Bài tập ôn tập Toán 10 Chân trời sáng tạo Chương 2 có đáp án

Theo đề ta có \(11x + 8y \le 32\). Chọn D.

Lời giải

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tam giác \(ABC\) (kể các các cạnh) (phần tô màu) như hình vẽ.

Biểu thức \(F = y - x\) đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong ba điểm \(A\left( { - 2;6} \right),B\left( { - \frac{1}{3}; - \frac{7}{3}} \right),C\left( {\frac{4}{3}; - \frac{2}{3}} \right)\).

Khi đó \(F\left( { - 2;6} \right) = 6 + 2 = 8\); \(F\left( { - \frac{1}{3}; - \frac{7}{3}} \right) =  - \frac{7}{3} + \frac{1}{3} =  - 2\); \(F\left( {\frac{4}{3}; - \frac{2}{3}} \right) =  - \frac{2}{3} - \frac{4}{3} =  - 2\).

Vậy giá trị lớn nhất là \(F = 8\) khi \(x =  - 2;y = 6\). Chọn C.

Lời giải

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tam giác \(OAB\) kể cả các cạnh (phần tô màu).

Biểu thức \(F\left( {x;y} \right) = x + 2y\) đạt giá trị lớn nhất tại một trong ba điểm \(O\left( {0;0} \right),A\left( {0;3} \right),B\left( {2;0} \right)\).

Ta có \(F\left( {0;0} \right) = 0 + 2 \cdot 0 = 0\); \(F\left( {0;3} \right) = 0 + 2 \cdot 3 = 6\); \(F\left( {2;0} \right) = 2 + 2 \cdot 0 = 2\).

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(F\) là 6. Chọn A.

Lời giải

Từ hình vẽ ta thấy điểm \(\left( {0;1} \right)\) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình.

Thay tọa độ điểm \(\left( {0;1} \right)\) vào hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y \le 0\\x + 3y \ge  - 2\end{array} \right.\) ta được \(\left\{ \begin{array}{l}0 - 2 \cdot 1 \le 0\\0 + 3 \cdot 1 \ge  - 2\end{array} \right.\) (thỏa mãn).

Do đó phần không tô màu kể cả biên là miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y \le 0\\x + 3y \ge  - 2\end{array} \right.\). Chọn D.

Lời giải

Vẽ đường thẳng \(x + y = 2\)trên mặt phẳng tọa độ.

Thay tọa độ điểm \(O\left( {0;0} \right)\) vào bất phương trình ta được \(0 + 0 \ge 2\) (vô lí).

Vậy điểm \(O\left( {0;0} \right)\) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

Vậy miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không chứa điểm \(O\left( {0;0} \right)\) bờ là đường thẳng \(x + y = 2\) (bao gồm đường thẳng \(x + y = 2\)). Chọn B.

Lời giải

Từ hình vẽ, ta có điểm \(\left( {2;0} \right)\) thuộc miền nghiệm của hệ.

Thay \(\left( {2;0} \right)\) vào hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x - y > 0\\2x - y > 1\end{array} \right.\) ta được \(\left\{ \begin{array}{l}2 - 0 > 0\\2 \cdot 2 - 0 > 1\end{array} \right.\) (đúng).

Vậy phần không tô màu (không chứa biên) biểu diện tập nghiệm của bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - y > 0\\2x - y > 1\end{array} \right.\). Chọn B.

Lời giải

\(\left\{ \begin{array}{l}x + {y^2} = 3\\x - 5y - 3 = 0\end{array} \right.\) không phải là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Chọn B.

Lời giải

Thay tọa độ điểm \(\left( {2;2} \right)\) vào hệ bất phương trình ta được \(\left\{ \begin{array}{l}2 + 2 - 3 < 0\\2 \cdot 2 - 2 + 5 \ge 0\end{array} \right.\) (vô lí).

Do đó điểm \(\left( {2;2} \right)\) không là nghiệm của hệ bất phương trình. Chọn B.

Lời giải

Để đảm bảo Nam được ít nhất 9 điểm thì \(0,2x + y \ge 9\). Chọn A.

\(3x - y \le 0\) là bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Chọn A.

Bất phương trình \(x + 3y \le 3\) có vô số nghiệm. Chọn C.

Lời giải

\(0 \cdot x - 0 \cdot y > 5\) không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Chọn C.

Lời giải

Thay tọa độ điểm \(\left( {3;0} \right)\) vào bất phương trình ta được \(3\left( {3 - 1} \right) + 2 \cdot 0 = 6 < 5\) (vô lí).

Vậy điểm \(\left( {3;0} \right)\) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Chọn B.

Lời giải

Thay tọa độ điểm \(\left( {2;0} \right)\) vào bất phương trình ta được \(2 \cdot 2 - 0 - 2 \ge 0\) (đúng).

Vậy miền nghiệm của bất phương trình \(2x - y - 2 \ge 0\) là nửa mặt phẳng I kể cả bờ \(d\). Chọn B.

Lời giải

Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(\left( {0;1} \right)\) và \(\left( { - \frac{2}{3};0} \right)\) có phương trình là \( - 3x + 2y = 2\).

Điểm \(\left( { - 1;1} \right)\) thuộc miền nghiệm của bất phương trình nên bất phương trình cần tìm là \( - 3x + 2y \ge 2\). Chọn C.

Thay điểm \(O\left( {0;0} \right)\) vào bất phương trình ta được: \(3 \cdot 0 - 2 \cdot 0 + 1 \ge 0\) (luôn đúng).

Vậy miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa gốc tọa độ, bờ là đường thẳng \(3x - 2y + 1 = 0\) (bao gồm đường thẳng). Chọn B.

Lời giải

Thay tọa độ điểm \(\left( {0; - 2} \right)\) vào hệ bất phương trình ta được \(\left\{ \begin{array}{l}2 \cdot 0 - 5 \cdot \left( { - 2} \right) - 1 > 0\\2 \cdot 0 + \left( { - 2} \right) + 5 > 0\\0 + \left( { - 2} \right) + 1 < 0\end{array} \right.\)(đúng).

Vậy điểm \(\left( {0; - 2} \right)\) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Chọn D.

Lời giải

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {1 - \sqrt 2 } \right)x + 3y - 1 > 0\\y - 1 > 0\end{array} \right.\) là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Chọn B.

Lời giải

Thay tọa độ điểm \(O\left( {0;0} \right)\) vào hệ bất phương trình ta được \(\left\{ \begin{array}{l}2 \cdot 0 + 4 \cdot 0 < 5\\0 - 2 \cdot 0 < 9\end{array} \right.\) (đúng).

Vậy điểm \(O\left( {0;0} \right)\) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình. Chọn D.

Lời giải

Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(\left( {3;0} \right)\) và \(\left( {0;\frac{3}{2}} \right)\) có phương trình là \(x + 2y = 3\).

Điểm \(O\left( {0;0} \right)\) thuộc miền nghiệm nên thay điểm \(O\left( {0;0} \right)\) vào biểu thức ta được \(0 + 2 \cdot 0 < 3\).

Vậy phần không tô màu là miền nghiệm của bất phương trình \(x + 2y < 3\). Chọn D.

Lời giải

Biểu thức \(F\left( {x,y} \right) = 5x + 2y\) đạt giá trị lớn nhất tại một trong 5 điểm

\(O\left( {0;0} \right),A\left( {1;0} \right),B\left( {4;3} \right),C\left( {2;4} \right),D\left( {0;4} \right)\).

Ta có \(F\left( {0;0} \right) = 5 \cdot 0 + 2 \cdot 0 = 0\);

\(F\left( {1;0} \right) = 5 \cdot 1 + 2 \cdot 0 = 5\);

\(F\left( {4;3} \right) = 5 \cdot 4 + 2 \cdot 3 = 26\);

\(F\left( {2;4} \right) = 5 \cdot 2 + 2 \cdot 4 = 18\);

\(F\left( {0;4} \right) = 5 \cdot 0 + 2 \cdot 4 = 8\).

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(F\) là 26. Chọn B.

Lời giải

Biểu thức \(F\left( {x;y} \right) = 15x + 30y\) đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong 4 điểm \(A\left( {0;2} \right),B\left( {2;3} \right),C\left( {3;2} \right),D\left( {1;1} \right)\).

Ta có \(F\left( {0;2} \right) = 15 \cdot 0 + 30 \cdot 2 = 60\);

\(F\left( {2;3} \right) = 15 \cdot 2 + 30 \cdot 3 = 120\);

\(F\left( {3;2} \right) = 15 \cdot 3 + 30 \cdot 2 = 105\);

\(F\left( {1;1} \right) = 15 \cdot 1 + 30 \cdot 1 = 45\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F\left( {x;y} \right) = 15x + 30y\) là 45. Chọn D.

Lời giải

Số tiền ông An phải trả khi đi trong các ngày từ thứ Hai đến thứ Sáu là \(900 \cdot 5 + 8 \cdot x\) (nghìn đồng).

Số tiền ông An phải trả khi đi trong hai ngày cuối tuần là \(1500 \cdot 2 + 10 \cdot y\) (nghìn đồng).

Theo đề ta có: \(900 \cdot 5 + 8x + 1500 \cdot 2 + 10y \le 14000\)\( \Leftrightarrow 4x + 5y \le 3250\). Chọn B.

Lời giải

Gọi \(x,y\left( {x,y > 0} \right)\) lần lượt là số phút gọi nội mạng và ngoại mạng.

Theo đề ta có \(1000x + 1500y < 200000\)\( \Leftrightarrow 2x + 3y < 400\).

Thay \(x = 100;y = 50\) vào bất phương trình ta được \(2 \cdot 100 + 3 \cdot 50 < 400\) (đúng).

Vậy có thể sử dụng 100 phút gọi nội mạng và 50 phút gọi ngoại mạng. Chọn A.

Lời giải

a) Hệ trên là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

b) Thay tọa độ điểm \(\left( {1;3} \right)\) vào hệ ta được \(\left\{ \begin{array}{l}3 \cdot 1 + 3 \le 6\\1 + 3 \le 4\\1 \ge 0,3 \ge 0\end{array} \right.\) (đúng).

Vậy điểm \(\left( {1;3} \right)\) thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

c) Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác \(OABC\), kể cả các cạnh (phần tô màu) với \(O\left( {0;0} \right),A\left( {0;4} \right),B\left( {1;3} \right),C\left( {2;0} \right)\).

d) \({S_{OABC}} = {S_{AHB}} + {S_{OHBK}} + {S_{BKC}}\)\( = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 3 + \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 1 = 5\).

Đáp án: a) Đúng;     b) Đúng;    c) Sai;    d) Đúng.

Lời giải

Bất phương trình biểu thị mối liên hệ giữa \(x\) và \(y\) là \(1,5x + 1,2y \le 10\).

Thay tọa độ điểm \(O\left( {0;0} \right)\)vào bất phương trình ta được \(1,5 \cdot 0 + 1,2 \cdot 0 \le 10\) (đúng)

Vậy miền nghiệm của bất phương trình \(1,5x + 1,2y \le 10\) là nửa là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng \(d:1,5x + 1,2y = 10\) chứa điểm \(O\left( {0;0} \right)\).

Đáp án: a) Đúng;     b) Sai;    c) Đúng;    d) Sai.

Lời giải

a) Hệ trên là một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

b) Thay điểm \(\left( {0;0} \right)\) vào hệ bất phương trình ta được \(\left\{ \begin{array}{l}2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 - 6 \le 0\\0 \ge 0\\2 \cdot 0 - 3 \cdot 0 - 1 \le 0\end{array} \right.\) (đúng).

Vậy \(\left( {0;0} \right)\) là một nghiệm của hệ bất phương trình trên.

c) Thay điểm \(\left( {1; - 1} \right)\) vào hệ bất phương trình ta được \(\left\{ \begin{array}{l}2 \cdot 1 + 3 \cdot \left( { - 1} \right) - 6 \le 0\\1 \ge 0\\2 \cdot 1 - 3 \cdot \left( { - 1} \right) - 1 \le 0\end{array} \right.\) (vô lí).

Vậy \(\left( {1; - 1} \right)\)không là một nghiệm của hệ bất phương trình trên.

d) Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tam giác \(ABC\), kể cả các cạnh (phần tô màu) với \(A\left( {0;2} \right),B\left( {\frac{7}{4};\frac{5}{6}} \right),C\left( {0; - \frac{1}{3}} \right)\).

Biểu thức \(L = y - x\) đạt giá trị lớn nhất, đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong ba điểm \(A\left( {0;2} \right),B\left( {\frac{7}{4};\frac{5}{6}} \right),C\left( {0; - \frac{1}{3}} \right)\).

Ta có \(L\left( {0,2} \right) = 2 - 0 = 2\); \(L\left( {\frac{7}{4},\frac{5}{6}} \right) = \frac{5}{6} - \frac{7}{4} =  - \frac{{11}}{{12}}\); \(L\left( {0, - \frac{1}{3}} \right) =  - \frac{1}{3} - 0 =  - \frac{1}{3}\).

Vậy \(a = 2;b =  - \frac{{11}}{{12}}\). Suy ra \(a + b = \frac{{13}}{{12}}\).

Đáp án: a) Đúng;     b) Đúng;    c) Sai;    d) Sai.

Lời giải

a) Theo đề ta có hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y \le 240\\y \ge 40\\x \ge 3y\end{array} \right.\).

b) Miền nghiệm của bất phương trình là miền tam giác \(ABC\), kể cả các cạnh (phần tô màu) như hình.

c) Thay tọa độ điểm \(C\left( {200;40} \right)\) vào hệ bất phương trình ta được \(\left\{ \begin{array}{l}200 + 40 \le 240\\40 \ge 40\\200 \ge 3 \cdot 40\end{array} \right.\) (đúng).

Vậy điểm \(C\left( {200;40} \right)\)thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình tiền bác Minh đầu tư vào kho.

d) Dựa vào miền nghiệm của hệ bất phương trình câu b, ta có điểm \(B\left( {180;60} \right)\) là điểm có tung độ lớn nhất thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình tiền bác Minh đầu tư vào kho.

Đáp án: a) Đúng;     b) Sai;    c) Sai;    d) Đúng.

Lời giải

a) Trong tuần, số tiền An có thể mua cam là \(15000x\) đồng, số tiền An có thể mua xoài là \(30000y\) đồng (\(x,y > 0\)).

b) Theo đề có \(15000x + 30000y \le 200000\)\( \Leftrightarrow 3x + 6y \le 40\).

c) Thay \(\left( {5;4} \right)\) vào bất phương trình ta được \(3 \cdot 5 + 6 \cdot 4 \le 40\) (đúng).

Vậy cặp số \(\left( {5;4} \right)\)thỏa mãn bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(x,y\).

d) Thay \(x = 4;y = 5\) vào bất phương trình ta được \(3 \cdot 4 + 6 \cdot 5 \le 40\) (vô lí).

Vậy An không thể mua \(4\)kg cam, 5 kg xoài trong tuần.

Đáp án: a) Đúng;     b) Sai;    c) Đúng;    d) Sai.

Lời giải

a) Tổng số tiền loại 20 nghìn đồng mà bạn Nam đã ủng hộ là \(20x\) nghìn đồng.

b) Tổng số tiền loại 10 nghìn đồng mà bạn Nam đã ủng hộ là \(10y\) nghìn đồng.

c) Tổng số tiền bạn Nam đã ủng hộ là \(20x + 10y\) nghìn đồng.

d) Bất phương trình biểu thị số tiền đã ủng hộ của bạn Nam là \(20x + 10y \le 450\).

Đáp án: a) Đúng;     b) Sai;    c) Đúng;    d) Đúng.

Lời giải

a) Điều kiện \(x \ge 0;y \ge 0\).

b) Tổng diện tích cho \(x\) là số xe du lịch và \(y\) là số xe tải là \(3x + 5y\) (m2).

Theo đề ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\3x + 5y \le 150\\x + y \le 40\end{array} \right.\).

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác \(OABC\), kể cả các cạnh (phần tô màu) với \(O\left( {0;0} \right),A\left( {0;30} \right),B\left( {25;15} \right),C\left( {40;0} \right)\).

c) Tổng doanh thu của bãi xe trong 1 đêm là \(F\left( {x,y} \right) = 40x + 50y\).

d) Doanh thu của bãi xe đạt giá trị lớn nhất tại 1 trong 4 điểm \(O\left( {0;0} \right),A\left( {0;30} \right),B\left( {25;15} \right),C\left( {40;0} \right)\).

Khi đó \(F\left( {0,0} \right) = 40 \cdot 0 + 50 \cdot 0 = 0\); \(F\left( {0;30} \right) = 40 \cdot 0 + 50 \cdot 30 = 1500\);

\(F\left( {25,15} \right) = 40 \cdot 25 + 50 \cdot 15 = 1750\); \(F\left( {40;0} \right) = 40 \cdot 40 + 50 \cdot 0 = 1600\).

Vậy để có doanh thu cao nhất, chủ bãi xe cho đăng kí 25 chiếc xe du lịch và 15 chiếc xe tải một đêm.

Đáp án: a) Đúng;     b) Sai;    c) Đúng;    d) Đúng.

Lời giải

a) Miền nghiệm của bất phương trình (*) chứa đường thẳng \(\Delta :3x + 2y = 6\).

b) Bất phương trình \(\left( * \right)\) có vố số nghiệm.

c) Thay tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\) vào bất phương trình ta được \(3 \cdot 0 + 2 \cdot 0 \ge 6\) (vô lí).

Do đó miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không chứa điểm O bờ là đường thẳng \(\Delta :3x + 2y = 6\) (kể cả đường thẳng \(\Delta :3x + 2y = 6\)) (phần không tô màu).

d) Cặp số \(\left( {0;0} \right)\) không là một nghiệm của bất phương trình (*).

Đáp án: a) Đúng;     b) Đúng;    c) Đúng;    d) Sai.

Lời giải

a) Hệ bất phương trình trên là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

b) Thay cặp số \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;3} \right)\) vào hệ bất phương trình ta được \(\left\{ \begin{array}{l} - 2 \cdot 1 + 3 \le 2\\ - 1 + 2 \cdot 3 \ge 4\\1 + 3 \le 5\end{array} \right.\) (đúng).

Vậy cặp số \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;3} \right)\) là nghiệm của hệ bất phương trình trên.

c) Miền nghiệm D của hệ là miền tam giác \(ABC\), kể cả các cạnh (phần tô màu) với \(A\left( {0;2} \right),B\left( {2;3} \right),C\left( {1;4} \right)\)

d) Biểu thức \(F\left( {x,y} \right) =  - x + y\) đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong 3 điểm \(A\left( {0;2} \right),B\left( {2;3} \right),C\left( {1;4} \right)\).

Khi đó \(F\left( {0,2} \right) = 0 + 2 = 2\); \(F\left( {2,3} \right) =  - 2 + 3 = 1\); \(F\left( {1,4} \right) =  - 1 + 4 = 3\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F\left( {x,y} \right) =  - x + y\) trên miền D xác định bởi hệ trên bằng 1.

Đáp án: a) Đúng;     b) Đúng;    c) Sai;    d) Đúng.

Lời giải

a) Thay \(\left( {x;y} \right) = \left( {m;1} \right)\) vào hệ ta được \(\left\{ \begin{array}{l}2m + 1 \le 3\\m - 1 \ge 0\\1 \ge 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 1\\m \ge 1\end{array} \right.\)\( \Rightarrow m = 1\).

Vậy có 1 giá trị nguyên của \(m\).

b) Thay \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;2} \right)\)vào hệ bất phương trình ta được \(\left\{ \begin{array}{l}2 \cdot 1 + 2 \le 3\\1 - 2 \ge 0\\2 \ge 0\end{array} \right.\) (vô lí).

Vậy \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;2} \right)\) không là nghiệm của hệ bất phương trình trên.

c) Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là một miền tam giác \(ABC\) (phần tô màu) với \(O\left( {0;0} \right),A\left( {1;1} \right),B\left( {\frac{3}{2};0} \right)\).

d) Biểu thức \(F = 2x + 3y\) đạt giá trị lớn nhất tại một trong ba điểm \(O\left( {0;0} \right),A\left( {1;1} \right),B\left( {\frac{3}{2};0} \right)\).

Khi đó \(F\left( {0,0} \right) = 0;F\left( {1;1} \right) = 5;F\left( {\frac{3}{2};0} \right) = 3\).

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(F = 2x + 3y\) là 5.

Đáp án: a) Sai;     b) Sai;    c) Đúng;    d) Đúng.

Lời giải

Gọi \(x,y\left( {x,y \in \mathbb{N}} \right)\) lần lượt là số quyển vở và bút bi An mua.

Theo đề ta có \(7000x + 5000y \le 100000\)\( \Leftrightarrow 7x + 5y \le 100\).

Mà An đã mua 10 quyển vở nên \(x = 10\).

Khi đó \(7 \cdot 10 + 5y \le 100\)\( \Leftrightarrow y \le 6\).

Vậy An có thể mua tối đa 6 chiếc bút bi.

Trả lời: 6.

Lời giải

Gọi \(x,y\left( {x,y \in {\mathbb{N}^*}} \right)\) lần lượt là số vở và bút bạn Hoa có thể mua.

Theo bài ta có \(6x + 8y \le 30\).

Ta lấy gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\) thay vào bất phương trình ta được \(6 \cdot 0 + 8 \cdot 0 \le 30\)(đúng).

Vậy miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng \(d:6x + 8y = 30\) chứa gốc tọa độ, (kể cả đường thẳng \(d\)) (miền tô màu).

Vì \(x,y \ge 1\) nên các cặp \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn là \(\left( {1;1} \right),\left( {1;2} \right),\left( {1;3} \right),\left( {2;1} \right),\left( {2;2} \right),\left( {3;1} \right)\).

Vậy bạn Hoa có thể mua được nhiều nhất 3 chiếc bút sao cho có cả hai loại.

Trả lời: 3.

Lời giải

Theo đề ta có \(26x + 20y \ge 46\).

Suy ra \(a = 26;b = 20\). Do đó \(S = a - b = 26 - 20 = 6\).

Trả lời: 6.

Lời giải

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tam giác \(ABC\), kể cả các cạnh (phần tô màu) như hình vẽ với \(A\left( { - 5; - 1} \right),B\left( { - 1; - 2} \right),C\left( {5;4} \right)\).

Biểu thức \(T = 3x - 2y - 4\) đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong ba điểm \(A\left( { - 5; - 1} \right),B\left( { - 1; - 2} \right),C\left( {5;4} \right)\).

Ta có \(T\left( { - 5, - 1} \right) = 3 \cdot \left( { - 5} \right) - 2 \cdot \left( { - 1} \right) - 4 =  - 17\); \(T\left( { - 1, - 2} \right) = 3 \cdot \left( { - 1} \right) - 2 \cdot \left( { - 2} \right) - 4 =  - 3\);

\(T\left( {5,4} \right) = 3 \cdot 5 - 2 \cdot 4 - 4 = 3\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của T là \( - 17\) khi \(x =  - 5;y =  - 1\).

Suy ra \(x_0^2 + y_0^2 = 26\).

Trả lời: 26.

Lời giải

Ta có \(\frac{x}{2} + \frac{y}{3} - 1 \le 0\)\( \Leftrightarrow 3x + 2y - 6 \le 0\).

Vẽ đường thẳng \(3x + 2y - 6 = 0\) trên hệ trục tọa độ.

Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng \(3x + 2y - 6 = 0\) chứa điểm \(O\left( {0;0} \right)\) (kể cả đường thẳng \(3x + 2y - 6 = 0\)) (phần không tô màu).

Vì  \(x,y\) là các số nguyên dương nên có 3 điểm \(\left( {1;1} \right),\left( {1;2} \right),\left( {2;0} \right)\).

Vậy có 3 điểm thỏa mãn.

Trả lời: 3.

Lời giải

Số tiền lãi khi bán \(x\) ly trà sữa là \(7x\) nghìn đồng;

Số tiền lãi khi bán \(y\) cái bánh ngoạt là \(5y\) nghìn đồng.

Theo đề ta có \(7x + 5y \ge 350\).

Suy ra \(b = 5;c = 350\). Khi đó \(S = 3b + 4c = 3 \cdot 5 + 4 \cdot 350 = 1415\).

Trả lời: 1415.

Lời giải

Theo đề ta có hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\2x + 4y \le 200\\30x + 15y \le 1200\end{array} \right.\)(I).

Lợi nhuận thu được là \(F\left( {x,y} \right) = 40x + 30y\).

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(F\left( {x,y} \right) = 40x + 30y\) trên miền nghiệm của hệ bất phương trình (I).

Miền nghiệm của bất phương trình là miền tứ giác \(OABC\), kể cả các cạnh (phần tô màu) với \(O\left( {0;0} \right),A\left( {0;50} \right),B\left( {20;40} \right),C\left( {40;0} \right)\).

Khi đó \(F\left( {0,0} \right) = 40 \cdot 0 + 30 \cdot 0 = 0\); \(F\left( {0,50} \right) = 40 \cdot 0 + 30 \cdot 50 = 1500\);

\(F\left( {20,40} \right) = 40 \cdot 20 + 30 \cdot 40 = 2000\); \(F\left( {40,0} \right) = 40 \cdot 40 + 30 \cdot 0 = 1600\).

Lợi nhuận lớn nhất là 2000 nghìn đồng khi sản xuất 20 sản phẩm loại I, 40 sản phẩm loại II.

Suy ra \(x = 20;y = 40\). Do đó \(x + y = 60\).

Trả lời: 60.

Lời giải

Biểu thức \(F\left( {x,y} \right) = 5x + 2y\) đạt giá trị lớn nhất tại một trong 5 điểm

\(O\left( {0;0} \right),A\left( {4;3} \right),B\left( {2;4} \right),C\left( {0;4} \right),E\left( {1;0} \right)\).

Khi đó \(F\left( {0,0} \right) = 5 \cdot 0 + 2 \cdot 0 = 0\); \(F\left( {4,3} \right) = 5 \cdot 4 + 2 \cdot 3 = 26\); \(F\left( {2,4} \right) = 5 \cdot 2 + 2 \cdot 4 = 18\);

\(F\left( {0,4} \right) = 5 \cdot 0 + 2 \cdot 4 = 8\); \(F\left( {1,0} \right) = 5 \cdot 1 + 2 \cdot 0 = 5\).

Giá trị lớn nhất của biểu thức \(F\left( {x,y} \right) = 5x + 2y\) là 26.

Trả lời: 26.

Lời giải

Theo đề ta có \(277x + 18y \ge 1000\).

Suy ra \(b = 277;a = 1000\). Do đó \(T = \frac{a}{2} - b = \frac{{1000}}{2} - 277 = 223\).

Trả lời: 223.

Lời giải

Vì \(x = 3;y = 2\) là nghiệm của bất phương trình nên \(2 \cdot 3 + \left( {m - 1} \right) \cdot 2 \le 24\)\( \Leftrightarrow m \le 10\).

Mà \(m\) nguyên và \(m \in \left[ {0;20} \right]\) nên \(m \in \left\{ {0;1;2;...;10} \right\}\).

Vậy số 11 số nguyên \(m\) thỏa mãn.

Trả lời: 11.

Lời giải

+) Vẽ đường thẳng \(x - 3y =  - 3\) trên mặt phẳng tọa độ.

Thay tọa độ điểm \(O\left( {0;0} \right)\) vào bất phương trình \(x - 3y \ge  - 3\) ta được \(0 - 3 \cdot 0 \ge  - 3\) (đúng).

Vậy miền nghiệm của bất phương trình \(x - 3y \ge  - 3\) là nửa mặt phẳng chứa điểm (0; 0) bờ là đường thẳng \(x - 3y =  - 3\) (kể cả đường thẳng \(x - 3y =  - 3\)).

+) Vẽ đường thẳng \(2x + y \le 4\) trên mặt phẳng tọa độ.

Thay tọa độ điểm \(O\left( {0;0} \right)\) vào bất phương trình \(2x + y \le 4\) ta được \(2 \cdot 0 + 0 \le 4\) (đúng).

Vậy miền nghiệm của bất phương trình \(2x + y \le 4\) là nửa mặt phẳng chứa điểm \(O\left( {0;0} \right)\) bờ là đường thẳng \(2x + y = 4\)(kể cả đường thẳng \(2x + y = 4\)).

Vậy miền nghiệm của hệ là miền tô màu như hình vẽ.

Lời giải

a) Cặp số \(\left( {30;50} \right)\) là nghiệm của bất phương trình trên vì \(30 + 8 \cdot 50 - 200 \ge 0\) (đúng).

b) Cặp số \(\left( {0;0} \right)\)không là nghiệm của bất phương trình trên vì \(0 + 8 \cdot 0 - 200 \ge 0\) (vô lí).

c) Vẽ đường thẳng \(x + 8y - 200 = 0\).

Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không chứa điểm \(\left( {0;0} \right)\) bờ là đường thẳng \(x + 8y - 200 = 0\)  (kể cả đường thẳng \(x + 8y - 200 = 0\)) (phần tô màu).

Lời giải

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y =  - 1\end{array} \right.\) là nghiệm của bất phương trình nên ta có \(m \cdot \frac{1}{2} - \left( {1 + 1} \right) \cdot \left( { - 1} \right) + 2 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge  - 8\).

Vì \(m\) là giá trị nhỏ nhất nên \(m =  - 8\).

Lời giải

Gọi \(x,y\left( {x,y \in \mathbb{N}} \right)\) lần lượt là số bao thức ăn loại X, Y gia đình cần mua.

Số đơn vị chất dinh dưỡng A trong hỗn hợp thức ăn trên là \(2x + y \ge 12\).

Số đơn vị chất dinh dưỡng B trong hỗn hợp thức ăn trên là \(4x + 3y \ge 32\).

Số đơn vị chất dinh dưỡng C trong hỗn hợp thức ăn trên là \(4x + 5y \ge 40\).

Từ đó ta có hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\2x + y \ge 12\\4x + 3y \ge 32\\4x + 5y \ge 40\end{array} \right.\).

Chi phí cần mua hai loại thức ăn trên là \(F\left( {x,y} \right) = 700x + 600y\) (nghìn đồng).

Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \(F\left( {x,y} \right)\) khi \(\left( {x,y} \right)\) thỏa mãn hệ bất phương trình trên.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là miền có các đỉnh \(A\left( {0;12} \right),B\left( {2;8} \right),C\left( {5;4} \right),D\left( {10;0} \right)\).

Khi đó \(F\left( {0;12} \right) = 7200\) nghìn đồng;

\(F\left( {2;8} \right) = 6200\) nghìn đồng;

\(F\left( {5;4} \right) = 5900\) nghìn đồng;

\(F\left( {10;0} \right) = 7000\) nghìn đồng.

Vậy gia đình cần mua 5 bao thức ăn loại X và 4 bao thức ăn loại Y để chi phí mua thức ăn nhỏ nhất.

Lời giải

a) Thời gian lắp ráp tối đa mỗi ngày là \(3 \cdot 8 = 24\) giờ.

Thời gian hoàn thiện tối đa mỗi ngày là \(4 \cdot 8 = 32\) giờ.

Thời gian lắp ráp cần để sản xuất \(x\) chiếc bàn và \(y\) chiếc ghế là \(1,5x + y\) (giờ).

Thời gian hoàn thiện cần để sản xuất \(x\) chiếc bàn và \(y\) chiếc ghế là \(x + 2y\)(giờ).

Theo đề ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\1,5x + y \le 24\\x + 2y \le 32\\y \le 3,5x\end{array} \right.\) (I).

b) Tiền lãi mà xưởng thu được là \(F\left( {x,y} \right) = 600x + 450y\) nghìn đồng.

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(F\left( {x,y} \right) = 600x + 450y\) trên miền nghiệm của hệ bất phương trình (I).

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác \(OABC\), kể cả các cạnh (phần tô màu) với \(O\left( {0;0} \right),A\left( {4;14} \right),B\left( {8;12} \right),C\left( {16;0} \right)\).

Ta có \(F\left( {0,0} \right) = 600 \cdot x + 450 \cdot 0 = 0\); \(F\left( {4,14} \right) = 600 \cdot 4 + 450 \cdot 14 = 8700\);

\(F\left( {8,12} \right) = 600 \cdot 8 + 450 \cdot 12 = 10200\); \(F\left( {16,0} \right) = 600 \cdot 16 + 450 \cdot 0 = 9600\).

Vậy \(F\) đạt giá trị lớn nhất là 10200 nghìn đồng khi \(x = 8;y = 12\).

Vậy xưởng cần sản xuất 8 chiếc bàn và 12 chiếc ghế để thu được lãi cao nhất.