Đồ thị có dạng \(y = {a^x}\) với \(a > 1\).

Đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( {1;8} \right)\). Suy ra \(a = 8\). Vậy \(y = {8^x}\). Chọn A.

Đồ thị hàm số có dạng \(y = {\log _a}x\) với \(a > 1\).

Đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( {5;1} \right)\) nên \(a = 5\). Vậy \(y = {\log _5}x\). Chọn A.

Điều kiện \(2x - 5 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{5}{2}\).

Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \left( {\frac{5}{2}; + \infty } \right)\). Chọn D.

Hàm số \(y = {\left( {\frac{e}{2}} \right)^x}\) có cơ số \(\frac{e}{2} > 1\) nên hàm số \(y = {\left( {\frac{e}{2}} \right)^x}\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\). Chọn A.

\({2^{2x + 1}} - {4^x} < 16\)\( \Leftrightarrow 2 \cdot {2^{2x}} - {2^{2x}} < 16\)\( \Leftrightarrow {2^{2x}} < {2^4}\)\( \Leftrightarrow 2x < 4 \Leftrightarrow x < 2\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( { - \infty ;2} \right)\). Chọn D.

Điều kiện: \(3x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{2}{3}\).

\({\log _{0,3}}\left( {3x - 2} \right) \ge 0\)\( \Leftrightarrow 3x - 2 \le 1\)\( \Leftrightarrow 3x \le 3 \Leftrightarrow x \le 1\).

Kết hợp điều kiện, ta có tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( {\frac{2}{3};1} \right]\). Chọn C.

Điều kiện: \(x > 0\).

\({\log _{\frac{1}{3}}}x =  - 2\)\[ \Leftrightarrow x = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{ - 2}} = 9\]. Chọn C.

Điều kiện: \(x > 0\).

\(2{\log _2}\left( {2x} \right) + {\log _{\frac{1}{4}}}{x^2} < 5\)\( \Leftrightarrow 2 + 2{\log _2}x - {\log _2}x < 5\)\( \Leftrightarrow {\log _2}x < 3\)\( \Leftrightarrow x < 8\).

Kết hợp điều kiện ta có \(0 < x < 8\) mà \(x \in \mathbb{Z}\) nên \(x \in \left\{ {1;2;3;4;5;6;7} \right\}\).

Vậy có 7 giá trị nguyên của bất phương trình. Chọn A.

Số tiền ông An nhận được sau \(n\) năm là \({P_n} = 100{\left( {1 + 8,4\% } \right)^n}\).

Theo đề ta có \(100{\left( {1 + 8,4\% } \right)^n} \ge 300\)\( \Leftrightarrow {\left( {1 + 8,4\% } \right)^n} \ge 3\)\( \Leftrightarrow n \ge {\log _{\left( {1 + 8,4\% } \right)}}3 \approx 14\).

Vậy sau ít nhất 14 năm ông An thu được cả vốn lẫn lãi ít nhất 300 triệu. Chọn A.

\(\ln \left( {7a} \right) - \ln \left( {3a} \right)\)\( = \ln \frac{{7a}}{{3a}} = \ln \frac{7}{3}\). Chọn D.

\(\log {a^3} = 3\log a\). Chọn B.

\(P = {\log _a}\left( {{b^2}{c^3}} \right)\)\( = {\log _a}{b^2} + {\log _a}{c^3}\)\( = 2{\log _a}b + 3{\log _a}c\)\( = 2 \cdot 2 + 3 \cdot 3 = 13\). Chọn C.

Điều kiện \(3x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{2}{3}\).

\({\log _2}\left( {3x - 2} \right) = 2\)\( \Leftrightarrow 3x - 2 = 4\)\( \Leftrightarrow x = 2\). Chọn A.

\({\left( {\sqrt 2  - 1} \right)^{2x - 1}} < {\left( {\sqrt 2  + 1} \right)^{x + 3}}\)\( \Leftrightarrow {\left( {\sqrt 2  + 1} \right)^{1 - 2x}} < {\left( {\sqrt 2  + 1} \right)^{x + 3}}\)\( \Leftrightarrow 1 - 2x < x + 3\)\( \Leftrightarrow x >  - \frac{2}{3}\).

Vì \(x\) nguyên thuộc \(\left[ { - 100;100} \right]\) nên \(x \in \left\{ {0;1;2;...;100} \right\}\).

Do đó có 101 nghiệm nguyên thỏa mãn bất phương trình. Chọn D.

Ta có \({4^{2x - 3}} = 5\)\( \Leftrightarrow 2x - 3 = {\log _4}5\)\( \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\left( {{{\log }_4}5 + 3} \right)\). Chọn D.

\(P = {x^{\sqrt 3 }} \cdot {\left( {\frac{1}{x}} \right)^{\sqrt 3  - 1}}\)\( = {x^{\sqrt 3 }} \cdot {x^{1 - \sqrt 3 }}\)\( = x\). Chọn A.

Ta có \(\frac{{\sqrt {2\sqrt[3]{4}} }}{{{{16}^{0,75}}}}\)\( = \frac{{\sqrt {2 \cdot {2^{\frac{2}{3}}}} }}{{{2^{4 \cdot }}^{0,75}}}\)\( = \frac{{\sqrt {{2^{\frac{5}{3}}}} }}{{{2^3}}}\)\[ = \frac{{{2^{\frac{5}{6}}}}}{{{2^3}}}\]\[ = {2^{\frac{{ - 13}}{6}}}\]. Suy ra \(m =  - \frac{{13}}{6}\). Chọn D.

\({\log _a}b > c \Leftrightarrow b > {a^c}\). Chọn A.

Đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( {e;1} \right)\). Vậy \(y = \ln x\). Chọn C.

Hàm số \(y = \ln x\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\). Chọn C.

Ta có \({3^x} < 2 \Leftrightarrow x < {\log _3}2\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình \(\left( { - \infty ;{{\log }_3}2} \right)\). Chọn A.

\(P = \log {a^2} + 2\log \left( {ab} \right) + \log {b^2}\)\( = 2\log a + 2\log a + 2\log b + 2\log b\)\( = 4\left( {\log a + \log b} \right) = 4\log \left( {ab} \right)\). Chọn A.

Hàm số \(y = {a^x}\) đồng biến nên \(a > 1\).

Hàm số \(y = {b^x}\) nghịch biến nên \(0 < b < 1\).

Do đó \[0 < b < 1 < a\]. Chọn D.

a) Điều kiện \(x > 0\).

Tập xác định của hàm số là \(D = \left( {0; + \infty } \right)\).

b) \({\log _3}x = 1\)\( \Leftrightarrow x = 3\).

c) \({\log _3}x < 2 \Leftrightarrow x < 9\).

Kết hợp điều kiện, ta có tập nghiệm của bất phương trình \(\left( {0;9} \right)\).

d) Ta có \({\log _3}x < 4 \Leftrightarrow x < {3^4} = 81\).

Mà \(x > 0,x \in \mathbb{Z}\) nên \(x \in \left\{ {1;2;3;...;80} \right\}\).

Để \(y \in \mathbb{Z}\) thì \(x \in \left\{ {1;3;9;27} \right\}\).

Vậy có 4 điểm M có tọa nguyên thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Đáp án: a) Đúng;      b) Sai;      c) Sai;       d) Sai.

a) Hàm số \(y = {\log _{\frac{e}{2}}}x\) có cơ số \(\frac{e}{2} > 1\) nên hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).

b) Hàm số \(y = {\log _{\frac{1}{2}}}x\) có cơ số \(0 < \frac{1}{2} < 1\) nên hàm số nghịch biến trên tập xác định của hàm số đó.

c) Hàm số \(y = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}\) có cơ số \(0 < \frac{1}{2} < 1\) nên hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).

d) Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình\({\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} = \frac{1}{4} \Rightarrow x = 2\).

Vậy tọa độ giao điểm là \(\left( {2;\frac{1}{4}} \right)\).

Đáp án: a) Đúng;      b) Đúng;      c) Sai;       d) Đúng.

a) \(M = a\sqrt a \)\(M = a \cdot {a^{\frac{1}{2}}} = {a^{\frac{3}{2}}}\).

b) \({\log _a}{\left( {a\sqrt a } \right)^2}\)\( = {\log _a}{a^3} = 3\).

c) Ta có \(M > 1\)\( \Leftrightarrow {a^{\frac{3}{2}}} > 1\)\( \Leftrightarrow a > 1\).

d) \({M^{{{\log }_a}4}} = {\left( {{a^{\frac{3}{2}}}} \right)^{{{\log }_a}4}} = {4^{\frac{3}{2}}} = 8\).

Đáp án: a) Sai;      b) Sai;      c) Đúng;       d) Đúng.

a) Tập xác định \(D = \left( {0; + \infty } \right)\).

b) Hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

c) Thay \(x = 4\) vào hàm số ta được \(y = {\log _2}4 = 2\).

Vậy đồ thị hàm số \(\left( C \right)\) đi qua điểm \(\left( {4;2} \right)\).

d) \(T = f\left( {\frac{1}{2}} \right) + f\left( {\frac{2}{3}} \right) + f\left( {\frac{3}{4}} \right) + ... + f\left( {\frac{{63}}{{64}}} \right)\)\( = {\log _2}\frac{1}{2} + {\log _2}\frac{2}{3} + {\log _2}\frac{3}{4} + ... + {\log _2}\frac{{63}}{{64}}\)

\( = {\log _2}\left( {\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot ... \cdot \frac{{63}}{{64}}} \right)\)\( = {\log _2}\frac{1}{{64}} =  - 6\).

Đáp án: a) Đúng;      b) Sai;      c) Đúng;       d) Sai.

a) Đường thẳng  đi qua điểm \(\left( {0;1} \right)\) và \(\left( {1;0} \right)\).

Ta có đồ thị như sau

Dựa vào đồ thị hàm số ta có đường thẳng \(y =  - x + 1\) cắt đồ thị hàm số \(y = {a^x}\) tại điểm \(\left( {0;1} \right)\) có hoành độ không âm.

b) Đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( {1;3} \right)\) nên \(a = 3\). Vậy \(y = {3^x}\).

c) Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

d)

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đồ thị hàm số đã cho cắt đường thẳng \(y = \frac{1}{3}\) tại điểm có hoành độ âm.

Đáp án: a) Sai;      b) Đúng;      c) Sai;       d) Sai.

a) Điều kiện \(3 - x > 0 \Leftrightarrow x < 3\).

b) \({\log _2}\left( {3 - x} \right) \ge 1\)\( \Leftrightarrow 3 - x \ge 2\)\( \Leftrightarrow x \le 1\).

Kết hợp điều kiện, ta có tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( { - \infty ;1} \right]\).

c) Vì \(x\) nguyên dương nên \(x = 1\).

Vậy số giá trị nguyên dương thuộc tập nghiệm của bất phương trình là 1.

d) \(x = 2\) không thuộc tập nghiệm của bất phương trình đã cho.

Đáp án: a) Sai;      b) Đúng;      c) Đúng;       d) Sai.

\(x = {\log _2}8 = {\log _2}{2^3} = 3;y = {\log _3}81 = {\log _3}{3^4} = 4\).

a) \(4{x^2} + 3{y^2} = 4 \cdot {3^2} + 3 \cdot {4^2} = 84\).

b) \(7x \cdot 2y = 7 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 4 = 168\).

c) \(5x + 3y = 5 \cdot 3 + 3 \cdot 4 = 27\).

d) \(x = 3;y = 4\).

Đáp án: a) Đúng;      b) Sai;      c) Sai;       d) Đúng.

a) \({\log _2}10 = {\log _2}\left( {2 \cdot 5} \right) = {\log _2}2 + {\log _2}5 = 1 + a\).

b) \({\log _2}\frac{1}{5} = {\log _2}{5^{ - 1}} =  - {\log _2}5 =  - a\).

c) \({4^a} = {4^{{{\log }_2}5}} = {2^{2{{\log }_2}5}} = {5^2} = 25\).

d) \({a^2} = {\left( {{{\log }_2}5} \right)^2}\).

Đáp án: a) Sai;      b) Đúng;      c) Đúng;       d) Sai.

a) Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3 > 0\\{x^2} + 4x > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x >  - \frac{3}{2}\\\left[ \begin{array}{l}x <  - 4\\x > 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow x > 0\).

b) \({\log _3}\left( {2x + 3} \right) = {\log _3}\left( {{x^2} + 4x} \right)\)\( \Leftrightarrow 2x + 3 = {x^2} + 4x\)\( \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 3 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - 3\end{array} \right.\).

Vì \(x > 0\) nên \(x = 1\).

Tổng bình phương các nghiệm là 1.

c) Phương trình có 1 nghiệm.

d) Tổng các nghiệm của phương trình bằng 1.

Đáp án: a) Đúng;      b) Sai;      c) Sai;       d) Đúng.

a) Điều kiện \(2x + 3 > 0 \Leftrightarrow x >  - \frac{3}{2}\).

Tập xác định của hàm số \(D = \left( { - \frac{3}{2}; + \infty } \right)\).

b) \(f\left( x \right) = 1\) \( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {2x + 3} \right) = 1\)\( \Leftrightarrow 2x + 3 = 3\)\( \Leftrightarrow x = 0\).

c) Ta có \(f\left( x \right) < 2 \Leftrightarrow {\log _3}\left( {2x + 3} \right) < 2\)\( \Leftrightarrow 2x + 3 < 9\)\( \Leftrightarrow x < 3\).

Kết hợp với điều kiện ta có \(S = \left( { - \frac{3}{2};3} \right)\), mà \(x \in \mathbb{Z}\) nên \(x \in \left\{ { - 1;0;1;2} \right\}\).

Vậy có 4 giá trị nguyên của \(x\) để \(f\left( x \right) < 2\).

d) Vì hàm số \(y = f\left( x \right) = {\log _3}\left( {2x + 3} \right)\) đồng biến trên \(\left( { - \frac{3}{2}; + \infty } \right)\) nên \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = 1;\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( 3 \right) = 2\).

Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(\left[ {0;3} \right]\) là 3.

Đáp án: a) Sai;      b) Đúng;      c) Sai;       d) Đúng.

Ta có \(P = \frac{1}{2}{\log _a}b - 2{\log _b}{a^3}\)\( = \frac{1}{2}{\log _a}b - 6{\log _b}a = \frac{1}{2} \cdot 50 - \frac{6}{{50}} = \frac{{622}}{{25}} \approx 24,9\).

Trả lời: 24,9.

\(P = {27^{\frac{2}{3}}} + {81^{ - 0,75}} - {25^{0,5}} = {3^2} + {3^{ - 3}} - 5 = 9 + \frac{1}{{27}} - 5 \approx 4,04\).

Trả lời: 4,04.

\(P = {\log _{\frac{{{a^3}}}{b}}}x\)\( = \frac{1}{{{{\log }_x}\frac{{{a^3}}}{b}}}\)\( = \frac{1}{{{{\log }_x}{a^3} - {{\log }_x}b}}\)\( = \frac{1}{{3{{\log }_x}a - {{\log }_x}b}}\)\( = \frac{1}{{\frac{3}{{{{\log }_a}x}} - \frac{1}{{{{\log }_b}x}}}}\)\( = \frac{1}{{\frac{3}{2} - \frac{1}{3}}} = \frac{6}{7} \approx 0,86\).

Trả lời: 0,86.

Gọi \({M_1},{M_2}\) lần lượt là cường độ của trận động đất ở Michigan và ở California.

Trận động đất ở Michigan có cường độ là 6 độ Richter nên: \({M_1} = \log A - \log {A_0} \Leftrightarrow 6 = \log A - \log {A_0}\).

Trận động đất ở California có biên độ là 2A, khi đó cường độ của trận động đất ở California là:

\({M_2} = \log 2A - \log {A_0} = \log 2 + \log A - \log {A_0} = \log 2 + 6 \approx 6,3\) (độ Richter).

Trả lời: 6,3.

Theo đề ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}100 = C \cdot {e^{k \cdot 2}}\\300 = C \cdot {e^{k \cdot 4}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}C = \frac{{100}}{3}\\k = \frac{{\ln 3}}{2}\end{array} \right.\). Suy ra \(y = \frac{{100}}{3} \cdot {e^{\frac{{\ln 3}}{2}t}}\).

Vậy sau \(t = 5\), có khoảng \[y = \frac{{100}}{3} \cdot {e^{\frac{{\ln 3}}{2} \cdot 5}} \approx 520\] (con).

Trả lời: 520.

\({2^{2x + 1}} - {2^{x + 3}} - 2m = 0\)\( \Leftrightarrow 2 \cdot {2^{2x}} - {2^3} \cdot {2^x} - 2m = 0\)\( \Leftrightarrow 2 \cdot {2^{2x}} - 8 \cdot {2^x} - 2m = 0\).

Đặt \(t = {2^x},t > 0\). Khi đó phương trình trở thành \(2{t^2} - 8t - 2m = 0\) (*).

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = 16 + 4m > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m >  - 4\\ - m > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m >  - 4\\m < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow  - 4 < m < 0\).

Suy ra \(a =  - 4;b = 0\). Do đó \(a + b =  - 4\).

\({\log _6}45 = \frac{{{{\log }_3}45}}{{{{\log }_3}6}}\)\( = \frac{{{{\log }_3}\left( {9 \cdot 5} \right)}}{{{{\log }_3}\left( {2 \cdot 3} \right)}}\)\( = \frac{{2 + {{\log }_3}5}}{{1 + {{\log }_3}2}}\)\( = \frac{{2 + \frac{1}{{{{\log }_5}3}}}}{{1 + \frac{1}{{{{\log }_2}3}}}}\)\( = \frac{{2 + \frac{1}{b}}}{{1 + \frac{1}{a}}}\)\( = \frac{{a\left( {2b + 1} \right)}}{{b\left( {1 + a} \right)}}\).

Suy ra \(m = 1;n = 2;p = 1\). Do đó \(m + n + p = 4\).

Trả lời: 4.

Điều kiện xác định \(\left\{ \begin{array}{l}y > 0\\x < 24\end{array} \right.\).

Đặt \(f\left( x \right) = {\log _2}x\). Khi đó \({\log _2}y = f\left( y \right),{\log _2}\left( {24 - x} \right) = f\left( {24 - x} \right)\).

Do cơ số 2 > 1 nên hàm số \(f\left( x \right) = {\log _2}x\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Suy ra \(f\left( y \right) \le f\left( {24 - x} \right) \Leftrightarrow y \le 24 - x\).

Theo giả thiết thì \(y > 0,y \in \mathbb{Z} \Rightarrow y \ge 1 \Rightarrow 24 - x \ge 1 \Rightarrow x \le 23\).

Kết hợp \(x > 0,x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \left\{ {1;2;3;...;22;23} \right\}\).

Ta có bảng sau:

Như vậy có \(1 + 2 + 3 + ... + 22 + 23 = \frac{{23 \cdot 24}}{2} = 276\) cặp số nguyên thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Trả lời: 276.

Ta có \({4^x} + {4^{ - x}} = 7\)\( \Leftrightarrow {2^{2x}} + {2^{ - 2x}} = 7\)\( \Leftrightarrow {\left( {{2^x}} \right)^2} + {\left( {{2^{ - x}}} \right)^2} = 7\)\( \Leftrightarrow {\left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)^2} - 2 = 7\)\( \Leftrightarrow {\left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)^2} = 9\)

\( \Leftrightarrow {2^x} + {2^{ - x}} = 3\).

Vậy \(P = \frac{{5 + {2^x} + {2^{ - x}}}}{{8 - 4 \cdot {2^x} - 4 \cdot {2^{ - x}}}}\)\( = \frac{{5 + 3}}{{8 - 4 \cdot 3}} =  - 2\).

Trả lời: −2.

Ta có \({\log _{{x^2} + {y^2} + 2}}\left( {2x - 4y + 3} \right) \ge 1\)\( \Leftrightarrow 2x - 4y + 3 \ge {x^2} + {y^2} + 2\)\( \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} \le 6\) là hình tròn (C) tâm \(I\left( {1; - 2} \right)\), bán kính \(R = \sqrt 6 \).

Ta lại có \(P = 3x + 4y \Rightarrow 3x + 4y - P = 0\) là phương trình đường thẳng d.

Để tồn tại cặp số \(x,y\) sao cho \(P\) đạt giá trị lớn nhất thì đường thẳng \(d\) và đường tròn \(\left( C \right)\) phải có điểm chung.

Khi đó \(d\left( {I,\left( d \right)} \right) \le R \Leftrightarrow \frac{{\left| {3 - 8 - P} \right|}}{5} \le \sqrt 6 \)\( \Leftrightarrow \left| {P + 5} \right| \le 5\sqrt 6 \)\( \Leftrightarrow  - 5\sqrt 6  \le P + 5 \le 5\sqrt 6 \)

\( \Leftrightarrow  - 5\sqrt 6  - 5 \le P \le 5\sqrt 6  - 5\).

Do đó \({P_{\max }} = 5\sqrt 6  - 5 \Rightarrow M = 6;m =  - 5\).

Vậy \(M + m = 6 + \left( { - 5} \right) = 1\).

Trả lời: 1.

Ta có \(f\left( x \right) + f\left( {1 - x} \right) = \frac{1}{2}{\log _2}\left( {\frac{{2x}}{{1 - x}}} \right) + \frac{1}{2}{\log _2}\left( {\frac{{2\left( {1 - x} \right)}}{{1 - \left( {1 - x} \right)}}} \right)\)\( = \frac{1}{2}{\log _2}\frac{{2x}}{{1 - x}} + \frac{1}{2}{\log _2}\frac{{2\left( {1 - x} \right)}}{x}\)

\( = \frac{1}{2}{\log _2}\left[ {\frac{{2x}}{{1 - x}} \cdot \frac{{2\left( {1 - x} \right)}}{x}} \right]\)\( = \frac{1}{2}{\log _2}4 = 1\).

Ta có \(S = \left[ {f\left( {\frac{1}{{2025}}} \right) + f\left( {\frac{{2024}}{{2025}}} \right)} \right] + \left[ {f\left( {\frac{2}{{2025}}} \right) + f\left( {\frac{{2023}}{{2025}}} \right)} \right] + ... + \left[ {f\left( {\frac{{1012}}{{2025}}} \right) + f\left( {\frac{{1013}}{{2025}}} \right)} \right] = 1012\).

a) Ban đầu có 1000 vi khuẩn nên \({P_0} = 1000\).

Sau hai ngày, số lượng vi khuẩn là \(P = 125\%  \cdot 1000 = 1250\).

Ta có \(P\left( 2 \right) = 1000 \cdot {a^2} \Leftrightarrow 1250 = 1000 \cdot {a^2} \Leftrightarrow {a^2} = \frac{5}{4} \Rightarrow a \approx 1,12\).

b) Số lượng vi khuẩn sau 5 ngày là \(P\left( 5 \right) = 1000 \cdot {\left( {1,12} \right)^5} \approx 1800\).

c) Với \(P\left( t \right) = 2{P_0} \Leftrightarrow 2{P_0} = {P_0} \cdot {1,12^t} \Leftrightarrow {1,12^t} = 2 \Leftrightarrow t = {\log _{1,12}}2 \approx 6,1\) ngày.

Vậy sau 6,1 ngày thì số lượng vi khuẩn bằng gấp đôi số lượng ban đầu.

Theo đề ta có \(8850 = 15500\left( {5 - \log p} \right)\)\( \Leftrightarrow 5 - \log p = \frac{{177}}{{310}}\)\( \Leftrightarrow \log p = \frac{{1373}}{{310}}\)\( \Leftrightarrow p \approx 26855\)(pascan).

Ta có \(V\left( t \right) \le 300 \Leftrightarrow 780 \cdot {\left( {0,905} \right)^t} \le 300\)\( \Leftrightarrow {\left( {0,905} \right)^t} \le \frac{5}{{13}}\)\( \Leftrightarrow t \ge {\log _{0,905}}\frac{5}{{13}} \approx 9,6\) (do 0 < 0,905 < 1).

Vậy sau khoảng 10 năm sử dụng, giá trị chiếc xe đó còn lại không quá 300 triệu đồng.

a) \({4^{2x + 2}} = 8\)\( \Leftrightarrow {2^{4x + 4}} = {2^3}\)\( \Leftrightarrow 4x + 4 = 3\)\( \Leftrightarrow x =  - \frac{1}{4}\).

Vậy nghiệm của phương trình là \(x =  - \frac{1}{4}\).

b) Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 1 > 0\\x - 1 > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x >  - \frac{1}{3}\\x > 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow x > 1\).

\({\log _2}\left( {3x + 1} \right) + {\log _2}\left( {x - 1} \right) = 2\)\( \Leftrightarrow {\log _2}\left[ {\left( {3x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)} \right] = 2\)\( \Leftrightarrow \left( {3x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) = 4\)\( \Leftrightarrow 3{x^2} - 2x - 5 = 0\)

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = \frac{5}{3}\end{array} \right.\]. Vì \(x > 1\) nên \(x = \frac{5}{3}\).

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{5}{3}\).