Bài tập ôn tập Toán 10 Kết nối tri thức Chương 8 có đáp án
55 câu hỏi
A. Trắc nghiệm
Dạng 1. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Trong một trường THPT, khối 10 có 280 học sinh nam và 325 học sinh nữ. Nhà trường cần chọn một học sinh ở khối 10 đi dự hội thảo khoa học. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn?
\(325\).
\(280\).
\(605\).
\(45\).
Lời giải
Số cách chọn một học sinh đi dự hội thảo khoa học là \(280 + 325 = 605\). Chọn C.
\(5\).
\(4\).
\(3\).
\(6\).
Lời giải
Trong khai triển nhị thức Newton của \({\left( {a + b} \right)^4}\) có 5 số hạng. Chọn A.
\({x^4} - 4{x^3}y + 6{x^2}{y^2} - 4x{y^3} - {y^4}\).
\({x^4} + 4{x^3}y + 6{x^2}{y^2} - 4x{y^3} + {y^4}\).
\({x^4} - 4{x^3}y - 6{x^2}{y^2} - 4x{y^3} + {y^4}\).
\({x^4} - 4{x^3}y + 6{x^2}{y^2} - 4x{y^3} + {y^4}\).
Lời giải
\({\left( {x - y} \right)^4} = {x^4} - 4{x^3}y + 6{x^2}{y^2} - 4x{y^3} + {y^4}\). Chọn D.
\(6\).
\(7\).
\(5\)
\(4\).
Lời giải
Trong khai triển nhị thức Newton của \({\left( {2x - 3} \right)^{a + 1}}\) có 6 số hạng thì \(a + 1 = 5 \Leftrightarrow a = 4\). Chọn D.
\(59280\).
\(455\).
\(9880\).
\(2300\).
Lời giải
Số cách chọn 3 học sinh để tham gia vệ sinh công cộng toàn trường là \(C_{40}^3 = 9880\). Chọn C.
\(28\)cách.
\(63\) cách.
\(91\) cách.
\(90\) cách.
Lời giải
Số cách chọn hai quyển sách khác bộ môn là \(C_5^1 \cdot C_3^1 + C_5^1 \cdot C_6^1 + C_3^1 \cdot C_6^1 = 63\)cách. Chọn B.
\(162\).
\(810\).
\(3125\).
\(7776\).
Lời giải
Hệ số của \({x^4}\) trong khai triển của biểu thức \({\left( {2 + 3x} \right)^5}\) là \(C_5^4 \cdot 2 \cdot {3^4} = 810\). Chọn B.
\( - 1\).
\( - 256\).
\(256\).
\(1\).
Lời giải
Ta có \({\left( {1 - 5x} \right)^4} = 1 + 4 \cdot 1 \cdot \left( { - 5x} \right) + 6 \cdot 1 \cdot {\left( { - 5x} \right)^2} + 4 \cdot 1 \cdot {\left( { - 5x} \right)^3} + {\left( { - 5x} \right)^4}\)\( = 1 - 20x + 150{x^2} - 500{x^3} + 625{x^4}\).
Tổng các hệ số là \(1 - 20 + 150 - 500 + 625 = 256\). Chọn C.
\[\frac{{ - 15}}{{16}}\].
\(\frac{{ - 1}}{4}\).
\( - \frac{5}{4}\).
\(\frac{1}{{16}}\).
Lời giải
Ta có \({\left( {1 - \frac{1}{2}x} \right)^5} = 1 + 5 \cdot \left( { - \frac{1}{2}x} \right) + 10{\left( { - \frac{1}{2}x} \right)^2} + 10{\left( { - \frac{1}{2}x} \right)^3} + 5{\left( { - \frac{1}{2}x} \right)^4} + {\left( { - \frac{1}{2}x} \right)^5}\)
\( = 1 - \frac{5}{2}x + \frac{5}{2}{x^2} - \frac{5}{4}{x^3} + \frac{5}{{16}}{x^4} - \frac{1}{{32}}{x^5}\).
Tổng 4 hệ số của 4 số hạng đầu tiên theo lũy thừa tăng dần của \(x\) là \(1 - \frac{5}{2} + \frac{5}{2} - \frac{5}{4} = - \frac{1}{4}\). Chọn B.
\[5{x^3}y\].
\(3{x^3}y\).
\(4{x^3}y\).
\(10{x^3}y\).
Lời giải
Ta có \({\left( {xy + \frac{1}{y}} \right)^5} = \sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k} \cdot {\left( {xy} \right)^{5 - k}} \cdot {\left( {\frac{1}{y}} \right)^k}\)\( = \sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k} \cdot {x^{5 - k}} \cdot {y^{5 - 2k}}\).
Số hạng chứa \({x^3}y\) ứng với \(k = 2\).
Vậy số hạng chứa \({x^3}y\) trong khai triển trên là \(C_5^2 \cdot {x^3}y = 10{x^3}y\). Chọn D.
\[16\].
\(8\).
\(24\).
\(32\).
Lời giải
Hệ số của \({x^2}{y^2}\)là \(C_4^2 \cdot {2^2} = 24\). Chọn C.
\[2025\].
\(2022\).
\(2023\).
\(2024\).
Lời giải
Có 2024 số hạng trong khai triển nhị thức \({\left( {x + 1} \right)^{2023}}\). Chọn D.
Hệ số tự do trong khai triển \({\left( {71x + 1} \right)^4}\) là
\[71\].
\(70\).
\(4\).
\(1\).
Lời giải
Ta có \({\left( {71x + 1} \right)^4} = {\left( {71x} \right)^4} + 4 \cdot {\left( {71x} \right)^3} + 6 \cdot {\left( {71x} \right)^2} + 4 \cdot \left( {71x} \right) + 1\).
Vậy hệ số tự do là 1. Chọn D.
\({x^5} + 10{x^4}y + 40{x^3}{y^2} + 40{x^2}{y^3} + 10x{y^4} + 2{y^5}\).
\({x^5} + 10{x^4}y + 20{x^3}{y^2} + 20{x^2}{y^3} + 10x{y^4} + 2{y^5}\).
\({x^5} + 10{x^4}y + 40{x^3}{y^2} + 80{x^2}{y^3} + 40x{y^4} + 32{y^5}\).
\({x^5} + 10{x^4}y + 40{x^3}{y^2} + 80{x^2}{y^3} + 80x{y^4} + 32{y^5}\).
Lời giải
Ta có \({\left( {x + 2y} \right)^5} = {x^5} + 5 \cdot {x^4} \cdot \left( {2y} \right) + 10 \cdot {x^3} \cdot {\left( {2y} \right)^2} + 10 \cdot {x^2} \cdot {\left( {2y} \right)^3} + 5 \cdot x \cdot {\left( {2y} \right)^4} + {\left( {2y} \right)^5}\)
\( = {x^5} + 10 \cdot {x^4} \cdot y + 40 \cdot {x^3} \cdot {y^2} + 80 \cdot {x^2} \cdot {y^3} + 80 \cdot x \cdot {y^4} + 32{y^5}\). Chọn D.
\[81\].
\(35\).
\(256\).
\(2835\).
Lời giải
Hệ số của \({x^3}\) trong khai triển là \(C_7^3 \cdot {3^4} = 2835\). Chọn D.
\(80\).
\(10\).
\(18\).
\(8\).
Lời giải
Có \(10 + 8 = 18\) cách chọn. Chọn C.
\(18\).
\(15\).
\(300\).
\(20\).
Lời giải
Có \(10 + 5 + 3 + 2 = 20\) cách đi từ tỉnh A đến tỉnh B. Chọn D.
\(C_6^3\).
\(\left\{ {1;2;3} \right\}\).
\(\left\{ {0;1;2;3} \right\}\).
\(3!\).
Lời giải
Một tổ hợp chập 3 của 6 phần tử tập hợp \(A\) là \(C_6^3\). Chọn A.
\(72\).
\(54\).
\(48\).
\(36\).
Lời giải
Nếu chữ số hàng chục là 1 thì chữ số hàng đơn vị có thể là 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9. Có 8 cách chọn.
Nếu chữ số hàng chục là 2 thì chữ số hàng đơn vị có thể là 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9. Có 7 cách chọn.
Nếu chữ số hàng chục là 3 thì chữ số hàng đơn vị có thể là 4; 5; 6; 7; 8; 9. Có 6 cách chọn.
Nếu chữ số hàng chục là 4 thì chữ số hàng đơn vị có thể là 5; 6; 7; 8; 9. Có 5 cách chọn.
Nếu chữ số hàng chục là 5 thì chữ số hàng đơn vị có thể là 6; 7; 8; 9. Có 4 cách chọn.
Nếu chữ số hàng chục là 6 thì chữ số hàng đơn vị có thể là 7; 8; 9. Có 3 cách chọn.
Nếu chữ số hàng chục là 7 thì chữ số hàng đơn vị có thể là 8; 9. Có 2 cách chọn.
Nếu chữ số hàng chục là 8 thì chữ số hàng đơn vị là 9. Có 1 cách chọn.
Vậy có \(8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 36\) số. Chọn D.
\(6\).
\(16\).
\(20\).
\(32\).
Lời giải
TH1: Chọn 1 nam 2 nữ có \(C_4^1C_2^2 = 4\) cách.
TH2: Chọn 2 nam 1 nữ có \(C_4^2C_2^1 = 12\) cách.
Vậy có \(4 + 12 = 16\) cách. Chọn B.
\(60\).
\(120\).
\(24\).
\(48\).
Lời giải
Có \(5! = 120\) số. Chọn B.
\(24\).
\(720\).
\(840\).
\(35\).
Lời giải
Chỉnh hợp chập 4 của 7 phần tử là \(A_7^4 = 840\). Chọn C\({\left( {1 - 2x} \right)^5}\).
\({\left( {1 + 2x} \right)^5}\).
\({\left( {2x - 1} \right)^5}\).
\({\left( {x - 1} \right)^5}\).
Lời giải
Có \[{\left( {2x - 1} \right)^5} = C_5^0 \cdot {\left( {2x} \right)^5} + C_5^1 \cdot {\left( {2x} \right)^4} \cdot \left( { - 1} \right) + C_5^2 \cdot {\left( {2x} \right)^3} \cdot {\left( { - 1} \right)^2} + C_5^3 \cdot {\left( {2x} \right)^2} \cdot {\left( { - 1} \right)^3} + C_5^4 \cdot \left( {2x} \right) \cdot {\left( { - 1} \right)^4} + C_5^5 \cdot {\left( { - 1} \right)^5}\]
\( = 32{x^5} - 80{x^4} + 80{x^3} - 40{x^2} + 10x - 1\). Chọn C.
\(648\).
\(720\).
\(729\).
\(1000\).
Lời giải
Có 9 cách chọn chữ số hàng trăm.
Có 9 cách chọn chữ số hàng chục.
Có 8 cách chọn chữ số hàng đơn vị.
Vậy có \(9 \cdot 9 \cdot 8 = 648\) số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau. Chọn A.
\(C_9^1\).
\({P_9}\).
\(C_9^9\).
\(A_9^1\).
Lời giải
Số cách sắp xếp 9 bạn học sinh thành một hàng ngang là \({P_9} = 9!\). Chọn B.
\(C_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}\).
\(C_n^k = \frac{{n!}}{{k!}}\).
\(C_n^k = kC_n^{n - k}\).
\(C_n^k = C_n^{n - k}\).
Lời giải
\(C_n^k = C_n^{n - k}\). Chọn D.
\({2^5}\).
\(0\).
\({2^6}\).
\({2^4}\).
Lời giải
Xét khai triển \({\left( {x + 1} \right)^5} = C_5^0 \cdot {x^5} + C_5^1 \cdot {x^4} + C_5^2 \cdot {x^3} + C_5^3 \cdot {x^2} + C_5^4 \cdot x + C_5^5\).
Với \(x = 1\) thì \({\left( {1 + 1} \right)^5} = C_5^0 \cdot {1^5} + C_5^1 \cdot {1^4} + C_5^2 \cdot {1^3} + C_5^3 \cdot {1^2} + C_5^4 \cdot 1 + C_5^5\)
Suy ra \(T = C_5^0 + C_5^1 + C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + C_5^5 = {2^5}\). Chọn A.
\(A_6^2\).
\(5!\).
\(C_5^2\).
\(A_5^2\).
Lời giải
Có \(A_5^2\) vectơ lập được. Chọn D.
\(a + b + c\).
\(abc\).
\(ab + c\).
\(1\).
Lời giải
Số cách hoàn thành công việc là \(abc\). Chọn B.
\(18\).
\(240\).
\(210\).
\(120\).
Lời giải
Số cách chọn 3 bông hoa có đủ ba màu là \(5 \cdot 6 \cdot 7 = 210\). Chọn C.
Dạng 2. Trắc nghiệm đúng sai
Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho các chữ số 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8. Từ các chữ số đã cho lập các số tự nhiên
Có thể lập được 1080 số là số lẻ có 5 chữ số khác nhau.
Có thể lập được 56 số nhỏ hơn 100.
Có thể lập được 480 số có bốn chữ số khác nhau và phải có mặt chữ số 5.
Có thể lập được 4320 số có 7 chữ số khác nhau.
Lời giải
a) Gọi số cần lập có dạng \(\overline {abcde} \).
Số cần lập là số lẻ nên \(e \in \left\{ {3;5;7} \right\}\)nên có 3 cách chọn \(e\).
Có 6 cách chọn \(a\). Có 5 cách chọn \(b\). Có 4 cách chọn \(c\). Có 3 cách chọn chọn \(d\).
Vậy có \(6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 3 = 1080\) số lẻ có 5 chữ số khác nhau.
b) TH1: Số có 1 chữ số. Có 9 số.
TH2: Số có 2 chữ số. Có \(7 \cdot 7 = 49\).
Suy ra \(9 + 49 = 58\) số nhỏ hơn 100.
c) Từ tập trên lập được \(A_7^4 = 840\) số có 4 chữ số khác nhau.
Từ tập trên lập được \(A_6^4 = 360\) số có 4 chữ số khác nhau không có mặt chữ số 5.
Suy ra từ tập trên lập được \(840 - 360 = 480\) số có 4 chữ số khác nhau và phải có mặt chữ số 5.
d) Từ tập trên lập được \(7! = 5040\) số có 7 chữ số khác nhau.
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Số hạng chứa \({x^5}\) trong khai triển Newton của nhị thức trên là \(143{x^5}\).
Hệ số của số hạng chứa \({x^2}\) trong khai triển Newton của nhị thức trên là \( - 720\).
Số hạng không chứa \(x\) trong khai triển Newton của nhị thức trên là \( - 32\).
Tổng các hệ số trong khai triển Newton của nhị thức bằng 1.
Lời giải
Ta có \({\left( {3x - 2} \right)^5} = {\left( {3x} \right)^5} + 5 \cdot {\left( {3x} \right)^4} \cdot \left( { - 2} \right) + 10 \cdot {\left( {3x} \right)^3} \cdot {\left( { - 2} \right)^2} + 10 \cdot {\left( {3x} \right)^2} \cdot {\left( { - 2} \right)^3} + 5 \cdot \left( {3x} \right) \cdot {\left( { - 2} \right)^4} + {\left( { - 2} \right)^5}\)
\( = 243{x^5} - 810{x^4} + 1080{x^3} - 180{x^2} + 240x - 32\).
a) Số hạng chứa \({x^5}\) trong khai triển Newton của nhị thức trên là \(243{x^5}\).
b) Hệ số của số hạng chứa \({x^2}\) trong khai triển Newton của nhị thức trên là \( - 180\).
c) Số hạng không chứa \(x\) trong khai triển Newton của nhị thức trên là \( - 32\).
d) Tổng các hệ số trong khai triển Newton của nhị thức bằng \(243 - 810 + 1080 - 180 + 240 - 32 = 541\).
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Hệ số của \({x^4}\) là 5.
Số hạng không chứa \(x\) là 1.
\(C_5^0 + C_5^1 + C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + C_5^5 = {3^5}\).
\(32C_5^0 + 16C_5^1 + 8C_5^2 + 4C_5^3 + 2C_5^4 + C_5^5 = {3^5}\).
Lời giải
Ta có \({\left( {x + 1} \right)^5} = C_5^0{x^5} + C_5^1{x^4} + C_5^2{x^3} + C_5^3{x^2} + C_5^4{x^1} + C_5^5 = {x^5} + 5{x^4} + 10{x^3} + 10{x^2} + 5x + 1\).
a) Hệ số của \({x^4}\) là 5.
b) Số hạng không chứa \(x\) là 1.
c) Thay \(x = 1\) vào khai triển trên ta được
\({\left( {1 + 1} \right)^5} = C_5^0 \cdot {1^5} + C_5^1 \cdot {1^4} + C_5^2 \cdot {1^3} + C_5^3 \cdot {1^2} + C_5^4 \cdot {1^1} + C_5^5\)\( \Leftrightarrow C_5^0 + C_5^1 + C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + C_5^5 = {2^5}\).
d) Thay \(x = 2\) vào khai triển trên ta được
\({\left( {2 + 1} \right)^5} = C_5^0 \cdot {2^5} + C_5^1 \cdot {2^4} + C_5^2 \cdot {2^3} + C_5^3 \cdot {2^2} + C_5^4 \cdot {2^1} + C_5^5\)\( \Leftrightarrow 32C_5^0 + 16C_5^1 + 8C_5^2 + 4C_5^3 + 2C_5^4 + C_5^5 = {3^5}\)
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Hệ số của \({x^2}\) là \(\frac{1}{4}\).
Số hạng không chứa \(x\) là 6.
Hệ số của \({x^4}\) là 1.
Sau khi khai triển, biểu thức có 6 số hạng.
Lời giải
a) \({\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^4} = {x^4} + 4 \cdot {x^3} \cdot \frac{1}{x} + 6 \cdot {x^2} \cdot {\left( {\frac{1}{x}} \right)^2} + 4 \cdot x \cdot {\left( {\frac{1}{x}} \right)^3} + {\left( {\frac{1}{x}} \right)^4}\)
\( = {x^4} + 4{x^2} + 6 + \frac{4}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^4}}}\).
a) Hệ số của \({x^2}\) là \(4\).
b) Số hạng không chứa \(x\) là 6.
c) Hệ số của \({x^4}\) là 1.
d) Sau khi khai triển, biểu thức có 5 số hạng.
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Số cách chọn cốc kem có đúng 2 vị là \(C_5^2\).
Số cách chọn cốc kem có đủ 2 vị là \(C_5^1\).
Số cách chọn cốc kem có ít nhất 3 vị là: \(C_5^3 + C_5^4 + C_5^5\).
Số cách chọn cốc kem có đúng 1 vị sôcôla là 5.
Lời giải
a) Số cách chọn cốc kem có đúng 2 vị là \(C_5^2\).
b) Số cách chọn cốc kem có đủ 2 vị là \(C_5^2\).
c) TH1: Chọn được 3 vị có \(C_5^3\) cách.
TH2: Chọn được 4 vị có \(C_5^4\) cách.
TH3: Chọn được 5 vị có \(C_5^5\) cách.
Vậy cách chọn cốc kem có ít nhất 3 vị là: \(C_5^3 + C_5^4 + C_5^5\).
d) Số cách chọn cốc kem có đúng 1 vị sôcôla là 1.
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Một nhóm học sinh gồm 7 bạn nam và 9 bạn nữ trong đó có Linh và Hưng tham gia một cuộc thi.
Số cách chọn 4 học sinh gồm 2 nam và 2 nữ là \(C_7^2 \cdot C_9^2\).
Số cách chọn 5 học sinh sao cho trong đó nhất thiết phải có bạn Linh và Hưng là 560.
Số cách chọn 4 học sinh sao cho trong đó có ít nhất một trong hai bạn Linh và Hưng là 1729.
Số cách chọn 5 học sinh trong đó có cả bạn nam và nữ là 4221.
Lời giải
a) Số cách chọn 4 học sinh gồm 2 nam và 2 nữ là \(C_7^2 \cdot C_9^2\).
b) Số cách chọn 5 học sinh sao cho trong đó nhất thiết phải có bạn Linh và Hà \(C_{14}^3 = 364\) cách.
c) Số cách chọn 4 học sinh sao cho không có hai bạn Linh và Hà là \(C_{14}^4 = 1001\).
Suy ra số cách chọn 4 học sinh sao cho trong đó có ít nhất một trong hai bạn Linh và Hà là
\(C_{16}^4 - 1001 = 819\) cách.
d) Số cách chọn 5 học sinh trong đó có cả bạn nam và nữ là \(C_7^1 \cdot C_9^4 + C_7^2 \cdot C_9^3 + C_7^3 \cdot C_9^2 + C_7^4 \cdot C_9^1 = 4221\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Có 6 số hạng trong khải triển của biểu thức trên.
Hệ số của hạng tử chứa \(x\) trong khai triển của biểu thức trên là \(3290\).
Hệ số của hạng tử không chứa \(x\) trong khai triển của biểu thức trên là \(14\).
Nếu \({\left( {2x + \frac{7}{x}} \right)^5} = \frac{{{a_0}}}{{{x^5}}} + \frac{{{a_1}}}{{{x^3}}} + \frac{{{a_2}}}{x} + {a_3}x + {a_4}{x^3} + {a_5}{x^5}\) thì \({a_0} + {a_1} + {a_2} + {a_3} + {a_4} + {a_5} = 59049\).
Lời giải
Ta có \({\left( {2x + \frac{7}{x}} \right)^5} = {\left( {2x} \right)^5} + 5 \cdot {\left( {2x} \right)^4} \cdot \frac{7}{x} + 10 \cdot {\left( {2x} \right)^3} \cdot {\left( {\frac{7}{x}} \right)^2} + 10 \cdot {\left( {2x} \right)^2} \cdot {\left( {\frac{7}{x}} \right)^3} + 5 \cdot \left( {2x} \right) \cdot {\left( {\frac{7}{x}} \right)^4} + {\left( {\frac{7}{x}} \right)^5}\)
\( = 32{x^5} + 560{x^3} + 3920x + \frac{{13720}}{x} + \frac{{24010}}{{{x^3}}} + \frac{{16807}}{{{x^5}}}\).
a) Có 6 số hạng trong khai triển của biểu thức trên.
b) Hệ số của hạng tử chứa \(x\) trong khai triển của biểu thức trên là \(3920\).
c) Hệ số của hạng tử không chứa \(x\) trong khai triển của biểu thức trên là \(0\).
d) \({a_0} + {a_1} + {a_2} + {a_3} + {a_4} + {a_5} = 16807 + 24010 + 13720 + 3920 + 560 + 32 = 59049\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Số cách xếp các học sinh đó vào một dãy ghế hàng ngang là \(3! \cdot 6!\).
Số các xếp các học sinh đó thành hàng ngang sao cho các học sinh nam đứng cạnh nhau là 30240.
Số cách chọn ra 3 học sinh sao cho có đúng 2 học sinh nữ là 45.
Số cách chọn ra 2 học sinh gồm cả nam và nữ là 9.
Lời giải
a) Số cách xếp các học sinh đó vào một dãy ghế hàng ngang là \(9!\).
b) Coi 3 nam sinh là 1 nhóm. Khi đó số cách xếp nhóm 3 nam sinh và 6 nữ sinh là \(7!\) cách.
Số cách xếp 3 nam sinh trong 1 nhóm là \(3!\) cách.
Vậy có \(7! \cdot 3! = 30240\) cách.
c) Số cách chọn ra 3 học sinh sao cho có đúng 2 học sinh nữ là \(C_3^1 \cdot C_6^2 = 45\) cách.
d) Số cách chọn 2 học sinh gồm cả nam và nữ là \(3 \cdot 6 = 18\) cách.
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Có 10 cách chọn 2 viên bi đỏ từ hộp.
Có 20 cách chọn 4 viên bi đỏ và 3 viên bi trắng từ hộp.
Có 900 cách chọn 3 viên bi đỏ, 2 viên bi xanh và 2 viên bi trắng từ hộp.
Có 1365 cách chọn 4 viên bi sao cho có đủ cả 3 màu.
Lời giải
a) Có \(C_5^2 = 10\) cách chọn 2 viên bi đỏ từ hộp.
b) Có \(C_5^4 \cdot C_4^3 = 20\) cách chọn 4 viên bi đỏ và 3 viên bi trắng từ hộp.
c) Có \(C_5^3 \cdot C_6^2 \cdot C_4^2 = 900\) cách chọn 3 viên bi đỏ, 2 viên bi xanh và 2 viên bi trắng từ hộp.
d) Có \(C_5^1 \cdot C_6^1 \cdot C_4^2 + C_5^1 \cdot C_6^2 \cdot C_4^1 + C_5^2 \cdot C_6^1 \cdot C_4^1 = 720\) cách chọn 4 viên bi sao cho có đủ cả 3 màu.
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Có 216 số tự nhiên gồm 3 chữ số được tạo thành từ tập \(A\).
Có \(6!\) số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau được tạo thành từ tập \(A\).
Có 108 số tự nhiên lẻ gồm 3 chữ số được tạo thành từ tập \(A\).
Có 190 số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số khác nhau được tạo thành từ tập \(A\).
Lời giải
a) Có \({6^3} = 216\) số tự nhiên gồm 3 chữ số được tạo thành từ tập \(A\).
b) Có \(6!\) số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau được tạo thành từ tập \(A\).
c) Gọi số cần lập có dạng \(\overline {abc} \).
Số cần lập là số lẻ nên \(c \in \left\{ {1;3;5} \right\}\) nên có 3 cách chọn \(c\).
Có 6 cách chọn \(a\). Có 6 cách chọn \(b\).
Suy ra có \(6 \cdot 6 \cdot 3 = 108\) số tự nhiên lẻ gồm 3 chữ số được tạo thành từ tập \(A\).
d) Gọi số cần lập có dạng \(\overline {abcd} \).
Số cần lập là số chẵn nên \(d \in \left\{ {2;4;6} \right\}\) nên có 3 cách chọn \(d\).
Có 5 cách chọn \(a\). Có 4 cách chọn \(b\). Có 3 cách chọn \(c\).
Suy ra có \(5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 3 = 180\)số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số khác nhau được tạo thành từ tập \(A\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Dạng 3. Trắc nghiệm trả lời ngắn
Anh Minh vào cửa hàng chọn thực đơn cho bữa sáng gồm một món ăn và một loại đồ uống. Cửa hàng đưa ra danh sách: món ăn có 2 loại phở và 4 loại bún; đồ uống có 2 loại cà phê và 3 loại nước ép trái cây. Hỏi anh Minh có thể chọn được bao nhiêu thực đơn khác nhau.
Lời giải
Số cách chọn món ăn là 6 cách.
Số cách chọn đồ uống là 5 cách.
Số cách anh Minh chọn thực đơn là \(6 \cdot 5 = 30\) cách.
Trả lời: 30.
Lời giải
Số mật khẩu người đó lập được là \(A_{10}^3 = 720\) cách.
Trả lời: 720.
Trong một hộp có 10 quả cầu đỏ và 12 quả cầu xanh kích thước giống nhau. Lấy ngẫu nhiên 5 quả cầu từ hộp. Có \(1\overline {5abc} \) cách lấy được số quả cầu xanh nhiều hơn số quả cầu đỏ. Tính \(a + b + c\).
Lời giải
TH1: Lấy được 3 quả cầu xanh và 2 quả cầu đỏ có \(C_{12}^3 \cdot C_{10}^2 = 9900\) cách.
TH2: Lấy được 4 quả cầu xanh và 1 quả cầu đỏ có \(C_{12}^4 \cdot C_{10}^1 = 4950\) cách.
TH3: Lấy được 5 quả cầu xanh có \(C_{12}^5 = 792\) cách.
Suy ra có \(9900 + 4950 + 792 = 15642\) cách.
Suy ra \(a = 6;b = 4;c = 2\). Vậy \(a + b + c = 12\).
Trả lời: 12.
Lời giải
Số cách chọn ra 3 học sinh từ 25 học sinh là \(C_{25}^3 = 2300\) cách.
Số cách chọn ra 3 học sinh đều là nữ là \(C_{12}^3 = 220\) cách.
Do đó số cách chọn ra 3 học sinh sao cho có nhiều nhất 2 học sinh nữ là:
\(2300 - 220 = 2080\)cách.
Trả lời: 2080.
Lời giải
Thay \(x = 1\) ta có \({\left( {3 - 1} \right)^n} = {a_0} + {a_1} + {a_2} + ... + {a_n}\)\( \Leftrightarrow {2^n} = {2^4} \Rightarrow n = 4\).
Ta có \({a_3}\) là hệ số của \({x^3}\). Vậy \({a_3} = - C_4^1 \cdot {3^3} = - 108\).
Trả lời: −108.
Lời giải
Có \(C_{11}^3 = 165\) cách lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu trong hộp.
Trả lời: 165.
Lời giải
Có \(A_{20}^3 = 6840\) cách chọn ra ba học sinh để giao ba nhiệm vụ khác nhau, mỗi học sinh thực hiện một nhiệm vụ.
Trả lời: 6840.
Lời giải
Hệ số của \({x^3}\) trong khai triển \({\left( {x + 2} \right)^5}\) là \(C_5^2 \cdot {2^2} = 40\).
Hệ số của \({x^3}\) trong khai triển \({\left( {x + 3} \right)^4}\) là \(C_4^1 \cdot 3 = 12\).
Vậy hệ số của \({x^3}\) trong khai triển của \({\left( {x + 2} \right)^5} + {\left( {x + 3} \right)^4}\) là \(40 + 12 = 52\).
Trả lời: 52.
Lời giải
Ta có \({\left( {\frac{2}{x} - {x^3}} \right)^4} = \sum\limits_{k = 0}^4 {C_4^k} \cdot {\left( {\frac{2}{x}} \right)^{4 - k}} \cdot {\left( { - {x^3}} \right)^k}\)\( = \sum\limits_{k = 0}^4 {C_4^k} \cdot {2^{4 - k}} \cdot {\left( { - 1} \right)^k} \cdot {x^{4k - 4}}\).
Số hạng không chứa \(x\) thì \(4k - 4 = 0 \Leftrightarrow k = 1\).
Số hạng không chứa \(x\) trong khai triển là \(C_4^1 \cdot {2^3} \cdot \left( { - 1} \right) = - 32\).
Trả lời: −32.
Lời giải
Với \(n \ge 2,n \in \mathbb{N}\), ta có \(C_n^2 - n = 20\)\( \Leftrightarrow \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} - n = 20\)\( \Leftrightarrow {n^2} - 3n - 40 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 8\\n = - 5\end{array} \right. \Rightarrow n = 8\).
Trả lời: 8.
B. Tự luận
Tìm số hạng chứa \({x^4}\) trong khai triển nhị thức \({\left( {3{x^2} - \frac{2}{x}} \right)^n}\) với \(x \ne 0\), biết \(n\) là số nguyên dương thỏa mãn \(A_n^2 - 2n = 10\).
Lời giải
Ta có \(A_n^2 - 2n = 10\)\( \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} - 2n = 10\)\( \Leftrightarrow n\left( {n - 1} \right) - 2n = 10\)\( \Leftrightarrow {n^2} - 3n - 10 = 0 \Leftrightarrow n = 5\).
Với \(n = 5\), ta có khai triển
\({\left( {3{x^2} - \frac{2}{x}} \right)^5} = {\left( {3{x^2}} \right)^5} + 5 \cdot {\left( {3{x^2}} \right)^4} \cdot \left( { - \frac{2}{x}} \right) + 10 \cdot {\left( {3{x^2}} \right)^3} \cdot {\left( { - \frac{2}{x}} \right)^2} + 10 \cdot {\left( {3{x^2}} \right)^2} \cdot {\left( { - \frac{2}{x}} \right)^3} + 5 \cdot \left( {3{x^2}} \right) \cdot {\left( { - \frac{2}{x}} \right)^4} + {\left( { - \frac{2}{x}} \right)^5}\)
\( = 243{x^{10}} - 810{x^7} + 1080{x^4} - 720x + \frac{{240}}{{{x^2}}} - \frac{{32}}{{{x^5}}}\).
Vậy số hạng chứa \({x^4}\) trong khai triển là \(1080{x^4}\).
Từ hộp đựng 4 bi xanh, 5 bi đỏ và 7 bi trắng. Người ta lấy ngẫu nhiên 4 bi. Tính số cách:
a) 4 bi lấy ra đều cùng màu.
c) 4 bi lấy ra có đủ 3 màu.
Lời giải
a) TH1: Lấy ra 4 bi xanh. Có 1 cách.
TH2: Lấy ra 4 bi đỏ. Có \(C_5^4 = 5\) cách.
TH3: Lấy ra 4 bi trắng. Có \(C_7^4 = 35\) cách.
Vậy có \(1 + 5 + 35 = 41\) cách lấy ra 4 bi cùng màu.
b) TH1: Lấy 2 bi xanh, 1 bi đỏ, 1 bi trắng có \(C_4^2 \cdot C_5^1 \cdot C_7^1 = 210\) cách.
TH2: Lấy 1 bi xanh, 2 bi đỏ, 1 bi trắng có \(C_4^1 \cdot C_5^2 \cdot C_7^1 = 280\) cách.
TH3: Lấy 1 bi xanh, 1 bi đỏ, 2 bi trắng có \(C_4^1 \cdot C_5^1 \cdot C_7^2 = 420\) cách.
Vậy có \(210 + 280 + 420 = 910\) cách lấy ra 4 bi có đủ 3 màu.
Tính tổng \(S = {2024^4} - 8088 \cdot {2024^3} + 6 \cdot {\left( {2024 \cdot 2022} \right)^2} - 8096 \cdot {2022^3} + {2022^4}\).
Lời giải
\(S = {2024^4} - 8088 \cdot {2024^3} + 6 \cdot {\left( {2024 \cdot 2022} \right)^2} - 8096 \cdot {2022^3} + {2022^4}\)
\( = {2024^4} - 4 \cdot {2024^3} \cdot 2022 + 6 \cdot {\left( {2024 \cdot 2022} \right)^2} - 4 \cdot 2024 \cdot {2022^3} + {2022^4}\)
\( = {\left( {2024 - 2022} \right)^4} = {2^4} = 16\).
Lời giải
Gọi số tự nhiên có bốn chữ số cần lập là \(\overline {abcd} \).
Số cần lập là số lẻ nên \(d \in \left\{ {1;3;5} \right\}\) nên có 3 cách chọn \(d\).
Có 5 cách chọn \(a\). Có 5 cách chọn \(b\). Có 4 cách chọn \(c\).
Do đó có \(5 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 300\) số thỏa mãn.
Lời giải
Số cách chọn mật khẩu có 7 kí tự bất kì là \({36^7}\).
Số cách chọn mật khẩu có 7 kí tự không có chữ số nào là \({26^7}\).
Suy ra số cách lập mật khẩu là \({36^7} - {26^7}\).
Bạn có thích hoạt động này không?
