiện ta có \(S = \left( { - \frac{3}{2};3} \right)\), mà \(x \in \mathbb{Z}\) nên \(x \in \left\{ { - 1;0;1;2} \right\}\).
Vậy có 4 giá trị nguyên của \(x\) để \(f\left( x \right) < 2\).
d) Vì hàm số \(y = f\left( x \right) = {\log _3}\left( {2x + 3} \right)\) đồng biến trên \(\left( { - \frac{3}{2}; + \infty } \right)\) nên \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = 1;\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( 3 \right) = 2\).
Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(\left[ {0;3} \right]\) là 3.
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Dạng 3. Trắc nghiệm trả lời ngắn
Cho \(a,b > 0\) và \(a,b \ne 1\). Đặt \({\log _a}b = 50\). Tính giá trị biểu thức \(P = {\log _{{a^2}}}b - {\log _{\sqrt b }}{a^3}\) (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Ta có \(P = \frac{1}{2}{\log _a}b - 2{\log _b}{a^3}\)\( = \frac{1}{2}{\log _a}b - 6{\log _b}a = \frac{1}{2} \cdot 50 - \frac{6}{{50}} = \frac{{622}}{{25}} \approx 24,9\).
Trả lời: 24,9.
\(P = {27^{\frac{2}{3}}} + {81^{ - 0,75}} - {25^{0,5}} = {3^2} + {3^{ - 3}} - 5 = 9 + \frac{1}{{27}} - 5 \approx 4,04\).
Trả lời: 4,04.
\(P = {\log _{\frac{{{a^3}}}{b}}}x\)\( = \frac{1}{{{{\log }_x}\frac{{{a^3}}}{b}}}\)\( = \frac{1}{{{{\log }_x}{a^3} - {{\log }_x}b}}\)\( = \frac{1}{{3{{\log }_x}a - {{\log }_x}b}}\)\( = \frac{1}{{\frac{3}{{{{\log }_a}x}} - \frac{1}{{{{\log }_b}x}}}}\)\( = \frac{1}{{\frac{3}{2} - \frac{1}{3}}} = \frac{6}{7} \approx 0,86\).
Trả lời: 0,86.
Gọi \({M_1},{M_2}\) lần lượt là cường độ của trận động đất ở Michigan và ở California.
Trận động đất ở Michigan có cường độ là 6 độ Richter nên: \({M_1} = \log A - \log {A_0} \Leftrightarrow 6 = \log A - \log {A_0}\).
Trận động đất ở California có biên độ là 2A, khi đó cường độ của trận động đất ở California là:
\({M_2} = \log 2A - \log {A_0} = \log 2 + \log A - \log {A_0} = \log 2 + 6 \approx 6,3\) (độ Richter).
Trả lời: 6,3.
Theo đề ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}100 = C \cdot {e^{k \cdot 2}}\\300 = C \cdot {e^{k \cdot 4}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}C = \frac{{100}}{3}\\k = \frac{{\ln 3}}{2}\end{array} \right.\). Suy ra \(y = \frac{{100}}{3} \cdot {e^{\frac{{\ln 3}}{2}t}}\).
Vậy sau \(t = 5\), có khoảng \[y = \frac{{100}}{3} \cdot {e^{\frac{{\ln 3}}{2} \cdot 5}} \approx 520\] (con).
Trả lời: 520.
\({2^{2x + 1}} - {2^{x + 3}} - 2m = 0\)\( \Leftrightarrow 2 \cdot {2^{2x}} - {2^3} \cdot {2^x} - 2m = 0\)\( \Leftrightarrow 2 \cdot {2^{2x}} - 8 \cdot {2^x} - 2m = 0\).
Đặt \(t = {2^x},t > 0\). Khi đó phương trình trở thành \(2{t^2} - 8t - 2m = 0\) (*).
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = 16 + 4m > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > - 4\\ - m > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > - 4\\m < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow - 4 < m < 0\).
Suy ra \(a = - 4;b = 0\). Do đó \(a + b = - 4\).
Trả lời: −4.\({\log _6}45 = \frac{{{{\log }_3}45}}{{{{\log }_3}6}}\)\( = \frac{{{{\log }_3}\left( {9 \cdot 5} \right)}}{{{{\log }_3}\left( {2 \cdot 3} \right)}}\)\( = \frac{{2 + {{\log }_3}5}}{{1 + {{\log }_3}2}}\)\( = \frac{{2 + \frac{1}{{{{\log }_5}3}}}}{{1 + \frac{1}{{{{\log }_2}3}}}}\)\( = \frac{{2 + \frac{1}{b}}}{{1 + \frac{1}{a}}}\)\( = \frac{{a\left( {2b + 1} \right)}}{{b\left( {1 + a} \right)}}\).
Suy ra \(m = 1;n = 2;p = 1\). Do đó \(m + n + p = 4\).
Trả lời: 4.
Điều kiện xác định \(\left\{ \begin{array}{l}y > 0\\x < 24\end{array} \right.\).
Đặt \(f\left( x \right) = {\log _2}x\). Khi đó \({\log _2}y = f\left( y \right),{\log _2}\left( {24 - x} \right) = f\left( {24 - x} \right)\).
Do cơ số 2 > 1 nên hàm số \(f\left( x \right) = {\log _2}x\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Suy ra \(f\left( y \right) \le f\left( {24 - x} \right) \Leftrightarrow y \le 24 - x\).
Theo giả thiết thì \(y > 0,y \in \mathbb{Z} \Rightarrow y \ge 1 \Rightarrow 24 - x \ge 1 \Rightarrow x \le 23\).
Kết hợp \(x > 0,x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \left\{ {1;2;3;...;22;23} \right\}\).
Ta có bảng sau:
\(x\) | 1 | 2 | 3 | … | 21 | 22 | 23 |
\(1 \le y \le 24 - x\) | \(1 \le y \le 23\) | \(1 \le y \le 22\) | \(1 \le y \le 21\) | … | \(1 \le y \le 2\) | \(1 \le y \le 2\) | \(1 \le y \le 1\) |
Số cặp \(\left( {x;y} \right)\) | 23 | 22 | 21 | … | 3 | 2 | 1 |
Như vậy có \(1 + 2 + 3 + ... + 22 + 23 = \frac{{23 \cdot 24}}{2} = 276\) cặp số nguyên thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Trả lời: 276.
Ta có \({4^x} + {4^{ - x}} = 7\)\( \Leftrightarrow {2^{2x}} + {2^{ - 2x}} = 7\)\( \Leftrightarrow {\left( {{2^x}} \right)^2} + {\left( {{2^{ - x}}} \right)^2} = 7\)\( \Leftrightarrow {\left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)^2} - 2 = 7\)\( \Leftrightarrow {\left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)^2} = 9\)
\( \Leftrightarrow {2^x} + {2^{ - x}} = 3\).
Vậy \(P = \frac{{5 + {2^x} + {2^{ - x}}}}{{8 - 4 \cdot {2^x} - 4 \cdot {2^{ - x}}}}\)\( = \frac{{5 + 3}}{{8 - 4 \cdot 3}} = - 2\).
Trả lời: −2.
Ta có \({\log _{{x^2} + {y^2} + 2}}\left( {2x - 4y + 3} \right) \ge 1\)\( \Leftrightarrow 2x - 4y + 3 \ge {x^2} + {y^2} + 2\)\( \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} \le 6\) là hình tròn (C) tâm \(I\left( {1; - 2} \right)\), bán kính \(R = \sqrt 6 \).
Ta lại có \(P = 3x + 4y \Rightarrow 3x + 4y - P = 0\) là phương trình đường thẳng d.
Để tồn tại cặp số \(x,y\) sao cho \(P\) đạt giá trị lớn nhất thì đường thẳng \(d\) và đường tròn \(\left( C \right)\) phải có điểm chung.
Khi đó \(d\left( {I,\left( d \right)} \right) \le R \Leftrightarrow \frac{{\left| {3 - 8 - P} \right|}}{5} \le \sqrt 6 \)\( \Leftrightarrow \left| {P + 5} \right| \le 5\sqrt 6 \)\( \Leftrightarrow - 5\sqrt 6 \le P + 5 \le 5\sqrt 6 \)
\( \Leftrightarrow - 5\sqrt 6 - 5 \le P \le 5\sqrt 6 - 5\).
Do đó \({P_{\max }} = 5\sqrt 6 - 5 \Rightarrow M = 6;m = - 5\).
Vậy \(M + m = 6 + \left( { - 5} \right) = 1\).
Trả lời: 1.
B. Tự luận
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{2}{\log _2}\left( {\frac{{2x}}{{1 - x}}} \right)\). Tính tổng
\(S = f\left( {\frac{1}{{2025}}} \right) + f\left( {\frac{2}{{2025}}} \right) + f\left( {\frac{3}{{2025}}} \right) + ... + f\left( {\frac{{2023}}{{2025}}} \right) + f\left( {\frac{{2024}}{{2025}}} \right)\).
Ta có \(f\left( x \right) + f\left( {1 - x} \right) = \frac{1}{2}{\log _2}\left( {\frac{{2x}}{{1 - x}}} \right) + \frac{1}{2}{\log _2}\left( {\frac{{2\left( {1 - x} \right)}}{{1 - \left( {1 - x} \right)}}} \right)\)\( = \frac{1}{2}{\log _2}\frac{{2x}}{{1 - x}} + \frac{1}{2}{\log _2}\frac{{2\left( {1 - x} \right)}}{x}\)
\( = \frac{1}{2}{\log _2}\left[ {\frac{{2x}}{{1 - x}} \cdot \frac{{2\left( {1 - x} \right)}}{x}} \right]\)\( = \frac{1}{2}{\log _2}4 = 1\).
Ta có \(S = \left[ {f\left( {\frac{1}{{2025}}} \right) + f\left( {\frac{{2024}}{{2025}}} \right)} \right] + \left[ {f\left( {\frac{2}{{2025}}} \right) + f\left( {\frac{{2023}}{{2025}}} \right)} \right] + ... + \left[ {f\left( {\frac{{1012}}{{2025}}} \right) + f\left( {\frac{{1013}}{{2025}}} \right)} \right] = 1012\).
Thực hiện một mẻ nuôi cấy vi khuẩn với 1000 vi khuẩn ban đầu, nhà sinh học phát hiện ra số lượng vi khuẩn tăng thêm 25% sau hai ngày.
a) Công thức \(P\left( t \right) = {P_0} \cdot {a^t}\) cho phép tính số lượng vi khuẩn mẻ nuôi cấy sau \(t\) ngày kể từ thời điểm ban đầu. Xác định các tham số \({P_0}\) và \(a\left( {a > 0} \right)\) (làm tròn đến hàng phần trăm).
Lấy kết quả đã làm tròn ở ý a để làm ý b và c.
b) Sau 5 ngày thì số lượng vi khuẩn bằng bao nhiêu (làm tròn đến hàng phần trăm).
c) Sau bao nhiêu ngày thì số lượng vi khuẩn bằng gấp đôi số lượng ban đầu (làm tròn kết quả đến hàng phần chục)?
a) Ban đầu có 1000 vi khuẩn nên \({P_0} = 1000\).
Sau hai ngày, số lượng vi khuẩn là \(P = 125\% \cdot 1000 = 1250\).
Ta có \(P\left( 2 \right) = 1000 \cdot {a^2} \Leftrightarrow 1250 = 1000 \cdot {a^2} \Leftrightarrow {a^2} = \frac{5}{4} \Rightarrow a \approx 1,12\).
b) Số lượng vi khuẩn sau 5 ngày là \(P\left( 5 \right) = 1000 \cdot {\left( {1,12} \right)^5} \approx 1800\).
c) Với \(P\left( t \right) = 2{P_0} \Leftrightarrow 2{P_0} = {P_0} \cdot {1,12^t} \Leftrightarrow {1,12^t} = 2 \Leftrightarrow t = {\log _{1,12}}2 \approx 6,1\) ngày.
Vậy sau 6,1 ngày thì số lượng vi khuẩn bằng gấp đôi số lượng ban đầu.
Theo đề ta có \(8850 = 15500\left( {5 - \log p} \right)\)\( \Leftrightarrow 5 - \log p = \frac{{177}}{{310}}\)\( \Leftrightarrow \log p = \frac{{1373}}{{310}}\)\( \Leftrightarrow p \approx 26855\)(pascan).
Giả sử giá trị còn lại (tính theo triệu đồng) của một chiếc ô tô sau \(t\) năm sử dụng được mô hình hóa bằng công thức \(V\left( t \right) = A \cdot {\left( {0,905} \right)^t}\), trong đó \(A\) là giá xe (tính theo triệu đồng) lúc mới mua. Hỏi nếu theo mô hình này, sau bao nhiêu năm sử dụng thì giá trị của chiếc xe đó còn lại không quá 300 triệu đồng? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị). Biết \(A = 780\) triệu đồng.
Ta có \(V\left( t \right) \le 300 \Leftrightarrow 780 \cdot {\left( {0,905} \right)^t} \le 300\)\( \Leftrightarrow {\left( {0,905} \right)^t} \le \frac{5}{{13}}\)\( \Leftrightarrow t \ge {\log _{0,905}}\frac{5}{{13}} \approx 9,6\) (do 0 < 0,905 < 1).
Vậy sau khoảng 10 năm sử dụng, giá trị chiếc xe đó còn lại không quá 300 triệu đồng.
Giải các phương trình
a) \({4^{2x + 2}} = 8\); b) \({\log _2}\left( {3x + 1} \right) + {\log _2}\left( {x - 1} \right) = 2\).
a) \({4^{2x + 2}} = 8\)\( \Leftrightarrow {2^{4x + 4}} = {2^3}\)\( \Leftrightarrow 4x + 4 = 3\)\( \Leftrightarrow x = - \frac{1}{4}\).
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = - \frac{1}{4}\).
b) Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 1 > 0\\x - 1 > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - \frac{1}{3}\\x > 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow x > 1\).
\({\log _2}\left( {3x + 1} \right) + {\log _2}\left( {x - 1} \right) = 2\)\( \Leftrightarrow {\log _2}\left[ {\left( {3x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)} \right] = 2\)\( \Leftrightarrow \left( {3x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) = 4\)\( \Leftrightarrow 3{x^2} - 2x - 5 = 0\)
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = \frac{5}{3}\end{array} \right.\]. Vì \(x > 1\) nên \(x = \frac{5}{3}\).
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{5}{3}\).
