Bài tập ôn tập Toán 10 Kết nối tri thức Chương 2 có đáp án
50 câu hỏi
Trong các bất phương trình sau đây, bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
\(3x - y \le 0\).
\({x^2} + 2x - 1 > 0\).
\({x^2} - 6y > 1\).
\(xy + 4y < 3\).
\(3x - y \le 0\) là bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Chọn A.
Cho bất phương trình \(x + 3y \le 3\). Khẳng định nào sau đây đúng?
Bất phương trình đã cho có đúng một nghiệm duy nhất.
Bất phương trình đã cho vô nghiệm.
Bất phương trình đã cho vô số nghiệm.
Bất phương trình đã cho có tập nghiệm là \(\left( { - \infty ;2} \right]\).
Bất phương trình \(x + 3y \le 3\) có vô số nghiệm. Chọn C.
Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
\( - 5x + y \le - 9\).
\({2^3}x - {3^2}y > 0\).
\(0 \cdot x - 0 \cdot y > 5\).
\(4y < 7\).
\(0 \cdot x - 0 \cdot y > 5\) không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Chọn C.
Miền nghiệm của bất phương trình \(3\left( {x - 1} \right) + 2y < 5\) là phần mặt phẳng không chứa điểm nào trong các điểm sau?
\(\left( { - 2;4} \right)\).
\(\left( {3;0} \right)\).
\(\left( {1;1} \right)\).
\(\left( {0;0} \right)\).
Thay tọa độ điểm \(\left( {3;0} \right)\) vào bất phương trình ta được \(3\left( {3 - 1} \right) + 2 \cdot 0 = 6 < 5\) (vô lí).
Vậy điểm \(\left( {3;0} \right)\) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Chọn B.
Đường thẳng \(d:2x - y - 2 = 0\) chia mặt phẳng tọa độ thành hai miền I, II là hai nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng \(d.\)
Xác định miền nghiệm của bất phương trình \(2x - y - 2 \ge 0\).
Nửa mặt phẳng I bỏ đi đường thẳng \(d\).
Nửa mặt phẳng I kể cả bờ \(d\).
Nửa mặt phẳng II kể cả bờ \(d\).
Nửa mặt phẳng II bỏ đi đường thẳng \(d\).
Thay tọa độ điểm \(\left( {2;0} \right)\) vào bất phương trình ta được \(2 \cdot 2 - 0 - 2 \ge 0\) (đúng).
Vậy miền nghiệm của bất phương trình \(2x - y - 2 \ge 0\) là nửa mặt phẳng I kể cả bờ \(d\). Chọn B.
Nửa mặt phẳng không tô màu (kể cả bờ) ở hình bên biểu diễn hình học miền nghiệm của bất phương trình nào?
\(3x + 2y > 2\).
\(3x + 2y < 2\).
\( - 3x + 2y \ge 2\).
\( - 3x + 2y \le 2\).
Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(\left( {0;1} \right)\) và \(\left( { - \frac{2}{3};0} \right)\) có phương trình là \( - 3x + 2y = 2\).
Điểm \(\left( { - 1;1} \right)\) thuộc miền nghiệm của bất phương trình nên bất phương trình cần tìm là \( - 3x + 2y \ge 2\). Chọn C.
Tập nghiệm của bất phương trình \(3x - 2y + 1 \ge 0\) là
Nửa mặt phẳng không chứa gốc tọa độ, bờ là đường thẳng \(3x - 2y + 1 = 0\) (bao gồm đường thẳng).
Nửa mặt phẳng chứa gốc tọa độ, bờ là đường thẳng \(3x - 2y + 1 = 0\) (bao gồm đường thẳng).
Nửa mặt phẳng không chứa gốc tọa độ, bờ là đường thẳng \(3x - 2y + 1 = 0\) (không bao gồm đường thẳng).
Nửa mặt phẳng không chứa gốc tọa độ, bờ là đường thẳng \(3x - 2y + 1 = 0\) (không bao gồm đường thẳng).
Thay điểm \(O\left( {0;0} \right)\) vào bất phương trình ta được: \(3 \cdot 0 - 2 \cdot 0 + 1 \ge 0\) (luôn đúng).
Vậy miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa gốc tọa độ, bờ là đường thẳng \(3x - 2y + 1 = 0\) (bao gồm đường thẳng). Chọn B.
Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 5y - 1 > 0\\2x + y + 5 > 0\\x + y + 1 < 0\end{array} \right.\)?
\(\left( {0;0} \right)\).
\(\left( {0;2} \right)\).
\(\left( {1;0} \right)\).
\(\left( {0; - 2} \right)\).
Thay tọa độ điểm \(\left( {0; - 2} \right)\) vào hệ bất phương trình ta được \(\left\{ \begin{array}{l}2 \cdot 0 - 5 \cdot \left( { - 2} \right) - 1 > 0\\2 \cdot 0 + \left( { - 2} \right) + 5 > 0\\0 + \left( { - 2} \right) + 1 < 0\end{array} \right.\)(đúng).
Vậy điểm \(\left( {0; - 2} \right)\) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Chọn D.
Hệ bất phương trình nào sau đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
\(\left\{ \begin{array}{l}2023x + 3y - 1 \le 0\\3x - xy + 5 > 0\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {1 - \sqrt 2 } \right)x + 3y - 1 > 0\\y - 1 > 0\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y - 1 > 0\\\frac{5}{x} - \frac{{2x}}{y} + 1 < 0\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x + 2024y - 1 \le 0\\3xy - \frac{1}{y} - 1 > 0\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {1 - \sqrt 2 } \right)x + 3y - 1 > 0\\y - 1 > 0\end{array} \right.\) là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Chọn B.
Cho hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 4y < 5\\x - 2y < 9\end{array} \right.\). Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho?
\(C\left( {10; - 2} \right)\).
\(A\left( {4;2} \right)\).
\(B\left( { - 4; - 8} \right)\).
\(O\left( {0;0} \right)\).
Thay tọa độ điểm \(O\left( {0;0} \right)\) vào hệ bất phương trình ta được \(\left\{ \begin{array}{l}2 \cdot 0 + 4 \cdot 0 < 5\\0 - 2 \cdot 0 < 9\end{array} \right.\) (đúng).
Vậy điểm \(O\left( {0;0} \right)\) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình. Chọn D.
Phần không tô màu ở hình bên là biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình nào?
\(x + 2y \le 3\).
\(2x + y < 3\).
\(x - 2y > - 3\).
\(x + 2y < 3\).
Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(\left( {3;0} \right)\) và \(\left( {0;\frac{3}{2}} \right)\) có phương trình là \(x + 2y = 3\).
Điểm \(O\left( {0;0} \right)\) thuộc miền nghiệm nên thay điểm \(O\left( {0;0} \right)\) vào biểu thức ta được \(0 + 2 \cdot 0 < 3\).
Vậy phần không tô màu là miền nghiệm của bất phương trình \(x + 2y < 3\). Chọn D.
Cho hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn có miền nghiệm là miền ngũ giác \(OABCD\), kể cả các cạnh (miền tô màu) trong hình vẽ. Biết \(\left( {x;y} \right)\) là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(F\left( {x,y} \right) = 5x + 2y\).
\(23\).
\(26\).
\(30\).
\(28\).
Biểu thức \(F\left( {x,y} \right) = 5x + 2y\) đạt giá trị lớn nhất tại một trong 5 điểm
\(O\left( {0;0} \right),A\left( {1;0} \right),B\left( {4;3} \right),C\left( {2;4} \right),D\left( {0;4} \right)\).
Ta có \(F\left( {0;0} \right) = 5 \cdot 0 + 2 \cdot 0 = 0\);
\(F\left( {1;0} \right) = 5 \cdot 1 + 2 \cdot 0 = 5\);
\(F\left( {4;3} \right) = 5 \cdot 4 + 2 \cdot 3 = 26\);
\(F\left( {2;4} \right) = 5 \cdot 2 + 2 \cdot 4 = 18\);
\(F\left( {0;4} \right) = 5 \cdot 0 + 2 \cdot 4 = 8\).
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(F\) là 26. Chọn B.
Cho hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn có miền nghiệm là miền tứ giác \(ABCD\), kể cả các cạnh (miền tô màu) trong hình vẽ. Biết \(\left( {x;y} \right)\) là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F\left( {x;y} \right) = 15x + 30y\).
\(60\).
\(120\).
\(105\).
\(45\).
Biểu thức \(F\left( {x;y} \right) = 15x + 30y\) đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong 4 điểm \(A\left( {0;2} \right),B\left( {2;3} \right),C\left( {3;2} \right),D\left( {1;1} \right)\).
Ta có \(F\left( {0;2} \right) = 15 \cdot 0 + 30 \cdot 2 = 60\);
\(F\left( {2;3} \right) = 15 \cdot 2 + 30 \cdot 3 = 120\);
\(F\left( {3;2} \right) = 15 \cdot 3 + 30 \cdot 2 = 105\);
\(F\left( {1;1} \right) = 15 \cdot 1 + 30 \cdot 1 = 45\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F\left( {x;y} \right) = 15x + 30y\) là 45. Chọn D.
Ông An muốn thuê một chiếc xe ô tô (có lái xe) trong một tuần. Giá thuê xe được cho như bảng sau:
| Phí cố định (nghìn đồng/ngày) | Phí tính theo quãng đường di chuyển (nghìn đồng/kilômét) |
Từ thứ Hai đến thứ Sáu | 900 | 8 |
Thứ Bảy và Chủ nhật | 1500 | 10 |
Gọi \(x,y\) lần lượt là số kilômét ông An đi trong các ngày từ thứ Hai đến thứ Sáu và trong hai ngày cuối tuần. Biết rằng tổng số tiền ông An phải trả không vượt quá 14 triệu đồng. Bất phương trình nào dưới đây biểu thị mối liên hệ giữa \(x\) và \(y\)?
\(4x + 5y < 3250\).
\(4x + 5y \le 3250\).
\(4x + 5y \ge 3250\).
\(4x - 5y \le 3250\).
Số tiền ông An phải trả khi đi trong các ngày từ thứ Hai đến thứ Sáu là \(900 \cdot 5 + 8 \cdot x\) (nghìn đồng).
Số tiền ông An phải trả khi đi trong hai ngày cuối tuần là \(1500 \cdot 2 + 10 \cdot y\) (nghìn đồng).
Theo đề ta có: \(900 \cdot 5 + 8x + 1500 \cdot 2 + 10y \le 14000\)\( \Leftrightarrow 4x + 5y \le 3250\). Chọn B.
Một công ty viễn thông tính phí 1000 đồng mỗi phút gọi nội mạng và 1500 đồng mỗi phút gọi ngoại mạng. Hỏi có thể sử dụng bao nhiêu phút gọi nội mạng và bao nhiêu phút gọi ngoại mạng trong 1 tháng để số tiền phải trả ít hơn 200000 đồng?
100 phút gọi nội mạng và 50 phút gọi ngoại mạng.
100 phút gọi nội mạng và 100 phút gọi ngoại mạng.
85 phút gọi nội mạng và 85 phút gọi ngoại mạng.
50 phút gọi nội mạng và 100 phút gọi ngoại mạng.
Gọi \(x,y\left( {x,y > 0} \right)\) lần lượt là số phút gọi nội mạng và ngoại mạng.
Theo đề ta có \(1000x + 1500y < 200000\)\( \Leftrightarrow 2x + 3y < 400\).
Thay \(x = 100;y = 50\) vào bất phương trình ta được \(2 \cdot 100 + 3 \cdot 50 < 400\) (đúng).
Vậy có thể sử dụng 100 phút gọi nội mạng và 50 phút gọi ngoại mạng. Chọn A.
Công ty A muốn đầu tư hai dây chuyền sản xuất để tăng năng suất từ số tiền tích lũy 32 tỷ đồng của mình. Biết rằng dây chuyền thứ nhất có giá bán là 11 tỷ đồng, dây chuyền thứ hai có giá bán 8 tỷ đồng. Công ty A đã đầu tư \(x\) dây chuyền thứ nhất và \(y\) dây chuyền thứ hai. Bất phương trình nào sau đây biểu thị mối liên hệ giữa \(x\) và \(y\) sao cho tổng số tiền đầu tư không vượt quá số tiền tích lũy của công ty A.
\(11x + 8y > 32\).
\(11x + 8y \ge 32\).
\(11x + 8y < 32\).
\(11x + 8y \le 32\).
Theo đề ta có \(11x + 8y \le 32\). Chọn D.
Giá trị lớn nhất của biểu thức \(F = y - x\) trên miền xác định bởi hệ \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y \le 2\\x - y \le 2\\5x + y \ge - 4\end{array} \right.\) là
\(F = - 2\) khi \(x = 1;y = - 1\).
\(F = - 3\) khi \(x = 1;y = - 2\).
\(F = 8\) khi \(x = - 2;y = 6\).
\(F = 0\) khi \(x = 0;y = 0\).
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tam giác \(ABC\) (kể các các cạnh) (phần tô màu) như hình vẽ.
Biểu thức \(F = y - x\) đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong ba điểm \(A\left( { - 2;6} \right),B\left( { - \frac{1}{3}; - \frac{7}{3}} \right),C\left( {\frac{4}{3}; - \frac{2}{3}} \right)\).
Khi đó \(F\left( { - 2;6} \right) = 6 + 2 = 8\); \(F\left( { - \frac{1}{3}; - \frac{7}{3}} \right) = - \frac{7}{3} + \frac{1}{3} = - 2\); \(F\left( {\frac{4}{3}; - \frac{2}{3}} \right) = - \frac{2}{3} - \frac{4}{3} = - 2\).
Vậy giá trị lớn nhất là \(F = 8\) khi \(x = - 2;y = 6\).Chọn C.
Cho biểu thức \(F\left( {x;y} \right) = x + 2y\) trên miền xác định bởi hệ \[\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\3x + 2y \le 6\end{array} \right.\].
Tìm giá trị lớn nhất của \(F\).
\(6\).
\(7\).
\(5\).
\(8\).
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tam giác \(OAB\) kể cả các cạnh (phần tô màu).
Biểu thức \(F\left( {x;y} \right) = x + 2y\)đạt giá trị lớn nhất tại một trong ba điểm \(O\left( {0;0} \right),A\left( {0;3} \right),B\left( {2;0} \right)\).
Ta có \(F\left( {0;0} \right) = 0 + 2 \cdot 0 = 0\); \(F\left( {0;3} \right) = 0 + 2 \cdot 3 = 6\); \(F\left( {2;0} \right) = 2 + 2 \cdot 0 = 2\).
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(F\) là 6. Chọn A.
Miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y \le 10\\ - 3 \le x \le 3\\ - 3 \le y \le 3\end{array} \right.\) là
Một nửa mặt phẳng.
Miền tam giác.
Miền tứ giác.
Miền ngũ giác.
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác (phần tô màu) như hình vẽ. Chọn C.
Trong hình vẽ dưới, phần mặt phẳng không bị tô màu (kể cả biên) là miền nghiệm của hệ bất phương trình nào dưới đây?
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y \le 0\\x + 3y \le - 2\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y \ge 0\\x + 3y \le - 2\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y \ge 0\\x + 3y \ge - 2\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y \le 0\\x + 3y \ge - 2\end{array} \right.\).
Từ hình vẽ ta thấy điểm \(\left( {0;1} \right)\) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình.
Thay tọa độ điểm \(\left( {0;1} \right)\) vào hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y \le 0\\x + 3y \ge - 2\end{array} \right.\) ta được \(\left\{ \begin{array}{l}0 - 2 \cdot 1 \le 0\\0 + 3 \cdot 1 \ge - 2\end{array} \right.\) (thỏa mãn).
Do đó phần không tô màu kể cả biên là miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y \le 0\\x + 3y \ge - 2\end{array} \right.\). Chọn D.
Miền nghiệm của bất phương trình \(x + y \ge 2\) (phần không tô màu) được biểu diễn bởi hình vẽ nào dưới đây?
Vẽ đường thẳng \(x + y = 2\)trên mặt phẳng tọa độ.
Thay tọa độ điểm \(O\left( {0;0} \right)\) vào bất phương trình ta được \(0 + 0 \ge 2\) (vô lí).
Vậy điểm \(O\left( {0;0} \right)\) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình.
Vậy miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không chứa điểm \(O\left( {0;0} \right)\) bờ là đường thẳng \(x + y = 2\) (bao gồm đường thẳng \(x + y = 2\)). Chọn B.
Phần không tô màu trong hình vẽ dưới (không chứa biên), biểu diễn tập nghiệm của hệ bất phương trình nào trong các hệ bất phương trình sau?
\(\left\{ \begin{array}{l}x - y > 0\\2x - y \ge 1\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x - y > 0\\2x - y > 1\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x - y < 0\\2x - y > 1\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x - y < 0\\2x - y < 1\end{array} \right.\).
Từ hình vẽ, ta có điểm \(\left( {2;0} \right)\) thuộc miền nghiệm của hệ.
Thay \(\left( {2;0} \right)\) vào hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x - y > 0\\2x - y > 1\end{array} \right.\) ta được \(\left\{ \begin{array}{l}2 - 0 > 0\\2 \cdot 2 - 0 > 1\end{array} \right.\) (đúng).
Vậy phần không tô màu (không chứa biên) biểu diện tập nghiệm của bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - y > 0\\2x - y > 1\end{array} \right.\). Chọn B.
Trong các hệ sau hệ nào không phải là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
\(\left\{ \begin{array}{l}2x + y + 2 \ge 0\\5x + 2y + 3 > 0\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x + {y^2} = 3\\x - 5y - 3 = 0\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l} - 2x + y > 2\\x + y < 2\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}y - 2 < 0\\x + 5 \ge 0\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x + {y^2} = 3\\x - 5y - 3 = 0\end{array} \right.\) không phải là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Chọn B.
Trong các cặp số \(\left( {x;y} \right)\) sau, cặp nào không là nghiệm của hệ bất phương trình sau: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 3 < 0\\2x - y + 5 \ge 0\end{array} \right.\)
\(\left( {1;0} \right)\).
\(\left( {2;2} \right)\).
\(\left( { - 2; - 2} \right)\).
\(\left( { - 1; - 2} \right)\).
Thay tọa độ điểm \(\left( {2;2} \right)\) vào hệ bất phương trình ta được \(\left\{ \begin{array}{l}2 + 2 - 3 < 0\\2 \cdot 2 - 2 + 5 \ge 0\end{array} \right.\) (vô lí).
Do đó điểm \(\left( {2;2} \right)\) không là nghiệm của hệ bất phương trình. Chọn B.
Bạn Nam làm một bài thi giữa học kì 1 môn Toán. Đề thi gồm 35 câu hỏi trắc nghiệm và 3 câu hỏi tự luận. Khi làm đúng mỗi câu trắc nghiệm được 0,2 điểm, làm đúng mỗi câu tự luận được 1 điểm. Giả sử bạn Nam làm đúng \(x\) câu trắc nghiệm và \(y\) câu tự luận. Viết bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(x,y\) để đảm bảo Nam được ít nhất 9 điểm.
\(0,2x + y \ge 9\).
\(0,2x + y \le 9\).
\(x + 0,2y \le 9\).
\(x + 0,2y > 9\).
Để đảm bảo Nam được ít nhất 9 điểm thì \(0,2x + y \ge 9\). Chọn A.
Bạn Nam tiết kiệm được 450 nghìn đồng. Trong đợt ủng hộ các bạn học sinh đồng bào miền Trung bị lũ lụt vừa qua, bạn Nam đã ủng hộ \(x\) tờ tiền loại 20 nghìn đồng, \(y\) tờ tiền loại 10 nghìn đồng. Khi đó:
Tổng số tiền loại 20 nghìn đồng mà bạn Nam đã ủng hộ là \(20x\) nghìn đồng.
Tổng số tiền loại 10 nghìn đồng mà bạn Nam đã ủng hộ là \(20y\) nghìn đồng.
Tổng số tiền bạn Nam đã ủng hộ là \(20x + 10y\) nghìn đồng.
Bất phương trình biểu thị số tiền đã ủng hộ của bạn Nam là \(20x + 10y \le 450\).
a) Tổng số tiền loại 20 nghìn đồng mà bạn Nam đã ủng hộ là \(20x\) nghìn đồng.
b) Tổng số tiền loại 10 nghìn đồng mà bạn Nam đã ủng hộ là \(10y\) nghìn đồng.
c) Tổng số tiền bạn Nam đã ủng hộ là \(20x + 10y\) nghìn đồng.
d) Bất phương trình biểu thị số tiền đã ủng hộ của bạn Nam là \(20x + 10y \le 450\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Mỗi bãi đỗ xe ban đêm có diện tích đậu xe là 150 m2 (không tính lối đi cho xe ra vào). Cho biết xe du lịch cần diện tích 3 m2/ chiếc và phải trả phí 40 nghìn đồng, xe tải cần diện tích 5 m2/chiếc và phải trả phí 50 nghìn đồng. Nhân viên quản lí không thể phục vụ quá 40 xe một đêm. Hỏi bãi giữ xe nên cho đăng kí mỗi loại xe bao nhiêu chiếc xe để doanh thu lớn nhất? Gọi \(x\) là số xe du lịch và \(y\) là số xe tải mà chủ bãi xe nên cho xe đỗ một đêm. Khi đó:
Điều kiện \(x \ge 0;y \ge 0\).
Giải bài toán trên bằng cách lập hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn thì biểu diễn hình học miền nghiệm của hệ là một hình tam giác.
Tổng doanh thu của bãi xe trong 1 đêm là \(40x + 50y\).
Để có doanh thu cao nhất, chủ bãi xe cho đăng kí 25 chiếc xe du lịch và 15 chiếc xe tải một đêm.
a) Điều kiện \(x \ge 0;y \ge 0\).
b) Tổng diện tích cho \(x\) là số xe du lịch và \(y\) là số xe tải là \(3x + 5y\) (m2).
Theo đề ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\3x + 5y \le 150\\x + y \le 40\end{array} \right.\).
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác \(OABC\), kể cả các cạnh (phần tô màu) với \(O\left( {0;0} \right),A\left( {0;30} \right),B\left( {25;15} \right),C\left( {40;0} \right)\).
c) Tổng doanh thu của bãi xe trong 1 đêm là \(F\left( {x,y} \right) = 40x + 50y\).
d) Doanh thu của bãi xe đạt giá trị lớn nhất tại 1 trong 4 điểm \(O\left( {0;0} \right),A\left( {0;30} \right),B\left( {25;15} \right),C\left( {40;0} \right)\).
Khi đó \(F\left( {0,0} \right) = 40 \cdot 0 + 50 \cdot 0 = 0\); \(F\left( {0;30} \right) = 40 \cdot 0 + 50 \cdot 30 = 1500\);
\(F\left( {25,15} \right) = 40 \cdot 25 + 50 \cdot 15 = 1750\); \(F\left( {40;0} \right) = 40 \cdot 40 + 50 \cdot 0 = 1600\).
Vậy để có doanh thu cao nhất, chủ bãi xe cho đăng kí 25 chiếc xe du lịch và 15 chiếc xe tải một đêm.
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Cho bất phương trình \(3x + 2y \ge 6\) (*).
Miền nghiệm của bất phương trình (*) chứa đường thẳng \(\Delta :3x + 2y = 6\).
Bất phương trình \(\left( * \right)\) có vố số nghiệm.
Miền nghiệm của bất phương trình (*) là nửa mặt phẳng (phần không tô màu), tính cả bờ \(\Delta :3x + 2y = 6\) (như hình vẽ).
Cặp số \(\left( {0;0} \right)\) là một nghiệm của bất phương trình (*).
a) Miền nghiệm của bất phương trình (*) chứa đường thẳng \(\Delta :3x + 2y = 6\).
b) Bất phương trình \(\left( * \right)\) có vố số nghiệm.
c) Thay tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\) vào bất phương trình ta được \(3 \cdot 0 + 2 \cdot 0 \ge 6\) (vô lí).
Do đó miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không chứa điểm O bờ là đường thẳng \(\Delta :3x + 2y = 6\) (kể cả đường thẳng \(\Delta :3x + 2y = 6\)) (phần không tô màu).
d) Cặp số \(\left( {0;0} \right)\) không là một nghiệm của bất phương trình (*).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Cho hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} - 2x + y \le 2\\ - x + 2y \ge 4\\x + y \le 5\end{array} \right.\) có miền nghiệm là miền D.
Hệ bất phương trình trên là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Cặp số \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;3} \right)\) là nghiệm của hệ bất phương trình trên.
Miền nghiệm \(D\) của hệ bất phương trình trên là một tứ giác.
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F\left( {x,y} \right) = - x + y\) trên miền D xác định bởi hệ trên bằng 1.
a) Hệ bất phương trình trên là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
b) Thay cặp số \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;3} \right)\) vào hệ bất phương trình ta được \(\left\{ \begin{array}{l} - 2 \cdot 1 + 3 \le 2\\ - 1 + 2 \cdot 3 \ge 4\\1 + 3 \le 5\end{array} \right.\) (đúng).
Vậy cặp số \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;3} \right)\) là nghiệm của hệ bất phương trình trên.
c) Miền nghiệm D của hệ là miền tam giác \(ABC\), kể cả các cạnh (phần tô màu) với \(A\left( {0;2} \right),B\left( {2;3} \right),C\left( {1;4} \right)\)
d) Biểu thức \(F\left( {x,y} \right) = - x + y\) đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong 3 điểm \(A\left( {0;2} \right),B\left( {2;3} \right),C\left( {1;4} \right)\).
Khi đó \(F\left( {0,2} \right) = 0 + 2 = 2\); \(F\left( {2,3} \right) = - 2 + 3 = 1\); \(F\left( {1,4} \right) = - 1 + 4 = 3\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F\left( {x,y} \right) = - x + y\) trên miền D xác định bởi hệ trên bằng 1.
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Cho hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y \le 3\\x - y \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.\).
Có 2 giá trị nguyên của \(m\) để \(\left( {x;y} \right) = \left( {m;1} \right)\) là nghiệm của hệ bất phương trình trên.
\(\left( {x;y} \right) = \left( {1;2} \right)\) là nghiệm của hệ bất phương trình trên.
Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là một miền tam giác tô màu dưới đây
Với \(x,y\) thỏa mãn hệ bất phương trình trên, giá trị lớn nhất của hàm \(F = 2x + 3y\) bằng 5.
a) Thay \(\left( {x;y} \right) = \left( {m;1} \right)\) vào hệ ta được \(\left\{ \begin{array}{l}2m + 1 \le 3\\m - 1 \ge 0\\1 \ge 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 1\\m \ge 1\end{array} \right.\)\( \Rightarrow m = 1\).
Vậy có 1 giá trị nguyên của \(m\).
b) Thay \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;2} \right)\)vào hệ bất phương trình ta được \(\left\{ \begin{array}{l}2 \cdot 1 + 2 \le 3\\1 - 2 \ge 0\\2 \ge 0\end{array} \right.\) (vô lí).
Vậy \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;2} \right)\) không là nghiệm của hệ bất phương trình trên.
c) Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là một miền tam giác \(ABC\) (phần tô màu) với \(O\left( {0;0} \right),A\left( {1;1} \right),B\left( {\frac{3}{2};0} \right)\).
d) Biểu thức \(F = 2x + 3y\) đạt giá trị lớn nhất tại một trong ba điểm \(O\left( {0;0} \right),A\left( {1;1} \right),B\left( {\frac{3}{2};0} \right)\).
Khi đó \(F\left( {0,0} \right) = 0;F\left( {1;1} \right) = 5;F\left( {\frac{3}{2};0} \right) = 3\).
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(F = 2x + 3y\) là 5.
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Một cửa hàng dành tối đa 10 triệu để nhập \(x\) tạ gạo và \(y\) tạ mì. Biết mỗi tạ gạo mua hết 1,5 triệu, mỗi tạ mì mua hết 1,2 triệu. Khi đó:
Bất phương trình biểu thị mối liên hệ giữa \(x\) và \(y\) là \(1,5x + 1,2y \le 10\).
Bất phương trình biểu thị mối liên hệ giữa \(x\) và y là \(1,5x + 1,2y \ge 10\).
Miền nghiệm của bất phương trình \(1,5x + 1,2y \le 10\) là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng \(d:1,5x + 1,2y = 10\) chứa điểm \(O\left( {0;0} \right)\).
Miền nghiệm của bất phương trình \(1,5x + 1,2y \le 10\) là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng \(d:1,5x + 1,2y = 10\) không chứa điểm \(O\left( {0;0} \right)\).
Bất phương trình biểu thị mối liên hệ giữa \(x\) và \(y\) là \(1,5x + 1,2y \le 10\).
Thay tọa độ điểm \(O\left( {0;0} \right)\)vào bất phương trình ta được \(1,5 \cdot 0 + 1,2 \cdot 0 \le 10\) (đúng)
Vậy miền nghiệm của bất phương trình \(1,5x + 1,2y \le 10\) là nửa là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng \(d:1,5x + 1,2y = 10\) chứa điểm \(O\left( {0;0} \right)\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Cho hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y - 6 \le 0\\x \ge 0\\2x - 3y - 1 \le 0\end{array} \right.\).
Hệ trên là một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
\(\left( {0;0} \right)\) là một nghiệm của hệ bất phương trình trên.
\(\left( {1; - 1} \right)\)là một nghiệm của hệ bất phương trình trên.
Biểu thức \(L = y - x\) đạt giá trị lớn nhất là \(a\) và đạt giá trị nhỏ nhất là \(b\). Khi đó \(a + b = \frac{7}{2}\).
a) Hệ trên là một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
b) Thay điểm \(\left( {0;0} \right)\) vào hệ bất phương trình ta được \(\left\{ \begin{array}{l}2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 - 6 \le 0\\0 \ge 0\\2 \cdot 0 - 3 \cdot 0 - 1 \le 0\end{array} \right.\) (đúng).
Vậy \(\left( {0;0} \right)\) là một nghiệm của hệ bất phương trình trên.
c) Thay điểm \(\left( {1; - 1} \right)\) vào hệ bất phương trình ta được \(\left\{ \begin{array}{l}2 \cdot 1 + 3 \cdot \left( { - 1} \right) - 6 \le 0\\1 \ge 0\\2 \cdot 1 - 3 \cdot \left( { - 1} \right) - 1 \le 0\end{array} \right.\) (vô lí).
Vậy \(\left( {1; - 1} \right)\)không là một nghiệm của hệ bất phương trình trên.
d) Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tam giác \(ABC\), kể cả các cạnh (phần tô màu) với \(A\left( {0;2} \right),B\left( {\frac{7}{4};\frac{5}{6}} \right),C\left( {0; - \frac{1}{3}} \right)\).
Biểu thức \(L = y - x\) đạt giá trị lớn nhất, đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong ba điểm \(A\left( {0;2} \right),B\left( {\frac{7}{4};\frac{5}{6}} \right),C\left( {0; - \frac{1}{3}} \right)\).
Ta có \(L\left( {0,2} \right) = 2 - 0 = 2\); \(L\left( {\frac{7}{4},\frac{5}{6}} \right) = \frac{5}{6} - \frac{7}{4} = - \frac{{11}}{{12}}\); \(L\left( {0, - \frac{1}{3}} \right) = - \frac{1}{3} - 0 = - \frac{1}{3}\).
Vậy \(a = 2;b = - \frac{{11}}{{12}}\). Suy ra \(a + b = \frac{{13}}{{12}}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
Bác Minh có kế hoạch đầu tư không quá 240 triệu đồng vào hai khoản X và khoản Y. Để đạt được lợi nhuận thì khoản Y phải đầu tư ít nhất 40 triệu đồng và số tiền đầu tư cho khoản X phải ít nhất gấp ba lần số tiền cho khoản Y. Khi đó:
Gọi \(x,y\) (đơn vị: triệu đồng) lần lượt là số tiền bác Minh đầu tư vào khoản X và khoản Y ta có hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y \le 240\\y \ge 40\\x \ge 3y\end{array} \right.\).
Miền nghiệm của hệ bất phương trình tiền bác Minh đầu tư vào kho là một tứ giác.
Điểm \(C\left( {200;40} \right)\) không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình tiền bác Minh đầu tư vào kho.
Điểm \(B\left( {180;60} \right)\) là điểm có tung độ lớn nhất thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình tiền bác Minh đầu tư vào kho.
a) Theo đề ta có hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y \le 240\\y \ge 40\\x \ge 3y\end{array} \right.\).
b) Miền nghiệm của bất phương trình là miền tam giác \(ABC\), kể cả các cạnh (phần tô màu) như hình.
c) Thay tọa độ điểm \(C\left( {200;40} \right)\) vào hệ bất phương trình ta được \(\left\{ \begin{array}{l}200 + 40 \le 240\\40 \ge 40\\200 \ge 3 \cdot 40\end{array} \right.\) (đúng).
Vậy điểm \(C\left( {200;40} \right)\)thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình tiền bác Minh đầu tư vào kho.
d) Dựa vào miền nghiệm của hệ bất phương trình câu b, ta có điểm \(B\left( {180;60} \right)\) là điểm có tung độ lớn nhất thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình tiền bác Minh đầu tư vào kho.
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
An thích ăn hai loại trái cây là cam và xoài, mỗi tuần mẹ cho An 200000 đồng để mua trái cây. Biết rằng giá cam là 15000 đồng/1 kg, giá xoài là 30000 đồng/1 kg. Gọi \(x,y\) lần lượt là số kg cam và xoài mà An có thể mua về sử dụng trong 1 tuần. Khi đó:
Trong tuần, số tiền An có thể mua cam là \(15000x\) đồng, số tiền An có thể mua xoài là \(30000y\) đồng (\(x,y > 0\)).
Bất phương trình bậc nhất đã cho hai ẩn \(x,y\) là \(3x + 6y \ge 40\).
Cặp số \(\left( {5;4} \right)\)thỏa mãn bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(x,y\).
An có thể mua \(4\)kg cam, 5 kg xoài trong tuần.
a) Trong tuần, số tiền An có thể mua cam là \(15000x\) đồng, số tiền An có thể mua xoài là \(30000y\) đồng (\(x,y > 0\)).
b) Theo đề có \(15000x + 30000y \le 200000\)\( \Leftrightarrow 3x + 6y \le 40\).
c) Thay \(\left( {5;4} \right)\) vào bất phương trình ta được \(3 \cdot 5 + 6 \cdot 4 \le 40\) (đúng).
Vậy cặp số \(\left( {5;4} \right)\)thỏa mãn bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(x,y\).
d) Thay \(x = 4;y = 5\) vào bất phương trình ta được \(3 \cdot 4 + 6 \cdot 5 \le 40\) (vô lí).
Vậy An không thể mua \(4\)kg cam, 5 kg xoài trong tuần.
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Một cửa hàng ăn vặt bán trà sữa và bánh ngọt. Mỗi ly trà sữa lãi 7 nghìn đồng, mỗi cái bánh ngọt lãi 5 nghìn đồng. Giả sử cửa hàng bán \(x\)ly trà sữa và \(y\) cái bánh ngọt trong một ngày. Bất phương trình biểu thị mỗi liên hệ giữa \(x\) và \(y\) để cửa hàng đo thu được số lãi lớn hơn 350 nghìn đồng trong một ngày có dạng \(7x + by > c\)(\(b,c\) là các số nguyên dương). Khi đó, giá trị \(S = 3b + 4c\) bằng bao nhiêu?
Số tiền lãi khi bán \(x\) ly trà sữa là \(7x\) nghìn đồng;
Số tiền lãi khi bán \(y\) cái bánh ngoạt là \(5y\) nghìn đồng.
Theo đề ta có \(7x + 5y \ge 350\).
Suy ra \(b = 5;c = 350\). Khi đó \(S = 3b + 4c = 3 \cdot 5 + 4 \cdot 350 = 1415\).
Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm là sản phẩm loại I và sản phẩm loại II:
- Mỗi kg sản phẩm loại I cần 2 kg nguyên liệu và 30 giờ, thu lời được 40 nghìn đồng.
- Mỗi kg sản phẩm loại II cần 4 kg nguyên liệu và 15 giờ, thu lời được 30 nghìn đồng.
Xưởng có 200 kg nguyên liệu và 1200 giờ làm việc tối đa. Gọi \(x,y\) lần lượt là số sản phẩm loại I và loại II mà xưởng sản xuất để thu được lợi nhuận lớn nhất. Tính tổng \(x + y\).
Theo đề ta có hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\2x + 4y \le 200\\30x + 15y \le 1200\end{array} \right.\)(I).
Lợi nhuận thu được là \(F\left( {x,y} \right) = 40x + 30y\).
Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(F\left( {x,y} \right) = 40x + 30y\) trên miền nghiệm của hệ bất phương trình (I).
Miền nghiệm của bất phương trình là miền tứ giác \(OABC\), kể cả các cạnh (phần tô màu) với \(O\left( {0;0} \right),A\left( {0;50} \right),B\left( {20;40} \right),C\left( {40;0} \right)\).
Khi đó \(F\left( {0,0} \right) = 40 \cdot 0 + 30 \cdot 0 = 0\); \(F\left( {0,50} \right) = 40 \cdot 0 + 30 \cdot 50 = 1500\);
\(F\left( {20,40} \right) = 40 \cdot 20 + 30 \cdot 40 = 2000\); \(F\left( {40,0} \right) = 40 \cdot 40 + 30 \cdot 0 = 1600\).
Lợi nhuận lớn nhất là 2000 nghìn đồng khi sản xuất 20 sản phẩm loại I, 40 sản phẩm loại II.
Suy ra \(x = 20;y = 40\). Do đó \(x + y = 60\).
Cho hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le y \le 4\\x \ge 0\\x - y - 1 \le 0\\x + 2y - 10 \le 0\end{array} \right.\) có miền nghiệm là miền ngũ giác \(ABCOE\) (tham khảo hình vẽ).
Với \(\left( {x;y} \right)\) là nghiệm của hệ bất phương trình trên, giá trị lớn nhất của biểu thức \(F\left( {x,y} \right) = 5x + 2y\) bằng bao nhiêu?
Biểu thức \(F\left( {x,y} \right) = 5x + 2y\) đạt giá trị lớn nhất tại một trong 5 điểm
\(O\left( {0;0} \right),A\left( {4;3} \right),B\left( {2;4} \right),C\left( {0;4} \right),E\left( {1;0} \right)\).
Khi đó \(F\left( {0,0} \right) = 5 \cdot 0 + 2 \cdot 0 = 0\); \(F\left( {4,3} \right) = 5 \cdot 4 + 2 \cdot 3 = 26\); \(F\left( {2,4} \right) = 5 \cdot 2 + 2 \cdot 4 = 18\);
\(F\left( {0,4} \right) = 5 \cdot 0 + 2 \cdot 4 = 8\); \(F\left( {1,0} \right) = 5 \cdot 1 + 2 \cdot 0 = 5\).
Giá trị lớn nhất của biểu thức \(F\left( {x,y} \right) = 5x + 2y\) là 26.
Nhu cầu canxi tối thiểu cho một người đang ở độ tuổi trưởng thành trong một ngày là 1000 mg. Trong một lạng đậu nành có 277 mg canxi, một lạng thị bò có 18 mg canxi. Gọi \(x,y\) lần lượt là số lạng đậu nành và số lạng thịt bò mà một người đang ở độ tuổi trưởng thành ăn trong một ngày. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(x,y\) để biểu diễn lượng canxi cần thiết trong một ngày của một người đang trong độ tuổi trưởng thành có dạng \(bx + 18y \ge a\) với \(a,b\) là các số nguyên dương. Tính giá trị \(T = \frac{a}{2} - b\).
Theo đề ta có \(277x + 18y \ge 1000\).
Suy ra \(b = 277;a = 1000\). Do đó \(T = \frac{a}{2} - b = \frac{{1000}}{2} - 277 = 223\).
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc đoạn \(\left[ {0;20} \right]\) để cặp số \(x = 3;y = 2\) là nghiệm của bất phương trình \(2x + \left( {m - 1} \right)y \le 24\).
Vì \(x = 3;y = 2\) là nghiệm của bất phương trình nên \(2 \cdot 3 + \left( {m - 1} \right) \cdot 2 \le 24\)\( \Leftrightarrow m \le 10\).
Mà \(m\) nguyên và \(m \in \left[ {0;20} \right]\) nên \(m \in \left\{ {0;1;2;...;10} \right\}\).
Vậy số 11 số nguyên \(m\) thỏa mãn.
Để chuẩn bị đồ dùng học tập cho năm học mới, mẹ cho An 100000 đồng để đi mua dụng cụ học tập. Sau khi lên danh sách đồ dùng còn thiếu, Hoa quyết định đi mua bút bi và quyển vở để ghi chép. Biết giá tiền của một chiếc bút bi là 5000 đồng và giá tiền một quyển vở là 7000 đồng. Hỏi An có thể mua tối đa bao nhiêu chiếc bút bi để không quá số tiền mà mẹ cho, biết rằng An đã mua 10 quyển vở.
Gọi \(x,y\left( {x,y \in \mathbb{N}} \right)\) lần lượt là số quyển vở và bút bi An mua.
Theo đề ta có \(7000x + 5000y \le 100000\)\( \Leftrightarrow 7x + 5y \le 100\).
Mà An đã mua 10 quyển vở nên \(x = 10\).
Khi đó \(7 \cdot 10 + 5y \le 100\)\( \Leftrightarrow y \le 6\).
Vậy An có thể mua tối đa 6 chiếc bút bi.
Bạn Hoa có 30000 đồng để đi mua vở và bút. Vở có giá 6000 đồng một quyển, bút có giá 8000 đồng một chiếc. Hỏi bạn Hoa có thể mua tối đa bao nhiêu bút sao cho mua được cả hai loại?
Gọi \(x,y\left( {x,y \in {\mathbb{N}^*}} \right)\) lần lượt là số vở và bút bạn Hoa có thể mua.
Theo bài ta có \(6x + 8y \le 30\).
Ta lấy gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\) thay vào bất phương trình ta được \(6 \cdot 0 + 8 \cdot 0 \le 30\)(đúng).
Vậy miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng \(d:6x + 8y = 30\) chứa gốc tọa độ, (kể cả đường thẳng \(d\)) (miền tô màu).
Vì \(x,y \ge 1\) nên các cặp \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn là \(\left( {1;1} \right),\left( {1;2} \right),\left( {1;3} \right),\left( {2;1} \right),\left( {2;2} \right),\left( {3;1} \right)\).
Vậy bạn Hoa có thể mua được nhiều nhất 3 chiếc bút sao cho có cả hai loại.
Trong 1 lạng (100 g) thịt bò chứa khoảng 26 g protein, 1 lạng cá rô phi chứa khoảng 20 g protein. Trung bình trong một ngày, một người phụ nữ cần tối thiểu 46 g protein. Gọi \(x,y\) lần lượt là số lạng thịt bò và số lạng cá rô phi mà một người phụ nữ nên ăn trong một ngày. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(x,y\) để biểu diễn lượng protein cần thiết cho một người phụ nữ trong một ngày có dạng \(ax + by \ge 46\) với \(a,b\) là các số nguyên dương. Tính giá trị \(S = a - b\).
Theo đề ta có \(26x + 20y \ge 46\).
Suy ra \(a = 26;b = 20\). Do đó \(S = a - b = 26 - 20 = 6\).
Cho biểu thức \(T = 3x - 2y - 4\) với \(x\) và \(y\) thỏa mãn hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - y - 1 \le 0\\x + 4y + 9 \ge 0\\x - 2y + 3 \ge 0\end{array} \right.\). Biết \(T\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(x = {x_0}\) và \(y = {y_0}\). Tính \(x_0^2 + y_0^2\).
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tam giác \(ABC\), kể cả các cạnh (phần tô màu) như hình vẽ với \(A\left( { - 5; - 1} \right),B\left( { - 1; - 2} \right),C\left( {5;4} \right)\).
Biểu thức \(T = 3x - 2y - 4\) đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong ba điểm \(A\left( { - 5; - 1} \right),B\left( { - 1; - 2} \right),C\left( {5;4} \right)\).
Ta có \(T\left( { - 5, - 1} \right) = 3 \cdot \left( { - 5} \right) - 2 \cdot \left( { - 1} \right) - 4 = - 17\); \(T\left( { - 1, - 2} \right) = 3 \cdot \left( { - 1} \right) - 2 \cdot \left( { - 2} \right) - 4 = - 3\);
\(T\left( {5,4} \right) = 3 \cdot 5 - 2 \cdot 4 - 4 = 3\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của T là \( - 17\) khi \(x = - 5;y = - 1\).
Suy ra \(x_0^2 + y_0^2 = 26\).
Cho bất phương trình \(\frac{x}{2} + \frac{y}{3} - 1 \le 0\). Miền nghiệm có chứa bao nhiêu điểm \(\left( {x;y} \right)\) với \(x,y\) là các số nguyên dương?
Ta có \(\frac{x}{2} + \frac{y}{3} - 1 \le 0\)\( \Leftrightarrow 3x + 2y - 6 \le 0\).
Vẽ đường thẳng \(3x + 2y - 6 = 0\) trên hệ trục tọa độ.
Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng \(3x + 2y - 6 = 0\) chứa điểm \(O\left( {0;0} \right)\) (kể cả đường thẳng \(3x + 2y - 6 = 0\)) (phần không tô màu).
Vì \(x,y\) là các số nguyên dươngnên có 3 điểm \(\left( {1;1} \right),\left( {1;2} \right),\left( {2;0} \right)\).
Vậy có 3 điểm thỏa mãn.
Một gia đình chăn nuôi dự định trộn hai loại thức ăn gia cầm X và Y để tạo thành thức ăn hỗn hợp cho gia cầm. Giá một bao loại X là 700 nghìn đồng, giá một bao loại Y là 600 nghìn đồng. Mỗi bao loại X chứa 2 đơn vị chất dinh dưỡng A, 4 đơn vị chất dinh dưỡng B và 4 đơn vị chất dinh dưỡng C. Mỗi bao loại Y chứa 1 đơn vị chất dinh dưỡng A, 3 đơn vị chất dinh dưỡng B và 5 đơn vị dinh dưỡng C. Tìm chi phí nhỏ nhất để mua hai loại thức ăn gia cầm X và Y sao cho hỗn hợp thu được chứa tối thiểu 12 đơn vị chất dinh dưỡng A, 32 đơn vị dinh dưỡng B và 40 đơn vị chất dinh dưỡng C.
Gọi \(x,y\left( {x,y \in \mathbb{N}} \right)\) lần lượt là số bao thức ăn loại X, Y gia đình cần mua.
Số đơn vị chất dinh dưỡng A trong hỗn hợp thức ăn trên là \(2x + y \ge 12\).
Số đơn vị chất dinh dưỡng B trong hỗn hợp thức ăn trên là \(4x + 3y \ge 32\).
Số đơn vị chất dinh dưỡng C trong hỗn hợp thức ăn trên là \(4x + 5y \ge 40\).
Từ đó ta có hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\2x + y \ge 12\\4x + 3y \ge 32\\4x + 5y \ge 40\end{array} \right.\).
Chi phí cần mua hai loại thức ăn trên là \(F\left( {x,y} \right) = 700x + 600y\) (nghìn đồng).
Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \(F\left( {x,y} \right)\) khi \(\left( {x,y} \right)\) thỏa mãn hệ bất phương trình trên.
Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là miền có các đỉnh \(A\left( {0;12} \right),B\left( {2;8} \right),C\left( {5;4} \right),D\left( {10;0} \right)\).
Khi đó \(F\left( {0;12} \right) = 7200\) nghìn đồng;
\(F\left( {2;8} \right) = 6200\) nghìn đồng;
\(F\left( {5;4} \right) = 5900\) nghìn đồng;
\(F\left( {10;0} \right) = 7000\) nghìn đồng.
Vậy gia đình cần mua 5 bao thức ăn loại X và 4 bao thức ăn loại Y để chi phí mua thức ăn nhỏ nhất.
Một xưởng sản xuất bàn và ghế. Một chiếc bàn cần 1,5 giờ lắp ráp và 1 giờ hoàn thiện, 1 chiếc ghế cần 1 giờ lắp ráp và 2 giờ hoàn thiện. Bộ phận lắp ráp có 3 nhân công, bộ phận hoàn thiện có 4 nhân công. Biết một công nhân làm việc không quá 8 tiếng mỗi ngày. Biết thị trường luôn tiêu thụ hết sản phẩm của xưởng và lượng ghế tiêu thụ không vượt quá 3,5 lần số bàn. Giả sử trong một ngày xưởng cần sản xuất \(x\) chiếc bàn và \(y\) chiếc ghế.
a) Viết hệ bất phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán.
b) Biết một chiếc bàn lãi 600 nghìn đồng, một chiếc ghế lãi 450 nghìn đồng. Hỏi trong một ngày, xưởng cần sản xuất bao nhiêu chiếc bàn, bao nhiêu chiếc ghế để được tiền lãi cao nhất?
a) Thời gian lắp ráp tối đa mỗi ngày là \(3 \cdot 8 = 24\) giờ.
Thời gian hoàn thiện tối đa mỗi ngày là \(4 \cdot 8 = 32\) giờ.
Thời gian lắp ráp cần để sản xuất \(x\) chiếc bàn và \(y\) chiếc ghế là \(1,5x + y\) (giờ).
Thời gian hoàn thiện cần để sản xuất \(x\) chiếc bàn và \(y\) chiếc ghế là \(x + 2y\)(giờ).
Theo đề ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\1,5x + y \le 24\\x + 2y \le 32\\y \le 3,5x\end{array} \right.\) (I).
b) Tiền lãi mà xưởng thu được là \(F\left( {x,y} \right) = 600x + 450y\) nghìn đồng.
Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(F\left( {x,y} \right) = 600x + 450y\) trên miền nghiệm của hệ bất phương trình (I).
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác \(OABC\), kể cả các cạnh (phần tô màu) với \(O\left( {0;0} \right),A\left( {4;14} \right),B\left( {8;12} \right),C\left( {16;0} \right)\).
Ta có \(F\left( {0,0} \right) = 600 \cdot x + 450 \cdot 0 = 0\); \(F\left( {4,14} \right) = 600 \cdot 4 + 450 \cdot 14 = 8700\);
\(F\left( {8,12} \right) = 600 \cdot 8 + 450 \cdot 12 = 10200\); \(F\left( {16,0} \right) = 600 \cdot 16 + 450 \cdot 0 = 9600\).
Vậy \(F\) đạt giá trị lớn nhất là 10200 nghìn đồng khi \(x = 8;y = 12\).
Vậy xưởng cần sản xuất 8 chiếc bàn và 12 chiếc ghế để thu được lãi cao nhất.
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y \ge - 3\\2x + y \le 4\end{array} \right.\).
+) Vẽ đường thẳng \(x - 3y = - 3\) trên mặt phẳng tọa độ.
Thay tọa độ điểm \(O\left( {0;0} \right)\) vào bất phương trình \(x - 3y \ge - 3\) ta được \(0 - 3 \cdot 0 \ge - 3\) (đúng).
Vậy miền nghiệm của bất phương trình \(x - 3y \ge - 3\) là nửa mặt phẳng chứa điểm (0; 0) bờ là đường thẳng \(x - 3y = - 3\) (kể cả đường thẳng \(x - 3y = - 3\)).
+) Vẽ đường thẳng \(2x + y \le 4\) trên mặt phẳng tọa độ.
Thay tọa độ điểm \(O\left( {0;0} \right)\) vào bất phương trình \(2x + y \le 4\) ta được \(2 \cdot 0 + 0 \le 4\) (đúng).
Vậy miền nghiệm của bất phương trình \(2x + y \le 4\) là nửa mặt phẳng chứa điểm \(O\left( {0;0} \right)\) bờ là đường thẳng \(2x + y = 4\)(kể cả đường thẳng \(2x + y = 4\)).
Vậy miền nghiệm của hệ là miền tô màu như hình vẽ.
Cho bất phương trình \(x + 8y - 200 \ge 0\).
a) Chỉ ra một cặp số \(\left( {a;b} \right)\) là nghiệm của bất phương trình trên.
b) Chỉ ra một cặp số \(\left( {c;d} \right)\) không là nghiệm của bất phương trình trên.
c) Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình trên.
a) Cặp số \(\left( {30;50} \right)\) là nghiệm của bất phương trình trên vì \(30 + 8 \cdot 50 - 200 \ge 0\) (đúng).
b) Cặp số \(\left( {0;0} \right)\)không là nghiệm của bất phương trình trên vì \(0 + 8 \cdot 0 - 200 \ge 0\) (vô lí).
c) Vẽ đường thẳng \(x + 8y - 200 = 0\).
Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không chứa điểm \(\left( {0;0} \right)\) bờ là đường thẳng \(x + 8y - 200 = 0\) (kể cả đường thẳng \(x + 8y - 200 = 0\)) (phần tô màu).
Tìm giá trị nhỏ nhất của tham số \(m\) sao cho \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = - 1\end{array} \right.\) là nghiệm của bất phương trình \(m\frac{x}{2} - \left( {x + 1} \right)y + 2 \ge 0\).
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = - 1\end{array} \right.\) là nghiệm của bất phương trình nên ta có \(m \cdot \frac{1}{2} - \left( {1 + 1} \right) \cdot \left( { - 1} \right) + 2 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge - 8\).
Vì \(m\) là giá trị nhỏ nhất nên \(m = - 8\).
Cho hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}3x + y \le 6\\x + y \le 4\\x,y \ge 0\end{array} \right.\).
Hệ trên là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Điểm \(\left( {1;3} \right)\) thuộc miền nghiệm của hệ.
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là một tam giác.
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là một đa giác có diện tích bằng 5.
a) Hệ trên là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
b) Thay tọa độ điểm \(\left( {1;3} \right)\) vào hệ ta được \(\left\{ \begin{array}{l}3 \cdot 1 + 3 \le 6\\1 + 3 \le 4\\1 \ge 0,3 \ge 0\end{array} \right.\) (đúng).
Vậy điểm \(\left( {1;3} \right)\) thuộc miền nghiệm của bất phương trình.
c) Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác \(OABC\), kể cả các cạnh (phần tô màu) với \(O\left( {0;0} \right),A\left( {0;4} \right),B\left( {1;3} \right),C\left( {2;0} \right)\).
d) \({S_{OABC}} = {S_{AHB}} + {S_{OHBK}} + {S_{BKC}}\)\( = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 3 + \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 1 = 5\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
