Bài tập ôn tập Toán 10 Kết nối tri thức Chương 5 có đáp án
55 câu hỏi
A. Trắc nghiệm
Dạng 1. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Chiều cao của một ngọn đồi là \(\overline h = 347,13\;{\rm{m}} \pm 0,2\;{\rm{m}}\). Độ chính xác \(d\) của phép đo trên là
\(d = 347,13\;{\rm{m}}\).
\(d = 347,33\;{\rm{m}}\).
\(d = 0,2\;{\rm{m}}\).
\(d = 346,93\;{\rm{m}}\).
Lời giải
\(d = 0,2\;{\rm{m}}\). Chọn C.
Cho giá trị gần đúng của \(\frac{8}{{17}}\) là 0,47. Sai số tuyệt đối của số 0,47 là
\(0,001\).
\(0,002\).
\(0,003\).
\(0,004\).
Lời giải
Ta có \(\frac{8}{{17}} = 0,470588235294...\)
Sai số tuyệt đối \({\Delta _a} = \left| {0,47 - \frac{8}{{17}}} \right| < \left| {0,47 - 0,471} \right| = 0,001\). Chọn A.
Kết quả đo chiều dài của một cây cầu được ghi là \(152\;{\rm{m}} \pm 0,2\;{\rm{m}}\), điều đó có nghĩa là gì?
Chiều dài đúng của cây cầu là một số nằm trong khoảng từ 151,8 m đến 152,2 m.
Chiều dài đúng của cây cầu là một số lớn hơn 152 m.
Chiều dài đúng của cây cầu là một số nhỏ hơn 152 m.
Chiều dài đúng của cây cầu là 151,8 m hoặc 152,2 m.
Lời giải
Chiều dài đúng của cây cầu là một số nằm trong khoảng từ 151,8 m đến 152,2 m. Chọn A.
Cho \(\overline a = 31462689 \pm 150\). Số quy tròn của số \(31462689\) là
\(31462000\).
\(31463700\).
\(31462689\).
\(31463000\).
Lời giải
Độ chính xác đến hàng trăm (\(d = 150\)) nên ta quy tròn đến hàng nghìn.
Vậy số quy tròn của số 31462689 là 31463000. Chọn D.
Cho số \(\overline a = 4,1356 \pm 0,001\). Số quy tròn của số gần đúng 4,1356 là
\(4,135\).
\(4,13\).
\(4,136\).
\(4,14\).
Lời giải
Độ chính xác đến hàng phần nghìn (\(d = 0,001\)) nên ta quy trong đến hàng phần trăm.
Vậy số quy tròn của số 4,1356 là 4,14. Chọn D.
Mẫu số liệu cho biết chiều cao (đơn vị cm) của các bạn học sinh trong tổ
164 159 170 166 163 168 170 158 162
Khoảng biến thiên \(R\) của mẫu số liệu là
\(R = 10\).
\(R = 11\).
\(R = 12\).
\(R = 9\).
Lời giải
Giá trị lớn nhất của mẫu số liệu là 170; giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu là 158.
Khoảng biến thiên \(R = 170 - 158 = 12\). Chọn C.
Một tổ học sinh gồm 10 học sinh có điểm kiểm tra giữa học kì 1 môn Toán như sau:
5 6 7 5 8 8 10 9 7 8.
Tính điểm trung bình của tổ học sinh đó.
\(7\).
\(8\).
\(7,3\).
\(7,5\).
Lời giải
Điểm trung bình của tổ học sinh đó là
\(\overline x = \frac{{5 + 6 + 7 + 5 + 8 + 8 + 10 + 9 + 7 + 8}}{{10}} = 7,3\). Chọn C.
Nhiệt độ trung bình hàng tháng trong một năm được ghi lại trong bảng sau
Nhiệt độ | 16 | 18 | 20 | 25 | 28 | 30 |
Tần số | 2 | 1 | 2 | 3 | 2 | 2 |
Mốt của dấu hiệu là
\(20\)
\(25\).
\(28\).
\(30\).
Lời giải
Có 3 tháng có nhiệt độ trung bình là 25 độ nên mốt của dấu hiệu là 25. Chọn B.
Thống kê điểm kiểm tra môn Lịch Sử của 45 học sinh lớp 10A như sau
Điểm | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
Số học sinh | 2 | 11 | 9 | 16 | 4 | 3 |
Số trung vị của mẫu số liệu trên là
\(8,1\).
\(7,4\).
\(7,5\).
\(8\).
Lời giải
Mẫu số liệu có 45 giá trị. Do đó \({M_e} = 8\). Chọn D.
Số đặc trưng nào sau đây đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu?
Số trung bình.
Phương sai.
Khoảng biến thiên.
Độ lệch chuẩn.
Lời giải
Số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu là số trung bình. Chọn A.
Đo vận tốc trung bình của một người đi xe đạp cho kết quả là \(12 \pm 0,6\;{\rm{km}}\). Vận tốc trung bình của người đó thuộc đoạn nào?
\(\left[ {11,6;12,4} \right]\).
\(\left[ {11,5;12,5} \right]\).
\(\left[ {11,4;12,6} \right]\).
\(\left[ {11,6;12,6} \right]\).
Lời giải
Vận tốc trung bình của người đó thuộc đoạn \(\left[ {12 - 0,6;12 + 0,6} \right]\) hay \(\left[ {11,4;12,6} \right]\). Chọn C.
Nhiệt độ trung bình của một thành phố ghi nhận trong 10 ngày qua lần lượt là
22 21 19 18 23 25 27 25 23 27
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu bằng
\({\Delta _Q} = 3\).
\({\Delta _Q} = 4\).
\({\Delta _Q} = 25\).
\({\Delta _Q} = 2\).
Lời giải
Sắp xếp lại mẫu số liệu theo thứ tự không giảm ta được
18 19 21 22 23 23 25 25 27 27
Mẫu số liệu có 10 giá trị nên \({Q_2} = \frac{{23 + 23}}{2} = 23\).
\({Q_1}\) là trung vị của nửa mẫu số liệu bên trái \({Q_2}\). Khi đó \({Q_1} = 21\).
\({Q_3}\) là trung vị của nửa mẫu số liệu bên phải \({Q_2}\). Khi đó \({Q_3} = 25\).
Khi đó \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 25 - 21 = 4\). Chọn B.
Số đặc trưng nào sau đây không dùng để đo độ phân tán của mẫu số liệu.
Độ lệch chuẩn.
Khoảng tứ phân vị.
Khoảng biến thiên.
Trung vị.
Lời giải
Trung vị không dùng để đo độ phân tán của mẫu số liệu. Chọn D.
Thống kê điểm toán giữa kì I của một nhóm học sinh người ta thu được mẫu số liệu sau đây
3 7 9 6 7 5 4 5 10 6 9 7
Có bao nhiêu giá trị khác nhau trong mẫu số liệu trên?
\(7\).
\(8\).
\(6\).
\(12\).
Lời giải
Có 7 giá trị khác nhau trong mẫu số liệu trên là 3; 4; 5; 6; 7; 9; 10. Chọn A.
Số học sinh nghỉ học trong 6 ngày được thống kê bởi bảng số liệu sau
Thứ | Hai | Ba | Tư | Năm | Sáu | Bảy |
Số học sinh | 3 | 10 | 8 | 7 | 14 | 5 |
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu này là
\(11\).
\(3\).
\(5\).
\(14\).
Lời giải
Giá trị lớn nhất của mẫu số liệu là 14; giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu là 3.
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là \(R = 14 - 3 = 11\). Chọn A.
Độ dài của một con đường người ta đo được là \(1235\;{\rm{m}} \pm 0,5\;{\rm{m}}\). Sai số tương đối tối đa cho phép đo là bao nhiêu?
\(0,04\% \).
\(0,035\% \).
\(0,4\% \).
\(0,35\% \).
Lời giải
\({\delta _a} \le \frac{{0,5}}{{1235}} \approx 0,04\% \).
Vậy sai số tương đối tối đa cho phép đo là \(0,04\% \). Chọn A.
Giá trị xuất hiện nhiều nhất trong mẫu số liệu được gọi là
Phương sai.
Số trung vị.
Mốt.
Số trung bình.
Lời giải
Giá trị xuất hiện nhiều nhất trong mẫu số liệu được gọi là mốt. Chọn C.
Mẫu số liệu sau thống kê số xe đạp bán được hàng tháng trong năm 2022 của cửa hàng A:
10 7 8 3 7 15 25 16 17 9 8 7
Hãy xác định trung vị của mẫu số liệu trên.
\(7\).
\(8\).
\(20\).
\(8,5\).
Lời giải
Sắp xếp mẫu số liệu trên theo thứ tự không giảm ta được:
3 7 7 7 8 8 9 10 15 16 17 25
Mẫu số liệu có 12 giá trị nên trung vị là \({M_e} = \frac{{8 + 9}}{2} = 8,5\). Chọn D.
Trong một cuộc thi nghề, người ta ghi lại thời gian hoàn thành một số sản phẩm của một số thí sinh ở bảng sau:
Thời gian (phút) | 5 | 6 | 7 | 8 | 25 |
Số thí sinh | 2 | 5 | 6 | 3 | 1 |
Giá trị ngoại lệ trong bảng trên là:
\(7\).
\(8\).
Không có giá trị ngoại lệ.
\(25\).
Lời giải
Mẫu số liệu trên có 17 giá trị nên \({Q_2} = 7\).
Trung vị của nửa mẫu số liệu bên trái \({Q_2}\) là \({Q_1} = \frac{{6 + 6}}{2} = 6\).
Trung vị của nửa mẫu số liệu bên phải \({Q_2}\) là \({Q_3} = \frac{{7 + 8}}{2} = 7,5\).
Khi đó \({\Delta _Q} = 7,5 - 6 = 1,5\).
Có \({Q_1} - 1,5{\Delta _Q} = 3,75;{Q_3} + 1,5{\Delta _Q} = 9,75\).
Vì \(25 > 9,75\) nên \(25\) là giá trị ngoại lệ của mẫu số liệu. Chọn D.
Cân nặng của 10 vận động viên môn vật của một câu lạc bộ được ghi lại ở bảng sau:
56 57 68 63 67 65 56 66 67 69
Hãy xác định tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu trên.
\(58\).
\(68\).
\(57\).
\(63\).
Lời giải
Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm ta được
56 56 57 63 65 66 67 67 68 69
Mẫu số liệu có 10 giá trị nên \({Q_2} = \frac{{65 + 66}}{2} = 65,5\).
Trung vị của nửa mẫu số liệu bên trái \({Q_2}\) là \({Q_1} = 57\). Chọn C.
Điều tra một số học sinh về số cái bánh chưng mà gia đình mỗi bạn tiêu thụ trong dịp Tết Nguyên đán, kết quả được ghi lại ở bảng sau.
Số cái bánh chưng | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 15 |
Số gia đình | 5 | 7 | 10 | 8 | 5 | 4 | 1 |
Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên gần nhất với kết quả nào sau đây?
Phương sai: 3,25; độ lệch chuẩn: 1,8.
Phương sai: 1,77; độ lệch chuẩn: 3,15.
Phương sai: 1,8; độ lệch chuẩn: 3,25.
Phương sai: 3,15; độ lệch chuẩn: 1,77.
Lời giải
Trung bình số cái bánh chưng mỗi gia đình tiêu thụ là
\(\overline x = \frac{{5 \cdot 6 + 7 \cdot 7 + 10 \cdot 8 + 8 \cdot 9 + 5 \cdot 10 + 4 \cdot 11 + 1 \cdot 15}}{{5 + 7 + 10 + 8 + 5 + 4 + 1}} = 8,5\).
Phương sai của mẫu số liệu là
\({s^2} = \frac{1}{{40}}\left( \begin{array}{l}5 \cdot {\left( {6 - 8,5} \right)^2} + 7 \cdot {\left( {7 - 8,5} \right)^2} + 10 \cdot {\left( {8 - 8,5} \right)^2} + 8 \cdot {\left( {9 - 8,5} \right)^2}\\ + 5 \cdot {\left( {10 - 8,5} \right)^2} + 4 \cdot {\left( {11 - 8,5} \right)^2} + 1 \cdot {\left( {15 - 8,5} \right)^2}\end{array} \right) = 3,25\).
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là \(s = \sqrt {3,25} \approx 1,8\). Chọn A.
Gọi \(a\) là số gần đúng của số đúng \(\overline a \). Sai số tuyệt đối \({\Delta _a}\) là
\({\Delta _a} = \left| {a - \overline a } \right|\).
\({\Delta _a} = \left| {a + \overline a } \right|\).
\({\Delta _a} = a + \overline a \).
\({\Delta _a} = a - \overline a \).
Lời giải
\({\Delta _a} = \left| {a - \overline a } \right|\) là sai số tuyệt đối của số gần đúng \(a\). Chọn A.
Thu nhập hàng tháng (đơn vị: triệu đồng) của 5 nhân viên và 1 quản lí trong một công ty du lịch như sau: 6 6 6 6 6 20.
Mẫu số liệu này có số trung bình là \(\overline x \approx 9,3\), trung vị \({M_e} = 6\). Giá trị nào trong hai giá trị trên có thể đại diện cho mẫu số liệu?
Cả hai.
Không có giá trị nào.
\({M_e} = 6\).
\(\overline x \approx 9,3\).
Lời giải
Lương quản lí cao hơn hẳn số trung bình, đây chính là giá trị bất thường của mẫu số liệu nên ta sẽ dùng trung vị để đại diện cho mẫu số liệu. Chọn C.
Biết các tứ phân vị của mẫu dữ liệu về chiều cao (đơn vị: mét) của 12 cây thông như sau: \({Q_1} = 30,85;{Q_2} = 32,2;{Q_3} = 34,65\). Khoảng tứ phân vị của dữ liệu này là
\({\Delta _Q} = 1,35\).
\({\Delta _Q} = 30,8\).
\({\Delta _Q} = 2,45\).
\({\Delta _Q} = 3,8\).
Lời giải
\({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 34,65 - 30,85 = 3,8\). Chọn D.
Biết phương sai của một mẫu số liệu bằng \(6,1\). Khi đó độ lệch chuẩn của mẫu số liệu này gần bằng (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
\(2,46\).
\(37,21\).
\(2,47\).
\(2,50\).
Lời giải
Độ lệch chuẩn là \(\sqrt {6,1} \approx 2,47\). Chọn C.
Cho mẫu số liệu 21 22 23 24 25.
Phương sai của mẫu số liệu này bằng
\(2\).
\(1,5\).
\(1,4\).
\(2,5\).
Lời giải
Giá trị trung bình của mẫu số liệu là
\(\overline x = \frac{{21 + 22 + 23 + 24 + 25}}{5} = 23\).
Phương sai của mẫu số liệu là
\({s^2} = \frac{{{{\left( {21 - 23} \right)}^2} + {{\left( {22 - 23} \right)}^2} + {{\left( {23 - 23} \right)}^2} + {{\left( {24 - 23} \right)}^2} + {{\left( {25 - 23} \right)}^2}}}{5} = 2\). Chọn A.
Mẫu số liệu dưới đây cho biết sĩ số của 5 lớp trong một trường Trung học phổ thông.
43 45 46 41 40
Phương sai của mẫu số liệu trên là
\(43\).
\(2,28\).
\(26\).
\(5,2\).
Lời giải
Sĩ số trung bình là \(\overline x = \frac{{43 + 45 + 46 + 41 + 40}}{5} = 43\).
Phương sai của mẫu số liệu trên là
\[{s^2} = \frac{{{{\left( {43 - 43} \right)}^2} + {{\left( {45 - 43} \right)}^2} + {{\left( {46 - 43} \right)}^2} + {{\left( {41 - 43} \right)}^2} + {{\left( {40 - 43} \right)}^2}}}{5} = 5,2\]. Chọn D.
Điểm số 8 lượt bắn của một vận động viên bắn súng được cho như sau
5 7 7 10 9 8 8 6
Phương sai của mẫu số liệu trên bằng
\(2,25\).
\(2,15\).
\(1,5\).
\(2,5\).
Lời giải
Điểm trung bình của các lượt bắn là
\(\overline x = \frac{{5 + 7 + 7 + 10 + 9 + 8 + 8 + 6}}{8} = 7,5\).
Phương sai của mẫu số liệu trên bằng
\[{s^2} = \frac{{{{\left( {5 - 7,5} \right)}^2} + 2 \cdot {{\left( {7 - 7,5} \right)}^2} + {{\left( {10 - 7,5} \right)}^2} + {{\left( {9 - 7,5} \right)}^2} + 2 \cdot {{\left( {8 - 7,5} \right)}^2} + {{\left( {6 - 7,5} \right)}^2}}}{8} = 2,25\]. Chọn A.
Số sản phẩm sản xuất mỗi ngày của một phân xưởng trong 7 ngày liên tiếp được ghi lại như sau
22 21 24 28 27 32 21
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu này bằng
\(9\).
\(10\).
\(7\).
\(11\).
Lời giải
Khoảng biến thiên \(R = 32 - 21 = 11\). Chọn D.
Cho dãy các số liệu thống kê sau 1 3 4 13 \({x^2} - 1\) 18 19 21. Biết rằng dãy số liệu đó đã sắp xếp theo chiều không giảm và số trung vị trong mẫu số liệu đó bằng 14. Tìm số nguyên dương \(x\).
\(x = 4\).
\(x = 15\).
\(x = 16\).
\(x = 17\).
Lời giải
Mẫu số liệu có 8 giá trị nên \({M_e} = \frac{{13 + {x^2} - 1}}{2} = 14\)\( \Leftrightarrow x = 4\). Chọn A.
Dạng 2. Trắc nghiệm đúng sai
Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho bảng số liệu sau:
Giá trị | 21 | 32 | 18 | 24 | 25 | 26 |
Tần số | 7 | 6 | 3 | 8 | 6 | 10 |
Mốt của mẫu số liệu trên là 10.
Số trung bình của mẫu số liệu (làm tròn đến hàng phần chục) là 24,9.
Trung vị của mẫu số liệu trên là 24,5.
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu trên là 22,5.
Lời giải
a) Giá trị 26 có tần số lớn nhất nên mốt của mẫu số liệu trên là 26.
b) \(\overline x = \frac{{7 \cdot 21 + 6 \cdot 32 + 3 \cdot 18 + 8 \cdot 24 + 6 \cdot 25 + 10 \cdot 26}}{{7 + 6 + 3 + 8 + 6 + 10}} \approx 24,9\).
c) Mẫu số liệu có 40 giá trị nên trung vị của mẫu số liệu \({M_e} = \frac{{24 + 24}}{2} = 24\).
d) Trung vị của nửa mẫu số liệu bên trái \({Q_2}\) là \({Q_1} = \frac{{32 + 32}}{2} = 32\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
Cho mẫu số liệu về chiều cao đầu năm học của một nhóm học sinh lớp 10 như sau
Chiều cao (cm) | 150 | 155 | 160 | 165 | 170 |
Tần số | 25 | 28 | 103 | 44 | 13 |
Tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu là \(R = 10\).
Tứ phân vị thứ nhất là \({Q_1} = 157,5\).
Số trung bình cộng của mẫu số liệu là \(\overline x = 159,8\) (làm tròn đến hàng phần chục).
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là \(s = 5,492\)(làm tròn đến hàng phần nghìn).
Lời giải
a) Khoảng biến thiên \(R = 170 - 150 = 20\).
b) Mẫu số liệu có 213 giá trị nên \({Q_2} = 160\).
Trung vị của nửa mẫu số liệu bên trái \({Q_2}\) là \({Q_1} = \frac{{155 + 160}}{2} = 157,5\).
c) \(\overline x = \frac{{25 \cdot 150 + 28 \cdot 155 + 103 \cdot 160 + 44 \cdot 165 + 13 \cdot 170}}{{213}} \approx 159,8\).
d) Phương sai của mẫu số liệu
\({s^2} = \frac{1}{{213}}\left( \begin{array}{l}25 \cdot {\left( {150 - 159,8} \right)^2} + 28 \cdot {\left( {155 - 159,8} \right)^2} + 103 \cdot {\left( {160 - 159,8} \right)^2}\\ + 44 \cdot {\left( {165 - 159,8} \right)^2} + 13 \cdot {\left( {170 - 159,8} \right)^2}\end{array} \right) \approx 26,256\).
Độ lệch chuẩn \(s = \sqrt {26,256} \approx 5,124\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Cho mẫu số liệu sau 21 35 17 43 8 59 72 74 55. Khi đó
Viết mẫu theo thứ tự không giảm 8 17 21 35 43 55 59 72 74.
\({Q_2} = 42\).
\({Q_1} = 18\).
\({Q_3} = 65,5\).
Lời giải
a) Mẫu theo thứ tự không giảm 8 17 21 35 43 55 59 72 74.
b) Mẫu số liệu có 9 giá trị nên \({Q_2} = 43\).
c) Trung vị của nửa mẫu số liệu bên trái \({Q_2}\) là \({Q_1} = \frac{{17 + 21}}{2} = 19\).
d) Trung vị của nửa mẫu số liệu bên phải \({Q_2}\)là \({Q_3} = \frac{{59 + 72}}{2} = 65,5\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Cho mẫu số liệu
40 | 42 | 36 | 38 | 40 | 42 | 29 | 48 | 43 | 43 |
41 | 41 | 39 | 44 | 45 | 41 | 40 | 39 | 42 | 41 |
Giá trị nhỏ nhất của mẫu là 29.
Khoảng tứ phân vị.\({\Delta _Q} = 2\)
Giá trị lớn nhất của mẫu là 48.
Các giá trị bất thường là 29 và 48.
Lời giải
Sắp xếp lại mẫu số liệu theo thứ tự không giảm
29 | 36 | 38 | 39 | 39 | 40 | 40 | 40 | 41 | 41 | 41 | 41 | 42 | 42 | 42 | 43 | 43 | 44 | 45 | 48 |
a) Giá trị nhỏ nhất của mẫu là 29.
b) Mẫu số liệu có 20 giá trị nên \({Q_2} = \frac{{41 + 41}}{2} = 41\).
Trung vị nửa mẫu số liệu bên trái \({Q_2}\) là \({Q_1} = \frac{{39 + 40}}{2} = 39,5\).
Trung vị nửa mẫu số liệu bên phải \({Q_2}\) là \({Q_3} = \frac{{42 + 43}}{2} = 42,5\).
Khoảng tứ phân vị \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 42,5 - 39,5 = 3\).
c) Giá trị lớn nhất của mẫu là 48.
d) Có \({Q_1} - 1,5{\Delta _Q} = 35;{Q_3} + 1,5{\Delta _Q} = 47\).
Do đó mẫu số liệu có 2 giá trị bất thường là 29 và 48.
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Mẫu số liệu sau đây cho biết chiều cao của một nhóm học sinh (đơn vị: cm)
165 155 160 145 157 162 148 170 172 152
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là 27.
Chiều cao trung bình của nhóm học sinh là \(157,6\).
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là 13.
Mẫu số liệu có giá trị bất thường.
Lời giải
Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm
145 148 152 155 157 160 162 165 170 172
a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là \(R = 172 - 145 = 27\).
b) Chiều cao trung bình của nhóm học sinh là
\(\overline x = \frac{{145 + 148 + 152 + 155 + 157 + 160 + 162 + 165 + 170 + 172}}{{10}} = 158,6\).
c) Mẫu số liệu có 10 giá trị nên \({Q_2} = \frac{{157 + 160}}{2} = 158,5\).
Trung vị của nửa mẫu số liệu bên trái \({Q_2}\) là \({Q_1} = 152\).
Trung vị của nửa mẫu số liệu bên phải \({Q_2}\) là \({Q_3} = 165\).
Khoảng tứ phân vị \({\Delta _Q} = 165 - 152 = 13\).
d) Có \({Q_1} - 1,5{\Delta _Q} = 132,5;{Q_3} + 1,5{\Delta _Q} = 184,5\).
Mẫu số liệu không có giá trị nào nhỏ hơn 132,5 hoặc lớn hơn 184,5 nên mẫu số liệu không có giá trị bất thường.
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Cho mẫu số liệu: 15 20 1 2 4 6 7 5.
Phương sai là 38,25.
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là 10.
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là 6,84 (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là 8.
Lời giải
a) Giá trị trung bình của mẫu số liệu là
\(\overline x = \frac{{15 + 20 + 1 + 2 + 4 + 6 + 7 + 5}}{8} = 7,5\).
Phương sai là
\[{s^2} = \frac{1}{8}\left( \begin{array}{l}{\left( {15 - 7,5} \right)^2} + {\left( {20 - 7,5} \right)^2} + {\left( {1 - 7,5} \right)^2} + {\left( {2 - 7,5} \right)^2}\\ + {\left( {4 - 7,5} \right)^2} + {\left( {6 - 7,5} \right)^2} + {\left( {7 - 7,5} \right)^2} + {\left( {5 - 7,5} \right)^2}\end{array} \right) = 38,25\].
b) Khoảng biến thiên là \(R = 20 - 1 = 19\).
c) Độ lệch chuẩn \(s = \sqrt {38,25} \approx 6,18\).
d) Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm ta được: 1 2 4 5 6 7 15 20.
Mẫu số liệu có 8 giá trị nên \({Q_2} = \frac{{5 + 6}}{2} = 5,5\).
Trung vị của nửa mẫu số liệu bên trái \({Q_2}\) là \({Q_1} = \frac{{2 + 4}}{2} = 3\).
Trung vị của nửa mẫu số liệu bên phải \({Q_2}\) là \({Q_3} = \frac{{7 + 15}}{2} = 11\).
Khoảng tứ phân vị là \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 11 - 3 = 8\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Một công ty sử dụng dây chuyền A để đóng vào bao với khối lượng mong muốn là 5 kg. Trên bao bì ghi thông tin khối lượng là \(5 \pm 0,2\;{\rm{kg}}\). Gọi \(\overline a \) là khối lượng thực của một bao gạo do dây chuyền A đóng gói. Khi đó:
Số đúng là \(a = 0,2\).
Số gần đúng là \(\overline a = 5,2\).
Độ chính xác là \(d = 0,2\).
Giá trị của \(\overline a \) nằm trong đoạn \(\left[ {4,8;5,2} \right]\).
Lời giải
a) Số đúng là \(a = 5\).
b) Số gần đúng là \(\overline a = 5 \pm 0,2\).
c) Độ chính xác là \(d = 0,2\).
d) Giá trị của \(\overline a \) nằm trong đoạn \(\left[ {5 - 0,2;5 + 0,2} \right]\) hay \(\left[ {4,8;5,2} \right]\).
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Theo thống kê, dân số Việt Nam năm 2002 là 79715675 người. Giả sử sai số tuyệt đối của thống kê này không vượt quá 10000 người.
Khi đó viết dân số Việt Nam năm 2002 là \(79715675 \pm 10000\) người.
Số quy tròn của dân số Việt Nam năm 2002 là 79720000.
Số quy tròn của dân số Việt Nam năm 2002 là 79700000.
Sai số tương đối mắc phải là \({\delta _a} = \frac{{{\Delta _a}}}{a} = \frac{{10000}}{{79715675}} = 0,0001254\).
Lời giải
a) Dân số Việt Nam năm 2002 là \(79715675 \pm 10000\) người.
b) c) Độ chính xác đến hàng chục nghìn (\(d = 10000\)) nên ta quy tròn đến hàng trăm nghìn.
Số quy tròn của dân số Việt Nam năm 2002 là 79700000.
d) \({\delta _a} = \frac{{{\Delta _a}}}{a} = \frac{{10000}}{{79715675}} = 0,0001254\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Cho mẫu số liệu sau: 4 5 6 7 8 4 9 4 3. Khi đó:
Số trung bình là \(5,5\) (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
\({M_0} = 3\).
Trung vị là \({M_e} = 4\).
Tứ phân vị thứ ba là \({Q_3} = 7\).
Lời giải
a) Số trung bình \(\overline x = \frac{{4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 4 + 9 + 4 + 3}}{9} \approx 5,6\).
b) Có 3 lần xuất hiện giá trị 4 nên \({M_0} = 4\).
c) Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm ta được: 3 4 4 4 5 6 7 8 9.
Mẫu số liệu có 9 giá trị nên \({M_e} = 5\).
d) Trung vị của nửa mẫu số liệu bên phải \({Q_2}\) là \({Q_3} = \frac{{7 + 8}}{2} = 7,5\).
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Sai; d) Sai.
Cho bảng số liệu điểm thi giữa học kì I của 40 học sinh lớp 10.
Điểm | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
Tần số | 5 | 12 | 8 | 9 | 4 | 2 |
Điểm trung bình là 7,025.
Trung vị của mẫu số liệu là 7.
Phương sai của mẫu số liệu là 1,876.
Giáo viên sẽ thưởng cho 25% bạn có điểm cao xếp từ trên xuống. Có 15 bạn nhận thưởng.
Lời giải
a) Điểm trung bình của 40 học sinh là
\(\overline x = \frac{{5 \cdot 5 + 12 \cdot 6 + 8 \cdot 7 + 9 \cdot 8 + 4 \cdot 9 + 2 \cdot 10}}{{40}} = 7,025\).
b) Mẫu số liệu có 40 giá trị nên \({M_e} = \frac{{7 + 7}}{2} = 7\).
c) Phương sai là
\({s^2} = \frac{1}{{40}}\left[ \begin{array}{l}5 \cdot {\left( {5 - 7,025} \right)^2} + 12 \cdot {\left( {6 - 7,025} \right)^2} + 8 \cdot {\left( {7 - 7,025} \right)^2}\\ + 9 \cdot {\left( {8 - 7,025} \right)^2} + 4 \cdot {\left( {9 - 7,025} \right)^2} + 2 \cdot {\left( {10 - 7,025} \right)^2}\end{array} \right] \approx 1,874\).
d) Trung vị của nửa mẫu số liệu bên phải \({Q_2}\) là \({Q_3} = \frac{{8 + 8}}{2} = 8\).
Nên các bạn từ điểm 8 trở lên đều được nhận thưởng.
Do đó có 15 bạn được nhận thưởng.
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Dạng 3. Trắc nghiệm trả lời ngắn
Quy tròn số \(\overline b = 154925\) đến hàng nghìn ta được kết quả dạng \(\overline {1ab000} \) với \(a;b\) là các số tự nhiên. Tính \(P = a \cdot b\).
Lời giải
Số quy tròn của số \(\overline b = 154925\) đến hàng phần nghìn là 155000.
Khi đó \(a = 5;b = 5\)\( \Rightarrow P = 25\).
Trả lời: 25.
Trên bao bì của một sản phẩm có ghi khối lượng tịnh \(200 \pm 2\;{\rm{g}}\). Biết khối lượng đúng của bao bì sản phẩm đó thuộc đoạn \(\left[ {m;n} \right]\) với \(m;n\) là các số tự nhiên. Tính \(S = m + n\).
Lời giải
Khối lượng đúng của bao sản phẩm\(\overline a \) thuộc đoạn \(\left[ {198;202} \right]\).
Khi đó \(m = 198;n = 202 \Rightarrow S = 400\).
Trả lời: 400.
Trong một cuộc điều tra dân số, người ta viết dân số của một tỉnh là \(3574625 \pm 50000\) người. Sai số tương đối của số gần đúng này là bao nhiêu %? (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).
Lời giải
Sai số tương đối \({\delta _a} \le \frac{d}{{\left| a \right|}} = \frac{{50000}}{{3574625}} \approx 1,4\% \).
Trả lời: 1,4.
Bảng số liệu sau đây cho biết thời lượng (tính bằng giờ) tự học trong một tuần của một số học sinh lớp 10.
Thời lượng (giờ) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
Số học sinh | 2 | 6 | 4 | 9 | 7 | 3 |
Tìm giá trị của biểu thức \(H = {Q_3} - {Q_1} - {M_0}\).
Lời giải
Mẫu số liệu có 31 giá trị nên \({Q_2} = 3\).
Trung vị của nửa mẫu số liệu bên trái \({Q_2}\) là \({Q_1} = 1\).
Trung vị của nửa mẫu số liệu bên phải \({Q_2}\) là \({Q_3} = 4\).
Mốt của mẫu số liệu là \({M_0} = 3\).
Vậy \(H = {Q_3} - {Q_1} - {M_0} = 4 - 1 - 3 = 0\).
Trả lời: 0.
Hàm lượng calo trong 100 g của một số loại trái cây được thống kê như sau:
1 52 88 5 50 70 62 107 203
Mẫu số liệu trên có bao nhiêu giá trị bất thường?
Lời giải
Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm ta được: 1 5 50 52 62 70 88 107 203.
Mẫu số liệu có 9 giá trị nên \({Q_2} = 62\).
Trung vị của nửa mẫu số liệu bên trái \({Q_2}\) là \({Q_1} = \frac{{5 + 50}}{2} = 27,5\).
Trung vị của nửa mẫu số liệu bên phải \({Q_2}\) là \({Q_3} = \frac{{88 + 107}}{2} = 97,5\).
Khoảng tứ phân vị là \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 97,5 - 27,5 = 70\).
Có \({Q_1} - 1,5{\Delta _Q} = - 77,5;{Q_3} + 1,5{\Delta _Q} = 202,5\).
Mẫu số liệu có 1 giá trị lớn hơn 202,5. Do đó mẫu số liệu có 1 giá trị bất thường.
Trả lời: 1.
Quãng đường chạy bộ của một học sinh trong 8 ngày được ghi lại như sau (đơn vị: km)
8,5 6 9 5,5 7 3,5 6 10,5
Tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu.
Lời giải
Giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu là 3,5; giá trị lớn nhất của mẫu số liệu là 10,5.
Khoảng biến thiên là \(R = 10,5 - 3,5 = 7\).
Trả lời: 7.
Cho mẫu số liệu sau:
Giá trị | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
Tần số | 4 | 2 | 5 | 2 | 6 |
Tìm độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
Lời giải
Giá trị trung bình của mẫu số liệu là \(\overline x = \frac{{4 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 5 \cdot 4 + 2 \cdot 5 + 6 \cdot 6}}{{19}} = \frac{{80}}{{19}}\).
Phương sai của mẫu số liệu là
\({s^2} = \frac{{4 \cdot {{\left( {2 - \frac{{80}}{{19}}} \right)}^2} + 2 \cdot {{\left( {3 - \frac{{80}}{{19}}} \right)}^2} + 5 \cdot {{\left( {4 - \frac{{80}}{{19}}} \right)}^2} + 2 \cdot {{\left( {5 - \frac{{80}}{{19}}} \right)}^2} + 6 \cdot {{\left( {6 - \frac{{80}}{{19}}} \right)}^2}}}{{19}} = \frac{{820}}{{361}}\).
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là
\(s = \sqrt {\frac{{820}}{{361}}} \approx 1,51\).
Trả lời: 1,51.
Thời gian làm bài tập về nhà mỗi ngày của một nhóm học sinh được cho như sau (đơn vị: giờ)
0 2 1,5 1 1 1 0,5 0,5 1 1 1 1,5 1,5.
Tìm mốt của mẫu số liệu trên.
Lời giải
Số xuất hiện nhiều nhất trong mẫu số liệu là 1 (6 lần) nên mốt của mẫu số liệu bằng 1.
Trả lời: 1.
Quy tròn số 7216,4 đến hàng đơn vị, được số 7216. Tìm sai số tuyệt đối.
Lời giải
Sai số tuyệt đối là \({\Delta _a} = \left| {7216,4 - 7216} \right| = 0,4\).
Trả lời: 0,4.
Một cửa hàng bán đồ điện gia dụng thống kê số lượng máy lọc không khí bán được mỗi ngày trong tuần đầu tháng 11 năm 2025 như sau:
15 9 12 14 10 18 20
Tìm phương sai của mẫu số liệu.
Lời giải
Giá trị trung bình của mẫu số liệu là
\(\overline x = \frac{{15 + 9 + 12 + 14 + 10 + 18 + 20}}{7} = 14\).
Phương sai là
\[{s^2} = \frac{1}{7}\left[ \begin{array}{l}{\left( {15 - 14} \right)^2} + {\left( {9 - 14} \right)^2} + {\left( {12 - 14} \right)^2} + {\left( {14 - 14} \right)^2}\\ + {\left( {10 - 14} \right)^2} + {\left( {18 - 14} \right)^2} + {\left( {20 - 14} \right)^2}\end{array} \right] = 14\].
Trả lời: 14.
B. Tự luận
Điểm khảo sát trước kì thi học sinh giỏi của hai bạn học sinh A và B được ghi lại như sau:
Học sinh A | 9 | 8 | 10 | 8 | 9 | 9 | 10 |
Học sinh B | 10 | 6 | 10 | 10 | 10 | 8 | 9 |
a) Hãy tìm điểm trung bình của mỗi học sinh.
b) Hãy tính phương sai, độ lệch chuẩn về điểm của hai mẫu số liệu trên (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm). Bạn học sinh nào có kết quả học tập ổn định hơn?
Lời giải
a) Điểm trung bình của học sinh A là
\({\overline {{x_A}} ^2} = \frac{{2 \cdot 8 + 3 \cdot 9 + 2 \cdot 10}}{7} = 9\).
Điểm trung bình của học sinh B là
\({\overline {{x_B}} ^2} = \frac{{6 + 8 + 9 + 4 \cdot 10}}{7} = 9\).
b) Xét học sinh A.
\[{s_A}^2 = \frac{{2 \cdot {{\left( {8 - 9} \right)}^2} + 3 \cdot {{\left( {9 - 9} \right)}^2} + 2 \cdot {{\left( {10 - 9} \right)}^2}}}{7} = \frac{4}{7} \approx 0,57 \Rightarrow {s_A} \approx 0,76\] .
Xét học sinh B
\[{s_B}^2 = \frac{{{{\left( {6 - 9} \right)}^2} + {{\left( {8 - 9} \right)}^2} + {{\left( {9 - 9} \right)}^2} + 4 \cdot {{\left( {10 - 9} \right)}^2}}}{7} = 2 \Rightarrow {s_B} = \sqrt 2 \approx 1,41\].
Vậy bạn A có kết quả học tập ổn định hơn.
Nhiệt độ cao nhất trong 11 ngày cuối tháng 12 năm 2024 ở một tỉnh được thống kê lại ở bảng sau
Nhiệt độ (°C) | 14 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 |
Tần số | 1 | 1 | 1 | 2 | 1 | 2 | 2 | 1 |
a) Hãy tính khoảng biến thiên và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên.
b) Hãy tìm các giá trị bất thường (nếu có) của mẫu số liệu trên.
Lời giải
a) Khoảng biến thiên \(R = 22 - 14 = 8\).
Nhiệt độ trung bình là
\(\overline x = \frac{{14 + 16 + 17 + 2 \cdot 18 + 19 + 2 \cdot 20 + 2 \cdot 21 + 22}}{{11}} = \frac{{206}}{{11}}\).
Phương sai là
\[{s^2} = \frac{1}{{11}}\left[ \begin{array}{l}{\left( {14 - \frac{{206}}{{11}}} \right)^2} + {\left( {16 - \frac{{206}}{{11}}} \right)^2} + {\left( {17 - \frac{{206}}{{11}}} \right)^2} + 2 \cdot {\left( {18 - \frac{{206}}{{11}}} \right)^2} + {\left( {19 - \frac{{206}}{{11}}} \right)^2}\\ + 2 \cdot {\left( {20 - \frac{{206}}{{11}}} \right)^2} + 2 \cdot {\left( {21 - \frac{{206}}{{11}}} \right)^2} + {\left( {22 - \frac{{206}}{{11}}} \right)^2}\end{array} \right] = \frac{{640}}{{121}}\].
Độ lệch chuẩn \(s = \sqrt {\frac{{640}}{{121}}} \approx 2,3\).
b) Mẫu số liệu có 11 giá trị nên \({Q_2} = 19\).
Trung vị của nửa mẫu số liệu bên trái \({Q_2}\) là \({Q_1} = 17\).
Trung vị của nửa mẫu số liệu bên phải \({Q_2}\) là \({Q_3} = 21\).
Khoảng tứ phân vị là \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 4\).
Có \({Q_1} - 1,5{\Delta _Q} = 11;{Q_3} + 1,5{\Delta _Q} = 27\).
Mẫu số liệu không có giá trị nào nhỏ hơn 11 hoặc lớn hơn 27 nên nhóm không có giá trị bất thường.
Tổng số ca mắc Covid-19 tính đến ngày 26/8/2021 tại Thành phố Hồ Chí Minh và một số tỉnh lân cận được thống kê như sau:
190174 | 81182 | 19728 | 19048 | 8155 | 6103 | 5807 | 4544 |
3760 | 3297 | 2541 | 2000 | 1934 | 1602 | 1195 |
|
(Theo bộ y tế)
a) Tính số trung bình và trung vị cho dãy số liệu trên.
b) Giải thích tại sao số trung bình và trung vị lại khác nhau nhiều?
Lời giải
a) Số trung bình là \(\overline x = \frac{{190174 + 81182 + ... + 1195}}{{15}} \approx 23404,67\).
Sắp xếp dãy số liệu theo thứ tự không giảm
1195 | 1602 | 1934 | 2000 | 2541 | 3297 | 3760 | 4544 |
5807 | 6103 | 8155 | 19048 | 19728 | 81182 | 190174 |
|
Vì \(n = 15\) nên vị trí chính giữa là vị trí số 8. Do đó \({M_e} = 4544\).
b) Số trung bình lớn hơn trung vị nhiều là do trong dãy số có một giá trị rất lớn là 190174. Trung vị không bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường này.
Điểm kiểm tra của tất cả các học sinh lớp 10A được ghi lại trong bảng sau
Điểm | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
Tần số | 1 | 1 | 2 | 2 | 6 | 7 | 1 | 3 | 2 |
Biết rằng 25% số học sinh đạt điểm cao nhất của lớp sẽ được tuyên dương. An là một học sinh của lớp và được 7 điểm. Hỏi An có được tuyên dương không?
Lời giải
Mẫu số liệu có 25 giá trị nên trung vị của mẫu số liệu \({Q_2} = 6\).
Trung vị của nửa mẫu số liệu bên phải \({Q_2}\) là \({Q_3} = \frac{{6 + 7}}{2} = 6,5\).
Vì 25% số học sinh có điểm cao nhất của lớp sẽ có điểm lớn hơn hoặc bằng \({Q_3}\).
Do đó bạn An được tuyên dương.
Có ba bạn học sinh thay nhau đo chiều cao. Bạn thứ nhất đo được là \(168\;{\rm{cm}} \pm 1\;{\rm{cm}}\). Bạn thứ hai đo được \(181\;{\rm{cm}} \pm 2\;{\rm{cm}}\). Bạn thứ ba được được là \(148\;{\rm{cm}} \pm 1\;{\rm{cm}}\). Trong ba phép đo trên, phép đo nào chính xác nhất?
Lời giải
Phép đo thứ nhất có sai số tương đối là \({\delta _1} \le \frac{1}{{168}} \approx 0,595\% \).
Phép đo thứ hai có sai số tương đối là \({\delta _2} \le \frac{2}{{181}} \approx 1,105\% \).
Phép đo thứ ba có sai số tương đối là \({\delta _3} \le \frac{1}{{148}} \approx 0,676\% \).
Từ đó ta thấy phép đo thứ nhất chính xác hơn.
