Bài tập ôn tập Toán 10 Chân trời sáng tạo Chương 9 có đáp án
55 câu hỏi
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình chính tắc của đường hypebol?
\(\frac{{{x^2}}}{{25}} - \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\).
\(\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{{25}} = - 1\).
\(\frac{{{x^2}}}{{20}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\).
\(\frac{{{x^2}}}{{25}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 0\).
\(\frac{{{x^2}}}{{25}} - \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\)là phương trình chính tắc của đường hypebol. Chọn A.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), Elip \(\left( E \right)\) có phương trình chính tắc \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{3} = 1\). Một tiêu điểm của Elip \(\left( E \right)\) là
\(F\left( { - 1;0} \right)\).
\(F\left( {4;0} \right)\).
\(F\left( {0; - 1} \right)\).
\(F\left( {3;0} \right)\).
\(F\left( { - 1;0} \right)\) là một tiêu điểm của Elip \(\left( E \right)\). Chọn A.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(d:3x + 5y + 2024 = 0\). Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
Đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {5; - 3} \right)\).
Đường thẳng \(d\) song song với đường thẳng \(\Delta :3x + 5y = 0\).
Đường thẳng \(d\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {3;5} \right)\).
Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\left( {2023;2024} \right)\).
Thay tọa độ điểm \(M\) vào phương trình đường thẳng \(d\) ta thấy không thỏa mãn.
Vậy đường thẳng \(d\) không đi qua điểm \(M\left( {2023;2024} \right)\). Chọn D.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), phương trình của đường tròn có tâm \(I\left( {1;2} \right)\) và có bán kính \(R = 5\) là
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 25\).
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 5\).
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 5\).
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 25\).
Phương trình của đường tròn có tâm \(I\left( {1;2} \right)\) và có bán kính \(R = 5\) là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 25\). Chọn A.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), đường thẳng \(d\) qua \(M\left( {1;1} \right)\) và song song với đường thẳng \(d':x + y - 1 = 0\) có phương trình là
\(x + y - 1 = 0\).
\(x - y = 0\).
\(x + y - 2 = 0\).
\( - x + y - 1 = 0\).
Đường thẳng \(d\) song song với \(d'\) có dạng \(x + y + c = 0,c \ne - 1\).
Vì \(d\) đi qua \(M\left( {1;1} \right)\) nên \(1 + 1 + c = 0 \Leftrightarrow c = - 2\) (thỏa mãn).
Vậy \(d:x + y - 2 = 0\). Chọn C.
Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường parabol?
\({y^2} = - 4x\).
\({y^2} = 4x\).
\({x^2} = 4y\).
\({x^2} = - 6y\).
\({y^2} = 4x\) là phương trình chính tắc của parabol. Chọn B.
Phương trình chính tắc của đường elip có tiêu cự bằng 6 và \(2a = 10\) là
\(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\).
\(\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{81}} = 1\).
\(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\).
\(\frac{{{x^2}}}{{25}} - \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\).
Elip có tiêu cự bằng 6 nên \(2c = 6 \Rightarrow c = 3\); \(2a = 10 \Rightarrow a = 5\)
Khi đó \({b^2} = {a^2} - {c^2} = 25 - 9 = 16\).
Vậy phương trình chính tắc của \(\left( E \right)\) là \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\). Chọn A.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(\Delta \) đi qua 2 điểm \(A\left( {2; - 1} \right),B\left( {3;2} \right)\). Phương trình tham số của \(\Delta \) là
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2t\\y = - 1 + 3t\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = - 1 + 3t\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y = 2 - t\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 - t\end{array} \right.\).
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;3} \right)\).
Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\left( {2; - 1} \right)\) nhận \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;3} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = - 1 + 3t\end{array} \right.\). Chọn B.
Phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( {1; - 2} \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(\Delta :3x - 2y + 1 = 0\) là
\(2x + 3y + 4 = 0\).
\(2x + 3y - 3 = 0\).
\(x + 3y + 5 = 0\).
\(3x - 2y - 7 = 0\).
Đường thẳng \(\Delta \) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {3; - 2} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow u = \left( {2;3} \right)\) vuông góc với \(\overrightarrow n = \left( {3; - 2} \right)\) nên \(\overrightarrow u = \left( {2;3} \right)\) là vectơ chỉ phương của \(\Delta \).
Đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( {1; - 2} \right)\) và nhận \(\overrightarrow u = \left( {2;3} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là
\(2\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 3y + 4 = 0\). Chọn A.
Cho parabol có phương trình \({y^2} = 6x\). Phương trình đường chuẩn của parabol là
\(x = \frac{3}{2}\).
\(x = - \frac{3}{2}\).
\(x = - 3\).
\(x = 3\).
Phương trình đường chuẩn của parabol là \(x = - \frac{3}{2}\). Chọn B.
Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = - 3 - 4t\end{array} \right.\).
\(\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 1; - 4} \right)\).
\(\overrightarrow {{u_3}} = \left( {1; - 3} \right)\).
\(\overrightarrow {{u_4}} = \left( {1; - 2} \right)\).
\(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 2;8} \right)\).
Đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {1; - 4} \right)\).
Có \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 2;8} \right) = - 2\overrightarrow u \) nên \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 2;8} \right)\) cũng là vectơ chỉ phương của \(d\). Chọn D.
Khoảng cách nhỏ nhất từ điểm\(M\left( {15;1} \right)\) đến một điểm bất kì thuộc đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y = t\end{array} \right.\) là
\(\sqrt {10} \).
\(\frac{{16}}{{\sqrt 5 }}\).
\(\frac{1}{{\sqrt {10} }}\).
\(\sqrt 5 \).
Đường thẳng \(\Delta \) có dạng tổng quát là \(x - 3y - 2 = 0\).
Khoảng cách nhỏ nhất từ điểm \(M\) đến một điểm bất kì thuộc đường thẳng \(\Delta \) chính là khoảng cách từ điểm \(M\) đến hình chiếu của \(M\) trên đường thẳng \(\Delta \) và bằng \(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {15 - 3 - 2} \right|}}{{\sqrt {1 + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \sqrt {10} \). Chọn A.
Cho hai điểm \(P\left( {6;1} \right)\) và \(Q\left( { - 3; - 2} \right)\) và đường thẳng \(\Delta :2x - y - 1 = 0\). Tọa độ điểm \(M\) thuộc \(\Delta \) sao cho \(MP + MQ\) nhỏ nhất.
\(M\left( {0; - 1} \right)\).
\(M\left( {3;5} \right)\).
\(M\left( {2;3} \right)\).
\(M\left( {1;1} \right)\).
Ta có \(P,Q\) nằm khác phía với đường thẳng \(\Delta \).
Khi đó \(MP + MQ \ge PQ\).
Vậy để \(MP + MQ\) nhỏ nhất thì \(P,M,Q\) thẳng hàng hay \(M\) là giao điểm của đường thẳng \(PQ\) và đường thẳng \(\Delta \).
Ta có \(\overrightarrow {PQ} = \left( { - 9; - 3} \right) = - 3\left( {3;1} \right)\).
Suy ra đường thẳng \(PQ\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {3;1} \right)\) nên \(\overrightarrow n = \left( {1; - 3} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(PQ\).
Đường thẳng \(PQ\) đi qua \(P\left( {6;1} \right)\) nhận \(\overrightarrow n = \left( {1; - 3} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là
\(\left( {x - 6} \right) - 3\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 3y - 3 = 0\).
Tọa độ điểm \(M\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y - 1 = 0\\x - 3y - 3 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = - 1\end{array} \right.\)\( \Rightarrow M\left( {0; - 1} \right)\). Chọn A.
Tìm góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}:x - 2y + 15 = 0\) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = 4 + 2t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).
\(90^\circ \).
\(45^\circ \).
\(60^\circ \).
\(0^\circ \).
Đường thẳng \({\Delta _1}\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 2} \right)\).
Đường thẳng \({\Delta _2}\) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 1;2} \right)\).
Có \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2;1} \right)\) vuông góc với \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 1;2} \right)\) nên \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2;1} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \({\Delta _2}\).
Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\).
Khi đó \(\cos \varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}\)\( = \frac{{\left| {1 \cdot 2 + \left( { - 2} \right) \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {1^2}} }} = 0\)\( \Rightarrow \varphi = 90^\circ \). Chọn A.
Phương trình tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 8\) tại điểm \(M\left( {2;4} \right)\) là
\(x + y + 6 = 0\).
\(x + y - 6 = 0\).
\(x + 3y - 14 = 0\).
\(x - y + 2 = 0\).
Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {0;2} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {IM} = \left( {2;2} \right) = 2\left( {1;1} \right) = 2\overrightarrow n \).
Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại \(M\) nhận \(\overrightarrow n = \left( {1;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là
\(x - 2 + y - 4 = 0 \Leftrightarrow x + y - 6 = 0\). Chọn B.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai điểm \(M\left( { - 3; - 2} \right),N\left( {4; - 3} \right)\). Độ dài đoạn \(MN\) bằng
\(\sqrt {26} \).
\(8\).
\(5\sqrt 2 \).
\(\sqrt 6 \).
Ta có \(\overrightarrow {MN} = \left( {7; - 1} \right)\). Khi đó \(MN = \sqrt {{7^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = 5\sqrt 2 \). Chọn C.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hình bình hành \(ABCD\) với \(A\left( {1; - 3} \right),B\left( { - 2;4} \right),C\left( {3; - 6} \right)\). Tọa độ điểm \(D\) là
\(D\left( {4; - 7} \right)\).
\(D\left( {6; - 7} \right)\).
\(D\left( {6; - 13} \right)\).
\(D\left( { - 6;13} \right)\).
Gọi \(D\left( {x;y} \right)\). Khi đó \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;7} \right),\overrightarrow {DC} = \left( {3 - x; - 6 - y} \right)\).
Do \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 - x = - 3\\ - 6 - y = 7\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = - 13\end{array} \right. \Rightarrow D\left( {6; - 13} \right)\). Chọn C.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho \(\Delta ABC\) có \(A\left( {3;1} \right),B\left( {0;4} \right),C\left( {9;1} \right)\). Góc \(\widehat {BAC}\) bằng
\(60^\circ \).
\(135^\circ \).
\(120^\circ \).
\(45^\circ \).
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;3} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {6;0} \right)\)
Ta có \(\cos \widehat {BAC} = \frac{{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{{\left( { - 3} \right) \cdot 6 + 3 \cdot 0}}{{\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {3^2}} \cdot \sqrt {{6^2} + {0^2}} }} = \frac{{ - 18}}{{18\sqrt 2 }}\)\( \Rightarrow \widehat {BAC} = 135^\circ \). Chọn B.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho 2 vectơ \(\overrightarrow a = \left( { - 2;3} \right),\overrightarrow b = \left( { - 1; - 5} \right)\). Khi đó \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b \) bằng
\( - 13\).
\(\left( {2; - 15} \right)\).
\(17\).
\(\sqrt {65} \).
\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left( { - 2} \right) \cdot \left( { - 1} \right) + 3 \cdot \left( { - 5} \right) = - 13\). Chọn A.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai điểm \(E\left( { - 3;4} \right),F\left( { - 5;6} \right)\). Trung điểm \(M\) của đoạn thẳng \(EF\) có tọa độ là
\(M\left( { - 1;1} \right)\).
\(M\left( { - 2;2} \right)\).
\(M\left( {4; - 5} \right)\).
\(M\left( { - 4;5} \right)\).
Tọa độ trung điểm \(M\) của đoạn thẳng \(EF\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 3 - 5}}{2} = - 4\\y = \frac{{4 + 6}}{2} = 5\end{array} \right. \Rightarrow M\left( { - 4;5} \right)\). Chọn D.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho vectơ \(\overrightarrow u = - 3\overrightarrow i + 5\overrightarrow j \). Tọa độ vectơ \(\overrightarrow u \) là
\(\left( {3;5} \right)\).
\(\left( { - 3; - 5} \right)\).
\(\left( { - 3;5} \right)\).
\(\left( {5; - 3} \right)\).
\(\overrightarrow u = - 3\overrightarrow i + 5\overrightarrow j \)\( \Rightarrow \overrightarrow u = \left( { - 3;5} \right)\). Chọn C.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho các điểm \(A\left( {1;1} \right),B\left( {2; - 5} \right),C\left( {4;0} \right)\) và điểm \(M\) thỏa mãn \(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {AB} - 2\overrightarrow {AC} \). Khẳng định nào dưới đây đúng?
\(M\left( {5;4} \right)\).
\(M\left( { - 5;4} \right)\).
\(M\left( { - 5; - 4} \right)\).
\(M\left( {5; - 4} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 6} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {3; - 1} \right)\). Khi đó \(\overrightarrow {AB} - 2\overrightarrow {AC} = \left( { - 5; - 4} \right)\).
Gọi \(M\left( {x;y} \right) \Rightarrow \overrightarrow {OM} = \left( {x;y} \right)\).
Vì \(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {AB} - 2\overrightarrow {AC} \) nên \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 5\\y = - 4\end{array} \right. \Rightarrow M\left( { - 5; - 4} \right)\). Chọn C.
Cho \(\overrightarrow a = \left( {1; - 2} \right)\). Với giá trị nào của \(y\) thì \(\overrightarrow b = \left( { - 3;y} \right)\) vuông góc với \(\overrightarrow a \)?
\(3\).
\( - 6\).
\(6\).
\( - \frac{3}{2}\).
Để \(\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \) thì \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 0\)\( \Leftrightarrow 1 \cdot \left( { - 3} \right) + \left( { - 2} \right) \cdot y = 0 \Leftrightarrow y = - \frac{3}{2}\). Chọn D.
Cho tam giác \(ABC\) với \(A\left( { - 3;6} \right),B\left( {9; - 10} \right)\) và \(G\left( {\frac{1}{3};0} \right)\) là trọng tâm. Tọa độ \(C\) là
\(C\left( {5; - 4} \right)\).
\(C\left( { - 5; - 4} \right)\).
\(C\left( {5;4} \right)\).
\(C\left( { - 5;4} \right)\).
Tọa độ điểm \(C\) là \(\left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 3{x_G} - {x_A} - {x_B}\\{y_C} = 3{y_G} - {y_A} - {y_B}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 3 \cdot \frac{1}{3} - \left( { - 3} \right) - 9 = - 5\\{y_C} = 3 \cdot 0 - 6 - \left( { - 10} \right) = 4\end{array} \right.\)\( \Rightarrow C\left( { - 5;4} \right)\). Chọn D.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho điểm \(M\left( {1;2} \right)\). Tìm tọa độ của điểm \({M_1}\) đối xứng với \(M\) qua trục hoành?
\({M_1}\left( { - 1; - 2} \right)\).
\({M_1}\left( {1; - 2} \right)\).
\({M_1}\left( {2;1} \right)\).
\({M_1}\left( { - 1;2} \right)\).
Điểm \({M_1}\left( {1; - 2} \right)\) là điểm đối xứng với điểm \(M\left( {1;2} \right)\) qua trục hoành. Chọn B.
Trong mặt phẳng hệ tọa độ \(Oxy\), cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {1; - 4} \right),\overrightarrow b = \left( {0;2} \right)\). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow u = 2\overrightarrow a - \overrightarrow b \) là
\(\left( {2; - 10} \right)\).
\(\left( {2; - 6} \right)\).
\(\left( {2;6} \right)\).
\(\left( {0; - 8} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow u = 2\overrightarrow a - \overrightarrow b \)\( = \left( {2 \cdot 1 - 0;2 \cdot \left( { - 4} \right) - 2} \right) = \left( {2; - 10} \right)\). Chọn A.
Cho một đường thẳng \(\Delta \) và một điểm \(F\) không thuộc \(\Delta \). Tập hợp các điểm \(M\) sao cho \(MF = d\left( {M,\Delta } \right)\) là
một elip.
một parabol.
một hypebol.
một đường tròn.
Tập hợp các điểm \(M\) sao cho \(MF = d\left( {M,\Delta } \right)\) là một parabol. Chọn B.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), xét vị trí tương đối của hai đường thẳng \({d_1}:x + y - 4 = 0\) và \({d_2}: - 3x - 3y + 10 = 0\).
Trùng nhau.
Cắt nhau nhưng không vuông góc.
Vuông góc.
Song song.
Đường thẳng \({d_1};{d_2}\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;1} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( { - 3; - 3} \right) = - 3\left( {1;1} \right)\).
Vì \(\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} \) cùng phương nên \({d_1},{d_2}\) song song hoặc trùng nhau.
Lại có điểm \(A\left( {2;2} \right)\) thuộc vào \({d_1}\) nhưng không thuộc \({d_2}\) nên \({d_1}//{d_2}\). Chọn D.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\left( {2;1} \right)\)và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {3; - 4} \right)\) có phương trình là
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 4t\\y = 2 + 3t\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y = 1 + 4t\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y = - 4 + t\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y = 1 - 4t\end{array} \right.\).
Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\left( {2;1} \right)\)và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {3; - 4} \right)\) có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y = 1 - 4t\end{array} \right.\). Chọn D.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(\Delta :x - 2y + 1 = 0\). Vectơ nào sau đây không phải là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta \).
\(\overrightarrow {{n_1}} = \left( { - 1;2} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2;1} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_3}} = \left( {2; - 4} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_4}} = \left( {1; - 2} \right)\).
Đường thẳng \(\Delta \) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1; - 2} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2;1} \right)\) không cùng phương với \(\overrightarrow n = \left( {1; - 2} \right)\) nên \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2;1} \right)\) không phải là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta \). Chọn B.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho elip \(\left( E \right)\) có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{169}} + \frac{{{y^2}}}{{144}} = 1\).
Elip \(\left( E \right)\) đi qua điểm \(A\left( {13; - 12} \right)\).
Tọa độ một tiêu điểm của elip \(\left( E \right)\) là \(\left( {5;0} \right)\).
Cho \(M\) là một điểm bất kì thuộc elip \(\left( E \right)\). Khi đó tổng khoảng cách từ điểm \(M\) đến hai tiêu điểm của \(\left( E \right)\) bằng 26.
Elip \(\left( E \right)\) có tiêu cự bằng 10.
a) Thay tọa độ điểm \(A\left( {13; - 12} \right)\)vào phương trình \(\left( E \right)\) ta thấy không thỏa mãn.
Vậy elip \(\left( E \right)\) không đi qua điểm \(A\left( {13; - 12} \right)\).
b) Tọa độ một tiêu điểm của elip \(\left( E \right)\) là \(\left( {5;0} \right)\).
c) \(\left( E \right)\) có \(a = 13;b = 12\).
\(M{F_1} + M{F_2} = 2a = 2 \cdot 13 = 26\).
d) \[c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = \sqrt {169 - 144} = 5\].
Tiêu cự của \(\left( E \right)\) là \({F_1}{F_2} = 2c = 10\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.
Trong hệ trục tọa độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A\left( {3;0} \right),B\left( {2; - 1} \right)\) và đường thẳng \(\Delta :2x - y + 8 = 0\).
Phương trình chính tắc của Elip đi qua hai điểm \(A\) và \(B\) là \(\frac{{{x^2}}}{{4,5}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\).
Phương trình đường tròn tâm \(B\) và có bán kính \(R = 6\) là \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 36\).
Phương trình đường tròn tâm \(B\) và tiếp xúc với \(\Delta \) là \({x^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 5\).
Đường tròn \(\left( C \right)\) đi qua hai điểm \(A,B\) và có tâm \(I\) nằm trên \(\Delta \) có bán kính là \(\sqrt 5 \).
a) Giả sử \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\left( {a > b > 0} \right)\).
Vì Elip đi qua hai điểm \(A\) và \(B\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{9}{{{a^2}}} = 1\\\frac{4}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 9\\{b^2} = 1,8\end{array} \right.\).
Vậy \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{{1,8}} = 1\).
b) Phương trình đường tròn tâm \(B\) và có bán kính \(R = 6\) là \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 36\).
c) \(R = d\left( {B,\Delta } \right) = \frac{{\left| {2 \cdot 2 - \left( { - 1} \right) + 8} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{13}}{{\sqrt 5 }}\).
Phương trình đường tròn tâm \(B\) và tiếp xúc với \(\Delta \) là \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = \frac{{169}}{5}\).
d) Gọi \(I\left( {a;b} \right)\) là tâm của đường tròn \(\left( C \right)\).
Theo đề ta có \(\left\{ \begin{array}{l}IA = IB\\I \in \Delta \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = I{B^2}\\I \in \Delta \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {3 - a} \right)^2} + {b^2} = {\left( {2 - a} \right)^2} + {\left( { - 1 - b} \right)^2}\\2a - b + 8 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + 2b = 4\\2a - b = - 8\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\b = 4\end{array} \right.\)
Vậy \(I\left( { - 2;4} \right)\). Suy ra \(R = IA = \sqrt {{{\left( {3 + 2} \right)}^2} + {4^2}} = \sqrt {41} \).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
Xét trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\). Khi đó:
Đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 9\) có tâm \(I\left( {2; - 1} \right)\) và bán kính \(R = 9\).
Phương trình đường tròn tâm \(I\left( { - 3; - 5} \right)\) và bán kính \(R = 1\) là \(\left( C \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = 1\).
Phương trình đường tròn đi qua ba điểm \(A\left( {5;3} \right),B\left( {1; - 5} \right),C\left( {2;2} \right)\) là \(\left( C \right):{\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 25\).
Đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 4x + 8y + 4 = 0\) có tâm \(I\left( {2; - 4} \right)\) và bán kính \(R = 9\).
a) ) Đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 9\) có tâm \(I\left( {2; - 1} \right)\) và bán kính \(R = 3\).
b) Phương trình đường tròn tâm \(I\left( { - 3; - 5} \right)\) và bán kính \(R = 1\) là \(\left( C \right):{\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y + 5} \right)^2} = 1\).
c) Giả sử \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\).
Đường tròn \(\left( C \right)\) đi qua ba điểm \(A\left( {5;3} \right),B\left( {1; - 5} \right),C\left( {2;2} \right)\) nên ta có hệ
\(\left\{ \begin{array}{l} - 10a - 6b + c = - 34\\ - 2a + 10b + c = - 26\\ - 4a - 4b + c = - 8\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b = - 2\\c = 4\end{array} \right.\).
Do đó \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 10x + 4y + 4 = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 25\).
d) Đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 4x + 8y + 4 = 0\) có tâm \(I\left( {2; - 4} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} - 4} = 4\).
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 10\) và đường thẳng \(\Delta :3x - 4y - 1 = 0\).
Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {3; - 2} \right)\).
Phương trình tiếp tuyến của \(d\) của đường tròn \(\left( C \right)\) tại điểm \(A\left( {4;1} \right)\) là \(x + 3y + 3 = 0\).
Đường thẳng \(\Delta \) cắt đường tròn \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt.
Khoảng cách từ điểm \(M\left( {3;4} \right)\) đến đường thẳng \(\Delta \) bằng \(\frac{8}{5}\).
a) Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {3; - 2} \right)\) và \(R = \sqrt {10} \).
b) Có \(\overrightarrow {IA} = \left( {1;3} \right)\).
Tiếp tuyến của đường tròn tại \(A\left( {4;1} \right)\) và có \(\overrightarrow {IA} = \left( {1;3} \right)\) là vectơ pháp tuyến có phương trình là
\(\left( {x - 4} \right) + 3\left( {y - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x + 3y - 7 = 0\).
c) Ta có \(d\left( {I,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3 \cdot 3 - 4 \cdot \left( { - 2} \right) - 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{{16}}{5} > R\).
Do đó đường thẳng \(\Delta \) không cắt đường tròn \(\left( C \right)\).
d) \(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3 \cdot 3 - 4 \cdot 4 - 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{8}{5}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hypebol \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\).
\(\left( H \right)\) có một tiêu điểm \({F_1}\left( { - 5;0} \right)\).
\(\left( H \right)\) đi qua điểm \({A_1}\left( { - 4;0} \right)\).
\(\left( H \right)\) đi qua điểm \(M\left( {\frac{{20}}{3};4} \right)\).
Tiêu cự của hypebol \(\left( H \right)\) bằng 16.
a) \(\left( H \right)\) có một tiêu điểm \({F_1}\left( { - 5;0} \right)\).
b) Thay tọa độ điểm \({A_1}\left( { - 4;0} \right)\) vào phương trình \(\left( H \right)\) ta thấy thỏa mãn.
Do đó \(\left( H \right)\) đi qua điểm \({A_1}\left( { - 4;0} \right)\).
c) Thay tọa độ điểm \(M\left( {\frac{{20}}{3};4} \right)\) vào phương trình \(\left( H \right)\) ta thấy thỏa mãn.
Do đó \(\left( H \right)\) đi qua điểm \(M\left( {\frac{{20}}{3};4} \right)\).
d) Tiêu cự của hypebol \(\left( H \right)\) bằng \(2c = 2\sqrt {16 + 9} = 10\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) biết \(A\left( {0;1} \right),B\left( {3;1} \right),C\left( {3; - 3} \right)\).
Tọa độ của \(\overrightarrow {BC} \) là \(\left( {0; - 4} \right)\).
Tọa độ trung điểm của \(AB\) là \(\left( {\frac{3}{2};1} \right)\).
\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = - 9\).
Gọi \(D\left( {a;b} \right)\) là chân đường phân giác trong kẻ từ đỉnh \(A\) lên \(BC\). Khi đó \(a + b = 2,5\).
a) \(\overrightarrow {BC} = \left( {0; - 4} \right)\).
b) Tọa độ trung điểm của \(AB\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{0 + 3}}{2} = \frac{3}{2}\\y = \frac{{1 + 1}}{2} = 1\end{array} \right.\).
c) Có \(\overrightarrow {AB} = \left( {3;0} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {3; - 4} \right)\).
Suy ra \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 3 \cdot 3 + 0 \cdot \left( { - 4} \right) = 9\).
d)
Theo tính chất tia phân giác, \(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{3}{5}\).
Mà \(\overrightarrow {DB} \) và \(\overrightarrow {DC} \) là hai vectơ ngược hướng nên \(\overrightarrow {DB} = - \frac{3}{5}\overrightarrow {DC} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 - a = - \frac{3}{5}\left( {3 - a} \right)\\1 - b = - \frac{3}{5}\left( { - 3 - b} \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = - \frac{1}{2}\end{array} \right.\).
Suy ra \(a + b = 2,5\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho ba điểm \(A\left( {3; - 2} \right),B\left( { - 1;3} \right)\) và \(C\left( {8;2} \right)\).
Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\).
Tích vô hướng của \(\overrightarrow {BA} \) và \(\overrightarrow {BC} \) bằng \( - 41\).
Chân đường cao \(H\) của đường cao kẻ từ đỉnh \(A\) của tam giác \(ABC\) là trung điểm cạnh \(BC\).
Chân đường cao \(H\) của đường cao kẻ từ đỉnh \(A\) của tam giác \(ABC\) có hoành độ âm.
a) Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 4;5} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {5;4} \right)\).
Khi đó \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \left( { - 4} \right) \cdot 5 + 5 \cdot 4 = 0\). Do đó \(AB \bot AC\). Do đó \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\).
b) Có \(\overrightarrow {BA} = \left( {4; - 5} \right)\), \(\overrightarrow {BC} = \left( {9; - 1} \right)\).
Khi đó \(\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} = 4 \cdot 9 + \left( { - 5} \right) \cdot \left( { - 1} \right) = 41\).
c) Có \(AB = AC = \sqrt {41} \) và \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) nên \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\).
Suy ra chân đường cao \(H\) của đường cao kẻ từ đỉnh \(A\) của tam giác \(ABC\) là trung điểm cạnh \(BC\).
d) Gọi \(H\left( {x;y} \right)\).
Vì \(H\) là trung điểm của \(BC\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 1 + 8}}{2} = \frac{7}{2}\\y = \frac{{3 + 2}}{2} = \frac{5}{2}\end{array} \right.\).
Điểm \(H\) có hoành độ dương.
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có các đỉnh thỏa mãn \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow i - \overrightarrow j \), \(\overrightarrow {OB} = 3\overrightarrow i + 4\overrightarrow j \), \(\overrightarrow {OC} = - 5\overrightarrow i \).
\(A\left( {1; - 1} \right),B\left( {3;4} \right),C\left( { - 5;0} \right)\).
Nếu \(ABCD\) là hình bình hành thì điểm \(D\) có tọa độ là \(D\left( { - 3;5} \right)\).
\(\overrightarrow {AB} = \left( {2;5} \right)\).
Giả sử \(M\left( {a;b} \right)\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(B\). Khi đó \(2a - b = 1\).
a) \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow i - \overrightarrow j \)\( \Rightarrow A\left( {1; - 1} \right)\); \(\overrightarrow {OB} = 3\overrightarrow i + 4\overrightarrow j \Rightarrow B\left( {3;4} \right)\); \(\overrightarrow {OC} = - 5\overrightarrow i \Rightarrow C\left( { - 5;0} \right)\).
b) Gọi \(D\left( {x;y} \right)\). Có \(\overrightarrow {AD} = \left( {x - 1;y + 1} \right),\overrightarrow {BC} = \left( { - 8; - 4} \right)\).
Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 = - 8\\y + 1 = - 4\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 7\\y = - 3\end{array} \right.\)\( \Rightarrow D\left( { - 7; - 3} \right)\).
c) \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;5} \right)\).
d) \(M\left( {a;b} \right)\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(B\) nên \(B\) là trung điểm của \(MA\).
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = 2{x_B} - {x_A}\\{y_M} = 2{y_B} - {y_A}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2 \cdot 3 - 1\\b = 2 \cdot 4 - \left( { - 1} \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b = 9\end{array} \right.\).
Khi đó \(2a - b = 1\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho \(\Delta ABC\) biết \(A\left( { - 3;4} \right),B\left( { - 3;1} \right),C\left( {1;2} \right)\).
\(\overrightarrow {AB} = \left( { - 6;5} \right)\).
Hình chiếu vuông góc kẻ từ \(A\) xuống \(BC\) là \(H\left( { - 1; - 4} \right)\).
\(\cos \widehat {BAC} = - \frac{{\sqrt 5 }}{5}\).
Tọa độ điểm \(M\) thỏa mãn \(\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow 0 \) là \(\left( { - 7;0} \right)\).
a) \(\overrightarrow {AB} = \left( {0; - 3} \right)\).
b) Gọi \(H\left( {x;y} \right)\). Ta có \(\overrightarrow {AH} = \left( {x + 3;y - 4} \right),\overrightarrow {BC} = \left( {4;1} \right),\overrightarrow {BH} = \left( {x + 3;y - 1} \right)\).
Vì \(H\) là hình chiếu vuông góc kẻ từ \(A\) xuống \(BC\) nên \(AH \bot BC\) và \(B,H,C\) thẳng hàng.
Khi đó ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} \cdot \overrightarrow {BC} = 0\\\overrightarrow {BH} = k\overrightarrow {BC} \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4\left( {x + 3} \right) + \left( {y - 4} \right) = 0\\x + 3 = 4k\\y - 1 = k\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{{39}}{{17}}\\y = \frac{{20}}{{17}}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow H\left( { - \frac{{39}}{{17}};\frac{{20}}{{17}}} \right)\).
c) Ta có \(\overrightarrow {AC} = \left( {4; - 2} \right)\)
\(\cos \widehat {BAC} = \frac{{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right|}}\)\( = \frac{{0 \cdot 4 + \left( { - 3} \right) \cdot \left( { - 2} \right)}}{{\sqrt {{0^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{4^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{6}{{6\sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\).
d) Gọi \(M\left( {x;y} \right)\). Khi đó \(\overrightarrow {MA} = \left( { - 3 - x;4 - y} \right)\).
Khi đó \(\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \left( { - 7 - x; - y} \right)\).
Vì \(\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow 0 \) nên \(\left\{ \begin{array}{l} - 7 - x = 0\\ - y = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 7\\y = 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow M\left( { - 7;0} \right)\).
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(\Delta :3x - 4y + 10 = 0\).
Khoảng cách từ gốc tọa độ \(O\) đến đường thẳng \(\Delta \) bằng 2.
Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( {1;2} \right)\).
Gọi \(\alpha \) là góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và đường thẳng \(d:x + y - 1 = 0\). Khi đó \(\tan \alpha = \frac{1}{7}\).
Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta \) là \(\overrightarrow n = \left( {3; - 4} \right)\).
a) \(d\left( {O,\Delta } \right) = \frac{{\left| {10} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = 2\).
b) Thay tọa độ điểm \(M\left( {1;2} \right)\) vào phương trình đường thẳng \(\Delta :3x - 4y + 10 = 0\) ta thấy không thỏa mãn.
Vậy đường thẳng \(\Delta \) không đi qua điểm \(M\left( {1;2} \right)\).
c) Đường thẳng \(\Delta \) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {3; - 4} \right)\).
Đường thẳng \(d\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;1} \right)\).
Khi đó \(\cos \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}\)\( = \frac{{\left| {3 \cdot 1 + \left( { - 4} \right) \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{{5\sqrt 2 }}\).
Có \({\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} - 1 = 49 \Rightarrow \tan \alpha = 7\).
d) Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta \) là \(\overrightarrow n = \left( {3; - 4} \right)\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Một vận động viên ném đĩa đã vung đĩa theo một đường tròn \(\left( C \right)\) có phương trình là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 8\). Khi đó, người đó vung đĩa đến vị trí điểm \(M\left( {3;4} \right)\) thì buông đĩa. Biết phương trình tiếp tuyến \(d\) của đường tròn \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\) có dạng \(mx + y + n = 0\). Tính giá trị biểu thứ \(P = 2025m + n.\)
Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1;2} \right)\) và \(R = 2\sqrt 2 \).
Tiếp tuyến của đường tròn tại \(M\) nhận \(\overrightarrow {IM} = \left( {2;2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là
\(2\left( {x - 3} \right) + 2\left( {y - 4} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 2x + 2y - 14 = 0\)\( \Leftrightarrow x + y - 7 = 0\).
Suy ra \(m = 1;n = - 7\). Do đó \(P = 2025m + n = 2018\).
Một chiếc Phà chở khách qua sông từ điểm \(A\left( {1;2} \right)\) đến điểm \(B\left( {1;50} \right)\) bên kia sông. Nhưng vì có gió và nước chảy mạnh nên chiếc Phà qua bên kia sông tại điểm \(C\left( {38;50} \right)\). Góc lệch của Phà với lúc dự tính ban đầu là bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {0;48} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AB\) nên \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;0} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(AB\).
Ta có \(\overrightarrow {AC} = \left( {37;48} \right)\)là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AC\) nên \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( { - 48;37} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(AC\).
Góc lệch của Phà với lúc dự tính ban đầu chính là góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(AC\).
Ta có \(\cos \left( {AB,AC} \right) = \frac{{\left| {1 \cdot \left( { - 48} \right) + 0 \cdot 37} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2}} \cdot \sqrt {{{\left( { - 48} \right)}^2} + {{37}^2}} }} = \frac{{48}}{{\sqrt {3673} }}\)\( \Rightarrow \widehat A \approx 38^\circ \).
Một tháp triển lãm có mặt cắt hình hypebol có phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{{{18}^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{{36}^2}}} = 1\). Cho biết chiều cao của tháp là 100 m và khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng của hypebol bằng khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy. Tính bán kính nóc và bán kính đáy của tháp (đơn vị m) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Do tính đối xứng của hypebol nên ta có hai bán kính của nóc và đáy tháp đều bằng \(r\).
Do điểm \(M\left( {r;50} \right)\) nằm trên hypebol nên thay tọa độ của điểm \(M\) vào phương trình của hypebol ta có \(\frac{{{r^2}}}{{{{18}^2}}} - \frac{{{{50}^2}}}{{{{36}^2}}} = 1 \Rightarrow r = 18\sqrt {1 + \frac{{{{50}^2}}}{{{{36}^2}}}} \approx 31\) m.
Vậy bán kính của nóc và đáy của tháp bằng 31 m.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {2;2} \right),B\left( {1;5} \right)\) và đỉnh \(C\) nằm trên đường thẳng \(d:2x - y - 8 = 0\). Tọa độ đỉnh \(C\left( {a;b} \right)\), biết rằng \(C\) có tung độ âm và diện tích tam giác \(ABC\) bằng 2. Tính \(a + 2b\).
Có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;3} \right)\) là vectơ chỉ phương của \(AB\) nên nhận \(\overrightarrow n = \left( {3;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.
Đường thẳng \(AB\) đi qua \(A\) và nhận \(\overrightarrow n = \left( {3;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(3x + y - 8 = 0\).
Vì \(C \in d \Rightarrow C\left( {t;2t - 8} \right)\).
Ta có \(AB = \sqrt {10} \) mà \({S_{\Delta ABC}} = 2 \Rightarrow d\left( {C,AB} \right) = \frac{4}{{\sqrt {10} }}\).
Khi đó \(\frac{{\left| {3t + \left( {2t - 8} \right) - 8} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt {10} }}\)\( \Leftrightarrow \left| {5t - 16} \right| = 4\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 4\\t = \frac{{12}}{5}\end{array} \right.\).
Với \(t = 4 \Rightarrow C\left( {4;0} \right)\) (loại).
Với \(t = \frac{{12}}{5} \Rightarrow C\left( {\frac{{12}}{5}; - \frac{{16}}{5}} \right)\). Do đó \(a + 2b = - 4\).
Cho elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\). Cho \(M\) là điểm thuộc \(\left( E \right)\) thỏa mãn \(M{F_1} + 2M{F_2} = 11\). Tính\(2M{F_1} + M{F_2}\).
Ta có \(M{F_1} + M{F_2} = 2a = 2 \cdot 4 = 8\).
Suy ra \(3M{F_1} + 3M{F_2} = 24\) hay \(\left( {2M{F_1} + M{F_2}} \right) + \left( {M{F_1} + 2M{F_2}} \right) = 24\).
Vì \(M{F_1} + 2M{F_2} = 11\) nên \(2M{F_1} + MF = 24 - 11 = 13\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho tam giác \(ABC\) biết \(A\left( {5;3} \right),B\left( {1;5} \right),C\left( { - 3; - 1} \right)\). Gọi \(M\) là trung điểm cạnh \(AC\). Tính độ dài đường trung tuyến \(BM\) của tam giác \(ABC\).
Tọa độ trung điểm \(M\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{5 + \left( { - 3} \right)}}{2} = 1\\y = \frac{{3 + \left( { - 1} \right)}}{2} = 1\end{array} \right.\)\( \Rightarrow M\left( {1;1} \right)\).
Khi đó \(\overrightarrow {BM} = \left( {0; - 4} \right)\). Vậy \(BM = \sqrt {{0^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} = 4\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho điểm \(A\left( {1; - 4} \right)\), \(B\left( { - 2;2} \right)\) và \(C\left( { - 5;4} \right)\). Biết rằng tồn tại điểm \(M\left( {a;b} \right)\) thuộc trục \(Ox\) thỏa mãn \(\left| {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} } \right|\) nhỏ nhất. Tính giá trị biểu thức \(T = 2a + b\).
Gọi \(I\left( {x;y} \right)\) là điểm sao cho \(\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \).
Ta có \(\overrightarrow {IA} = \left( {1 - x; - 4 - y} \right),\overrightarrow {IB} = \left( { - 2 - x;2 - y} \right),\overrightarrow {IC} = \left( { - 5 - x;4 - y} \right)\).
Theo bài ta có \(\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \) nên \(\left\{ \begin{array}{l}1 - x + 2\left( { - 2 - x} \right) + 3\left( { - 5 - x} \right) = 0\\ - 4 - y + 2\left( {2 - y} \right) + 3\left( {4 - y} \right) = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - x - 4 - 2x - 15 - 3x = 0\\ - 4 - y + 4 - 2y + 12 - 3y = 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 6x - 18 = 0\\ - 6y + 12 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 3\\y = 2\end{array} \right.\)\( \Rightarrow I\left( { - 3;2} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {MI} + 2\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {MI} + 3\overrightarrow {IC} \)\( = 6\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = 6\overrightarrow {MI} \).
Do \(\left| {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} } \right| = 6\left| {\overrightarrow {MI} } \right|\) nhỏ nhất khi \(MI\) nhỏ nhất.
Lại có \(M \in Ox\) nên \(MI\) nhỏ nhất khi \(M\) là hình chiếu của \(I\left( { - 3;2} \right)\) trên \(Ox\).
Suy ra tọa độ \(M\left( { - 3;0} \right)\). Vậy \(T = - 6\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A\left( {1;3} \right),B\left( { - 1;2} \right)\). Điểm \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc tia \(AB\) sao cho \(AM = \sqrt {80} \). Tính \(x + y\).
Có \(\overrightarrow {AM} = \left( {x - 1;y - 3} \right)\); \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2; - 1} \right)\).
Vì \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc tia \(AB\) nên \(\overrightarrow {AM} = k\overrightarrow {AB} ,k > 0\).
Theo đề ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{x - 1}}{{ - 2}} = \frac{{y - 3}}{{ - 1}}\\{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 80\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2y - 5\\{\left( {2y - 6} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 80\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2y - 5\\5{y^2} - 30y - 35 = 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2y - 5\\\left[ \begin{array}{l}y = 7\\y = - 1\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = - 7\\y = - 1\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {AM} = \left( { - 8; - 4} \right)\\\left\{ \begin{array}{l}x = 9\\y = 7\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {AM} = \left( {8;4} \right)\end{array} \right.\).
\(\overrightarrow {AM} = k\overrightarrow {AB} ,k > 0\) nên \(M\left( { - 7; - 1} \right)\). Do đó \(x = - 7;y = - 1\). Vậy \(x + y = - 8\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai đường thẳng \({d_1}:x - 2y + 3 = 0\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 1 + 3t\end{array} \right.\). Biết rằng \({d_1}\) và \({d_2}\) cắt nhau tại điểm \(M\left( {a;b} \right)\) duy nhất. Tính giá trị của biểu thức \(2024a - b\).
Tọa độ điểm \(M\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 1 + 3t\\x - 2y + 3 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 1 + 3t\\t + 2 - 6t + 3 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\\t = 1\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {1;2} \right)\)
Suy ra \(a = 1;b = 2\). Vậy \(2024a - b = 2022\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(d:x - 2y - 2 = 0\) và ba điểm \(A\left( {3;4} \right),B\left( { - 1;2} \right),C\left( {0;1} \right)\). Biết rằng tồn tại duy nhất điểm \(M\left( {a;b} \right)\) thuộc đường thẳng \(d\) để biểu thức \(\left| {\overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị của biểu thức \(P = a + 2b\).
Giả sử \(I\left( {m;n} \right)\) thỏa mãn \(\overrightarrow {IA} - 2\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \).
Ta có \(\overrightarrow {IA} = \left( {3 - m;4 - n} \right);\overrightarrow {IB} = \left( { - 1 - m;2 - n} \right);\overrightarrow {IC} = \left( { - m;1 - n} \right)\).
Khi đó ta có \(\left\{ \begin{array}{l}3 - m - 2\left( { - 1 - m} \right) + 3\left( { - m} \right) = 0\\4 - n - 2\left( {2 - n} \right) + 3\left( {1 - n} \right) = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \frac{5}{2}\\n = \frac{3}{2}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow I\left( {\frac{5}{2};\frac{3}{2}} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} - 2\overrightarrow {MI} - 2\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {MI} + 3\overrightarrow {IC} = 2\overrightarrow {MI} \).
Để \(\left| {\overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất thì \(\left| {\overrightarrow {MI} } \right|\) nhỏ nhất khi \(M\) là hình chiếu của \(I\) trên đường thẳng \(d\).
Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua \(I\) và vuông góc với đường thẳng \(d\) có phương trình là
\(2\left( {x - \frac{5}{2}} \right) + \left( {y - \frac{3}{2}} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 2x + y - \frac{{13}}{2} = 0\).
Tọa độ điểm \(M\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y - \frac{{13}}{2} = 0\\x - 2y - 2 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow M\left( {3;\frac{1}{2}} \right)\).
\(P = a + 2b = 4\).
Ông A có một mảnh vườn hình Elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\left( {a > b > 0} \right)\) có khoảng cách giữa hai tiêu điểm \({F_1}{F_2} = 40\;{\rm{m}}\) và tổng khoảng cách đo được từ một điểm \(M\) bất kì thuộc elip đến hai tiêu điểm bằng 50 m. Ông chia mảnh vườn ra làm hai nửa bằng một đường tròn bán kình 15 m tiếp xúc trong với Elip (tham khảo hình vẽ). Nửa bên trong đường tròn ông nuôi gà, nửa bên ngoài đường tròn ông làm đường đi. Tính diện tích phần làm đường đi. Biết diện tích hình Elip được tính theo công thức \(S = \pi ab\) với độ rộng của đường Elip, đường tròn là không đáng kể.
Theo đề ta có \(\left\{ \begin{array}{l}M{F_1} + M{F_2} = 2a\\{F_1}{F_2} = 2c\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a = 50\\2c = 40\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 25\\c = 20\end{array} \right. \Rightarrow b = \sqrt {{a^2} - {c^2}} = 15\).
Diện tích của \(\left( E \right)\) là \(S = \pi \cdot 25 \cdot 15 = 375\pi \).
Diện tích hình tròn là \(S = \pi {R^2} = 225\pi \).
Suy ra diện tích đường đi là \(375\pi - 225\pi = 150\pi \).
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có \(M\left( {2;0} \right)\) là trung điểm của cạnh \(AB\), đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh \(A\) lần lượt có phương trình \(7x - 2y - 3 = 0\) và \(6x - y - 4 = 0\). Viết phương trình đường thẳng \(AC\).
Tọa độ điểm \(A\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}7x - 2y - 3 = 0\\6x - y - 4 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {1;2} \right)\).
\(B\) đối xứng với \(A\) qua \(M\), suy ra \(B = \left( {3; - 2} \right)\).
Đường thẳng \(BC\) đi qua \(B\) và vuông góc với đường thẳng \(6x - y - 4 = 0\) có phương trình là
\(x + 6y + 9 = 0\).
Tọa độ trung điểm \(N\) của đoạn thẳng \(BC\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}7x - 2y - 3 = 0\\x + 6y + 9 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = - \frac{3}{2}\end{array} \right.\).
Suy ra \(\overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {MN} = \left( { - 4; - 3} \right)\).
Đường thẳng \(AC\) đi qua \(A\) và nhận \(\overrightarrow n = \left( {3; - 4} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là
\(3x - 4y + 5 = 0\).
Một chiếc đèn có mặt cắt ngang là hình parabol. Hình parabol có chiều rộng giữa hai mép vành là \(AB = 40\;{\rm{cm}}\) và chiều sâu \(h = 30\;{\rm{cm}}\)(\(h\) bằng khoảng cách từ \(O\) đến \(AB\)). Bóng đèn nằm ở tiêu điểm \(S\). Viết phương trình chính tắc của parabol đó.
Gắn hình parabol vào hệ trục như đề bài, dựa vào giả thiết bài toán ta có tọa độ điểm \(A\left( {30;20} \right)\).
Parabol đi qua điểm \(A\) nên ta có phương trình \({20^2} = 2p \cdot 30 \Leftrightarrow p = \frac{{20}}{3}\).
Vậy ta có phương trình chính tắc của parabol là \({y^2} = \frac{{40x}}{3}\).
Một mái vòm nhà hát có mặt cắt là hình nửa elip. Cho biết khoảng cách giữa hai tiêu điểm là \({F_1}{F_2} = 50\;{\rm{m}}\) và chiều dài của đường đi của một tia sáng từ \({F_1}\) đến mái vòm rồi phản chiếu về \({F_2}\) là 100 m. Lập phương trình đường elip đó.
Theo đề ta có \({F_1}{F_2} = 2c = 50 \Rightarrow c = 25\) và \(M{F_1} + M{F_2} = 2a = 100 \Rightarrow a = 50\).
Lại có \({b^2} = {a^2} - {c^2} = {50^2} - {25^2} = 1875\).
Vậy elip có phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{2500}} + \frac{{{y^2}}}{{1875}} = 1\).
Cho tam giác\(ABC\) có \(A\left( { - 3;2} \right),B\left( {2;4} \right),C\left( {1; - 2} \right)\).
a) Tính tọa độ vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và độ dài đoạn thẳng \(AB\).
b) Tìm tọa độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\).
c) Tìm tọa độ điểm \(M\) thuộc trục hoành sao cho \(AM + MC\) ngắn nhất.
a) \(\overrightarrow {AB} = \left( {5;2} \right),\overrightarrow {AB} = \sqrt {25 + 4} = \sqrt {29} \).
b) Tọa độ trọng tâm \(G\) là \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{ - 3 + 2 + 1}}{3} = 0\\{y_G} = \frac{{2 + 4 - 2}}{3} = \frac{4}{3}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow G\left( {0;\frac{4}{3}} \right)\).
c) Ta có \(A\) và \(C\) khác phía so với trục hoành nên \(AM + MC\) ngắn nhất khi \(A,M,C\) thẳng hàng.
Gọi \(M\left( {x;0} \right)\) thuộc trục hoành , ta có \(\overrightarrow {AM} = \left( {x + 3; - 2} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {4; - 4} \right)\) cùng phương nên \(\frac{{x + 3}}{4} = \frac{{ - 2}}{{ - 4}} \Leftrightarrow x = - 1\). Vậy \(M\left( { - 1;0} \right)\).
