Bài tập ôn tập Toán 10 Chân trời sáng tạo Chương 3 có đáp án
55 câu hỏi
A. Trắc nghiệm
Dạng 1. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Tập xác định của hàm số \(y = \frac{3}{{x + 2}}\) là
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\).
\(\left( { - \infty ; - 2} \right)\).
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).
\(\left( { - 2; + \infty } \right)\).
Lời giải
Điều kiện: \(x + 2 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne - 2\).
Vậy tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\). Chọn A.
\(\left[ {3; + \infty } \right)\).
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}\).
\(\left[ {1;3} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\).
\(\left[ {1; + \infty } \right)\).
Lời giải
Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\x \ne 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \ne 3\end{array} \right.\).
Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \left[ {1;3} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\). Chọn C.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = - {x^2} + 3x - 4\). Khẳng định nào sau đây là sai?
\(f\left( 1 \right) = - 2\).
\(f\left( { - 1} \right) = - 8\).
\(f\left( { - 2} \right) = - 8\).
\(f\left( 2 \right) = - 2\).
Lời giải
Ta có \(f\left( 1 \right) = - {1^2} + 3 \cdot 1 - 4 = - 2\); \(f\left( { - 1} \right) = - {\left( { - 1} \right)^2} + 3 \cdot \left( { - 1} \right) - 4 = - 8\);
\(y = f\left( { - 2} \right) = - {\left( { - 2} \right)^2} + 3 \cdot \left( { - 2} \right) - 4 = - 14\); \(f\left( 2 \right) = - {2^2} + 3 \cdot 2 - 4 = - 2\). Chọn C.
\(f\left( 4 \right) = 1\).
\(f\left( 4 \right) = 9\).
\(f\left( 4 \right) = \sqrt 5 \).
Không xác định.
Lời giải
Ta có \(f\left( 4 \right) = {4^2} - 7 = 9\). Chọn B.
Bảng dưới đây cho biết sự tương ứng giữa thời gian \(t\) (giờ) và quãng đường đi được \(S\)(km) của một chuyển động
t (giờ) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
S (km) | 15 | 30 | 45 | 60 | 75 |
Hàm số nào dưới đây biểu thị cho sự tương ứng giữa thời gian \(t\) (giờ) và quãng đường đi được \(S\)(km) của chuyển động trên?
\(S = 30t\).
\(S = 2t\).
\(S = 15 + t\).
\(S = 15t\).
Lời giải
Hàm số \(S = 15t\) biểu thị cho sự tương ứng giữa thời gian \(t\) (giờ) và quãng đường đi được \(S\)(km) của chuyển động trên. Chọn D.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên đoạn \(\left[ { - 3;3} \right]\) và có đồ thị như hình vẽ
![Cho hàm số y = f(x) xác định trên đoạn [- 3;3] và có đồ thị như hình vẽ Mệnh đề nào sau đây đúng? (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/12/blobid0-1766369236.png)
Mệnh đề nào sau đây đúng?
Hàm số nghịch biến trên đoạn \(\left[ { - 3;1} \right]\).
Hàm số nghịch biến trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\).
Hàm số đồng biến trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\).
Hàm số đồng biến trên đoạn \(\left[ { - 2;1} \right]\).
Lời giải
Dựa vào đồ thị ta có hàm số đồng biến trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\). Chọn C.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên đoạn \(\left[ { - 3;3} \right]\) và có đồ thị như hình vẽ
![Cho hàm số y = f(x) xác định trên đoạn [- 3;3] và có đồ thị như hình vẽ Mệnh đề nào sau đây đúng? (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/12/blobid1-1766369315.png)
Mệnh đề nào sau đây đúng?
\(f\left( { - \frac{5}{2}} \right) > f\left( { - \frac{3}{2}} \right)\).
\(f\left( { - 2} \right) > f\left( {\frac{1}{2}} \right)\).
\(f\left( { - 1} \right) > f\left( 1 \right)\).
\(f\left( { - \frac{1}{2}} \right) < f\left( {\frac{3}{4}} \right)\).
Lời giải
Dựa vào đồ thị ta có \(f\left( { - 1} \right) > f\left( 1 \right)\). Chọn C.
\(Q\left( {4;2} \right)\).
\(N\left( { - 3;1} \right)\).
\(P\left( {4;0} \right)\).
\(M\left( { - 3;19} \right)\).
Lời giải
Thay tọa độ điểm \(M\left( { - 3;19} \right)\) vào phương trình ta được \(19 = {\left( { - 3} \right)^2} - 2 \cdot \left( { - 3} \right) + 4\) (đúng).
Vậy điểm \(M\left( { - 3;19} \right)\) thuộc đồ thị (P). Chọn D.
Trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) hàm số đồng biến.
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\).
Trên khoảng \(\left( {3; + \infty } \right)\) hàm số nghịch biến.
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {4; + \infty } \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;4} \right)\).
Lời giải
Tọa độ đỉnh của đồ thị hàm số là \(I\left( {2;5} \right)\).
Vì \(a = - 1 < 0\) nên hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\). Chọn D.
Hàm số \(y = {x^2} - 4x + 11\) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?
\(\left( { - 2; + \infty } \right)\).
\(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\).
\(\left( {2; + \infty } \right)\).
\(\left( { - \infty ;2} \right)\).
Lời giải
Tọa độ đỉnh của \(\left( P \right)\): \(I\left( {2;7} \right)\).
Vì \(a = 1 > 0\) nên hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\). Chọn C.
\(I\left( { - \frac{b}{{2a}}; - \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\).
\(I\left( { - \frac{b}{a}; - \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\).
\(I\left( {\frac{b}{{2a}};\frac{\Delta }{{4a}}} \right)\).
\(I\left( { - \frac{b}{{2a}};\frac{\Delta }{{4a}}} \right)\).
Lời giải
Đỉnh của \(\left( P \right)\) được xác định bởi \(I\left( { - \frac{b}{{2a}}; - \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\). Chọn A.
Cho \(\left( P \right):y = 3{x^2} - 2x + 1\). Điểm nào sau đây là đỉnh của \(\left( P \right)\)?
\(I\left( {0;1} \right)\).
\(I\left( {\frac{1}{3};\frac{2}{3}} \right)\).
\(I\left( { - \frac{1}{3};\frac{2}{3}} \right)\).
\(I\left( {\frac{1}{3}; - \frac{2}{3}} \right)\).
Lời giải
Tọa độ đỉnh của \(\left( P \right)\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{{ - 2}}{{2 \cdot 3}} = \frac{1}{3}\\y = 3 \cdot {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} - 2 \cdot \frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow I\left( {\frac{1}{3};\frac{2}{3}} \right)\). Chọn B.
\(x = - \frac{b}{{2a}}\).
\(x = - \frac{c}{{2a}}\).
\(x = - \frac{\Delta }{{4a}}\).
\(x = \frac{b}{{2a}}\).
Lời giải
Trục đối xứng của đồ thị hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\) là đường thẳng \(x = - \frac{b}{{2a}}\). Chọn A.
\( - 1\).
\(1\).
\(5\).
\( - 5\).
Lời giải
Tọa độ đỉnh của \(\left( P \right)\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{{ - 4}}{{2 \cdot 2}} = 1\\y = 2 \cdot {1^2} - 4 \cdot 1 + 3 = 1\end{array} \right.\).
Suy ra tung độ của đỉnh \(I\) là 1. Chọn B.
\(y = \frac{2}{3}\).
\(x = - \frac{2}{3}\).
\(x = \frac{2}{3}\).
\(y = - \frac{2}{3}\).
Lời giải
Trục đối xứng của đồ thị hàm số \(y = - 3{x^2} + 4x + 2\) là \(x = - \frac{4}{{2 \cdot \left( { - 3} \right)}} = \frac{2}{3}\). Chọn C.
Cho bảng biến thiên của hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\). Tìm khẳng định đúng.
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {\frac{1}{5};2} \right)\).
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {\frac{1}{5}; + \infty } \right)\).
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\).
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\).
Lời giải
Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\). Chọn C.
Đồ thị như hình bên dưới là của hàm số nào trong các hàm số sau?
\(y = - {x^2} + 2x + 1\).
\(y = {x^2} + 2x + 1\).
\(y = {x^2} + 2x - 1\).
\(y = {x^2} - 2x + 1\).
Lời giải
Gọi \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\left( {a > 0} \right)\).
Dựa vào đồ thị hàm số ta có \(\left\{ \begin{array}{l} - \frac{b}{{2a}} = - 1\\a \cdot {\left( { - 1} \right)^2} + b \cdot \left( { - 1} \right) + c = 0\\c = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a - b = 0\\a - b + c = 0\\c = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\\c = 1\end{array} \right.\).
Vậy \(\left( P \right):y = {x^2} + 2x + 1\). Chọn B.
Cho hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) có đồ thị như hình bên dưới. Tìm khẳng định đúng.
\(a < 0,b < 0,c = 0\).
\(a > 0,b > 0,c = 0\).
\(a < 0,b > 0,c = 0\).
\(a > 0,b < 0,c = 0\).
Lời giải
Vì bề lõm của \(\left( P \right)\) quay lên trên nên \(a > 0\).
Đồ thị hàm số \(\left( P \right)\) đi qua gốc tọa độ nên \(c = 0\).
Hoành độ của đỉnh \(I\) là \(x = - \frac{b}{{2a}} < 0\) mà \(a > 0 \Rightarrow b > 0\).
Vậy \(a > 0,b > 0,c = 0\). Chọn B.
Cho hàm số \(y = {x^2} + bx - 4\). Biết đồ thị hàm số đã cho đi qua điểm \(N\left( { - 3;20} \right)\). Tìm \(b\).
\(b = 25\).
\(b = - 4\).
\(b = - 5\).
\(b = 5\).
Lời giải
Vì đồ thị hàm số đã cho đi qua điểm \(N\left( { - 3;20} \right)\) nên \(20 = {\left( { - 3} \right)^2} + b \cdot \left( { - 3} \right) - 4 \Leftrightarrow b = - 5\). Chọn C.
Biết đồ thị hàm số \(y = a{x^2} - x + c\) đi qua điểm \(A\left( { - 3;27} \right)\) và \(B\left( {0; - 3} \right)\). Tìm các hệ số \(a\) và \(c\).
\(a = 3,c = - 3\).
\(a = 8,c = 0\).
\(a = 3,c = 1\).
\(a = 3,c = - 4\).
Lời giải
Vì đồ thị hàm số \(y = a{x^2} - x + c\) đi qua điểm \(A\left( { - 3;27} \right)\) và \(B\left( {0; - 3} \right)\) nên ta có hệ
\(\left\{ \begin{array}{l}a \cdot {\left( { - 3} \right)^2} + 3 + c = 27\\a \cdot {0^2} - 0 + c = - 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9a + c = 24\\c = - 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\c = - 3\end{array} \right.\). Chọn A.
Đồ thị hàm số \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\) đi qua \(A\left( {8;0} \right)\) và có đỉnh \(I\left( {6; - 12} \right)\) có phương trình là
\(y = {x^2} - 12x + 96\).
\(y = 2{x^2} - 24x = 96\).
\(y = 2{x^2} - 36x + 96\).
\(y = 3{x^2} - 36x + 96\).
Lời giải
Theo đề ta có hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}64a + 8b + c = 0\\ - \frac{b}{{2a}} = 6\\36a + 6b + c = - 12\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}64a + 8b + c = 0\\12a + b = 0\\36a + 6b + c = - 12\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = - 36\\c = 96\end{array} \right.\).
Vậy \(\left( P \right):y = 3{x^2} - 36x + 96\). Chọn D.
\(A\left( { - 1;3} \right)\).
\(B\left( {1;1} \right)\).
\(C\left( { - 2;5} \right)\).
\(D\left( {0;3} \right)\).
Lời giải
Theo đề ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} - \frac{{ - 2}}{{2a}} = 1\\4a - 4 + c = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\c = 0\end{array} \right.\). Vậy \(\left( P \right):y = {x^2} - 2x\).
Thay tọa độ điểm \(A\left( { - 1;3} \right)\) vào \(\left( P \right)\) ta được: \(3 = {\left( { - 1} \right)^2} - 2 \cdot \left( { - 1} \right)\) (đúng).
Vậy điểm \(A\left( { - 1;3} \right)\) thuộc \(\left( P \right)\). Chọn A.
Cho parabol \(y = a{x^2} + bx + c\) có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Khẳng định nào sau đây đúng?
\(a < 0,b > 0,c < 0\).
\(a < 0,b < 0,c < 0\).
\(a < 0,b > 0,c > 0\).
\(a < 0,b < 0,c > 0\).
Lời giải
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên \(c > 0\).
Bề lõm của đồ thị hướng xuống dưới nên \(a < 0\).
Hoành độ đỉnh của \(\left( P \right):x = - \frac{b}{{2a}} > 0\) mà \(a < 0 \Rightarrow b > 0\).
Vậy \(a < 0,b > 0,c > 0\). Chọn C.
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^2} - 4x + 1\).
\( - 3\).
\(1\).
\(3\).
\(13\).
Lời giải
Tọa độ đỉnh của parabol là \(I\left( {2; - 3} \right)\).
Vì \(a = 1 > 0\) nên giá trị nhỏ nhất của hàm số là \( - 3\) khi \(x = 2\). Chọn A.
Hàm số \(y = - 3{x^2} + x + 2\) có giá trị lớn nhất bằng \(\frac{{25}}{{12}}\).
Hàm số \(y = - 3{x^2} + x + 2\) có giá trị nhỏ nhất bằng \(\frac{{25}}{{12}}\).
Hàm số \(y = - 3{x^2} + x + 2\) có giá trị lớn nhất bằng \(\frac{{25}}{3}\).
Hàm số \(y = - 3{x^2} + x + 2\) có giá trị nhỏ nhất bằng \(\frac{{25}}{3}\).
Lời giải
Tọa độ đỉnh của parabol là \(I\left( {\frac{1}{6};\frac{{25}}{{12}}} \right)\).
Vì \(a = - 3 < 0\) nên giá trị lớn nhất của hàm số là \(\frac{{25}}{{12}}\) khi \(x = \frac{1}{6}\). Chọn A.
\(\frac{4}{5}\).
\(0\).
\(\frac{1}{3}\).
\( - 20\).
Lời giải
Tọa độ đỉnh của parabol là \(I\left( {\frac{1}{3};\frac{4}{3}} \right)\).
Vì \(a = - 3 < 0\) nên ta có bảng biến thiên của hàm số như sau
![Giá trị lớn nhất của hàm số y = - 3x^2 + 2x + 1 trên đoạn [1;3] là: (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/12/blobid6-1766370813.png)
Dựa vào bảng biến thiên ta có giá trị lớn nhất của hàm số \(y = - 3{x^2} + 2x + 1\) trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\)là 0. Chọn B.
\( - 1\).
\(2\).
\(7\).
\(8\).
Lời giải
Tọa độ đỉnh của parabol là \(I\left( {2; - 1} \right)\).
Vì \(a = 1 > 0\) nên ta có bảng biến thiên như sau:
![Tổng giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y = x^2 - 4x + 3 trên đoạn [- 1;4] là (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/12/blobid0-1766370899.png)
Dựa vào bảng biến thiên, ta có giá trị lớn nhất của hàm số \(y = {x^2} - 4x + 3\) trên đoạn \(\left[ { - 1;4} \right]\) là 8, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^2} - 4x + 3\) trên đoạn \(\left[ { - 1;4} \right]\) là −1.
Vậy tổng giá trị lớn nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \(y = {x^2} - 4x + 3\) trên đoạn \(\left[ { - 1;4} \right]\) là 7. Chọn C.
Cho đồ thị hàm số bậc hai \(y = a{x^2} + bx + c\) như hình.
Trục đối xứng của parabol trên có phương trình là
\(x = 0\).
\(x = 1\).
\(x = 2\).
\(x = 4\).
Lời giải
Dựa vào đồ thị hàm số, ta có trục đối xứng của parabol trên có phương trình là \(x = 2\). Chọn C.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(\left[ {0;4} \right]\) có đồ thị như hình vẽ.
![Cho hàm số y = f(x) xác định trên [0;4] có đồ thị như hình vẽ. Tập giá trị của hàm số đó là (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/12/blobid2-1766371060.png)
Tập giá trị của hàm số đó là
\(\left[ { - 2;2} \right]\).
\(\left[ {0;4} \right]\).
\(\left( { - 2;2} \right)\).
\(\left( {0;4} \right]\).
Lời giải
Dựa vào đồ thị, ta có tập giá trị của hàm số là \(\left[ { - 2;2} \right]\). Chọn A.
Cho hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) có đồ thị \(\left( P \right)\) như hình vẽ.
Khẳng định nào sau đây là sai?
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;3} \right)\).
\(\left( P \right)\) có đỉnh là \(I\left( {3;4} \right)\).
\(\left( P \right)\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1.
\(\left( P \right)\) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt.
Lời giải
Dựa vào đồ thị hàm số, ta có \(\left( P \right)\) cắt trục tung tại điểm có tung độ lớn hơn 1. Chọn C.
Dạng 2. Trắc nghiệm đúng sai
Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Tập xác định của hàm số \(y = f\left( x \right)\) là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {1;\frac{5}{2}} \right\}\).
\(f\left( 0 \right) = - 5\).
Hàm số \(g\left( x \right) = 4 - 3x\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) cắt đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right)\) tại hai điểm phân biệt.
Lời giải
a) Điều kiện \(1 - x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 1\).
Tập xác định của hàm số \(y = f\left( x \right)\) là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).
b) \(f\left( 0 \right) = \frac{{2 \cdot 0 - 5}}{{1 - 0}} = - 5\).
c) Hàm số \(g\left( x \right) = 4 - 3x\) là hàm số bậc nhất với \(a = - 3 < 0\) nên hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).
d) Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình \(\frac{{2x - 5}}{{1 - x}} = 4 - 3x\)\( \Leftrightarrow 2x - 5 = \left( {4 - 3x} \right)\left( {1 - x} \right)\)\( \Leftrightarrow 2x - 5 = 3{x^2} - 7x + 4\)\( \Leftrightarrow 3{x^2} - 9x + 9 = 0\)(vô nghiệm).
Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\)không cắt đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right)\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
Đồ thị của hàm số có trục đối xứng là đường thẳng \(x = - 1\).
Đồ thị của hàm số có đỉnh \(I\left( {2; - 4} \right)\).
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là −2.
Hàm số đã cho có đồ thị như hình
Lời giải
Tọa độ đỉnh của \(\left( P \right)\) là \(I\left( { - 1; - 4} \right)\)
a) Đồ thị của hàm số có trục đối xứng là đường thẳng \(x = - 1\).
b) Đồ thị của hàm số có đỉnh \(I\left( { - 1; - 4} \right)\).
c) Hàm số có \(a = 1 > 0\) nên giá trị nhỏ nhất của hàm số là −4.
d) Hàm số đã cho có đồ thị là
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị trên đoạn \(\left[ { - 4;4} \right]\) như hình vẽ.
![Cho hàm số y = f(x) có đồ thị trên đoạn [ - 4;4] như hình vẽ. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/12/blobid2-1766371721.png)
\(f\left( 2 \right) = - 2\).
\(f\left( 0 \right) < 0\).
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 2;3} \right)\).
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - 3; - 2} \right)\).
Lời giải
a) Dựa vào đồ thị hàm số ta có \(f\left( 2 \right) = - 2\).
b) Dựa vào đồ thị hàm số ta có \(f\left( 0 \right) > 0\).
c) Dựa vào đồ thị hàm số ta có hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1;2} \right)\).
d) Dựa vào đồ thị hàm số ta có hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên các khoảng \(\left( { - 4; - 1} \right)\) và \(\left( {2;4} \right)\) nên hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - 3; - 2} \right)\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Cho đồ thị hàm số bậc hai \(y = f\left( x \right)\) có dạng như hình sau:
Trục đối xứng của đồ thị là đường thẳng \(x = - 2\).
Đỉnh \(I\) của đồ thị hàm số có tọa độ là \(\left( {2; - 2} \right)\).
Đồ thị hàm số đi qua điểm \(A\left( {0;6} \right)\).
Hàm số đã cho là \(y = 2{x^2} - 2x + 6\).
Lời giải
a) Dựa vào đồ thị hàm số, ta có trục đối xứng của đồ thị là đường thẳng \(x = 2\).
b) Dựa vào đồ thị hàm số, đỉnh \(I\) của đồ thị hàm số có tọa độ là \(\left( {2; - 2} \right)\).
c) Đồ thị hàm số đi qua điểm \(A\left( {0;6} \right)\).
d) Gọi \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\).
Dựa vào đồ thị hàm số, ta có đồ thị hàm số đi qua các điểm \(\left( {1;0} \right),\left( {3;0} \right),\left( {2; - 2} \right)\) nên ta có hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}a + b + c = 0\\9a + 3b + c = 0\\4a + 2b + c = - 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - 8\\c = 6\end{array} \right.\).
Vậy \(\left( P \right):y = 2{x^2} - 8x + 6\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Trục đối xứng của \(\left( P \right)\) có phương trình là \(x = \frac{4}{3}\).
\(\left( P \right)\) đi qua điểm \(A\left( {5; - 49} \right)\).
\(\left( P \right)\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \( - 6\).
\(\left( P \right)\) có đỉnh là \(I\left( {\frac{2}{3};\frac{{22}}{3}} \right)\).
Lời giải
a) Trục đối xứng của \(\left( P \right)\) có phương trình là \(x = - \frac{4}{{2 \cdot \left( { - 3} \right)}} = \frac{2}{3}\).
b) Thay tọa độ điểm \(A\left( {5; - 49} \right)\) vào hàm số, ta được \( - 49 = - 3 \cdot {5^2} + 4 \cdot 5 + 6\) (đúng).
Vậy \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(A\left( {5; - 49} \right)\).
c) Thay \(x = 0\), vào hàm số ta được \(y = - 3 \cdot {0^2} + 4 \cdot 0 + 6 = 6\).
Vậy \(\left( P \right)\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(6\).
d) \(\left( P \right)\) có tọa độ đỉnh \(\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{4}{{2\left( { - 3} \right)}} = \frac{2}{3}\\y = - 3 \cdot {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} + 4 \cdot \frac{2}{3} + 6 = \frac{{22}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {\frac{2}{3};\frac{{22}}{3}} \right)\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Tọa độ đỉnh \(I\left( {1;3} \right)\).
Phương trình trục đối xứng parabol \(x = 2\).
Bề lõm parabol hướng xuống và parabol (P) cắt trục Oy tại điểm \(A\left( {0;3} \right)\).
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Lời giải
a) Tọa độ đỉnh của \(\left( P \right)\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{2}{{2 \cdot \left( { - 1} \right)}} = 1\\y = - {1^2} + 2 \cdot 1 + 3 = 4\end{array} \right.\)\( \Rightarrow I\left( {1;4} \right)\).
b) Phương trình trục đối xứng parabol \(x = 1\).
c) Vì \(a = - 1 < 0\) nên bề lõm parabol hướng xuống dưới.
Thay \(x = 0\) vào hàm số ta được \(y = - {0^2} + 2 \cdot 0 + 3 = 3\).
Vậy parabol (P) cắt trục Oy tại điểm \(A\left( {0;3} \right)\).
d) Vì \(a = - 1 < 0\) nên hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Trục đối xứng của đồ thị hàm số là đường thẳng \(x = 2\).
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 3; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 3} \right)\).
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \( - 2\).
\(\left( P \right)\) cắt \(Ox\) tại \(A,B\). Khi đó diện tích tam giác \(IAB\) bằng 1 với \(I\) là tọa độ đỉnh của \(\left( P \right)\).
Lời giải
a) Trục đối xứng của đồ thị hàm số là đường thẳng \(x = - \frac{{ - 4}}{{2 \cdot 1}} = 2\).
b) Tọa độ đỉnh \(I\) của \(\left( P \right)\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{{ - 4}}{{2 \cdot 1}} = 2\\y = {2^2} - 4 \cdot 2 + 3 = - 1\end{array} \right.\)\( \Rightarrow I\left( {2; - 1} \right)\).
Vì \(a = 1 > 0\) nên hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\).
c) Vì \(a = 1 > 0\) nên giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng −1.
d) Ta có \({x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 1\end{array} \right.\).
Suy ra \(\left( P \right)\) cắt trục \(Ox\) tại \(B\left( {3;0} \right),A\left( {1;0} \right)\).
Có \({S_{IAB}} = \frac{1}{2}IH \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = 1\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Cho hàm số bậc hai \(y = a{x^2} + bx + c\) có đồ thị là parabol (P) như hình
Tọa độ đỉnh của \(\left( P \right)\) là \(\left( { - 1;0} \right)\).
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Trong ba số \(a,b,c\) có đúng hai số dương.
Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ { - 2;1} \right]\) bằng 1.
Lời giải
a) Dựa vào đồ thị hàm số, ta có tọa độ đỉnh của \(\left( P \right)\) là \(\left( { - 1;0} \right)\).
b) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).
c) Bề lõm của đồ thị quay lên trên nên \(a > 0\).
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên \(c > 0\).
Hoành độ của đỉnh \(I\) là \(x = - \frac{b}{{2a}} < 0\) mà \(a > 0\) nên \(b > 0\).
Vậy \(a > 0,b > 0,c > 0\).
d) Theo đề ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} - \frac{b}{{2a}} = - 1\\a - b + c = 0\\c = 1\end{array} \right.\)\(\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\\c = 1\end{array} \right.\). Vậy \(\left( P \right):y = {x^2} + 2x + 1\).
Dựa vào đồ thị hàm số, ta có giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ { - 2;1} \right]\) bằng 4.
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.
Giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục tung tại điểm có tung độ bằng \( - 5\).
Đỉnh của đồ thị hàm số đã cho là \(I\left( {2;3} \right)\).
Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 3.
Đường thẳng \(d:y = 4x - m\) cắt đồ thị hàm số đã cho tại 2 điểm phân biệt khi \(m > 4\).
Lời giải
a) Thay \(x = 0\) vào hàm số ta được \(y = - {0^2} + 6 \cdot 0 - 5 = - 5\).
Vậy giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục tung tại điểm có tung độ bằng \( - 5\).
b) Tọa độ đỉnh của đồ thị là \(\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{6}{{2 \cdot \left( { - 1} \right)}} = 3\\y = - {3^2} + 6 \cdot 3 - 5 = 4\end{array} \right.\)\( \Rightarrow I\left( {3;4} \right)\).
c) Vì \(a = - 1 < 0\) nên giá trị lớn nhất của hàm số là 4.
d) Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình
\( - {x^2} + 6x - 5 = 4x - m\)\( \Leftrightarrow - {x^2} + 2x - 5 + m = 0\) (*).
Để đường thẳng \(d\) cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \(\Delta ' = {1^2} - \left( { - 1} \right)\left( { - 5 + m} \right) > 0 \Leftrightarrow m > 4\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Cho parabol \(\left( P \right):y = {x^2} + 4x + 1\) và đường thẳng \(\Delta :y = 2x + 1\).
Parabol \(\left( P \right)\) có bề lõm quay lên.
Điểm \(A\left( {0; - 3} \right)\) thuộc parabol \(\left( P \right)\).
Parabol \(\left( P \right)\) và đường thẳng \(\Delta \) cắt nhau tại hai điểm \(M\left( {0;1} \right)\) và \(N\left( { - 2; - 3} \right)\).
Diện tích tam giác \(AMN\) bằng 4.
Lời giải
a) Vì \(a = 1 > 0\) nên \(\left( P \right)\) có bề lõm quay lên.
b) Thay tọa độ điểm \(A\left( {0; - 3} \right)\) vào \(\left( P \right)\) ta được \( - 3 = {0^2} + 4 \cdot 0 + 1\) (vô lí).
Vậy điểm \(A\left( {0; - 3} \right)\) không thuộc parabol \(\left( P \right)\).
c) Hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và đường thẳng \(\Delta \) là nghiệm phương trình
\({x^2} + 4x + 1 = 2x + 1\)\( \Leftrightarrow {x^2} + 2x = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = 1\\x = - 2 \Rightarrow y = - 3\end{array} \right.\)\(\).
Vậy \(M\left( {0;1} \right),N\left( { - 2; - 3} \right)\).
d)
\({S_{AMN}} = \frac{1}{2}NA \cdot MA = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 = 4\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Dạng 3. Trắc nghiệm trả lời ngắn
Lời giải
Để hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất thì \(a > 0\).
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{b}{{2a}} = 2\\4 = 4a + 2b + c\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4a + b = 0\\4 = 4a + 2b + c\end{array} \right.\) (1).
Vì đồ thị hàm số đi qua điểm \(A\left( {0;6} \right)\) nên \(c = 6\) (2).
Từ (1) và (2), ta có \(\left\{ \begin{array}{l}4a + b = 0\\4 = 4a + 2b + c\\c = 6\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\b = - 2\\c = 6\end{array} \right.\). Suy ra \(P = a \cdot b \cdot c = \frac{1}{2} \cdot \left( { - 2} \right) \cdot 6 = - 6\).
Trả lời: −6.
Cho hàm số \(y = \sqrt {1 - x} + \sqrt {x + 1} \) có tập xác định \(D = \left[ {m;n} \right]\) với \(m < n\). Tính giá trị của \(T = m + n\).
Lời giải
Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}1 - x \ge 0\\x + 1 \ge 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 1\\x \ge - 1\end{array} \right.\).
Tập xác định của hàm số là \(D = \left[ { - 1;1} \right]\).
Suy ra \(m = - 1;n = 1\). Vậy \(T = m + n = 0\).
Trả lời: 0.
Cho hàm số \(y = {x^2} + 4x - 2\) có đồ thị là parabol \(\left( P \right)\). Tọa độ đỉnh của \(\left( P \right)\) có tọa độ \(I\left( {a;b} \right)\). Tính giá trị của \(a - b\).
Lời giải
Đỉnh của parabol là \(\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{4}{{2 \cdot 1}} = - 2\\y = {\left( { - 2} \right)^2} + 4 \cdot \left( { - 2} \right) - 2 = - 6\end{array} \right. \Rightarrow I\left( { - 2; - 6} \right)\).
Suy ra \(a = - 2;b = - 6\). Do đó \(a - b = - 2 + 6 = 4\).
Trả lời: 4.
Biết đồ thị hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) đi qua điểm \(A\left( {1;4} \right)\) và có đỉnh là \(I\left( { - 2;1} \right)\). Tính \(P = a + b - c\) (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Lời giải
Theo đề ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}a + b + c = 4\\x = - \frac{b}{{2a}} = - 2\\4a - 2b + c = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b + c = 4\\4a - b = 0\\4a - 2b + c = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{3}\\b = \frac{4}{3}\\c = \frac{7}{3}\end{array} \right.\).
Do đó \(P = a + b - c\)\( = \frac{1}{3} + \frac{4}{3} - \frac{7}{3} = - \frac{2}{3} \approx - 0,67\).
Trả lời: −0,67.
Lời giải
Gọi \(x\)(nghìn đồng, \(0 \le x \le 20\)) là giá giảm mỗi chiếc bánh của cửa hàng.
Khi đó số lượng bánh bán ra mỗi ngày là \(100 + 10x\) (chiếc bánh).
Giá mỗi chiếc bánh là \(20 - x\) (nghìn đồng).
Doanh thu của cửa hàng là \(y = \left( {100 + 10x} \right)\left( {20 - x} \right)\)\( = - 10{x^2} + 100x + 2000\).
Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y = - 10{x^2} + 100x + 2000\), \(0 \le x \le 20\).
Tọa độ đỉnh của parabol là \(I\left( {5;2250} \right)\).
Vì \(a = - 10 < 0\) và \(5 \in \left[ {0;20} \right]\) nên giá trị lớn nhất của hàm số là 2250 khi \(x = 5\).
Vậy doanh thu lớn nhất cửa hàng có thể đạt được là 2250 nghìn đồng.
Trả lời: 2250.
Lời giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
Phương trình \(\left( P \right):y = - a{x^2} + h\left( {a > 0} \right)\).
Vì \(\left( P \right)\) đi qua hai điểm \(M\left( { - 64;72} \right),A\left( { - 81;0} \right)\) nên ta có hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l} - 4096a + h = 72\\ - 6561a + h = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{72}}{{2465}}\\h \approx 192\end{array} \right.\).
Vậy chiều cao của cổng khoảng 192 m.
Trả lời: 192.
Một doanh nghiệp tư nhân chuyên kinh doanh xe máy các loại. Hiện nay doanh nghiệp đang tập trung chiến lược kinh doanh xe hon đa Future Fi với chi phí mua vào một chiếc là 28 triệu đồng và bán ra với giá 32 triệu đồng. Với giá bán này thì số lượng xe mà khách hàng sẽ mua trong một năm là 500 chiếc. Nhằm mục tiêu đẩy mạnh hơn nữa lượng xe đang ăn khách này, doanh nghiệp dự định giảm giá và ước tính nếu giảm 1 triệu đồng mỗi chiếc xe thì số lượng bán ra trong một năm sẽ tăng 150 chiếc. Vậy doanh nghiệp cần định giá mới là bao nhiêu để khi thực hiện giảm giá, lợi nhuận thu được là cao nhất (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
Lời giải
Gọi \(x\) là số tiền (triệu đồng) mà doanh nghiệp dự định giảm giá \(0 \le x \le 4\).
Lợi nhuận thu được khi bán được một chiếc xe là \(32 - 28 - x = 4 - x\).
Số xe mà doanh nghiệp bán được trong một năm là \(500 + 150x\).
Lợi nhuận doanh nghiệp thu được trong một năm là \(f\left( x \right) = \left( {4 - x} \right)\left( {500 + 150x} \right) = - 150{x^2} + 100x + 2000\).
Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right) = - 150{x^2} + 100x + 2000\) trên đoạn \(\left[ {0;4} \right]\).
Tọa độ đỉnh của đồ thị hàm số \(I\left( {\frac{1}{3};\frac{{6050}}{3}} \right)\).
Vì \(\frac{1}{3} \in \left[ {0;4} \right]\) và \(a = - 150 < 0\) nên giá trị lớn nhất của hàm số là \(\frac{{6050}}{3}\) khi \(x = \frac{1}{3}\).
Vậy giá mới của một chiếc xe là \(32 - \frac{1}{3} \approx 31,7\) triệu đồng thì lợi nhuận thu được cao nhất.
Trả lời: 31,7.
Lời giải
Gọi \(x\) là chiều rộng của mảnh vườn hình chữ nhật (\(0 < x < 16\))
Nửa chu vi của mảnh vườn là \(32:2 = 16\) (m).
Chiều dài của mảnh vườn là \(16 - x\)(m).
Diện tích của mảnh vườn là \(S\left( x \right) = x\left( {16 - x} \right) = - {x^2} + 16x\).
Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(S\left( x \right) = - {x^2} + 16x\) với \(0 < x < 16\).
Tọa độ đỉnh của đồ thị hàm số là \(I\left( {8;64} \right)\).
Vì \(8 \in \left( {0;16} \right)\) và \(a = - 1 < 0\) nên giá trị lớn nhất của hàm số là 64 khi \(x = 8\).
Trả lời: 8.
Cho hàm số bậc hai có đồ thị như hình vẽ.
Tìm giá trị nguyên nhỏ nhất của \(m\)để đường thẳng \(y = 2m\) cắt đồ thị hàm số trên tại hai điểm phân biệt.
Lời giải
Để đường thẳng \(y = 2m\) cắt đồ thị hàm số trên tại hai điểm phân biệt thì \(2m > - 4 \Leftrightarrow m > - 2\).
Mà \(m\) là số nguyên nhỏ nhất nên \(m = - 1\).
Trả lời: −1.
Lời giải
Gọi \(A,B\) là hai điểm ứng với hai chân cổng như hình vẽ.
Vì cổng hình parabol \(y = - \frac{1}{2}{x^2}\) và có chiều rộng 5 m nên \(AB = 5\).
Suy ra hoành độ điểm \(A,B\) lần lượt là \( - \frac{5}{2};\frac{5}{2}\).
Khi đó \({y_A} = {y_B} = - \frac{1}{2} \cdot {\left( {\frac{{ - 5}}{2}} \right)^2} = - \frac{{25}}{8}\).
Vậy chiều cao cổng là \(h = \left| {{y_A}} \right| = \left| {{y_B}} \right| = \left| {\frac{{ - 25}}{8}} \right| \approx 3,13\).
Trả lời: 3,13.
B. Tự luận
Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) \(y = \frac{{2 - 3{x^2}}}{{3{x^2} + 4x - 7}}\); b) \(y = \sqrt {3x - 15} \).
Lời giải
a) Điều kiện \(3{x^2} + 4x - 7 \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne - \frac{7}{3}\end{array} \right.\).
Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {1; - \frac{7}{3}} \right\}\).
b) Điều kiện: \(3x - 15 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 5\).
Tập xác định của hàm số là \(D = \left[ {5; + \infty } \right)\).
Trong một buổi thử nghiệm vũ khí người ta bắn một quả tên lửa lên cao theo quỹ đạo xác định trước có phương trình là \(y = - \frac{{9,8}}{{300}}{x^2} + x\), trong đó \(x\) là thời gian kể từ thời điểm bắn tên lửa (giây) và \(y\) là độ cao của tên lửa so với mặt đất (mét).
a) Tính độ cao của tên lửa tại thời điểm \(x = 10\) giây.
b) Tính độ cao lớn nhất của quả tên lửa trong quá trình bay.
Lời giải
a) \(y\left( {10} \right) = - \frac{{9,8}}{{300}} \cdot {10^2} + 10 = \frac{{101}}{{15}}\) (m).
b) Tọa độ đỉnh của quỹ đạo là \(I\left( {\frac{{750}}{{49}};\frac{{375}}{{49}}} \right)\).
Vì \(a = - \frac{{9,8}}{{300}} < 0\) nên độ cao lớn nhất của quả tên lửa trong quá trình bay là \(\frac{{375}}{{49}}\) m.
Tìm giá trị của tham số \(m\) để hàm số sau là hàm số bậc hai\(y = \left( {4 - {m^2}} \right){x^4} + \left( {m - 2} \right){x^2} + mx - 3\).
Lời giải
Để hàm số là hàm số bậc hai thì \(\left\{ \begin{array}{l}4 - {m^2} = 0\\m - 2 \ne 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \pm 2\\m \ne 2\end{array} \right. \Rightarrow m = - 2\).
Lời giải
Vì \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(A\left( {1; - 1} \right),B\left( {2;3} \right),C\left( { - 1; - 3} \right)\) nên ta có hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}a + b + c = - 1\\4a + 2b + c = 3\\a - b + c = - 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 1\\c = - 3\end{array} \right.\).
Vậy \(\left( P \right):y = {x^2} + x - 3\).
Bác An xây một chiếc cổng hình parabol và gắn cửa hình chữ nhật bên dưới cổng (như hình vẽ). Biết chiều cao của cổng là 3 m và biết cánh cửa có chiều cao 2m, chiều rộng 3 m. Hãy tính khoảng cách giữa 2 chân cổng (tức là tính độ dài \(AB\)).
Lời giải
Gắn hệ trục tọa độ \(Oxy\) như hình vẽ, chiếc cổng là 1 phần của parabol \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\) với \(a < 0\).
Khi đó \(\left( P \right)\) nhận \(x = 0\) làm trục đối xứng và đi qua điểm \(G\left( {0;3} \right),E\left( {\frac{3}{2};2} \right)\).
Khi đó ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} - \frac{b}{{2a}} = 0\\c = 3\\\frac{9}{4}a + \frac{3}{2}b + c = 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{4}{9}\\b = 0\\c = 3\end{array} \right.\).
Vậy \(\left( P \right):y = - \frac{4}{9}{x^2} + 3\).
Cho \(y = 0\)\( \Rightarrow - \frac{4}{9}{x^2} + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\\x = - \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.\).
Vậy khoảng cách giữa hai chân cổng là \(3\sqrt 3 \) m.
