Bài tập ôn tập Toán 10 Kết nối tri thức Chương 8 có đáp án
55 câu hỏi
A. Trắc nghiệm
Dạng 1. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Trong một trường THPT, khối 10 có 280 học sinh nam và 325 học sinh nữ. Nhà trường cần chọn một học sinh ở khối 10 đi dự hội thảo khoa học. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn?
\(325\).
\(280\).
\(605\).
\(45\).
Lời giải
Số cách chọn một học sinh đi dự hội thảo khoa học là \(280 + 325 = 605\). Chọn C.
Trong khai triển nhị thức Newton của \({\left( {a + b} \right)^4}\) có bao nhiêu số hạng?
\(5\).
\(4\).
\(3\).
\(6\).
Lời giải
Trong khai triển nhị thức Newton của \({\left( {a + b} \right)^4}\) có 5 số hạng. Chọn A.
Khai triển theo công thức nhị thức Newton \({\left( {x - y} \right)^4}\) ta được
\({x^4} - 4{x^3}y + 6{x^2}{y^2} - 4x{y^3} - {y^4}\).
\({x^4} + 4{x^3}y + 6{x^2}{y^2} - 4x{y^3} + {y^4}\).
\({x^4} - 4{x^3}y - 6{x^2}{y^2} - 4x{y^3} + {y^4}\).
\({x^4} - 4{x^3}y + 6{x^2}{y^2} - 4x{y^3} + {y^4}\).
Lời giải
\({\left( {x - y} \right)^4} = {x^4} - 4{x^3}y + 6{x^2}{y^2} - 4x{y^3} + {y^4}\). Chọn D.
Trong khai triển nhị thức Newton của \({\left( {2x - 3} \right)^{a + 1}}\) có 6 số hạng. Khi đó \(a\) bằng
\(6\).
\(7\).
\(5\)
\(4\).
Lời giải
Trong khai triển nhị thức Newton của \({\left( {2x - 3} \right)^{a + 1}}\) có 6 số hạng thì \(a + 1 = 5 \Leftrightarrow a = 4\). Chọn D.
Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Chọn 3 học sinh để tham gia vệ sinh công cộng toàn trường. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như trên?
\(59280\).
\(455\).
\(9880\).
\(2300\).
Lời giải
Số cách chọn 3 học sinh để tham gia vệ sinh công cộng toàn trường là \(C_{40}^3 = 9880\). Chọn C.
Trên giá sách có 5 quyển sách Toán khác nhau, 3 quyển sách Vật lí khác nhau và 6 quyển sách Tiếng Anh khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn hai quyển sách khác bộ môn?
\(28\)cách.
\(63\) cách.
\(91\) cách.
\(90\) cách.
Lời giải
Số cách chọn hai quyển sách khác bộ môn là \(C_5^1 \cdot C_3^1 + C_5^1 \cdot C_6^1 + C_3^1 \cdot C_6^1 = 63\)cách. Chọn B.
Tìm hệ số của \({x^4}\) trong khai triển của biểu thức \({\left( {2 + 3x} \right)^5}\).
\(162\).
\(810\).
\(3125\).
\(7776\).
Lời giải
Hệ số của \({x^4}\) trong khai triển của biểu thức \({\left( {2 + 3x} \right)^5}\) là \(C_5^4 \cdot 2 \cdot {3^4} = 810\). Chọn B.
Tính tổng các hệ số trong khai triển biểu thức \({\left( {1 - 5x} \right)^4}\).
\( - 1\).
\( - 256\).
\(256\).
\(1\).
Lời giải
Ta có \({\left( {1 - 5x} \right)^4} = 1 + 4 \cdot 1 \cdot \left( { - 5x} \right) + 6 \cdot 1 \cdot {\left( { - 5x} \right)^2} + 4 \cdot 1 \cdot {\left( { - 5x} \right)^3} + {\left( { - 5x} \right)^4}\)\( = 1 - 20x + 150{x^2} - 500{x^3} + 625{x^4}\).
Tổng các hệ số là \(1 - 20 + 150 - 500 + 625 = 256\). Chọn C.
Tổng 4 hệ số của 4 số hạng đầu tiên theo lũy thừa tăng dần của \(x\) trong khai triển \({\left( {1 - \frac{1}{2}x} \right)^5}\) là
\[\frac{{ - 15}}{{16}}\].
\(\frac{{ - 1}}{4}\).
\( - \frac{5}{4}\).
\(\frac{1}{{16}}\).
Lời giải
Ta có \({\left( {1 - \frac{1}{2}x} \right)^5} = 1 + 5 \cdot \left( { - \frac{1}{2}x} \right) + 10{\left( { - \frac{1}{2}x} \right)^2} + 10{\left( { - \frac{1}{2}x} \right)^3} + 5{\left( { - \frac{1}{2}x} \right)^4} + {\left( { - \frac{1}{2}x} \right)^5}\)
\( = 1 - \frac{5}{2}x + \frac{5}{2}{x^2} - \frac{5}{4}{x^3} + \frac{5}{{16}}{x^4} - \frac{1}{{32}}{x^5}\).
Tổng 4 hệ số của 4 số hạng đầu tiên theo lũy thừa tăng dần của \(x\) là \(1 - \frac{5}{2} + \frac{5}{2} - \frac{5}{4} = - \frac{1}{4}\). Chọn B.
Tìm số hạng chứa \({x^3}y\) trong khai triển \({\left( {xy + \frac{1}{y}} \right)^5}\).
\[5{x^3}y\].
\(3{x^3}y\).
\(4{x^3}y\).
\(10{x^3}y\).
Lời giải
Ta có \({\left( {xy + \frac{1}{y}} \right)^5} = \sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k} \cdot {\left( {xy} \right)^{5 - k}} \cdot {\left( {\frac{1}{y}} \right)^k}\)\( = \sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k} \cdot {x^{5 - k}} \cdot {y^{5 - 2k}}\).
Số hạng chứa \({x^3}y\) ứng với \(k = 2\).
Vậy số hạng chứa \({x^3}y\) trong khai triển trên là \(C_5^2 \cdot {x^3}y = 10{x^3}y\). Chọn D.
Tìm hệ số của \({x^2}{y^2}\) trong khai triển nhị thức Newton của \({\left( {x + 2y} \right)^4}\).
\[16\].
\(8\).
\(24\).
\(32\).
Lời giải
Hệ số của \({x^2}{y^2}\)là \(C_4^2 \cdot {2^2} = 24\). Chọn C.
Có bao nhiêu số hạng trong khai triển nhị thức \({\left( {x + 1} \right)^{2023}}\).
\[2025\].
\(2022\).
\(2023\).
\(2024\).
Lời giải
Có 2024 số hạng trong khai triển nhị thức \({\left( {x + 1} \right)^{2023}}\). Chọn D.
Hệ số tự do trong khai triển \({\left( {71x + 1} \right)^4}\) là
\[71\].
\(70\).
\(4\).
\(1\).
Lời giải
Ta có \({\left( {71x + 1} \right)^4} = {\left( {71x} \right)^4} + 4 \cdot {\left( {71x} \right)^3} + 6 \cdot {\left( {71x} \right)^2} + 4 \cdot \left( {71x} \right) + 1\).
Vậy hệ số tự do là 1. Chọn D.
Khai triển \({\left( {x + 2y} \right)^5}\) thành đa thức ta được kết quả nào sau đây?
\({x^5} + 10{x^4}y + 40{x^3}{y^2} + 40{x^2}{y^3} + 10x{y^4} + 2{y^5}\).
\({x^5} + 10{x^4}y + 20{x^3}{y^2} + 20{x^2}{y^3} + 10x{y^4} + 2{y^5}\).
\({x^5} + 10{x^4}y + 40{x^3}{y^2} + 80{x^2}{y^3} + 40x{y^4} + 32{y^5}\).
\({x^5} + 10{x^4}y + 40{x^3}{y^2} + 80{x^2}{y^3} + 80x{y^4} + 32{y^5}\).
Lời giải
Ta có \({\left( {x + 2y} \right)^5} = {x^5} + 5 \cdot {x^4} \cdot \left( {2y} \right) + 10 \cdot {x^3} \cdot {\left( {2y} \right)^2} + 10 \cdot {x^2} \cdot {\left( {2y} \right)^3} + 5 \cdot x \cdot {\left( {2y} \right)^4} + {\left( {2y} \right)^5}\)
\( = {x^5} + 10 \cdot {x^4} \cdot y + 40 \cdot {x^3} \cdot {y^2} + 80 \cdot {x^2} \cdot {y^3} + 80 \cdot x \cdot {y^4} + 32{y^5}\). Chọn D.
Hệ số của \({x^3}\) trong khai triển \({\left( {3 + x} \right)^7}\) là
\[81\].
\(35\).
\(256\).
\(2835\).
Lời giải
Hệ số của \({x^3}\) trong khai triển là \(C_7^3 \cdot {3^4} = 2835\). Chọn D.
Thầy giáo chủ nhiệm có 10 quyển sách khác nhau và 8 quyển vở khác nhau. Thầy chọn ra một quyển sách hoặc một quyển vở để tặng cho học sinh giỏi. Hỏi có bao nhiêu cách chọn khác nhau?
\(80\).
\(10\).
\(18\).
\(8\).
Lời giải
Có \(10 + 8 = 18\) cách chọn. Chọn C.
Giả sử từ tỉnh A đến tỉnh B có thể đi bằng các phương tiện: ô tô, tàu hỏa, tàu thủy hoặc máy bay. Mỗi ngày có 10 chuyến ô tô, 5 chuyến tàu hỏa, 3 chuyến tàu thủy và 2 chuyến máy bay. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ tỉnh A đến tỉnh B?
\(18\).
\(15\).
\(300\).
\(20\).
Lời giải
Có \(10 + 5 + 3 + 2 = 20\) cách đi từ tỉnh A đến tỉnh B. Chọn D.
Cho tập hợp \(A = \left\{ {0;1;2;3;4;5} \right\}\). Một tổ hợp chập 3 của 6 phần tử tập hợp \(A\) là
\(C_6^3\).
\(\left\{ {1;2;3} \right\}\).
\(\left\{ {0;1;2;3} \right\}\).
\(3!\).
Lời giải
Một tổ hợp chập 3 của 6 phần tử tập hợp \(A\) là \(C_6^3\). Chọn A.
Từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục?
\(72\).
\(54\).
\(48\).
\(36\).
Lời giải
Nếu chữ số hàng chục là 1 thì chữ số hàng đơn vị có thể là 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9. Có 8 cách chọn.
Nếu chữ số hàng chục là 2 thì chữ số hàng đơn vị có thể là 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9. Có 7 cách chọn.
Nếu chữ số hàng chục là 3 thì chữ số hàng đơn vị có thể là 4; 5; 6; 7; 8; 9. Có 6 cách chọn.
Nếu chữ số hàng chục là 4 thì chữ số hàng đơn vị có thể là 5; 6; 7; 8; 9. Có 5 cách chọn.
Nếu chữ số hàng chục là 5 thì chữ số hàng đơn vị có thể là 6; 7; 8; 9. Có 4 cách chọn.
Nếu chữ số hàng chục là 6 thì chữ số hàng đơn vị có thể là 7; 8; 9. Có 3 cách chọn.
Nếu chữ số hàng chục là 7 thì chữ số hàng đơn vị có thể là 8; 9. Có 2 cách chọn.
Nếu chữ số hàng chục là 8 thì chữ số hàng đơn vị là 9. Có 1 cách chọn.
Vậy có \(8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 36\) số. Chọn D.
Một nhóm có 6 học sinh gồm 4 nam và 2 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 3 học sinh trong đó có cả nam và nữ?
\(6\).
\(16\).
\(20\).
\(32\).
Lời giải
TH1: Chọn 1 nam 2 nữ có \(C_4^1C_2^2 = 4\) cách.
TH2: Chọn 2 nam 1 nữ có \(C_4^2C_2^1 = 12\) cách.
Vậy có \(4 + 12 = 16\) cách. Chọn B.
Từ các số 1; 2; 3; 4; 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau đôi một?
\(60\).
\(120\).
\(24\).
\(48\).
Lời giải
Có \(5! = 120\) số. Chọn B.
Tính số chỉnh hợp chập 4 của 7 phần tử?
\(24\).
\(720\).
\(840\).
\(35\).
Lời giải
Chỉnh hợp chập 4 của 7 phần tử là \(A_7^4 = 840\). Chọn C
Đa thức \(P\left( x \right) = 32{x^5} - 80{x^4} + 80{x^3} - 40{x^2} + 10x - 1\) là khai triển của nhị thức nào dưới đây?
\({\left( {1 - 2x} \right)^5}\).
\({\left( {1 + 2x} \right)^5}\).
\({\left( {2x - 1} \right)^5}\).
\({\left( {x - 1} \right)^5}\).
Lời giải
Có \[{\left( {2x - 1} \right)^5} = C_5^0 \cdot {\left( {2x} \right)^5} + C_5^1 \cdot {\left( {2x} \right)^4} \cdot \left( { - 1} \right) + C_5^2 \cdot {\left( {2x} \right)^3} \cdot {\left( { - 1} \right)^2} + C_5^3 \cdot {\left( {2x} \right)^2} \cdot {\left( { - 1} \right)^3} + C_5^4 \cdot \left( {2x} \right) \cdot {\left( { - 1} \right)^4} + C_5^5 \cdot {\left( { - 1} \right)^5}\]
\( = 32{x^5} - 80{x^4} + 80{x^3} - 40{x^2} + 10x - 1\). Chọn C.
Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau?
\(648\).
\(720\).
\(729\).
\(1000\).
Lời giải
Có 9 cách chọn chữ số hàng trăm.
Có 9 cách chọn chữ số hàng chục.
Có 8 cách chọn chữ số hàng đơn vị.
Vậy có \(9 \cdot 9 \cdot 8 = 648\) số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau. Chọn A.
Số cách sắp xếp 9 bạn học sinh thành một hàng ngang là
\(C_9^1\).
\({P_9}\).
\(C_9^9\).
\(A_9^1\).
Lời giải
Số cách sắp xếp 9 bạn học sinh thành một hàng ngang là \({P_9} = 9!\). Chọn B.
Giả sử \(k,n\) là các số nguyên bất kì thỏa mãn \(1 \le k \le n\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
\(C_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}\).
\(C_n^k = \frac{{n!}}{{k!}}\).
\(C_n^k = kC_n^{n - k}\).
\(C_n^k = C_n^{n - k}\).
Lời giải
\(C_n^k = C_n^{n - k}\). Chọn D.
Tổng \(T = C_5^0 + C_5^1 + C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + C_5^5\) bằng
\({2^5}\).
\(0\).
\({2^6}\).
\({2^4}\).
Lời giải
Xét khai triển \({\left( {x + 1} \right)^5} = C_5^0 \cdot {x^5} + C_5^1 \cdot {x^4} + C_5^2 \cdot {x^3} + C_5^3 \cdot {x^2} + C_5^4 \cdot x + C_5^5\).
Với \(x = 1\) thì \({\left( {1 + 1} \right)^5} = C_5^0 \cdot {1^5} + C_5^1 \cdot {1^4} + C_5^2 \cdot {1^3} + C_5^3 \cdot {1^2} + C_5^4 \cdot 1 + C_5^5\)
Suy ra \(T = C_5^0 + C_5^1 + C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + C_5^5 = {2^5}\). Chọn A.
Có thể lập được bao nhiêu vectơ từ các đỉnh của hình ngũ giác đều?
\(A_6^2\).
\(5!\).
\(C_5^2\).
\(A_5^2\).
Lời giải
Có \(A_5^2\) vectơ lập được. Chọn D.
Một công việc hoàn thành bởi ba hành động liên tiếp. Nếu hàng động thứ nhất có \(a\) cách thực hiện, hành động thứ hai có \(b\) cách thực hiện, hành động thứ ba có \(c\) cách thực hiện (các cách thực hiện của ba hành động khác nhau đôi một) thì số cách hoàn thành công việc đó là:
\(a + b + c\).
\(abc\).
\(ab + c\).
\(1\).
Lời giải
Số cách hoàn thành công việc là \(abc\). Chọn B.
Một bó hoa có 5 hoa hồng trắng, 6 hoa hồng đỏ và 7 hoa hồng vàng. Hỏi có mấy cách chọn lấy ba bông hoa có đủ cả ba màu.
\(18\).
\(240\).
\(210\).
\(120\).
Lời giải
Số cách chọn 3 bông hoa có đủ ba màu là \(5 \cdot 6 \cdot 7 = 210\). Chọn C.
Dạng 2. Trắc nghiệm đúng sai
Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho các chữ số 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8. Từ các chữ số đã cho lập các số tự nhiên
Có thể lập được 1080 số là số lẻ có 5 chữ số khác nhau.
Có thể lập được 56 số nhỏ hơn 100.
Có thể lập được 480 số có bốn chữ số khác nhau và phải có mặt chữ số 5.
Có thể lập được 4320 số có 7 chữ số khác nhau.
Lời giải
a) Gọi số cần lập có dạng \(\overline {abcde} \).
Số cần lập là số lẻ nên \(e \in \left\{ {3;5;7} \right\}\)nên có 3 cách chọn \(e\).
Có 6 cách chọn \(a\). Có 5 cách chọn \(b\). Có 4 cách chọn \(c\). Có 3 cách chọn chọn \(d\).
Vậy có \(6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 3 = 1080\) số lẻ có 5 chữ số khác nhau.
b) TH1: Số có 1 chữ số. Có 9 số.
TH2: Số có 2 chữ số. Có \(7 \cdot 7 = 49\).
Suy ra \(9 + 49 = 58\) số nhỏ hơn 100.
c) Từ tập trên lập được \(A_7^4 = 840\) số có 4 chữ số khác nhau.
Từ tập trên lập được \(A_6^4 = 360\) số có 4 chữ số khác nhau không có mặt chữ số 5.
Suy ra từ tập trên lập được \(840 - 360 = 480\) số có 4 chữ số khác nhau và phải có mặt chữ số 5.
d) Từ tập trên lập được \(7! = 5040\) số có 7 chữ số khác nhau.
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Cho nhị thức \({\left( {3x - 2} \right)^5}\).
Số hạng chứa \({x^5}\) trong khai triển Newton của nhị thức trên là \(143{x^5}\).
Hệ số của số hạng chứa \({x^2}\) trong khai triển Newton của nhị thức trên là \( - 720\).
Số hạng không chứa \(x\) trong khai triển Newton của nhị thức trên là \( - 32\).
Tổng các hệ số trong khai triển Newton của nhị thức bằng 1.
Lời giải
Ta có \({\left( {3x - 2} \right)^5} = {\left( {3x} \right)^5} + 5 \cdot {\left( {3x} \right)^4} \cdot \left( { - 2} \right) + 10 \cdot {\left( {3x} \right)^3} \cdot {\left( { - 2} \right)^2} + 10 \cdot {\left( {3x} \right)^2} \cdot {\left( { - 2} \right)^3} + 5 \cdot \left( {3x} \right) \cdot {\left( { - 2} \right)^4} + {\left( { - 2} \right)^5}\)
\( = 243{x^5} - 810{x^4} + 1080{x^3} - 180{x^2} + 240x - 32\).
a) Số hạng chứa \({x^5}\) trong khai triển Newton của nhị thức trên là \(243{x^5}\).
b) Hệ số của số hạng chứa \({x^2}\) trong khai triển Newton của nhị thức trên là \( - 180\).
c) Số hạng không chứa \(x\) trong khai triển Newton của nhị thức trên là \( - 32\).
d) Tổng các hệ số trong khai triển Newton của nhị thức bằng \(243 - 810 + 1080 - 180 + 240 - 32 = 541\).
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Khai triển \({\left( {x + 1} \right)^5}\).
Hệ số của \({x^4}\) là 5.
Số hạng không chứa \(x\) là 1.
\(C_5^0 + C_5^1 + C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + C_5^5 = {3^5}\).
\(32C_5^0 + 16C_5^1 + 8C_5^2 + 4C_5^3 + 2C_5^4 + C_5^5 = {3^5}\).
Lời giải
Ta có \({\left( {x + 1} \right)^5} = C_5^0{x^5} + C_5^1{x^4} + C_5^2{x^3} + C_5^3{x^2} + C_5^4{x^1} + C_5^5 = {x^5} + 5{x^4} + 10{x^3} + 10{x^2} + 5x + 1\).
a) Hệ số của \({x^4}\) là 5.
b) Số hạng không chứa \(x\) là 1.
c) Thay \(x = 1\) vào khai triển trên ta được
\({\left( {1 + 1} \right)^5} = C_5^0 \cdot {1^5} + C_5^1 \cdot {1^4} + C_5^2 \cdot {1^3} + C_5^3 \cdot {1^2} + C_5^4 \cdot {1^1} + C_5^5\)\( \Leftrightarrow C_5^0 + C_5^1 + C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + C_5^5 = {2^5}\).
d) Thay \(x = 2\) vào khai triển trên ta được
\({\left( {2 + 1} \right)^5} = C_5^0 \cdot {2^5} + C_5^1 \cdot {2^4} + C_5^2 \cdot {2^3} + C_5^3 \cdot {2^2} + C_5^4 \cdot {2^1} + C_5^5\)\( \Leftrightarrow 32C_5^0 + 16C_5^1 + 8C_5^2 + 4C_5^3 + 2C_5^4 + C_5^5 = {3^5}\)
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Khai triển \({\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^4}\).
Hệ số của \({x^2}\) là \(\frac{1}{4}\).
Số hạng không chứa \(x\) là 6.
Hệ số của \({x^4}\) là 1.
Sau khi khai triển, biểu thức có 6 số hạng.
Lời giải
a) \({\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^4} = {x^4} + 4 \cdot {x^3} \cdot \frac{1}{x} + 6 \cdot {x^2} \cdot {\left( {\frac{1}{x}} \right)^2} + 4 \cdot x \cdot {\left( {\frac{1}{x}} \right)^3} + {\left( {\frac{1}{x}} \right)^4}\)
\( = {x^4} + 4{x^2} + 6 + \frac{4}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^4}}}\).
a) Hệ số của \({x^2}\) là \(4\).
b) Số hạng không chứa \(x\) là 6.
c) Hệ số của \({x^4}\) là 1.
d) Sau khi khai triển, biểu thức có 5 số hạng.
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Một cửa hàng kem có 5 vị: trà xanh, sôcôla, cà phê, dâu, vani. Bạn An muốn mua một cốc kem.
Số cách chọn cốc kem có đúng 2 vị là \(C_5^2\).
Số cách chọn cốc kem có đủ 2 vị là \(C_5^1\).
Số cách chọn cốc kem có ít nhất 3 vị là: \(C_5^3 + C_5^4 + C_5^5\).
Số cách chọn cốc kem có đúng 1 vị sôcôla là 5.
Lời giải
a) Số cách chọn cốc kem có đúng 2 vị là \(C_5^2\).
b) Số cách chọn cốc kem có đủ 2 vị là \(C_5^2\).
c) TH1: Chọn được 3 vị có \(C_5^3\) cách.
TH2: Chọn được 4 vị có \(C_5^4\) cách.
TH3: Chọn được 5 vị có \(C_5^5\) cách.
Vậy cách chọn cốc kem có ít nhất 3 vị là: \(C_5^3 + C_5^4 + C_5^5\).
d) Số cách chọn cốc kem có đúng 1 vị sôcôla là 1.
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Một nhóm học sinh gồm 7 bạn nam và 9 bạn nữ trong đó có Linh và Hưng tham gia một cuộc thi.
Số cách chọn 4 học sinh gồm 2 nam và 2 nữ là \(C_7^2 \cdot C_9^2\).
Số cách chọn 5 học sinh sao cho trong đó nhất thiết phải có bạn Linh và Hưng là 560.
Số cách chọn 4 học sinh sao cho trong đó có ít nhất một trong hai bạn Linh và Hưng là 1729.
Số cách chọn 5 học sinh trong đó có cả bạn nam và nữ là 4221.
Lời giải
a) Số cách chọn 4 học sinh gồm 2 nam và 2 nữ là \(C_7^2 \cdot C_9^2\).
b) Số cách chọn 5 học sinh sao cho trong đó nhất thiết phải có bạn Linh và Hà \(C_{14}^3 = 364\) cách.
c) Số cách chọn 4 học sinh sao cho không có hai bạn Linh và Hà là \(C_{14}^4 = 1001\).
Suy ra số cách chọn 4 học sinh sao cho trong đó có ít nhất một trong hai bạn Linh và Hà là
\(C_{16}^4 - 1001 = 819\) cách.
d) Số cách chọn 5 học sinh trong đó có cả bạn nam và nữ là \(C_7^1 \cdot C_9^4 + C_7^2 \cdot C_9^3 + C_7^3 \cdot C_9^2 + C_7^4 \cdot C_9^1 = 4221\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Cho biểu thức \({\left( {2x + \frac{7}{x}} \right)^5}\) với \(x\) là số thực dương khác 0.
Có 6 số hạng trong khải triển của biểu thức trên.
Hệ số của hạng tử chứa \(x\) trong khai triển của biểu thức trên là \(3290\).
Hệ số của hạng tử không chứa \(x\) trong khai triển của biểu thức trên là \(14\).
Nếu \({\left( {2x + \frac{7}{x}} \right)^5} = \frac{{{a_0}}}{{{x^5}}} + \frac{{{a_1}}}{{{x^3}}} + \frac{{{a_2}}}{x} + {a_3}x + {a_4}{x^3} + {a_5}{x^5}\) thì \({a_0} + {a_1} + {a_2} + {a_3} + {a_4} + {a_5} = 59049\).
Lời giải
Ta có \({\left( {2x + \frac{7}{x}} \right)^5} = {\left( {2x} \right)^5} + 5 \cdot {\left( {2x} \right)^4} \cdot \frac{7}{x} + 10 \cdot {\left( {2x} \right)^3} \cdot {\left( {\frac{7}{x}} \right)^2} + 10 \cdot {\left( {2x} \right)^2} \cdot {\left( {\frac{7}{x}} \right)^3} + 5 \cdot \left( {2x} \right) \cdot {\left( {\frac{7}{x}} \right)^4} + {\left( {\frac{7}{x}} \right)^5}\)
\( = 32{x^5} + 560{x^3} + 3920x + \frac{{13720}}{x} + \frac{{24010}}{{{x^3}}} + \frac{{16807}}{{{x^5}}}\).
a) Có 6 số hạng trong khai triển của biểu thức trên.
b) Hệ số của hạng tử chứa \(x\) trong khai triển của biểu thức trên là \(3920\).
c) Hệ số của hạng tử không chứa \(x\) trong khai triển của biểu thức trên là \(0\).
d) \({a_0} + {a_1} + {a_2} + {a_3} + {a_4} + {a_5} = 16807 + 24010 + 13720 + 3920 + 560 + 32 = 59049\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Một nhóm có 3 nam sinh và 6 nữ sinh.
Số cách xếp các học sinh đó vào một dãy ghế hàng ngang là \(3! \cdot 6!\).
Số các xếp các học sinh đó thành hàng ngang sao cho các học sinh nam đứng cạnh nhau là 30240.
Số cách chọn ra 3 học sinh sao cho có đúng 2 học sinh nữ là 45.
Số cách chọn ra 2 học sinh gồm cả nam và nữ là 9.
Lời giải
a) Số cách xếp các học sinh đó vào một dãy ghế hàng ngang là \(9!\).
b) Coi 3 nam sinh là 1 nhóm. Khi đó số cách xếp nhóm 3 nam sinh và 6 nữ sinh là \(7!\) cách.
Số cách xếp 3 nam sinh trong 1 nhóm là \(3!\) cách.
Vậy có \(7! \cdot 3! = 30240\) cách.
c) Số cách chọn ra 3 học sinh sao cho có đúng 2 học sinh nữ là \(C_3^1 \cdot C_6^2 = 45\) cách.
d) Số cách chọn 2 học sinh gồm cả nam và nữ là \(3 \cdot 6 = 18\) cách.
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Một hộp chứa 5 viên bi đỏ, 6 viên bi xanh và 4 viên bi trắng. Tất cả các bi có kích thước và khối lượng như nhau.
Có 10 cách chọn 2 viên bi đỏ từ hộp.
Có 20 cách chọn 4 viên bi đỏ và 3 viên bi trắng từ hộp.
Có 900 cách chọn 3 viên bi đỏ, 2 viên bi xanh và 2 viên bi trắng từ hộp.
Có 1365 cách chọn 4 viên bi sao cho có đủ cả 3 màu.
Lời giải
a) Có \(C_5^2 = 10\) cách chọn 2 viên bi đỏ từ hộp.
b) Có \(C_5^4 \cdot C_4^3 = 20\) cách chọn 4 viên bi đỏ và 3 viên bi trắng từ hộp.
c) Có \(C_5^3 \cdot C_6^2 \cdot C_4^2 = 900\) cách chọn 3 viên bi đỏ, 2 viên bi xanh và 2 viên bi trắng từ hộp.
d) Có \(C_5^1 \cdot C_6^1 \cdot C_4^2 + C_5^1 \cdot C_6^2 \cdot C_4^1 + C_5^2 \cdot C_6^1 \cdot C_4^1 = 720\) cách chọn 4 viên bi sao cho có đủ cả 3 màu.
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Cho tập hợp \(A = \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}\).
Có 216 số tự nhiên gồm 3 chữ số được tạo thành từ tập \(A\).
Có \(6!\) số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau được tạo thành từ tập \(A\).
Có 108 số tự nhiên lẻ gồm 3 chữ số được tạo thành từ tập \(A\).
Có 190 số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số khác nhau được tạo thành từ tập \(A\).
Lời giải
a) Có \({6^3} = 216\) số tự nhiên gồm 3 chữ số được tạo thành từ tập \(A\).
b) Có \(6!\) số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau được tạo thành từ tập \(A\).
c) Gọi số cần lập có dạng \(\overline {abc} \).
Số cần lập là số lẻ nên \(c \in \left\{ {1;3;5} \right\}\) nên có 3 cách chọn \(c\).
Có 6 cách chọn \(a\). Có 6 cách chọn \(b\).
Suy ra có \(6 \cdot 6 \cdot 3 = 108\) số tự nhiên lẻ gồm 3 chữ số được tạo thành từ tập \(A\).
d) Gọi số cần lập có dạng \(\overline {abcd} \).
Số cần lập là số chẵn nên \(d \in \left\{ {2;4;6} \right\}\) nên có 3 cách chọn \(d\).
Có 5 cách chọn \(a\). Có 4 cách chọn \(b\). Có 3 cách chọn \(c\).
Suy ra có \(5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 3 = 180\)số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số khác nhau được tạo thành từ tập \(A\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Dạng 3. Trắc nghiệm trả lời ngắn
Anh Minh vào cửa hàng chọn thực đơn cho bữa sáng gồm một món ăn và một loại đồ uống. Cửa hàng đưa ra danh sách: món ăn có 2 loại phở và 4 loại bún; đồ uống có 2 loại cà phê và 3 loại nước ép trái cây. Hỏi anh Minh có thể chọn được bao nhiêu thực đơn khác nhau.
Lời giải
Số cách chọn món ăn là 6 cách.
Số cách chọn đồ uống là 5 cách.
Số cách anh Minh chọn thực đơn là \(6 \cdot 5 = 30\) cách.
Trả lời: 30.
Một người cần lập một mật khẩu gồm 3 chữ số khác nhau từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9. Số mật khẩu mà người đó lập được là bao nhiêu cách?
Lời giải
Số mật khẩu người đó lập được là \(A_{10}^3 = 720\) cách.
Trả lời: 720.
Trong một hộp có 10 quả cầu đỏ và 12 quả cầu xanh kích thước giống nhau. Lấy ngẫu nhiên 5 quả cầu từ hộp. Có \(1\overline {5abc} \) cách lấy được số quả cầu xanh nhiều hơn số quả cầu đỏ. Tính \(a + b + c\).
Lời giải
TH1: Lấy được 3 quả cầu xanh và 2 quả cầu đỏ có \(C_{12}^3 \cdot C_{10}^2 = 9900\) cách.
TH2: Lấy được 4 quả cầu xanh và 1 quả cầu đỏ có \(C_{12}^4 \cdot C_{10}^1 = 4950\) cách.
TH3: Lấy được 5 quả cầu xanh có \(C_{12}^5 = 792\) cách.
Suy ra có \(9900 + 4950 + 792 = 15642\) cách.
Suy ra \(a = 6;b = 4;c = 2\). Vậy \(a + b + c = 12\).
Trả lời: 12.
Lớp 10A có 25 học sinh trong đó có 13 học sinh nam và 12 học sinh nữ. Vào ngày 8/3 giáo viên chủ nhiệm lớp chọn ra 3 em học sinh trực nhật. Số cách giáo viên chủ nhiệm chọn sao cho có nhiều nhất 2 học sinh nữ là bao nhiêu?
Lời giải
Số cách chọn ra 3 học sinh từ 25 học sinh là \(C_{25}^3 = 2300\) cách.
Số cách chọn ra 3 học sinh đều là nữ là \(C_{12}^3 = 220\) cách.
Do đó số cách chọn ra 3 học sinh sao cho có nhiều nhất 2 học sinh nữ là:
\(2300 - 220 = 2080\)cách.
Trả lời: 2080.
Tổng các hệ số trong khai triển \({\left( {3x - 1} \right)^n} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + ... + {a_n}{x^n}\) là \({2^4}\). Tìm \({a_3}\).
Lời giải
Thay \(x = 1\) ta có \({\left( {3 - 1} \right)^n} = {a_0} + {a_1} + {a_2} + ... + {a_n}\)\( \Leftrightarrow {2^n} = {2^4} \Rightarrow n = 4\).
Ta có \({a_3}\) là hệ số của \({x^3}\). Vậy \({a_3} = - C_4^1 \cdot {3^3} = - 108\).
Trả lời: −108.
Một hộp chứa 5 quả cầu trắng và 6 quả cầu đỏ, các quả cầu có kích thước và khối lượng giống nhau. Có bao nhiêu cách lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu trong hộp?
Lời giải
Có \(C_{11}^3 = 165\) cách lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu trong hộp.
Trả lời: 165.
Một nhóm có 10 học sinh nam, 10 học sinh nữ. Để chuẩn bị thực hiện hoạt động trải nghiệm. Giáo viên muốn chọn ra ba học sinh để giao ba nhiệm vụ khác nhau, mỗi học sinh thực hiện một nhiệm vụ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
Lời giải
Có \(A_{20}^3 = 6840\) cách chọn ra ba học sinh để giao ba nhiệm vụ khác nhau, mỗi học sinh thực hiện một nhiệm vụ.
Trả lời: 6840.
Xác định hệ số của \({x^3}\) trong khai triển của \({\left( {x + 2} \right)^5} + {\left( {x + 3} \right)^4}\).
Lời giải
Hệ số của \({x^3}\) trong khai triển \({\left( {x + 2} \right)^5}\) là \(C_5^2 \cdot {2^2} = 40\).
Hệ số của \({x^3}\) trong khai triển \({\left( {x + 3} \right)^4}\) là \(C_4^1 \cdot 3 = 12\).
Vậy hệ số của \({x^3}\) trong khai triển của \({\left( {x + 2} \right)^5} + {\left( {x + 3} \right)^4}\) là \(40 + 12 = 52\).
Trả lời: 52.
Tìm số hạng không chứa \(x\) trong khai triển \({\left( {\frac{2}{x} - {x^3}} \right)^4}\) với \(x \ne 0\).
Lời giải
Ta có \({\left( {\frac{2}{x} - {x^3}} \right)^4} = \sum\limits_{k = 0}^4 {C_4^k} \cdot {\left( {\frac{2}{x}} \right)^{4 - k}} \cdot {\left( { - {x^3}} \right)^k}\)\( = \sum\limits_{k = 0}^4 {C_4^k} \cdot {2^{4 - k}} \cdot {\left( { - 1} \right)^k} \cdot {x^{4k - 4}}\).
Số hạng không chứa \(x\) thì \(4k - 4 = 0 \Leftrightarrow k = 1\).
Số hạng không chứa \(x\) trong khai triển là \(C_4^1 \cdot {2^3} \cdot \left( { - 1} \right) = - 32\).
Trả lời: −32.
Tìm số tự nhiên \(n\) thỏa mãn \(C_n^2 - n = 20\).
Lời giải
Với \(n \ge 2,n \in \mathbb{N}\), ta có \(C_n^2 - n = 20\)\( \Leftrightarrow \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} - n = 20\)\( \Leftrightarrow {n^2} - 3n - 40 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 8\\n = - 5\end{array} \right. \Rightarrow n = 8\).
Trả lời: 8.
B. Tự luận
Tìm số hạng chứa \({x^4}\) trong khai triển nhị thức \({\left( {3{x^2} - \frac{2}{x}} \right)^n}\) với \(x \ne 0\), biết \(n\) là số nguyên dương thỏa mãn \(A_n^2 - 2n = 10\).
Lời giải
Ta có \(A_n^2 - 2n = 10\)\( \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} - 2n = 10\)\( \Leftrightarrow n\left( {n - 1} \right) - 2n = 10\)\( \Leftrightarrow {n^2} - 3n - 10 = 0 \Leftrightarrow n = 5\).
Với \(n = 5\), ta có khai triển
\({\left( {3{x^2} - \frac{2}{x}} \right)^5} = {\left( {3{x^2}} \right)^5} + 5 \cdot {\left( {3{x^2}} \right)^4} \cdot \left( { - \frac{2}{x}} \right) + 10 \cdot {\left( {3{x^2}} \right)^3} \cdot {\left( { - \frac{2}{x}} \right)^2} + 10 \cdot {\left( {3{x^2}} \right)^2} \cdot {\left( { - \frac{2}{x}} \right)^3} + 5 \cdot \left( {3{x^2}} \right) \cdot {\left( { - \frac{2}{x}} \right)^4} + {\left( { - \frac{2}{x}} \right)^5}\)
\( = 243{x^{10}} - 810{x^7} + 1080{x^4} - 720x + \frac{{240}}{{{x^2}}} - \frac{{32}}{{{x^5}}}\).
Vậy số hạng chứa \({x^4}\) trong khai triển là \(1080{x^4}\).
Từ hộp đựng 4 bi xanh, 5 bi đỏ và 7 bi trắng. Người ta lấy ngẫu nhiên 4 bi. Tính số cách:
a) 4 bi lấy ra đều cùng màu.
c) 4 bi lấy ra có đủ 3 màu.
Lời giải
a) TH1: Lấy ra 4 bi xanh. Có 1 cách.
TH2: Lấy ra 4 bi đỏ. Có \(C_5^4 = 5\) cách.
TH3: Lấy ra 4 bi trắng. Có \(C_7^4 = 35\) cách.
Vậy có \(1 + 5 + 35 = 41\) cách lấy ra 4 bi cùng màu.
b) TH1: Lấy 2 bi xanh, 1 bi đỏ, 1 bi trắng có \(C_4^2 \cdot C_5^1 \cdot C_7^1 = 210\) cách.
TH2: Lấy 1 bi xanh, 2 bi đỏ, 1 bi trắng có \(C_4^1 \cdot C_5^2 \cdot C_7^1 = 280\) cách.
TH3: Lấy 1 bi xanh, 1 bi đỏ, 2 bi trắng có \(C_4^1 \cdot C_5^1 \cdot C_7^2 = 420\) cách.
Vậy có \(210 + 280 + 420 = 910\) cách lấy ra 4 bi có đủ 3 màu.
Tính tổng \(S = {2024^4} - 8088 \cdot {2024^3} + 6 \cdot {\left( {2024 \cdot 2022} \right)^2} - 8096 \cdot {2022^3} + {2022^4}\).
Lời giải
\(S = {2024^4} - 8088 \cdot {2024^3} + 6 \cdot {\left( {2024 \cdot 2022} \right)^2} - 8096 \cdot {2022^3} + {2022^4}\)
\( = {2024^4} - 4 \cdot {2024^3} \cdot 2022 + 6 \cdot {\left( {2024 \cdot 2022} \right)^2} - 4 \cdot 2024 \cdot {2022^3} + {2022^4}\)
\( = {\left( {2024 - 2022} \right)^4} = {2^4} = 16\).
Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có bốn chữ số đôi một khác nhau?
Lời giải
Gọi số tự nhiên có bốn chữ số cần lập là \(\overline {abcd} \).
Số cần lập là số lẻ nên \(d \in \left\{ {1;3;5} \right\}\) nên có 3 cách chọn \(d\).
Có 5 cách chọn \(a\). Có 5 cách chọn \(b\). Có 4 cách chọn \(c\).
Do đó có \(5 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 300\) số thỏa mãn.
Mỗi người sử dụng mạng máy tính đều có mật khẩu. Giả sử mỗi mật khẩu gồm 7 kí tự, mỗi kí tự hoặc là một chữ số (trong 10 chữ số từ 0 đến 9) hoặc một chữ cái (trong bảng 26 chữ cái tiếng Anh) và mật khẩu phải có ít nhất một chữ số. Hỏi có thể lập được tất cả bao nhiêu mật khẩu?
Lời giải
Số cách chọn mật khẩu có 7 kí tự bất kì là \({36^7}\).
Số cách chọn mật khẩu có 7 kí tự không có chữ số nào là \({26^7}\).
Suy ra số cách lập mật khẩu là \({36^7} - {26^7}\).
