Bài tập Nhị thức Newton cơ bản, nâng cao có lời giải (P5)

Biết rằng hệ số của $x^{n-2}$ trong khai triển ${\left(x-\frac{1}{4}\right)}^n$ bằng 31. Tìm n.

Cho khai triển $$\begin{gathered} {\left(1+x+x^2\right)}^n=a_0+a_{1}x \\ +a_2{x}^2+...+a_{2n}{x}^{2n} \end{gathered}$$,

với $n\ge 2$ và $a_0,a_1,a_2,...,a_{2n}$ là các hệ số. Biết rằng $\frac{a_3}{14}=\frac{a_4}{41}$khi đó tổng $S=a_0+a_1+a_2+...+a_{2n}$ bằng

Số hạng chứa $x^2$ trong khai triển ${\left(x+\frac{1}{x}\right)}^{12}$ là 

Khai triển $$\begin{gathered} {\left(1+x+x^2+x^3\right)}^{10}=a_0 \\ +a_{1}x+...+a_{30}{x}^{30} \end{gathered}$$

Tính tổng $S=a_0+2a_1+...+30a_{30}$

Tìm số hạng không chứa x trong khai triển ${\left(x^2+\frac{2}{x}\right)}^6$ với $x\ne 0$

Trong khai triển ${\left(x-y\right)}^{11}$, hệ số của số hạng chứa $x^8.y^3$ là

Tìm số nguyên dương n thỏa mãn

$$\begin{gathered} 2C_n^0+5C_n^1+8C_n^2 \\ +...+(3n+2)C_n^n=1600 \end{gathered}$$

Cho số nguyên dương n, tính tổng 

$$\begin{gathered} S=\frac{-C_n^1}{2.3}+\frac{2C_n^2}{3.4} \\ -\frac{3C_n^3}{4.5}+...+\frac{{\left(-1\right)}^{n}n{C}_n^n}{(n+1)(n+2)} \end{gathered}$$

Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newtơn $P\left(x\right)={\left(x^2+\frac{1}{x}\right)}^{15}$

Hệ số của $x^3{y}^3$ trong khai triển ${\left(1+x\right)}^6{\left(1+y\right)}^6$ là

Biết tổng các hệ số trong khai triển ${\left(3x-1\right)}^n=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+...+a_n{x}^n$ là $2^{11}$. Tìm $a_6$.

Tìm hệ số của $x^3$ trong khai triển ${\left(1-2x\right)}^{10}$

Biết rằng hệ số của $x^4$ trong khai triển nhị thức Newton ${\left(2-x\right)}^n, \left(n\in \mathrm{\mathbb{N}}*\right)$ bằng 280. Tìm n.

Số hạng không chứa x trong khai triển ${\left(x-\frac{2}{x^2}\right)}^6$

Trong khai triển $$\begin{gathered} {\left(2x^2+\frac{1}{x}\right)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k \\ .2^{n-k}{\left(x^2\right)}^{n-k}.{\left(\frac{1}{x}\right)}^k \end{gathered}$$

$(x\ne 0)$ hệ số của $x^3$ là  $2^6{C}_n^9$. Tính n

Tính tổng 

$$\begin{gathered} S=2C_{2017}^0-2C_{2017}^1 \\ +4C_{2017}^2-8C_{2017}^3 \\ +...+2^{2016}{C}_{2017}^{2016}-2^{2017}{C}_{2017}^{2017} \end{gathered}$$

Tìm số hạng không chứa x trong khai triển ${\left(2x-\frac{1}{x^2}\right)}^6, x\ne 0$

Sau khi khai triển và rút gọn biểu thức $f\left(x\right)={\left(x^2+\frac{3}{x}\right)}^{12}+{\left(2x^3+\frac{1}{x^2}\right)}^{21}$ thì $f\left(x\right)$ có bao nhiêu số hạng?

Cho n là số nguyên dương;  a, b là các số thực (a>0). Biết trong khai triển ${\left(a-\frac{b}{\sqrt{a}}\right)}^n$ có số hạng chứa $a^9{b}^4$. Số hạng có số mũ của a và b bằng nhau trong khai triển ${\left(a-\frac{b}{\sqrt{a}}\right)}^n$ là

Với n là số nguyên dương thỏa mãn $C_n^1+C_n^2=55$. Hệ số của số hạng chứa trong khai triển của biểu thức ${\left(x^3+\frac{2}{x^2}\right)}^n$ bằng

Kí hiệu $A_n^k$ là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử $\left(1\le k\le n\right)$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Số hạng chứa $x^{31}$ trong khai triển ${\left(x+\frac{1}{x^2}\right)}^{40}$ là

Khai triển $$\begin{gathered} {\left(1+2x+3x^2\right)}^{10}=a_0+a_{1}x \\ +a_2{x}^2+...+a_{20}{x}^{20} \end{gathered}$$.

Tính tổng $S=a_0+2a_1+4a_2+...+2^{20}{a}_{20}$

Khẳng định nào sau đây đúng? 

Số hạng không chứa x trong khai triển ${\left(2x-\frac{3}{\sqrt[3]{x}}\right)}^{2n}$ với $x\ne 0$, biết n là số nguyên dương thỏa mãn $C_n^3+2n=A_{n+1}^2$ là

Hệ số của số hạng chứa $x^3$ trong khai triển ${\left(\frac{1}{x}+x^3\right)}^9$ (với $x\ne 0$) bằng