Bài tập ôn tập Toán 10 Chân trời sáng tạo Chương 4 có đáp án
55 câu hỏi
A. Trắc nghiệm
Dạng 1. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Cho tam giác \(ABC\) có chu vi bằng 12 và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1. Diện tích của tam giác \(ABC\) bằng
\(12\).
\(3\).
\(6\).
\(24\).
Lời giải
Nửa chu vi tam giác \(ABC\) là \(p = 12:2 = 6\).
Diện tích của tam giác \(ABC\) là \(S = pr = 6 \cdot 1 = 6\). Chọn C.
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 2a,AC = 4a\) và \(\widehat {BAC} = 120^\circ \). Tính diện tích tam giác \(ABC\).
\(S = 8{a^2}\).
\(S = 2{a^2}\sqrt 3 \).
\(S = {a^2}\sqrt 3 \).
\(S = 4{a^2}\).
Lời giải
Ta có \(S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin \widehat {BAC} = \frac{1}{2} \cdot 2a \cdot 4a \cdot \sin 120^\circ = 2{a^2}\sqrt 3 \). Chọn B.
Cho tam giác \(ABC\). Biết \(AB = 2,BC = 3\) và \(\widehat {ABC} = 60^\circ \). Tính chu vi tam giác \(ABC\).
\(5 + \sqrt 7 \).
\(5 - \sqrt 7 \).
\(5\sqrt 7 \).
\(5 + \sqrt {19} \).
Lời giải
Có \(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2AB \cdot BC \cdot \cos \widehat {ABC}\)\( = {2^2} + {3^2} - 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cos 60^\circ = 7\)\( \Rightarrow AC = \sqrt 7 \).
Chu vi tam giác \(ABC\) là \(2 + 3 + \sqrt 7 = 5 + \sqrt 7 \). Chọn A.
Cho tam giác\(ABC\) có \(a = 4,b = 6,c = 8\). Khi đó diện tích của tam giác là
\(9\sqrt {15} \).
\(3\sqrt {15} \).
\(105\).
\(\frac{2}{3}\sqrt {15} \).
Lời giải
Nửa chu vi tam giác \(ABC\) là \(p = \frac{{4 + 6 + 8}}{2} = 9\).
Diện tích tam giác \(ABC\) là \(S = \sqrt {9 \cdot \left( {9 - 4} \right) \cdot \left( {9 - 6} \right) \cdot \left( {9 - 8} \right)} = 3\sqrt {15} \). Chọn B.
Một tam giác có ba cạnh \(52,56,60\). Bán kính đường tròn ngoại tiếp là
\(\frac{{65}}{8}\).
\(40\).
\(32,5\).
\(\frac{{65}}{4}\).
Lời giải
Nửa chu vi tam giác là \(p = \frac{{52 + 56 + 60}}{2} = 84\).
Diện tích tam giác là \(S = \sqrt {84\left( {84 - 52} \right)\left( {84 - 56} \right)\left( {84 - 60} \right)} = 1344\).
Có \(R = \frac{{abc}}{{4S}} = \frac{{52 \cdot 56 \cdot 60}}{{4 \cdot 1344}} = 32,5\). Chọn C.
Biết \(\tan \alpha = \frac{1}{2}\). Tính \(\cot \alpha \).
\(\cot \alpha = \frac{1}{4}\).
\(\cot \alpha = \frac{1}{2}\).
\(\cot \alpha = \sqrt 2 \).
\(\cot \alpha = 2\).
Lời giải
Có \(\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = 2\). Chọn D.
Cho tam giác \(ABC\) có chu vi bằng 12 và diện tích bằng 6. Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\)
\(3\).
\(24\).
\(12\).
\(1\).
Lời giải
Nửa chu vi tam giác là \(p = 12:2 = 6\).
Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\) bằng \(r = \frac{S}{P} = \frac{6}{6} = 1\). Chọn D.
Đơn giản biểu thức \(A = \sin \left( {180^\circ - \alpha } \right) \cdot \cot \alpha \), ta được
\(\sin \alpha \).
\( - \cos \alpha \).
\( - \sin \alpha \).
\(\cos \alpha \).
Lời giải
\(A = \sin \left( {180^\circ - \alpha } \right) \cdot \cot \alpha = \sin \alpha \cdot \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \cos \alpha \). Chọn D.
Đơn giản biểu thức \(A = \sin \left( {180^\circ - \alpha } \right) \cdot \cot \alpha \), ta được
\({S_{\Delta ABC}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}ac\).
\({S_{\Delta ABC}} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}ac\).
\({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}ac\).
\({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{4}ac\).
Lời giải
\({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}ac\sin 120^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{4}ac\). Chọn B.
Cho \(\Delta ABC\). Chọn phát biểu đúng.
\(\cos \left( {A + B} \right) = \sin C\).
\(\cos \left( {A + B} \right) = - \cos C\).
\(\cos \left( {A + B} \right) = \cos C\).
\(\cos \left( {A + B} \right) = - \sin C\).
Lời giải
\(\cos \left( {A + B} \right) = \cos \left( {180^\circ - C} \right) = - \cos C\). Chọn B.
Cho tam giác \(ABC\) có \(\widehat B + \widehat C = 120^\circ ,a = BC = 10\sqrt 3 \). Chu vi đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) bằng
\(10\pi \).
\(15\pi \).
\(20\pi \).
\(5\pi \).
Lời giải
Có \(\widehat A = 180^\circ - \left( {\widehat B + \widehat C} \right) = 60^\circ \).
Ta có \(\frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow R = \frac{{BC}}{{2\sin A}} = \frac{{10\sqrt 3 }}{{2\sin 60^\circ }} = 10\).
Do đó chu vi đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) là \(2\pi R = 20\pi \). Chọn C.
Cho tam giác \(ABC\) có \(\widehat A = 60^\circ \). Tính \(\cos \left( {\frac{{B + C}}{2}} \right)\).
\(\frac{1}{2}\).
\( - \frac{1}{2}\).
\(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
\( - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Lời giải
Có \(\widehat B + \widehat C = 180^\circ - \widehat A = 120^\circ \)\( \Rightarrow \frac{{\widehat B + \widehat C}}{2} = 60^\circ \).
Suy ra \(\cos \left( {\frac{{\widehat B + \widehat C}}{2}} \right) = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}\). Chọn A.
Cho biết \(\sin \frac{\alpha }{2} = \frac{3}{5}\). Giá trị của \(P = 3{\sin ^2}\frac{\alpha }{2} + 5{\cos ^2}\frac{\alpha }{2}\) bằng bao nhiêu?
\(P = \frac{{109}}{{25}}\).
\(P = \frac{{107}}{{25}}\).
\(P = \frac{{111}}{{25}}\).
\(P = \frac{{105}}{{25}}\).
Lời giải
Vì \({\sin ^2}\frac{\alpha }{2} + {\cos ^2}\frac{\alpha }{2} = 1 \Rightarrow {\cos ^2}\frac{\alpha }{2} = 1 - {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} = \frac{{16}}{{25}}\).
Khi đó \(P = 3{\sin ^2}\frac{\alpha }{2} + 5{\cos ^2}\frac{\alpha }{2}\)\( = 3 \cdot {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} + 5 \cdot \frac{{16}}{{25}} = \frac{{107}}{{25}}\). Chọn B.
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 8\;{\rm{cm}}\), \(AC = 18\;{\rm{cm}}\)và có diện tích bằng 64 cm2. Giá trị \(\sin A\) bằng
\(\frac{3}{8}\).
\(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
\(\frac{4}{5}\).
\(\frac{8}{9}\).
Lời giải
Có \({S_{\Delta ABC}} = \frac{{AB \cdot AC \cdot BC}}{{4R}}\)\( \Rightarrow \frac{{BC}}{R} = \frac{{4{S_{\Delta ABC}}}}{{AB \cdot AC}} = \frac{{4 \cdot 64}}{{8 \cdot 18}} = \frac{{16}}{9}\).
Mà \(\frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow \sin A = \frac{{BC}}{{2R}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{16}}{9} = \frac{8}{9}\). Chọn D.
Biết \(\tan \alpha = 6\). Tính giá trị của \(E = 2{\cos ^2}\alpha + 5\sin \alpha \cos \alpha + 1\).
\(\frac{{100}}{{37}}\).
\(\frac{{50}}{{37}}\).
\(\frac{{69}}{{37}}\).
\(\frac{{10}}{{37}}\).
Lời giải
Ta có \(1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\)\( \Leftrightarrow 1 + {6^2} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\)\( \Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{1}{{37}}\).
\(\tan \alpha = 6 \Rightarrow \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = 6 \Rightarrow \sin \alpha = 6\cos \alpha \).
Khi đó \(E = 2{\cos ^2}\alpha + 5\sin \alpha \cos \alpha + 1\)\( = 2{\cos ^2}\alpha + 30{\cos ^2}\alpha + 1 = 32{\cos ^2}\alpha + 1 = \frac{{32}}{{37}} + 1 = \frac{{69}}{{37}}\). Chọn C.
Giá trị của \(\sin 60^\circ + \cos 30^\circ \) bằng bao nhiêu?
\(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
\(\sqrt 3 \).
\(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
\(1\).
Lời giải
\(\sin 60^\circ + \cos 30^\circ \)\( = \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 \). Chọn B.
Cho \(\alpha \) và \(\beta \) là hai góc khác nhau và bù nhau, trong các đẳng thức sau đây đẳng thức nào sai?
\(\sin \alpha = \sin \beta \).
\(\cos \alpha = - \cos \beta \).
\(\tan \alpha = - \tan \beta \).
\(\cot \alpha = \cot \beta \).
Lời giải
\(\cot \alpha = - \cot \beta \). Chọn D.
Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), \(\widehat B = 30^\circ \). Khẳng định nào sau đây là sai?
\(\cos B = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).
\(\sin C = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
\(\cos C = \frac{1}{2}\).
\(\sin B = \frac{1}{2}\).
Lời giải
Vì \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), \(\widehat B = 30^\circ \)\( \Rightarrow \widehat C = 60^\circ \).
Có \(\cos B = \cos 30^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\); \(\sin B = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}\); \(\sin C = \sin 60^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\); \(\cos C = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}\). Chọn A.
Cho \(0^\circ < \alpha < 90^\circ \). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(\tan \left( {90^\circ - \alpha } \right) = - \cot \alpha \).
\(\sin \left( {90^\circ - \alpha } \right) = - \cos \alpha \).
\(\cos \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \sin \alpha \).
\(\cot \left( {90^\circ - \alpha } \right) = - \tan \alpha \).
Lời giải
\(\cos \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \sin \alpha \). Chọn C.
Cho góc \(\alpha \) thỏa mãn \(0^\circ \le \alpha \le 180^\circ \). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(\sin \left( {180^\circ - \alpha } \right) = \sin \alpha \).
\(\cos \left( {180^\circ - \alpha } \right) = \cos \alpha \).
\(\cot \left( {180^\circ - \alpha } \right) = \cot \alpha \).
\(\tan \left( {180^\circ - \alpha } \right) = \tan \alpha \).
Lời giải
\(\sin \left( {180^\circ - \alpha } \right) = \sin \alpha \). Chọn A.
Trong các hệ thức sau hệ thức nào đúng?
\({\sin ^2}\alpha + \cos {\alpha ^2} = 1\).
\({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\frac{\alpha }{2} = 1\).
\(\sin {\alpha ^2} + \cos {\alpha ^2} = 1\).
\({\sin ^2}2\alpha + {\cos ^2}2\alpha = 1\).
Lời giải
\({\sin ^2}2\alpha + {\cos ^2}2\alpha = 1\). Chọn D.
Cho \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\) và \(90^\circ < \alpha < 180^\circ \). Giá trị của \(\cos \alpha \) là
\(\frac{4}{5}\).
\( - \frac{4}{5}\).
\( \pm \frac{4}{5}\).
\(\frac{{16}}{{25}}\).
Lời giải
Ta có \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} = \frac{{16}}{{25}}\).
Vì \(90^\circ < \alpha < 180^\circ \) nên \(\cos \alpha < 0\) nên \(\cos \alpha = - \frac{4}{5}\). Chọn B.
Cho góc \(\alpha \) thỏa mãn \(\sin \alpha = \frac{2}{3};0^\circ < \alpha < 90^\circ \). Tính giá trị của biểu thức \(P = \tan \alpha - 3\cos \alpha \).
\(P = - \frac{{3\sqrt 5 }}{5}\).
\(P = - \frac{7}{{15}}\).
\(P = 1\).
\(P = 0\).
Lời giải
Có \({\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} = \frac{5}{9}\).
Vì \(0^\circ < \alpha < 90^\circ \) nên \(\cos \alpha > 0\). Do đó \(\cos \alpha = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\).
Suy ra \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{2}{3}:\frac{{\sqrt 5 }}{3} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\).
Khi đó \(P = \tan \alpha - 3\cos \alpha = \frac{2}{{\sqrt 5 }} - 3 \cdot \frac{{\sqrt 5 }}{3} = - \frac{{3\sqrt 5 }}{5}\). Chọn A.
Tam giác \(ABC\) có \(AB = 5,BC = 7,CA = 8\). Số đo \(\widehat A\) bằng bao nhiêu?
\(30^\circ \).
\(45^\circ \).
\(60^\circ \).
\(90^\circ \).
Lời giải
Ta có \(\cos \widehat A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2 \cdot AB \cdot AC}} = \frac{{{5^2} + {8^2} - {7^2}}}{{2 \cdot 5 \cdot 8}} = \frac{1}{2}\)\( \Rightarrow \widehat A = 60^\circ \). Chọn C.
Tam giác \(ABC\) có \(AB = 2,AC = 1\) và \(\widehat A = 60^\circ \). Tính độ dài cạnh \(BC\).
\(BC = 1\).
\(BC = 2\).
\(BC = \sqrt 2 \).
\(BC = \sqrt 3 \).
Lời giải
Ta có \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB \cdot AC \cdot \cos \widehat A\) \( = {2^2} + {1^2} - 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \cos 60^\circ = 3 \Rightarrow BC = \sqrt 3 \). Chọn D.
Tam giác \(ABC\) có đoạn thẳng nối trung điểm của \(AB\) và \(BC\) bằng 3, cạnh \(AB = 9\) và \(\widehat {ACB} = 60^\circ \). Tính độ dài cạnh \(BC\).
\(BC = 3 + 3\sqrt 6 \).
\(BC = 3\sqrt 6 - 3\).
\(BC = 3\sqrt 7 \).
\(BC = \frac{{3 + 3\sqrt {33} }}{2}\).
Lời giải
Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(BC\).
Khi đó \(MN\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\). Suy ra \(MN//AC\)\( \Rightarrow \widehat {ACB} = \widehat {MNB} = 60^\circ \).
Vì \(AB = 9 \Rightarrow BM = 4,5\).
Xét \(\Delta BMN\) có \(B{M^2} = M{N^2} + B{N^2} - 2MN \cdot BN \cdot \cos \widehat {MNB}\)\( \Leftrightarrow {4,5^2} = {3^2} + B{N^2} - 2 \cdot 3 \cdot BN \cdot \cos 60^\circ \)
\( \Leftrightarrow B{N^2} - 3 \cdot BN - \frac{{45}}{4} = 0\)\( \Leftrightarrow BN = \frac{{3 + 3\sqrt 6 }}{2}\).
Vì \(N\) là trung điểm của \(BC\) nên \(BC = 2BN = 3 + 3\sqrt 6 \). Chọn A.
Tam giác \(ABC\) có \(\widehat B = 60^\circ ,\widehat C = 45^\circ \) và \(AB = 5\). Tính độ dài cạnh \(AC\).
\(AC = \frac{{5\sqrt 6 }}{2}\).
\(AC = 5\sqrt 3 \).
\(AC = 5\sqrt 2 \).
\(AC = 10\).
Lời giải
Ta có \(\frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}}\)\( \Rightarrow AC = \frac{{AB}}{{\sin C}} \cdot \sin B = \frac{5}{{\sin 45^\circ }} \cdot \sin 60^\circ = \frac{{5\sqrt 6 }}{2}\). Chọn A.
Cho tam giác \(ABC\). Tìm công thức sai.
\(\frac{a}{{\sin A}} = 2R\).
\(\sin A = \frac{a}{{2R}}\).
\(b\sin B = 2R\).
\(\sin C = \frac{{c\sin A}}{a}\).
Lời giải
\(\frac{b}{{\sin B}} = 2R\). Chọn C.
Cho \(\Delta ABC\) với các cạnh \(AB = c,AC = b,BC = a\). Gọi \(R,r,S\) lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp và diện tích của tam giác \(ABC\). Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai?
\(S = \frac{{abc}}{{4R}}\).
\(R = \frac{a}{{\sin A}}\).
\(S = \frac{1}{2}ab\sin C\).
\({a^2} + {b^2} - {c^2} = 2ab\cos C\).
Lời giải
\(2R = \frac{a}{{\sin A}}\). Chọn B.
Cho tam giác \(ABC\) có \(\widehat {BAC} = 60^\circ \) và cạnh \(BC = \sqrt 3 \). Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).
\(R = 4\).
\(R = 1\).
\(R = 2\).
\(R = 3\).
Lời giải
Ta có \(\frac{{BC}}{{\sin \widehat {BAC}}} = 2R \Rightarrow R = \frac{{BC}}{{2\sin \widehat {BAC}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{{2\sin 60^\circ }} = 1\). Chọn B.
Dạng 2. Trắc nghiệm đúng sai
Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho \(\sin \alpha = \frac{2}{3}\left( {0^\circ < \alpha < 90^\circ } \right)\). Khi đó:
\({\cos ^2}\alpha = \frac{5}{9}\).
\(\cos \alpha = - \frac{{\sqrt 5 }}{3}\).
\(\tan \alpha = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\).
\(\frac{{\sin \alpha + \sqrt 5 \cos \alpha }}{{2\sin \alpha + \cos \alpha }} = \frac{7}{{4 + \sqrt 5 }}\).
Lời giải
a) Có \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} = \frac{5}{9}\).
b) \(\cos \alpha = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\) (vì \(0^\circ < \alpha < 90^\circ \) nên \(\cos \alpha > 0\)).
c) \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{2}{3}:\frac{{\sqrt 5 }}{3} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\).
d) \(\frac{{\sin \alpha + \sqrt 5 \cos \alpha }}{{2\sin \alpha + \cos \alpha }} = \frac{{\tan \alpha + \sqrt 5 }}{{2\tan \alpha + 1}} = \frac{{\frac{{2\sqrt 5 }}{5} + \sqrt 5 }}{{\frac{{4\sqrt 5 }}{5} + 1}} = \frac{7}{{4 + \sqrt 5 }} = \frac{{28 - 7\sqrt 5 }}{{11}}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 8,AC = 5,\widehat {BAC} = 120^\circ \). Gọi \(M\) là trung điểm cạnh \(AB\).
Diện tích tam giác \(ABC\) bằng \(10\sqrt 3 \).
\(BC = 7\).
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) bằng \(\sqrt {43} \).
\(MC = \sqrt {61} \).
Lời giải
a) \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB \cdot AC \cdot \sin \widehat {BAC} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \cdot \sin 120^\circ = 10\sqrt 3 \).
b) \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB \cdot AC \cdot \cos A = {8^2} + {5^2} - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos 120^\circ = 129\)\( \Rightarrow BC = \sqrt {129} \).
c) Có \(\frac{{BC}}{{\sin \widehat {BAC}}} = 2R \Rightarrow R = \frac{{BC}}{{2\sin \widehat {BAC}}} = \frac{{\sqrt {129} }}{{2\sin 120^\circ }} = \sqrt {43} \).
d)
Vì \(M\) là trung điểm của \(AB\) nên \(AM = 4\).
Xét \(\Delta AMC\), có \(M{C^2} = A{M^2} + A{C^2} - 2AM \cdot AC \cdot \cos A = {4^2} + {5^2} - 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \cos 120^\circ = 61\) \( \Rightarrow MC = \sqrt {61} \).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Cho \(\cos \alpha = \frac{1}{3}\) với \(0^\circ < \alpha < 90^\circ \).
Giá trị \(\sin \alpha \cdot \cos \alpha < 0\).
Có \(\sin \alpha = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).
Có \(\tan \alpha = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\).
Giá trị biểu thức \(\frac{{6\sqrt 2 \sin \alpha + 3\cos \alpha }}{{\sqrt 2 \tan \alpha + 2\sqrt 2 \cot \alpha }} = \frac{9}{5}\).
Lời giải
a) Với \(0^\circ < \alpha < 90^\circ \) thì \(\sin \alpha > 0\).
Khi đó \(\sin \alpha \cdot \cos \alpha > 0\).
b) Có \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Rightarrow {\sin ^2}\alpha = 1 - {\cos ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{8}{9}\). Suy ra \(\sin \alpha = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).
c) \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}:\frac{1}{3} = 2\sqrt 2 \).
d) \[\frac{{6\sqrt 2 \sin \alpha + 3\cos \alpha }}{{\sqrt 2 \tan \alpha + 2\sqrt 2 \cot \alpha }} = \frac{{6\sqrt 2 \cdot \frac{{2\sqrt 2 }}{3} + 3 \cdot \frac{1}{3}}}{{\sqrt 2 \cdot 2\sqrt 2 + 2\sqrt 2 \cdot \frac{1}{{2\sqrt 2 }}}} = \frac{9}{5}\].
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Cho góc \(\alpha \)\(\left( {90^\circ < \alpha < 180^\circ } \right)\) thỏa mãn \(\sin \alpha = m\left( {0 < m < 1} \right)\). Khi đó:
\(\cos \alpha > 0\).
\(\cos \alpha = \sqrt {1 - {m^2}} \).
\(\sin \left( {180^\circ - \alpha } \right) = m\).
\({\tan ^2}\alpha \cdot {\sin ^2}\alpha - {\tan ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha - \sin \alpha = 1 - m\).
Lời giải
a) Với \(90^\circ < \alpha < 180^\circ \) thì \(\cos \alpha < 0\).
b) Có \({\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - {m^2}\)\( \Rightarrow \cos \alpha = - \sqrt {1 - {m^2}} \).
c) \(\sin \left( {180^\circ - \alpha } \right) = \sin \alpha = m\).
d) \({\tan ^2}\alpha \cdot {\sin ^2}\alpha - {\tan ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha - \sin \alpha = \)\({\tan ^2}\alpha \cdot \left( {{{\sin }^2}\alpha - 1} \right) + {\sin ^2}\alpha - \sin \alpha \)
\( = {\tan ^2}\alpha \cdot \left( { - {{\cos }^2}\alpha } \right) + {\sin ^2}\alpha - \sin \alpha \)\( = - {\sin ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha - \sin \alpha \)\( = - \sin \alpha = - m\).
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Cho tam giác \(ABC\) biết \(BC = 8,CA = 6,\widehat C = 60^\circ \). Khi đó:
\(AB \approx 7,20\)(kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Góc \(A\) là góc tù.
Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\) xấp xỉ bằng 1,96 (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\). Diện tích tam giác \(ABG\) bằng \(4\sqrt 3 \).
Lời giải
a) Ta có \(A{B^2} = A{C^2} + B{C^2} - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos \widehat C\)\( = {8^2} + {6^2} - 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot \cos 60^\circ = 52\)\( \Rightarrow AB = \sqrt {52} \approx 7,21\).
b) Có \(\cos A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2 \cdot AB \cdot AC}} = \frac{{52 + 36 - 64}}{{2 \cdot \sqrt {52} \cdot 6}} = \frac{{\sqrt {13} }}{{13}} > 0\).
Suy ra \(A\) là góc nhọn.
c) Có \(p = \frac{{8 + 6 + \sqrt {52} }}{2}\).
Diện tích tam giác \(ABC\) là \(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} = \sqrt {432} = 12\sqrt 3 \).
Khi đó \(r = \frac{S}{p} = \frac{{12\sqrt 3 }}{{\frac{{8 + 6 + \sqrt {52} }}{2}}} \approx 1,96\).
d)
Ta có \(\frac{{{S_{ABG}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{MG}}{{MC}} = \frac{1}{3}\)\( \Rightarrow {S_{ABG}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}} = \frac{1}{3} \cdot 12\sqrt 3 = 4\sqrt 3 \).
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Cho tam giác \(ABC\), biết \(AC = b = 7,AB = c = 5,\cos A = \frac{3}{5}\).
Cạnh \(BC = a = 4\sqrt 2 \).
\(\sin A = \frac{4}{5}\).
Diện tích tam giác \(ABC\) là \(S = 7\).
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(R = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\).
Lời giải
a) \(B{C^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A = {7^2} + {5^2} - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot \frac{3}{5} = 32\)\( \Rightarrow BC = \sqrt {32} = 4\sqrt 2 \).
b) Có \({\sin ^2}A + {\cos ^2}A = 1 \Rightarrow {\sin ^2}A = 1 - {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} = \frac{{16}}{{25}} \Rightarrow \sin A = \frac{4}{5}\) (vì \(\sin A > 0\)).
c) \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 5.\frac{4}{5} = 14\).
d) Có \(R = \frac{a}{{2\sin A}} = \frac{{4\sqrt 2 }}{{2 \cdot \frac{4}{5}}} = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
Cho tam giác \(ABC\), biết \(BC = a = 21,AC = b = 17,AB = c = 10\).
Nửa chu vi tam giác \(p = 24\).
Diện tích tam giác \(S = 84\).
Đường cao tương ứng với cạnh \(a\) là \({h_a} = 4\).
Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \(r = 3,5\).
Lời giải
a) Nửa chu vi tam giác \(p = \frac{{21 + 17 + 10}}{2} = 24\).
b) Diện tích tam giác \(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \)\( = \sqrt {24\left( {24 - 21} \right)\left( {24 - 17} \right)\left( {24 - 10} \right)} = 84\).
c) Có \(S = \frac{1}{2}a \cdot {h_a} \Rightarrow {h_a} = \frac{{2S}}{a} = \frac{{2 \cdot 84}}{{21}} = 8\).
d) Có \(r = \frac{S}{p} = \frac{{84}}{{24}} = 3,5\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Cho tam giác \(ABC\), biết \(b = 7,c = 5,\cos A = \frac{3}{5}\).
\(\sin A = \frac{4}{5}\).
\(S = 14\).
\(a = 3\sqrt 2 \).
\(R = 4 - \sqrt 2 \).
Lời giải
a) Có \({\sin ^2}A + {\cos ^2}A = 1\)\( \Rightarrow {\sin ^2}A = 1 - {\cos ^2}A = 1 - {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} = \frac{{16}}{{25}}\) \( \Rightarrow \sin A = \frac{4}{5}\) (vì \(\sin A > 0\)).
b) Có \(S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 5 \cdot \frac{4}{5} = 14\).
c) Có \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A = {7^2} + {5^2} - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot \frac{3}{5} = 49 + 25 - 42 = 32\)\( \Rightarrow a = 4\sqrt 2 \).
d) Có \(S = \frac{{abc}}{{4R}} \Rightarrow R = \frac{{abc}}{{4S}} = \frac{{7 \cdot 5 \cdot 4\sqrt 2 }}{{4 \cdot 14}} = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
Cho tam giác \(ABC\) có số đo các cạnh lần lượt là 7, 9, 12.
\(p = 14\).
\(S = 13\sqrt 5 \).
\(R = \frac{{7\sqrt 5 }}{{10}}\).
\(r = \sqrt 3 \).
Lời giải
a) \(p = \frac{{7 + 9 + 12}}{2} = 14\).
b) \(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} = \sqrt {14\left( {14 - 7} \right)\left( {14 - 9} \right)\left( {14 - 12} \right)} = 14\sqrt 5 \).
c) \(S = \frac{{abc}}{{4R}} \Rightarrow R = \frac{{abc}}{{4S}} = \frac{{7 \cdot 9 \cdot 12}}{{4 \cdot 14\sqrt 5 }} = \frac{{27\sqrt 5 }}{{10}}\).
d) \(r = \frac{S}{p} = \frac{{14\sqrt 5 }}{{14}} = \sqrt 5 \).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.
Cho tam giác \(ABC\) biết cạnh \(a = 10,\widehat B = 45^\circ ,\widehat A = 75^\circ \). Khi đó:
\(c = \frac{{20\sqrt 3 }}{3}\).
\(R \approx 5,77\) (\(R\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
\(\widehat C = 60^\circ \).
\(b \approx 7,32\) (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Lời giải
a) Có \(\widehat C = 180^\circ - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) = 180^\circ - \left( {45^\circ + 75^\circ } \right) = 60^\circ \).
Có \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{c}{{\sin C}} \Rightarrow c = \frac{{a\sin C}}{{\sin A}} = \frac{{10 \cdot \sin 60^\circ }}{{\sin 75^\circ }} \approx 8,97\).
b) Có \(\frac{a}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow R = \frac{a}{{2\sin A}} = \frac{{10}}{{2\sin 75^\circ }} \approx 5,18\).
c) \(\widehat C = 180^\circ - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) = 180^\circ - \left( {45^\circ + 75^\circ } \right) = 60^\circ \).
d) Có \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} \Rightarrow b = \frac{{a\sin B}}{{\sin A}} = \frac{{10\sin 45^\circ }}{{\sin 75^\circ }} \approx 7,32\).
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Dạng 3. Trắc nghiệm trả lời ngắn
Một khu vườn hình tam giác \(ABC\) được bao quanh hàng rào. Chiều dài hàng rào \(AB = 13\;{\rm{m}}\), chiều dài hàng rào \(AC = 15\;{\rm{m}}\) và \(\widehat {BAC} = 60^\circ \). Diện tích khu vườn là bao nhiêu mét vuông (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
Lời giải
Diện tích khu vườn là \(S = \frac{1}{2}AB \cdot AC \cdot \sin \widehat {BAC} = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 15 \cdot \sin 60^\circ \approx 84,4\)(m2).
Trả lời: 84,4.
Cho \(\tan x = - 1\). Tính giá trị của biểu thức \(P = \frac{{\sin x + 2\cos x}}{{\cos x + 2\sin x}}\).
Lời giải
\(P = \frac{{\sin x + 2\cos x}}{{\cos x + 2\sin x}}\)\( = \frac{{\frac{{\sin x}}{{\cos x}} + 2}}{{1 + 2\frac{{\sin x}}{{\cos x}}}}\)\( = \frac{{\tan x + 2}}{{1 + 2\tan x}} = \frac{{ - 1 + 2}}{{1 + 2 \cdot \left( { - 1} \right)}} = - 1\).
Trả lời: −1.
Đứng ở vị trí A trên bờ biển, bạn Bình đo được góc nghiêng so với bờ biển tới một vị trí C trên đảo là \(45^\circ \). Sau đó di chuyển dọc bờ biển đến vị trí B cách A một khoảng 105 m và đo được góc nghiêng so với bờ biển tới vị trí C đã chọn là \(35^\circ \). Tính khoảng cách từ vị trí C trên đảo tới bờ biển theo đơn vị mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Lời giải
Xét \(\Delta ACH\) có \(AH = \frac{{CH}}{{\tan 45^\circ }}\).
Xét \(\Delta BCH\) có \(BH = \frac{{CH}}{{\tan 35^\circ }}\).
Có \(AH + BH = 105\) nên \(\frac{{CH}}{{\tan 45^\circ }} + \frac{{CH}}{{\tan 35^\circ }} = 105\)\( \Leftrightarrow CH = 105:\left( {\frac{1}{{\tan 45^\circ }} + \frac{1}{{\tan 35^\circ }}} \right) \approx 43,2\)(m).
Trả lời: 43,2.
Trên đoạn đường hành trình giữa hai điểm A và B có một ngọn núi, chính vì vậy đã phải đi theo đường vòng theo đường gấp khúc ACDB như hình vẽ. Biết rằng AC = 400 m, CD = 500 m, DB = 400 m và \(\widehat {ACD} = 138^\circ ,\widehat {CDB} = 122^\circ \). Hãy xác định độ dài đoạn đường AB theo đơn vị mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Lời giải
Áp dụng định lí cô sin cho tam giác \(BCD\), có
\(B{C^2} = C{D^2} + B{D^2} - 2CD \cdot DB \cdot \cos D = {500^2} + {400^2} - 2 \cdot 500 \cdot 400 \cdot \cos 122^\circ \Rightarrow BC \approx 789\)(m).
Áp dụng định lí sin cho tam giác \(BCD\), có:
\(\frac{{BC}}{{\sin D}} = \frac{{BD}}{{\sin C}} \Rightarrow \sin C = \frac{{BD \cdot \sin D}}{{BC}} = \frac{{400 \cdot \sin 122^\circ }}{{789}} \Rightarrow \widehat C \approx 25,5^\circ \).
Suy ra \(\widehat {ACB} = 138^\circ - 25,5^\circ = 112,5^\circ \).
Áp dụng định lí cô sin cho tam giác \(ABC\), có
\(A{B^2} = A{C^2} + B{C^2} - 2AC \cdot BC \cdot \cos C = {400^2} + {789^2} - 2 \cdot 400 \cdot 789 \cdot \cos 112,5^\circ \Rightarrow AB \approx 1012\) (m).
Trả lời: 1012.
Từ hai vị trí A và B của một tòa nhà, người ta quan sát đỉnh C của ngọn núi. Biết rằng độ cao \(AB = 70\;{\rm{m}}\), phương nhìn \(AC\) tạo với phương nằm ngang góc \(30^\circ \), phương nhìn \(BC\) tạo với phương nằm ngang góc \(60^\circ \). Tính chiều cao ngọn núi so với mặt đất.
Lời giải
Xét \(\Delta ABC\) có \(\widehat {BAC} = 90^\circ + 30^\circ = 120^\circ \); \(\widehat {ABC} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \); \(\widehat {ACB} = 180^\circ - 120^\circ - 30^\circ = 30^\circ \).
Áp dụng định lí sin cho tam giác \(ABC\), có
\(\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{BC}}{{\sin A}} \Rightarrow BC = \frac{{AB\sin A}}{{\sin C}} = \frac{{70\sin 120^\circ }}{{\sin 30^\circ }} = 70\sqrt 3 \).
Xét \(\Delta AHC\) có \(CH = BC\sin 60^\circ = 70\sqrt 3 \cdot \sin 60^\circ = 105\).
Vậy ngọn núi cao 105 m.
Trả lời: 105.
Tam giác \(ABC\) có hai đường trung tuyến \(BM,CN\) vuông góc với nhau và có \(BC = 6\), \(\widehat {BAC} = 30^\circ \). Tính diện tích \(\Delta ABC\) (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
Lời giải
Đặt \(AC = b,AB = c\).
Ta có \(B{C^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos 30^\circ = {b^2} + {c^2} - bc\sqrt 3 \Rightarrow bc\sqrt 3 = {b^2} + {c^2} - 36\) (1).
Áp dụng định lí côsin cho tam giác \(ABM\), có \(B{M^2} = {c^2} + \frac{{{b^2}}}{4} - bc\cos A = {c^2} + \frac{{{b^2}}}{4} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}bc\)\( \Leftrightarrow B{M^2} = {c^2} + \frac{{{b^2}}}{4} - \frac{{{b^2} + {c^2} - 36}}{2} = \frac{{{c^2}}}{2} - \frac{{{b^2}}}{4} + 18\).
Áp dụng định lí côsin cho tam giác \(ACN\), \(C{N^2} = {b^2} + \frac{{{c^2}}}{4} - \frac{{bc\sqrt 3 }}{2}\)\( = {b^2} + \frac{{{c^2}}}{4} - \frac{{{b^2} + {c^2} - 36}}{2} = \frac{{{b^2}}}{2} - \frac{{{c^2}}}{4} + 18\).
Lại có \(B{G^2} + C{G^2} = 36\)\( \Leftrightarrow \frac{4}{9}\left( {B{M^2} + C{N^2}} \right) = 36\)\( \Leftrightarrow B{M^2} + C{N^2} = 81\)\( \Leftrightarrow \frac{{{c^2}}}{2} - \frac{{{b^2}}}{4} + 18 + \frac{{{b^2}}}{2} - \frac{{{c^2}}}{4} + 18 = 81\)
\( \Leftrightarrow \frac{{{c^2}}}{4} + \frac{{{b^2}}}{4} = 45\)\( \Leftrightarrow {c^2} + {b^2} = 180\) (2).
Từ (1) và (2), suy ra \(bc = 48\sqrt 3 \).
Khi đó \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2} \cdot 48\sqrt 3 \cdot \sin 30^\circ = 12\sqrt 3 \approx 20,8\).
Trả lời: 20,8.
Tính giá trị biểu thức \(P = {\cos ^2}1^\circ + {\cos ^2}2^\circ + {\cos ^2}3^\circ + ... + {\cos ^2}178^\circ + {\cos ^2}179^\circ + {\cos ^2}180^\circ \).
Lời giải
\(P = {\cos ^2}1^\circ + {\cos ^2}2^\circ + {\cos ^2}3^\circ + ... + {\cos ^2}178^\circ + {\cos ^2}179^\circ + {\cos ^2}180^\circ \)
\(P = \left( {{{\cos }^2}1^\circ + {{\cos }^2}179^\circ } \right) + \left( {{{\cos }^2}2^\circ + {{\cos }^2}178^\circ } \right) + ... + \left( {{{\cos }^2}89^\circ + {{\cos }^2}91^\circ } \right) + {\cos ^2}90^\circ + {\cos ^2}180^\circ \)
\(P = \left( {{{\cos }^2}1^\circ + {{\cos }^2}1^\circ } \right) + \left( {{{\cos }^2}2^\circ + {{\cos }^2}2^\circ } \right) + ... + \left( {{{\cos }^2}89^\circ + {{\cos }^2}89^\circ } \right) + {\cos ^2}90^\circ + {\cos ^2}180^\circ \)
\[P = 2{\cos ^2}1^\circ + 2{\cos ^2}2^\circ + ... + 2{\cos ^2}89^\circ + {\cos ^2}90^\circ + {\cos ^2}180^\circ \]
\[P = 2\left( {{{\cos }^2}1^\circ + {{\cos }^2}89^\circ } \right) + 2\left( {{{\cos }^2}2^\circ + {{\cos }^2}88^\circ } \right) + ... + 2\left( {{{\cos }^2}44^\circ + {{\cos }^2}46^\circ } \right) + 2{\cos ^2}45^\circ + {\cos ^2}90^\circ + {\cos ^2}180^\circ \]
\[P = 2\left( {{{\cos }^2}1^\circ + {{\sin }^2}1^\circ } \right) + 2\left( {{{\cos }^2}2^\circ + {{\sin }^2}2^\circ } \right) + ... + 2\left( {{{\cos }^2}44^\circ + {{\sin }^2}44^\circ } \right) + 2{\cos ^2}45^\circ + {\cos ^2}90^\circ + {\cos ^2}180^\circ \]
\[P = 2 \cdot 44 + 1 + 1 = 90\].
Trả lời: 90.
Cho tam giác \(ABC\) có \(\widehat B = 45^\circ ,\widehat C = 15^\circ \) và \(BC = 10\sqrt 6 \). Tính độ dài cạnh \(AC\).
Lời giải
Có \(\widehat A = 180^\circ - \left( {\widehat B + \widehat C} \right) = 180^\circ - \left( {45^\circ + 15^\circ } \right) = 120^\circ \).
Áp dụng định lí sin cho tam giác \(ABC\) ta được
\(\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AC}}{{\sin B}} \Rightarrow AC = \frac{{BC \cdot \sin B}}{{\sin A}} = \frac{{10\sqrt 6 \cdot \sin 45^\circ }}{{\sin 120^\circ }} = 20\).
Trả lời: 20.
Cho biết \(3\cos \alpha - \sin \alpha = 1,0^\circ < \alpha < 90^\circ \). Tính giá trị của \(9\tan \alpha \).
Lời giải
Có \(\left\{ \begin{array}{l}3\cos \alpha - \sin \alpha = 1\\{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha = 3\cos \alpha - 1\\{\left( {3\cos \alpha - 1} \right)^2} + {\cos ^2}\alpha = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha = 3\cos \alpha - 1\\10{\cos ^2}\alpha - 6\cos \alpha = 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha = 3\cos \alpha - 1\\\left[ \begin{array}{l}\cos \alpha = 0\\\cos \alpha = \frac{3}{5}\end{array} \right.\end{array} \right.\).
Vì \(0^\circ < \alpha < 90^\circ \) nên \(\cos \alpha = \frac{3}{5} \Rightarrow \sin \alpha = \frac{4}{5}\).
Vậy \(9\tan \alpha = 9 \cdot \frac{4}{5}:\frac{3}{5} = 12\).
Trả lời: 12.
Để đo khoảng cách từ một điểm \(A\) trên bờ sông đến gốc cây \(C\) trên cù lao giữa sông, người ta chọn một điểm \(B\) cùng ở trên bờ với \(A\) sao cho từ \(A\) và \(B\) có thể nhìn thấy điểm \(C\). Ta đo được khoảng cách \(AB = 40\;{\rm{m}}\), \(\widehat {CAB} = 60^\circ ,\widehat {CBA} = 80^\circ \). Khoảng cách từ điểm \(A\) đến gốc cây \(C\) là bao nhiêu mét (làm tròn đến hàng phần mười).
Lời giải
Xét \(\Delta ABC\) có \(\widehat C = 180^\circ - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) = 180^\circ - \left( {60^\circ + 80^\circ } \right) = 40^\circ \).
Áp dụng định lí sin cho tam giác \(ABC\), ta có \(\frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}} \Rightarrow AC = \frac{{AB\sin B}}{{\sin C}} = \frac{{40 \cdot \sin 80^\circ }}{{\sin 40^\circ }} \approx 61,3\)(m).
Trả lời: 61,3.
B. Tự luận
Cho tam giác \(ABC\) có độ dài \(BC = a,CA = b,AB = c\) và \(R\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. Chứng mình rằng \(\cot A = \frac{{R\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)}}{{abc}}\).
Lời giải
Có \(\cot A = \frac{{\cos A}}{{\sin A}} = \frac{{\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}}}{{\frac{{2S}}{{bc}}}} = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{4S}}\).
Mà \(S = \frac{{abc}}{{4R}}\). Suy ra \(\cot A = \frac{{R\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)}}{{abc}}\).
Một ngôi tháp nghiêng về phía Tây một góc α so với phương ngang của mặt đất. Vào lúc 10 giờ sáng, khi góc nâng của tia sáng mặt trời so với mặt đất có số đo là \(60^\circ \) thì bóng của tháp trải trên mặt đất dài 37,5 m. Vào lúc 16 giờ chiếu, khi góc nâng của tia nắng mặt trời so với mặt đất có số đo là \(45^\circ \) thì bóng của tháp trải trên mặt đất là 51,9 m.
a) Tính chiều dài thân tháp nghiêng trên.
b) Tìm số đo góc α.
Lời giải
Ta có \(\widehat {BAC} = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ \); \(BC = 37,5 + 51,9 = 89,4\).
Áp dụng định lí sin cho tam giác \(ABC\), ta có:
\(\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{BC}}{{\sin A}} \Rightarrow AB = \frac{{BC\sin C}}{{\sin A}} = \frac{{89,4 \cdot \sin 45^\circ }}{{\sin 75^\circ }} \approx 65,45\) (m).
Áp dụng định lí cô sin cho tam giác \(ABD\), ta có
\(A{D^2} = A{B^2} + B{D^2} - 2AB \cdot BD \cdot \cos \widehat {ABC} = {65,45^2} + {37,5^2} - 2 \cdot 65,45 \cdot 37,5 \cdot \cos 60^\circ \).
Suy ra \(AD \approx 56,88\) m.
Vậy chiều cao thân tháp là 56,88 m.
b) Xét \(\Delta AHB\), có \[AH = AB \cdot \sin B = 65,45 \cdot \sin 60^\circ \approx 56,68\] (m).
Khi đó \(\sin \alpha = \frac{{AH}}{{AD}} = 0,9965 \Rightarrow \alpha \approx 85^\circ 11'\).
Cho \(0 < \alpha < 180^\circ \) với \(\tan \alpha = 3\). Tính giá trị biểu thức \(A = \frac{{3{{\sin }^2}\alpha + 5}}{{{{\sin }^4}\alpha - {{\cos }^4}\alpha }}\).
Lời giải
\(A = \frac{{3{{\sin }^2}\alpha + 5}}{{{{\sin }^4}\alpha - {{\cos }^4}\alpha }}\)\( = \frac{{3\frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} \cdot \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} + 5 \cdot \frac{1}{{{{\cos }^4}\alpha }}}}{{\frac{{{{\sin }^4}\alpha }}{{{{\cos }^4}\alpha }} - 1}}\)\( = \frac{{3{{\tan }^2}\alpha \cdot \left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right) + 5 \cdot {{\left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right)}^2}}}{{{{\tan }^4}\alpha - 1}}\)
\( = \frac{{3 \cdot {3^2} \cdot \left( {1 + {3^2}} \right) + 5 \cdot {{\left( {1 + {3^2}} \right)}^2}}}{{{3^4} - 1}} = \frac{{77}}{8}\).
Hai chiếc tàu thủy cùng xuất phát từ một vị trí A, đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau góc \(60^\circ \).
Tàu B chạy với tốc độ 20 hải lí một giờ. Tàu C chạy với tốc độ 15 hải lí một giờ. Sau hai giờ, hai tàu cách nhau bao nhiêu hải lí?
Lời giải
Sau 2 giờ, tàu B đi được \(20 \cdot 2 = 40\) hải lí.
Sau 2 giờ, tàu C đi được \(15 \cdot 2 = 30\) hải lí.
Áp dụng định lí cô sin cho tam giác \(ABC\), có:
\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB \cdot AC \cdot \cos \widehat {BAC}\)\( = {40^2} + {30^2} - 2 \cdot 40 \cdot 30 \cdot \cos 60^\circ = 1300\).
Suy ra \(BC = 10\sqrt {13} \).
Vậy sau 2 giờ, 2 tàu cách nhau \(10\sqrt {13} \) hải lí.
Cho tam giác \(ABC\). Biết \(AB = 8,AC = 5\) và \(\widehat A = 60^\circ \).
a) Tính cạnh \(BC\).
b) Tính độ dài đường cao \(AH\).
Lời giải
a) Áp dụng định lí cô sin cho tam giác \(ABC\), có:
\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB \cdot AC \cdot \cos A\)\( = {8^2} + {5^2} - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos 60^\circ = 49\)\( \Rightarrow BC = 7\).
b) Nửa chu vi tam giác ABC là \(p = \frac{{5 + 8 + 7}}{2} = 10\).
Diện tích tam giác \(ABC\)là \(S = \sqrt {10\left( {10 - 8} \right)\left( {10 - 5} \right)\left( {10 - 7} \right)} = 10\sqrt 3 \).
Lại có \(S = \frac{1}{2}AH \cdot BC \Rightarrow AH = \frac{{2S}}{{BC}} = \frac{{20\sqrt 3 }}{7}\).
