Bài tập ôn tập Toán 10 Cánh diều Chương 3 có đáp án
55 câu hỏi
Tập xác định của hàm số \(y = \frac{{\sqrt {x - 1} }}{{x - 3}}\) là
\(\left[ {3; + \infty } \right)\).
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}\).
\(\left[ {1;3} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\).
\(\left[ {1; + \infty } \right)\).
Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\x \ne 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \ne 3\end{array} \right.\).
Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \left[ {1;3} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\). Chọn C.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = - {x^2} + 3x - 4\). Khẳng định nào sau đây là sai?
\(f\left( 1 \right) = - 2\).
\(f\left( { - 1} \right) = - 8\).
\(f\left( { - 2} \right) = - 8\).
\(f\left( 2 \right) = - 2\).
Ta có \(f\left( 1 \right) = - {1^2} + 3 \cdot 1 - 4 = - 2\); \(f\left( { - 1} \right) = - {\left( { - 1} \right)^2} + 3 \cdot \left( { - 1} \right) - 4 = - 8\);
\(y = f\left( { - 2} \right) = - {\left( { - 2} \right)^2} + 3 \cdot \left( { - 2} \right) - 4 = - 14\); \(f\left( 2 \right) = - {2^2} + 3 \cdot 2 - 4 = - 2\). Chọn C.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{khi}}\;x < 0\\\sqrt {x + 1} \;\;{\rm{khi}}\;0 \le x \le 3\\{x^2} - 7\;\;\;{\rm{khi}}\;3 < x \le 5\end{array} \right.\). Tính \(f\left( 4 \right)\).
\(f\left( 4 \right) = 1\).
\(f\left( 4 \right) = 9\).
\(f\left( 4 \right) = \sqrt 5 \).
Không xác định.
Ta có \(f\left( 4 \right) = {4^2} - 7 = 9\). Chọn B.
Bảng dưới đây cho biết sự tương ứng giữa thời gian \(t\) (giờ) và quãng đường đi được \(S\)(km) của một chuyển động
t (giờ) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
S (km) | 15 | 30 | 45 | 60 | 75 |
Hàm số nào dưới đây biểu thị cho sự tương ứng giữa thời gian \(t\) (giờ) và quãng đường đi được \(S\)(km) của chuyển động trên?
\(S = 30t\).
\(S = 2t\).
\(S = 15 + t\).
\(S = 15t\).
Hàm số \(S = 15t\) biểu thị cho sự tương ứng giữa thời gian \(t\) (giờ) và quãng đường đi được \(S\)(km) của chuyển động trên. Chọn D.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên đoạn \(\left[ { - 3;3} \right]\) và có đồ thị như hình vẽ
Mệnh đề nào sau đây đúng?
Hàm số nghịch biến trên đoạn \(\left[ { - 3;1} \right]\).
Hàm số nghịch biến trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\).
Hàm số đồng biến trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\).
Hàm số đồng biến trên đoạn \(\left[ { - 2;1} \right]\).
Dựa vào đồ thị ta có hàm số đồng biến trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\). Chọn C.
Cho \(\left( P \right)\) có phương trình \(y = {x^2} - 2x + 4\). Điểm nào sau đây thuộc đồ thị (P).
\(Q\left( {4;2} \right)\).
\(N\left( { - 3;1} \right)\).
\(P\left( {4;0} \right)\).
\(M\left( { - 3;19} \right)\).
Thay tọa độ điểm \(M\left( { - 3;19} \right)\) vào phương trình ta được \(19 = {\left( { - 3} \right)^2} - 2 \cdot \left( { - 3} \right) + 4\) (đúng).
Vậy điểm \(M\left( { - 3;19} \right)\) thuộc đồ thị (P). Chọn D.
Cho hàm số \(y = - {x^2} + 4x + 1\). Khẳng định nào sau đây sai?
Trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) hàm số đồng biến.
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\).
Trên khoảng \(\left( {3; + \infty } \right)\) hàm số nghịch biến.
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {4; + \infty } \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;4} \right)\).
Tọa độ đỉnh của đồ thị hàm số là \(I\left( {2;5} \right)\).
Vì \(a = - 1 < 0\) nên hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\). Chọn D.
Cho \(\left( P \right):y = 3{x^2} - 2x + 1\). Điểm nào sau đây là đỉnh của \(\left( P \right)\)?
\(I\left( {0;1} \right)\).
\(I\left( {\frac{1}{3};\frac{2}{3}} \right)\).
\(I\left( { - \frac{1}{3};\frac{2}{3}} \right)\).
\(I\left( {\frac{1}{3}; - \frac{2}{3}} \right)\).
Tọa độ đỉnh của \(\left( P \right)\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{{ - 2}}{{2 \cdot 3}} = \frac{1}{3}\\y = 3 \cdot {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} - 2 \cdot \frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow I\left( {\frac{1}{3};\frac{2}{3}} \right)\). Chọn B.
Tung độ đỉnh \(I\) của parabol \(\left( P \right):y = 2{x^2} - 4x + 3\) là
\( - 1\).
\(1\).
\(5\).
\( - 5\).
Tọa độ đỉnh của \(\left( P \right)\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{{ - 4}}{{2 \cdot 2}} = 1\\y = 2 \cdot {1^2} - 4 \cdot 1 + 3 = 1\end{array} \right.\).
Suy ra tung độ của đỉnh \(I\) là 1. Chọn B.
Tìm trục đối xứng của đồ thị hàm số \(y = - 3{x^2} + 4x + 2\).
\(y = \frac{2}{3}\).
\(x = - \frac{2}{3}\).
\(x = \frac{2}{3}\).
\(y = - \frac{2}{3}\).
Trục đối xứng của đồ thị hàm số \(y = - 3{x^2} + 4x + 2\) là \(x = - \frac{4}{{2 \cdot \left( { - 3} \right)}} = \frac{2}{3}\). Chọn C.
Cho bảng biến thiên của hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\). Tìm khẳng định đúng.
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {\frac{1}{5};2} \right)\).
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {\frac{1}{5}; + \infty } \right)\).
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\).
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\).
Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\). Chọn C.
Đồ thị như hình bên dưới là của hàm số nào trong các hàm số sau?
\(y = - {x^2} + 2x + 1\).
\(y = {x^2} + 2x + 1\).
\(y = {x^2} + 2x - 1\).
\(y = {x^2} - 2x + 1\).
Gọi \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\left( {a > 0} \right)\).
Dựa vào đồ thị hàm số ta có \(\left\{ \begin{array}{l} - \frac{b}{{2a}} = - 1\\a \cdot {\left( { - 1} \right)^2} + b \cdot \left( { - 1} \right) + c = 0\\c = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a - b = 0\\a - b + c = 0\\c = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\\c = 1\end{array} \right.\).
Vậy \(\left( P \right):y = {x^2} + 2x + 1\). Chọn B.
Cho hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) có đồ thị như hình bên dưới. Tìm khẳng định đúng.
\(a < 0,b < 0,c = 0\).
\(a > 0,b > 0,c = 0\).
\(a < 0,b > 0,c = 0\).
\(a > 0,b < 0,c = 0\).
Vì bề lõm của \(\left( P \right)\) quay lên trên nên \(a > 0\).
Đồ thị hàm số \(\left( P \right)\) đi qua gốc tọa độ nên \(c = 0\).
Hoành độ của đỉnh \(I\) là \(x = - \frac{b}{{2a}} < 0\) mà \(a > 0 \Rightarrow b > 0\).
Vậy \(a > 0,b > 0,c = 0\). Chọn B.
Biết đồ thị hàm số \(y = a{x^2} - x + c\) đi qua điểm \(A\left( { - 3;27} \right)\) và \(B\left( {0; - 3} \right)\). Tìm các hệ số \(a\) và \(c\).
\(a = 3,c = - 3\).
\(a = 8,c = 0\).
\(a = 3,c = 1\).
\(a = 3,c = - 4\).
Vì đồ thị hàm số \(y = a{x^2} - x + c\) đi qua điểm \(A\left( { - 3;27} \right)\) và \(B\left( {0; - 3} \right)\) nên ta có hệ
\(\left\{ \begin{array}{l}a \cdot {\left( { - 3} \right)^2} + 3 + c = 27\\a \cdot {0^2} - 0 + c = - 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9a + c = 24\\c = - 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\c = - 3\end{array} \right.\). Chọn A.
Cho parabol \(\left( P \right):y = a{x^2} - 2x + c\), biết parabol có trục đối xứng \(x = 1\) và đi qua điểm \(M\left( {2;0} \right)\). Điểm nào sau đây thuộc \(\left( P \right)\)?
\(A\left( { - 1;3} \right)\).
\(B\left( {1;1} \right)\).
\(C\left( { - 2;5} \right)\).
\(D\left( {0;3} \right)\).
Theo đề ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} - \frac{{ - 2}}{{2a}} = 1\\4a - 4 + c = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\c = 0\end{array} \right.\). Vậy \(\left( P \right):y = {x^2} - 2x\).
Thay tọa độ điểm \(A\left( { - 1;3} \right)\) vào \(\left( P \right)\) ta được: \(3 = {\left( { - 1} \right)^2} - 2 \cdot \left( { - 1} \right)\) (đúng).
Vậy điểm \(A\left( { - 1;3} \right)\) thuộc \(\left( P \right)\). Chọn A.
Cho parabol \(y = a{x^2} + bx + c\) có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Khẳng định nào sau đây đúng?
\(a < 0,b > 0,c < 0\).
\(a < 0,b < 0,c < 0\).
\(a < 0,b > 0,c > 0\).
\(a < 0,b < 0,c > 0\).
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên \(c > 0\).
Bề lõm của đồ thị hướng xuống dưới nên \(a < 0\).
Hoành độ đỉnh của \(\left( P \right):x = - \frac{b}{{2a}} > 0\) mà \(a < 0 \Rightarrow b > 0\).
Vậy \(a < 0,b > 0,c > 0\). Chọn C.
Khẳng định nào dưới đây đúng?
Hàm số \(y = - 3{x^2} + x + 2\) có giá trị lớn nhất bằng \(\frac{{25}}{{12}}\).
Hàm số \(y = - 3{x^2} + x + 2\) có giá trị nhỏ nhất bằng \(\frac{{25}}{{12}}\).
Hàm số \(y = - 3{x^2} + x + 2\) có giá trị lớn nhất bằng \(\frac{{25}}{3}\).
Hàm số \(y = - 3{x^2} + x + 2\) có giá trị nhỏ nhất bằng \(\frac{{25}}{3}\).
Tọa độ đỉnh của parabol là \(I\left( {\frac{1}{6};\frac{{25}}{{12}}} \right)\).
Vì \(a = - 3 < 0\) nên giá trị lớn nhất của hàm số là \(\frac{{25}}{{12}}\) khi \(x = \frac{1}{6}\). Chọn A.
Tổng giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \(y = {x^2} - 4x + 3\) trên đoạn \(\left[ { - 1;4} \right]\) là
\( - 1\).
\(2\).
\(7\).
\(8\).
Tọa độ đỉnh của parabol là \(I\left( {2; - 1} \right)\).
Vì \(a = 1 > 0\) nên ta có bảng biến thiên như sau:
Dựa vào bảng biến thiên, ta có giá trị lớn nhất của hàm số \(y = {x^2} - 4x + 3\) trên đoạn \(\left[ { - 1;4} \right]\) là 8, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^2} - 4x + 3\) trên đoạn \(\left[ { - 1;4} \right]\) là −1.
Vậy tổng giá trị lớn nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \(y = {x^2} - 4x + 3\) trên đoạn \(\left[ { - 1;4} \right]\) là7. Chọn C.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(\left[ {0;4} \right]\) có đồ thị như hình vẽ.
![Cho hàm số \(y = f( x)\) xác định trên \[ {0;4} \right]\) có đồ thị như hình vẽ. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/12/blobid3-1766069810.png)
Tập giá trị của hàm số đó là
\(\left[ { - 2;2} \right]\).
\(\left[ {0;4} \right]\).
\(\left( { - 2;2} \right)\).
\(\left( {0;4} \right]\).
Dựa vào đồ thị, ta có tập giá trị của hàm số là \(\left[ { - 2;2} \right]\). Chọn A.
Số nghiệm của phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 3x + 1} = x - 1\) là
\(1\).
\(2\).
\(3\).
\(0\).
\(\sqrt {2{x^2} - 3x + 1} = x - 1\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\2{x^2} - 3x + 1 = {\left( {x - 1} \right)^2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\2{x^2} - 3x + 1 = {x^2} - 2x + 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\{x^2} - x = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Rightarrow x = 1\).
Vậy phương trình có 1 nghiệm. Chọn A.
Bảng xét dấu dưới đây là của tam thức bậc hai nào?
\(f\left( x \right) = - {x^2} + 4x + 5\).
\(f\left( x \right) = {x^2} + 4x - 5\).
\(f\left( x \right) = {x^2} + 4x + 5\).
\(f\left( x \right) = {x^2} - 4x - 5\).
Dựa vào bảng xét dấu, ta có tam thức bậc hai có hai nghiệm \(x = - 1\); \(x = 5\) và \(f\left( x \right) > 0\) với \(x \in \left( { - 1;5} \right)\).
Do đó đây là bảng xét dấu của tam thức \(f\left( x \right) = - {x^2} + 4x + 5\). Chọn A.
Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
\(f\left( x \right) = {x^4} - {x^2} + 1\) là tam thức bậc hai.
\(f\left( x \right) = 2x - 4\) là tam thức bậc hai.
\(f\left( x \right) = 3{\left( {\sqrt[3]{x}} \right)^2} + 2x - 1\) là tam thức bậc hai.
\(f\left( x \right) = 3{x^2} - 4x - 5\) là tam thức bậc hai.
\(f\left( x \right) = 3{x^2} - 4x - 5\) là tam thức bậc hai. Chọn D.
Tổng bình phương các nghiệm của phương trình \(\sqrt {2{x^2} + 3x - 1} = \sqrt {x + 3} \) là
\(4\).
\(6\).
\(5\).
\(1\).
Bình phương hai vế của phương trình ta được:
\(2{x^2} + 3x - 1 = x + 3\)\( \Leftrightarrow 2{x^2} + 2x - 4 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 1\end{array} \right.\).
Thay lần lượt \(x = 1;x = - 2\) vào bất phương trình \(x + 3 \ge 0\) ta thấy \(x = 1;x = - 2\) đều thỏa mãn.
Vậy \(x = 1;x = - 2\) là nghiệm của phương trình.
Tổng bình phương các nghiệm của phương trình là 5. Chọn C.
Tập nghiệm của bất phương trình \({x^2} - 4x + 4 > 0\) là
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).
\(\mathbb{R}\).
\(\left( {2; + \infty } \right)\).
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\).
\({x^2} - 4x + 4 > 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} > 0,\forall x \ne 2\).
Do đó tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\). Chọn A.
Cho bất phương trình \({x^2} - 8x + 7 \ge 0\). Trong các tập hợp sau đây, tập nào có chứa phần tử không phải là nghiệm của bất phương trình?
\(\left[ {8; + \infty } \right)\).
\(\left[ {6; + \infty } \right)\).
\(\left( { - \infty ;0} \right)\).
\({x^2} - 8x + 7 \ge 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \le 1\\x \ge 7\end{array} \right.\).
Suy ra tập \(\left[ {6; + \infty } \right)\) có chứa phần tử không phải là nghiệm của bất phương trình. Chọn B.
Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \({x^2} - 2x + m = 0\)có hai nghiệm phân biệt.
\(m < 4\).
\(m < 1\).
\(m > 1\).
\(m > 4\).
Để phương trình \({x^2} - 2x + m = 0\) có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta ' = {\left( { - 1} \right)^2} - 1 \cdot m > 0 \Leftrightarrow m < 1\). Chọn B.
Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right)\) có bảng xét dấu như sau
Mệnh đề nào sau đây đúng?
\(f\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \left[ { - 1;3} \right]\).
\(f\left( x \right) < 0,\forall x < 2\).
\(f\left( x \right) \ge 0,\forall x > 3\).
\(f\left( x \right) \ge 0,\forall x < 3\).
Dựa vào bảng xét dấu, ta có \(f\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \left[ { - 1;3} \right]\). Chọn A.
Số nghiệm của phương trình \(2 + \sqrt {3{x^2} - 9x + 7} = x\) là
\(3\).
\(1\).
\(0\).
\(2\).
\(2 + \sqrt {3{x^2} - 9x + 7} = x\)\( \Leftrightarrow \sqrt {3{x^2} - 9x + 7} = x - 2\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ge 0\\3{x^2} - 9x + 7 = {\left( {x - 2} \right)^2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ge 0\\3{x^2} - 9x + 7 = {x^2} - 4x + 4\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ge 0\\2{x^2} - 5x + 3 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ge 0\\\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{3}{2}\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Rightarrow x \in \emptyset \).
Vậy phương trình vô nghiệm. Chọn C.
Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \({x^2} - 2x + m = 0\)có hai nghiệm phân biệt.
\(m < 4\).
\(m < 1\).
\(m > 1\).
\(m > 4\).
Để phương trình \({x^2} - 2x + m = 0\) có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta ' = {\left( { - 1} \right)^2} - 1 \cdot m > 0 \Leftrightarrow m < 1\). Chọn B.
Số thực dương lớn nhất thỏa mãn \({x^2} - x - 12 \le 0\) là
\(3\).
\(1\).
\(4\).
\(2\).
\({x^2} - x - 12 \le 0\)\( \Leftrightarrow - 3 \le x \le 4\).
Vì \(x\) là số thực dương lớn nhất nên \(x = 4\). Chọn D.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị trên đoạn \(\left[ { - 4;4} \right]\) như hình vẽ.
![Cho hàm số \(y = f (x) có đồ thị trên đoạn [ { - 4;4} \right]\) như hình vẽ. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/12/blobid7-1766070563.png)
\(f\left( 2 \right) = - 2\).
\(f\left( 0 \right) < 0\).
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 2;3} \right)\).
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - 3; - 2} \right)\).
a) Dựa vào đồ thị hàm số ta có \(f\left( 2 \right) = - 2\).
b) Dựa vào đồ thị hàm số ta có \(f\left( 0 \right) > 0\).
c) Dựa vào đồ thị hàm số ta có hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1;2} \right)\).
d) Dựa vào đồ thị hàm số ta có hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên các khoảng \(\left( { - 4; - 1} \right)\) và \(\left( {2;4} \right)\) nên hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - 3; - 2} \right)\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Cho đồ thị hàm số bậc hai \(y = f\left( x \right)\) có dạng như hình sau:
Trục đối xứng của đồ thị là đường thẳng \(x = - 2\).
Đỉnh \(I\) của đồ thị hàm số có tọa độ là \(\left( {2; - 2} \right)\).
Đồ thị hàm số đi qua điểm \(A\left( {0;6} \right)\).
Hàm số đã cho là \(y = 2{x^2} - 2x + 6\).
a) Dựa vào đồ thị hàm số, ta có trục đối xứng của đồ thị là đường thẳng \(x = 2\).
b) Dựa vào đồ thị hàm số, đỉnh \(I\) của đồ thị hàm số có tọa độ là \(\left( {2; - 2} \right)\).
c) Đồ thị hàm số đi qua điểm \(A\left( {0;6} \right)\).
d) Gọi \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\).
Dựa vào đồ thị hàm số, ta có đồ thị hàm số đi qua các điểm \(\left( {1;0} \right),\left( {3;0} \right),\left( {2; - 2} \right)\) nên ta có hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}a + b + c = 0\\9a + 3b + c = 0\\4a + 2b + c = - 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - 8\\c = 6\end{array} \right.\).
Vậy \(\left( P \right):y = 2{x^2} - 8x + 6\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Cho parabol \(\left( P \right):y = - 3{x^2} + 4x + 6\). Khi đó:
Trục đối xứng của \(\left( P \right)\) có phương trình là \(x = \frac{4}{3}\).
\(\left( P \right)\) đi qua điểm \(A\left( {5; - 49} \right)\).
\(\left( P \right)\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \( - 6\).
\(\left( P \right)\) có đỉnh là \(I\left( {\frac{2}{3};\frac{{22}}{3}} \right)\).
a) Trục đối xứng của \(\left( P \right)\) có phương trình là \(x = - \frac{4}{{2 \cdot \left( { - 3} \right)}} = \frac{2}{3}\).
b) Thay tọa độ điểm \(A\left( {5; - 49} \right)\) vào hàm số, ta được \( - 49 = - 3 \cdot {5^2} + 4 \cdot 5 + 6\) (đúng).
Vậy \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(A\left( {5; - 49} \right)\).
c) Thay \(x = 0\), vào hàm số ta được \(y = - 3 \cdot {0^2} + 4 \cdot 0 + 6 = 6\).
Vậy \(\left( P \right)\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(6\).
d) \(\left( P \right)\) có tọa độ đỉnh \(\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{4}{{2\left( { - 3} \right)}} = \frac{2}{3}\\y = - 3 \cdot {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} + 4 \cdot \frac{2}{3} + 6 = \frac{{22}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {\frac{2}{3};\frac{{22}}{3}} \right)\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Cho \(\left( P \right):y = {x^2} - 4x + 3\).
Trục đối xứng của đồ thị hàm số là đường thẳng \(x = 2\).
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 3; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 3} \right)\).
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \( - 2\).
\(\left( P \right)\) cắt \(Ox\) tại \(A,B\). Khi đó diện tích tam giác \(IAB\) bằng 1 với \(I\) là tọa độ đỉnh của \(\left( P \right)\).
a) Trục đối xứng của đồ thị hàm số là đường thẳng \(x = - \frac{{ - 4}}{{2 \cdot 1}} = 2\).
b) Tọa độ đỉnh \(I\) của \(\left( P \right)\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{{ - 4}}{{2 \cdot 1}} = 2\\y = {2^2} - 4 \cdot 2 + 3 = - 1\end{array} \right.\)\( \Rightarrow I\left( {2; - 1} \right)\).
Vì \(a = 1 > 0\) nên hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\).
c) Vì \(a = 1 > 0\) nên giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng −1.
d) Ta có \({x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 1\end{array} \right.\).
Suy ra \(\left( P \right)\) cắt trục \(Ox\) tại \(B\left( {3;0} \right),A\left( {1;0} \right)\).
Có \({S_{IAB}} = \frac{1}{2}IH \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = 1\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Cho hàm số bậc hai \(y = a{x^2} + bx + c\) có đồ thị là parabol (P) như hình
Tọa độ đỉnh của \(\left( P \right)\) là \(\left( { - 1;0} \right)\).
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Trong ba số \(a,b,c\) có đúng hai số dương.
Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ { - 2;1} \right]\) bằng 1.
a) Dựa vào đồ thị hàm số, ta có tọa độ đỉnh của \(\left( P \right)\) là \(\left( { - 1;0} \right)\).
b) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).
c) Bề lõm của đồ thị quay lên trên nên \(a > 0\).
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên \(c > 0\).
Hoành độ của đỉnh \(I\) là \(x = - \frac{b}{{2a}} < 0\) mà \(a > 0\) nên \(b > 0\).
Vậy \(a > 0,b > 0,c > 0\).
d) Theo đề ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} - \frac{b}{{2a}} = - 1\\a - b + c = 0\\c = 1\end{array} \right.\)\(\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\\c = 1\end{array} \right.\). Vậy \(\left( P \right):y = {x^2} + 2x + 1\).
Dựa vào đồ thị hàm số, ta có giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ { - 2;1} \right]\) bằng 4.
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.
Cho hàm số bậc hai \(y = f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) có đồ thị là parabol trong hình vẽ sau:
Trục đối xứng của parabol là trục tung.
Parabol có bề lõm quay lên.
\(f\left( 0 \right) < 0\).
Tập nghiệm của bất phương trình \(f\left( x \right) < 0\) là \(S = \left( { - 3;1} \right)\).
a) Trục đối xứng của parabol là \(x = - 1\).
b) Parabol có bề lõm quay lên.
c) \(f\left( 0 \right) < 0\).
d) \(f\left( x \right) < 0\)\( \Leftrightarrow - 3 < x < 1\).
Tập nghiệm của bất phương trình \(f\left( x \right) < 0\) là \(S = \left( { - 3;1} \right)\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.
Cho hàm số bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} - 2x - 8\).
Tập xác định của hàm số \(f\left( x \right)\) là \(D = \mathbb{R}\).
Đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) là parabol có đỉnh \(I\left( { - 1; - 9} \right)\).
Bất phương trình \(f\left( x \right) \le 0\) có đúng 7 nghiệm nguyên.
\(f\left( x \right) > 0\) khi \(x \in \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right)\) và \(f\left( x \right) < 0\) khi \(x \in \left( { - 2;4} \right)\).
a) Tập xác định của hàm số \(f\left( x \right)\) là \(D = \mathbb{R}\).
b) Tọa độ đỉnh của parabol là \(\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{{ - 2}}{{2 \cdot 1}} = 1\\y = {1^2} - 2 \cdot 1 - 8 = - 9\end{array} \right.\)\( \Rightarrow I\left( {1; - 9} \right)\).
c) Có \(f\left( x \right) \le 0\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 8 \le 0 \Leftrightarrow - 2 \le x \le 4\).
Vì \(x \in \mathbb{Z}\) nên \(x \in \left\{ { - 2; - 1;0;1;2;3;4} \right\}\).
Vậy có 7 giá trị nguyên của \(x\).
d) \(f\left( x \right) = {x^2} - 2x - 8 > 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < - 2\\x > 4\end{array} \right.\).
Vậy \(f\left( x \right) > 0\) khi \(x \in \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right)\) và \(f\left( x \right) < 0\) khi \(x \in \left( { - 2;4} \right)\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ sau
Tam thức bậc hai \(f\left( x \right)\) có \(\Delta > 0\).
Tam thức bậc hai \(f\left( x \right)\) có hai nghiệm \(x = 1;x = 3\).
Tam thức bậc hai \(f\left( x \right)\) có hệ số \(a > 0\).
Bất phương trình \(f\left( x \right) > 0\)có 3 nghiệm nguyên.
Dựa vào đồ thị hàm số
a) Tam thức bậc hai \(f\left( x \right)\) có \(\Delta > 0\).
b) Tam thức bậc hai \(f\left( x \right)\) có hai nghiệm \(x = 1;x = 3\).
c) Tam thức bậc hai \(f\left( x \right)\) có hệ số \(a < 0\).
d) \(f\left( x \right) > 0\)\( \Leftrightarrow 1 < x < 3\) mà \(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x = 2\).
Vậy bất phương trình \(f\left( x \right) > 0\)có 1 nghiệm nguyên.
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} - 3x - 4} \).
Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\).
Phương trình \(\sqrt {{x^2} - 3x - 4} = 45\) có hai nghiệm phân biệt.
\(f\left( x \right) \le 0,\forall x \in \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {2;4} \right]\).
Bất phương trình \(f\left( x \right) \le 0\) có 1 nghiệm duy nhất.
a) Điều kiện \({x^2} - 3x - 4 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \le - 1\\x \ge 4\end{array} \right.\).
Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {4; + \infty } \right)\).
b) \(\sqrt {{x^2} - 3x - 4} = 45\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 4 = 2025\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 2029 = 0\)\( \Leftrightarrow x = \frac{{3 \pm 25\sqrt {13} }}{2}\).
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt.
c) Vì \(f\left( x \right) \ge 0\) nên để \(f\left( x \right) \le 0\) thì \(f\left( x \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 3x - 4} = 0\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 4 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = - 1\end{array} \right.\).
d) Theo câu c, có 2 nghiệm để \(f\left( x \right) \le 0\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
Cho biểu thức \(f\left( x \right) = {x^2} - 3x + 2\).
Biểu thức \(f\left( x \right) = {x^2} - 3x + 2\) là một tam thức bậc hai.
\(x = 3\) là một nghiệm của bất phương trình \({x^2} - 3x + 2 \ge 0\).
Có 2 giá trị nguyên của \(x\) để tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} - 3x + 2 < 0\).
Tập xác định của hàm số \(y = \sqrt {{x^2} - 3x + 2} \) là \(D = \left( { - \infty ;1} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\).
a) Biểu thức \(f\left( x \right) = {x^2} - 3x + 2\) là một tam thức bậc hai.
b) Thay \(x = 3\) vào bất phương trình ta được \({3^2} - 3 \cdot 3 + 2 \ge 0\) (đúng).
Vậy \(x = 3\) là một nghiệm của bất phương trình \({x^2} - 3x + 2 \ge 0\).
c) \(f\left( x \right) = {x^2} - 3x + 2 < 0\)\( \Leftrightarrow 1 < x < 2\).
Mà \(x \in \mathbb{Z}\) nên không có giá trị nguyên nào của \(x\) để \(f\left( x \right) = {x^2} - 3x + 2 < 0\).
d) Điều kiện \({x^2} - 3x + 2 \ge 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \le 1\\x \ge 2\end{array} \right.\).
Tập xác định của hàm số \(y = \sqrt {{x^2} - 3x + 2} \) là \(D = \left( { - \infty ;1} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Biết rằng hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 4 tại \(x = 2\) và có đồ thị hàm số đi qua điểm \(A\left( {0;6} \right)\). Tính \(P = a \cdot b \cdot c\).
Để hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất thì \(a > 0\).
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{b}{{2a}} = 2\\4 = 4a + 2b + c\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4a + b = 0\\4 = 4a + 2b + c\end{array} \right.\) (1).
Vì đồ thị hàm số đi qua điểm \(A\left( {0;6} \right)\) nên \(c = 6\) (2).
Từ (1) và (2), ta có \(\left\{ \begin{array}{l}4a + b = 0\\4 = 4a + 2b + c\\c = 6\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\b = - 2\\c = 6\end{array} \right.\). Suy ra \(P = a \cdot b \cdot c = \frac{1}{2} \cdot \left( { - 2} \right) \cdot 6 = - 6\).
Cho hàm số \(y = \sqrt {1 - x} + \sqrt {x + 1} \) có tập xác định \(D = \left[ {m;n} \right]\) với \(m < n\). Tính giá trị của \(T = m + n\).
Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}1 - x \ge 0\\x + 1 \ge 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 1\\x \ge - 1\end{array} \right.\).
Tập xác định của hàm số là \(D = \left[ { - 1;1} \right]\).
Suy ra \(m = - 1;n = 1\). Vậy \(T = m + n = 0\).
Biết đồ thị hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) đi qua điểm \(A\left( {1;4} \right)\) và có đỉnh là \(I\left( { - 2;1} \right)\). Tính \(P = a + b - c\) (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Theo đề ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}a + b + c = 4\\x = - \frac{b}{{2a}} = - 2\\4a - 2b + c = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b + c = 4\\4a - b = 0\\4a - 2b + c = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{3}\\b = \frac{4}{3}\\c = \frac{7}{3}\end{array} \right.\).
Do đó \(P = a + b - c\)\( = \frac{1}{3} + \frac{4}{3} - \frac{7}{3} = - \frac{2}{3} \approx - 0,67\).
Một cửa háng bán bánh ngọt với giá 20000 đồng/cái. Chủ cửa hàng nhận thấy rằng nếu giảm giá mỗi chiếc bánh đi 1000 đồng thì lượng bánh bán ra sẽ tăng thêm 10 cái mỗi ngày. Biết rằng khi chưa giảm giá cửa hàng bán được 100 chiếc bánh mỗi ngày. Doanh thu lớn nhất cửa hàng có thể đạt được là bao nhiêu nghìn đồng?
Gọi \(x\)(nghìn đồng, \(0 \le x \le 20\)) là giá giảm mỗi chiếc bánh của cửa hàng.
Khi đó số lượng bánh bán ra mỗi ngày là \(100 + 10x\) (chiếc bánh).
Giá mỗi chiếc bánh là \(20 - x\) (nghìn đồng).
Doanh thu của cửa hàng là \(y = \left( {100 + 10x} \right)\left( {20 - x} \right)\)\( = - 10{x^2} + 100x + 2000\).
Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y = - 10{x^2} + 100x + 2000\), \(0 \le x \le 20\).
Tọa độ đỉnh của parabol là \(I\left( {5;2250} \right)\).
Vì \(a = - 10 < 0\)và \(5 \in \left[ {0;20} \right]\)nên giá trị lớn nhất của hàm số là 2250 khi \(x = 5\).
Vậy doanh thu lớn nhất cửa hàng có thể đạt được là 2250 nghìn đồng.
Một chiếc cổng có hình dạng là một parabol. Biết khoảng cách giữa hai chân cổng bằng 162 m. Trên thành cổng, tại vị trí có độ cao 72 m so với mặt đất (điểm M), người ta thả một quả cầu sắt. Vị trí chạm đất của quả cầu cách chân chổng A một đoạn khoảng 17 m. Hãy tính độ cao của cổng theo đơn vị mét (tính từ mặt đất đến điểm cao nhất của cổng) (làm tròn đến hàng đơn vị).
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
Phương trình \(\left( P \right):y = - a{x^2} + h\left( {a > 0} \right)\).
Vì \(\left( P \right)\) đi qua hai điểm \(M\left( { - 64;72} \right),A\left( { - 81;0} \right)\) nên ta có hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l} - 4096a + h = 72\\ - 6561a + h = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{72}}{{2465}}\\h \approx 192\end{array} \right.\).
Vậy chiều cao của cổng khoảng 192 m.
Biết phương trình \(\sqrt {2x - 1} = 2 - x\) có \(m\) nghiệm. Tính \(m + 2025\).
\(\sqrt {2x - 1} = 2 - x\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 - x \ge 0\\2x - 1 = {\left( {2 - x} \right)^2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\2x - 1 = 4 - 4x + {x^2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\{x^2} - 6x + 5 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 5\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow x = 1\).
Vậy phương trình có 1 nghiệm. Do đó \(m + 2025 = 2026\).
Tập nghiệm của bất phương trình \( - {x^2} + 5x - 4 > 0\) là \(S = \left( {a;b} \right)\). Tính \(M = 3a + 2b\).
\( - {x^2} + 5x - 4 > 0 \Leftrightarrow 1 < x < 4\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( {1;4} \right)\).
Suy ra \(a = 1;b = 4\). Do đó \(M = 3a + 2b = 11\).
Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + m + 5\), với \(m\) là tham số. Tổng các giá trị nguyên của \(m\) để \(f\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\).
Để \(f\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}a = 1 > 0\\\Delta ' = {\left[ { - \left( {m - 1} \right)} \right]^2} - \left( {m + 5} \right) \le 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1 > 0\\\Delta ' = {m^2} - 3m - 4 \le 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1 > 0\\ - 1 \le m \le 4\end{array} \right.\).
Mà \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ { - 1;0;1;2;3;4} \right\}\).
Tổng các giá trị nguyên của \(m\) là 9.
Người ta kéo dây điện từ nguồn điện ở vị trí A đến B rồi kéo lên vị trí C là Ngọn Hải Đăng ở Vũng Tàu để chiếu sáng. Biết khoảng cách từ vị trí A đến chân Ngọn Hải Đăng là 5 km, chiều cao Ngọn Hải Đăng là 1 km. Tiền công kéo dây điện bắt từ A đến B là 2 triệu đồng/ km và từ B đến C là 3 triệu đồng/km (như hình vẽ). Hỏi tổng chiều dài (km) dây điện đã kéo từ A đến C là bao nhiêu biết tổng chi phí tiền công kéo dây điện là 13 triệu đồng?
Gọi \(x\) (km, \(0 < x < 5\)) là chiều dài từ A đến B.
Suy ra chiều dài từ B đến chân Ngọn Hải Đăng là \(5 - x\) (km).
Khi đó chiều dài từ B đến C là \(\sqrt {{1^2} + {{\left( {5 - x} \right)}^2}} = \sqrt {26 - 10x + {x^2}} \) (km).
Theo đề ta có \(2x + 3\sqrt {26 - 10x + {x^2}} = 13\)\( \Leftrightarrow 3\sqrt {26 - 10x + {x^2}} = 13 - 2x\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}13 - 2x \ge 0\\9\left( {26 - 10x + {x^2}} \right) = {\left( {13 - 2x} \right)^2}\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le \frac{{13}}{2}\\5{x^2} - 38x + 65 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le \frac{{13}}{2}\\\left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = \frac{{13}}{5}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = \frac{{13}}{5}\end{array} \right.\).
Kết hợp điều kiện \(0 < x < 5\), ta có \(x = \frac{{13}}{5}\).
Tổng chiều dài dây điện kéo từ A đến C là \(\frac{{13}}{5} + \sqrt {26 - 10 \cdot \frac{{13}}{5} + {{\left( {\frac{{13}}{5}} \right)}^2}} = \frac{{26}}{5} = 5,2\) km.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m \in \left[ {0;30} \right]\) để bất phương trình \({x^2} - \left( {m + 2} \right)x + 8m + 1 \le 0\) vô nghiệm?
Để bất phương trình vô nghiệm thì \({x^2} - \left( {m + 2} \right)x + 8m + 1 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\).
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}1 > 0\\\Delta = {\left( {m + 2} \right)^2} - 4\left( {8m + 1} \right) < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 > 0\\\Delta = {m^2} - 28m < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 > 0\\0 < m < 28\end{array} \right.\).
Mà \(m \in \left[ {0;30} \right]\) và \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ {1;2;3;...;27} \right\}\).
Vậy có 27 giá trị nguyên của \(m\) để bất phương trình \({x^2} - \left( {m + 2} \right)x + 8m + 1 \le 0\) vô nghiệm.
Trong một buổi thử nghiệm vũ khí người ta bắn một quả tên lửa lên cao theo quỹ đạo xác định trước có phương trình là \(y = - \frac{{9,8}}{{300}}{x^2} + x\), trong đó \(x\) là thời gian kể từ thời điểm bắn tên lửa (giây) và \(y\) là độ cao của tên lửa so với mặt đất (mét).
a) Tính độ cao của tên lửa tại thời điểm \(x = 10\) giây.
b) Tính độ cao lớn nhất của quả tên lửa trong quá trình bay.
a) \(y\left( {10} \right) = - \frac{{9,8}}{{300}} \cdot {10^2} + 10 = \frac{{101}}{{15}}\) (m).
b) Tọa độ đỉnh của quỹ đạo là \(I\left( {\frac{{750}}{{49}};\frac{{375}}{{49}}} \right)\).
Vì \(a = - \frac{{9,8}}{{300}} < 0\) nên độ cao lớn nhất của quả tên lửa trong quá trình bay là \(\frac{{375}}{{49}}\) m.
Tìm Parabol \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\), biết rằng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(A\left( {1; - 1} \right),B\left( {2;3} \right),C\left( { - 1; - 3} \right)\).
Vì \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(A\left( {1; - 1} \right),B\left( {2;3} \right),C\left( { - 1; - 3} \right)\) nên ta có hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}a + b + c = - 1\\4a + 2b + c = 3\\a - b + c = - 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 1\\c = - 3\end{array} \right.\).
Vậy \(\left( P \right):y = {x^2} + x - 3\).
Bác An xây một chiếc cổng hình parabol và gắn cửa hình chữ nhật bên dưới cổng (như hình vẽ). Biết chiều cao của cổng là 3 m và biết cánh cửa có chiều cao 2m, chiều rộng 3 m. Hãy tính khoảng cách giữa 2 chân cổng (tức là tính độ dài \(AB\)).
Gắn hệ trục tọa độ \(Oxy\) như hình vẽ, chiếc cổng là 1 phần của parabol \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\) với \(a < 0\).
Khi đó \(\left( P \right)\) nhận \(x = 0\) làm trục đối xứng và đi qua điểm \(G\left( {0;3} \right),E\left( {\frac{3}{2};2} \right)\).
Khi đó ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} - \frac{b}{{2a}} = 0\\c = 3\\\frac{9}{4}a + \frac{3}{2}b + c = 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{4}{9}\\b = 0\\c = 3\end{array} \right.\).
Vậy \(\left( P \right):y = - \frac{4}{9}{x^2} + 3\).
Cho \(y = 0\)\( \Rightarrow - \frac{4}{9}{x^2} + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\\x = - \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.\).
Vậy khoảng cách giữa hai chân cổng là \(3\sqrt 3 \) m.
Để xây dựng phương án kinh doanh cho một loại sản phẩm, doanh nghiệp tính toán lợi nhuận \(y\) (đồng) theo công thức sau \(y = - 200{x^2} + 92000x - 8400000\), trong đó \(x\) là số sản phẩm được bán ra. Xác định số sản phẩm mà doanh nghiệp nên sản xuất để có lãi.
Để doanh nghiệp có lãi thì \( - 200{x^2} + 92000x - 8400000 > 0\)\( \Leftrightarrow 125,5 < x < 334,4\).
Vậy để có lãi thì doanh nghiệp nên sản xuất từ 125 đến 334 sản phẩm.
Một tấm sắt hình chữ nhật có chu vi là 48 cm. Người ta cắt ở mỗi góc tấm sắt một hình vuông cạnh là 2 cm như hình vẽ.
Tìm chiều dài của tấm sắt sao cho diện tích phần còn lại của tấm sắt ít nhất bằng 92 cm2.
Nửa chu vi tấm sắt là \(48:2 = 24\) (cm).
Gọi chiều dài của tấm sắt là \(x\left( {{\rm{cm}}} \right)\).
Chiều rộng của tấm sắt là \(24 - x\) (cm).
Vì chiều dài lớn hơn chiều rộng nên ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x > 24 - x\\x < 24\end{array} \right. \Leftrightarrow 12 < x < 24\) (1).
Diện tích phần còn lại của tấm sắt là \(x\left( {24 - x} \right) - 4 \cdot 4\) (cm2).
Để diện tích phần còn lại của tấm sắt ít nhất bằng 92 cm2 thì \(x\left( {24 - x} \right) - 4 \cdot 4 \ge 92\)\( \Leftrightarrow - {x^2} + 24x - 108 \ge 0\)\( \Leftrightarrow 6 \le x \le 18\) (2).
Từ (1) và (2), suy ra \(12 < x \le 18\).
Vậy tấm sắt có chiều dài thuộc nửa khoảng \(\left( {12;18} \right]\).
