Bài tập Nhị thức Newton ôn thi THPT Quốc gia có lời giải chi tiết (P1)

Tìm hệ số của $x^8$ trong khai triển $\left(x^2+x+\frac{1}{4}\right){\left(1+2x\right)}^{18}$

Tìm hệ số của số hạng chứa $x^{10}$ trong khai triển biểu thức ${\left(x^3-\frac{1}{x^2}\right)}^n$, biết n là số tự nhiên thỏa mãn $C_n^4=13 C_n^{n-2}$

Cho n là số nguyên dương thoả mãn $3 C_n^2+2 A_n^2= 3n^2+15$. Tìm hệ số số hạng chứa  $x^{10}$ trong khai triển nhị trức Niu- tơn của ${\left(2x^3-\frac{3}{x^2}\right)}^n, x\ne 0$.

Trong khai triển: ${\left(\sqrt[3]{\frac{a}{\sqrt{b}}}+\sqrt{\frac{b}{\sqrt[3]{a}}}\right)}^{21}$, tìm hệ số của số hạng chưa a,b với lũy thừa a, b giống nhau?

Cho phương trình: $2 P_n+6 A_n^2-P_n A_n^2=12$Biết phương trình trên có 2 nghiệm là a, b. Giá trị của S=ab(a+b) là

Biết x,y là nghiệm của hệ sau  $\left\{\begin{array}{l}{C}_x^y-C_x^{y+1}=0\\ 4C_x^y-5C_x^{y-1}=0\end{array}\right.$. Giá trị của x+y là

Tính tổng $S=\frac{-C_n^1}{2.3}+\frac{2C_n^2}{3.4}-\frac{3C_n^3}{4.5}+...+\frac{{(-1)}^{n}n{C}_n^n}{(n+1)(n+2)}$

Tìm hệ số chứa $x^4$ trong khai triển ${\left(1+\frac{n}{6}x+3x^2\right)}^{n-2}$ biết: $C_{n+4}^{n+1}-C_{n+3}^n=7(n+3)$

Tìm số nguyên dương n thỏa mãn $\frac{1}{2}{C}_n^0-\frac{1}{3}{C}_n^1+\frac{1}{4}{C}_n^2-\frac{1}{5}{C}_n^3+...+\frac{{(-1)}^n}{n+2}{C}_n^n=\frac{1}{156}$

Tìm các số hạng (nhỏ hơn 100) là số nguyên trong khai triển nhị thức ${\left(\sqrt{3}+\sqrt[3]{2}\right)}^n$ biết ${\left(P_n\right)}^3.C_n^n.C_{3n}^n.C_{3n}^n=P_{27}$ với n là số tự nhiên

Tìm hệ số của $x^5$ trong khai triển biểu thức $P=x{\left(1-2x\right)}^n+x^2{\left(1+3x\right)}^{2n}$. Biết rằng $A_n^2-C_{n+1}^{n-1}=5$

Cho phương trình: $2P_n+6A_n^2-P_n{A}_n^2=12$. Biết phương trình trên có 2 nghiệm là a, b. Giá trị của S = ab(a + b) là

Cho n = 6 tính giá trị của: ${\left(C_n^0\right)}^2+{\left(C_n^1\right)}^2+{\left(C_n^2\right)}^2+...+{\left(C_n^n\right)}^2$

Ta có: $C_{14}^k, C_{14}^{k+1}, C_{14}^{k+2}$ lập thành cấp số cộng. Biết k có 2 giá trị là a và b. Giá trị của ab là:

Tìm hệ số của $x^8$ trong khai triển $\left(x^2+x+\frac{1}{4}\right){(1+2x)}^{18}$

Cho đa thức: 

$P\left(x\right)=(1+x)+2{(1+x)}^2+3{(1+x)}^3+...$

$+20{(1+x)}^{20}$

Được viết dưới dạng

$P\left(x\right)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+...+a_{20}{x}^{20}$.

Tìm hệ số của a₁₅?

Tìm số nguyên dương n thỏa mãn $\frac{1}{2}{C}_n^0-\frac{1}{3}{C}_n^1+\frac{1}{4}{C}_n^2-\frac{1}{5}{C}_n^3+...+\frac{{(-1)}^n}{n+2}{C}_n^n=\frac{1}{156}$

Tìm các số hạng (nhỏ hơn 100) là số nguyên trong khai triển nhị thức ${\left(\sqrt{3}+\sqrt[3]{2}\right)}^n$ biết ${\left(P_n\right)}^3.C_n^n.C_{3n}^n.C_{3n}^n=P_{27}$ với n là số tự nhiên

Tìm hệ số của $x^5$ trong khai triển biểu thức $P=x{(1-2x)}^n+x^2{(1+3x)}^{2n}$. Biết rằng $A_n^2-C_{n+1}^{n-1}=5$

Tìm hệ số của x¹⁰ trong khai triển nhị thức Niu Tơn ${\left(2+x\right)}^n$, biết rằng $C_n^0.3^n-C_n^1.3^{n-1}+C_n^2.3^{n-2}-C_n^3.3^{n-3}+...$ $+{(-1)}^n.C_n^n=2048$

Cho biết 3 số hạng đầu của khai triển ${\left(\sqrt{x}+\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)}^n, x>0$ có các hệ số là 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng. Tìm số hạng thứ 5 trong khai triển trên.

Tính tổng $S=C_{2018}^0.3^{2018}-C_{2018}^1.3^{2017}+C_{2018}^2.3^{2016}+...$ $-C_{2018}^{2017}.3+C_{2018}^{2018}$

Tính tổng $S=C_n^0+\frac{1}{2}{C}_n^1+\frac{1}{3}{C}_n^2+\frac{1}{4}{C}_n^3+...+\frac{1}{n+1}{C}_n^n$

Số hạng không chứa x trong khai triển ${\left(\sqrt[3]{x}+\frac{1}{\sqrt[4]{x}}\right)}^7, x>0$ là số hạng thứ bao nhiêu?

Tìm n thỏa mãn $C_{2n}^1+C_{2n}^3+C_{2n}^5+C_{2n}^7+...+C_{2n}^{20-1}=2^{23}$

Tính giá trị của biểu thức $M=\frac{A_{n+1}^4+3A_n^3}{(n+1)!}$ biết rằng $C_{n+1}^2+2C_{n+2}^2+2C_{n+3}^2+C_{n+4}^2=149$

Tìm số hạng không chứa x trong khai triển ${\left(2x^3+\frac{1}{x^2}\right)}^{\frac{5n}{2}}$,

biết $C_n^2{C}_n^{n-2}+2C_n^2{C}_n^3+C_n^3{C}_n^{n-3}=100$

Gọi a là hệ số của $x^{\frac{5}{3}}$ trong khai triển ${\left(\sqrt[3]{x^2}+\frac{2}{x}\right)}^{3n}, x>0$ biết rằng $2^{n-4}\left(C_n^{n-2}-C_{n-2}^1-n\right)=C_{n-1}^{n-2}$

Trong khai triển nhị thức ${\left(x+\frac{1}{x}\right)}^n, x\ne 0$ hệ số của số hạng thứ 3 lớn hơn hệ số của số hạng thứ 2 là 35. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nói trên.