Bài tập Nhận biết trung tuyến, trọng tâm tam giác và sử dụng tính chất trọng tâm của tam giác lớp 7 (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Trong một tam giác chỉ có một trọng tâm nên D sai.

Đáp án đúng là: A

Theo tính chất, trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng \[\frac{2}{3}\] độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

Đáp án đúng là: C

Vì G là trọng tâm tam giác ABC và AM là đường trung tuyến nên \[AG = \frac{2}{3}AM\] (tính chất trọng tâm của tam giác)

Do đó \[AG = \frac{2}{3}.9 = 6\] (cm).

Đáp án đúng là: A

Trên hình vẽ, hai đường trung tuyến BN và CP cắt nhau tại G nên G là trọng tâm ΔABC.

Do đó \[AG = \frac{2}{3}AM\] (tính chất trọng tâm).

Suy ra \[GM = \frac{1}{3}AM = \frac{1}{3} \cdot 3 = 1{\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right)\].

Đáp án đúng là: D

Ta có G là trọng tâm của ∆ABC.

Suy ra \[AG = \frac{2}{3}AM\].

Do đó \[4x + 6 = \frac{2}{3}.9x\].

4x + 6 = 2.3x

4x + 6 = 6x

4x – 6x = –6

–2x = –6.

x = –6 : (–2)

x = 3.

Suy ra \[AG = GE = ED = \frac{1}{3}AD\].

Ta có \[AE = AG + GE = \frac{1}{3}AD + \frac{1}{3}AD = \frac{2}{3}AD\].

Mà AD là đường trung tuyến của ∆ABC.

Do đó E là trọng tâm của ∆ABC.

Vì G là trọng tâm của ∆ABC nên từ tính chất trọng tâm ta có:

\[\frac{{GX}}{{GA}} = \frac{1}{2},\frac{{GY}}{{GB}} = \frac{1}{2},\frac{{GZ}}{{GC}} = \frac{1}{2}.\]

Suy ra \[GX = \frac{1}{2}GA,GY = \frac{1}{2}GB,GZ = \frac{1}{2}GC.\]

Mà GA = GB = GC (giả thiết)

Suy ra GX = GY = GZ.

Đáp án đúng là: B

Gọi G là giao điểm của BD và CE. Khi đó G là trọng tâm của tam giác ABC.

Trong ΔGBC ta có BG + CG > BC.

Ta lại có \[BG = \frac{2}{3}BD;CG = \frac{2}{3}CE\] (tính chất trọng tam của tam giác).

Từ đó \[\frac{2}{3}BD + \frac{2}{3}CE > BC\]

Suy ra \[\frac{2}{3}\left( {BD + CE} \right) > BC\]

Do đó \[BD + CE > \frac{3}{2}BC.\]

Đáp án đúng là: C

Vì E nằm trên tia đối của tia DB và DE = DB nên D là trung điểm của BE.

Suy ra \[BD = \frac{1}{2}BE\].

Vì AM, BD là hai đường trung tuyến của tam giác ABC và chúng cắt nhau tại I nên I là trọng tâm tam giác ABC.

Khi đó: \[BI = \frac{2}{3}BD = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}BE = \frac{1}{3}BE\].(1)

Vì AN, ED là hai đường trung tuyến của tam giác ACE và chúng cắt nhau tại K nên K là trọng tâm tam giác ACE.

Khi đó: \[EK = \frac{2}{3}ED = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}BE = \frac{1}{3}BE\].(2)

Ta có: BI + IK + KE = BE

Suy ra \[\frac{1}{3}BE + IK + \frac{1}{3}BE = BE\]

Do đó \[IK = \frac{1}{3}BE\]   (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra BI = IK = EK.

Đáp án đúng là: A

⦁ Do AG = 2GMnên \[AG = \frac{2}{3}AM.\]

Mà G nằm trên đường trung tuyến AM của ∆ABC nên G là trọng tâm ∆ABC.

Do M là trung điểm của BC nên \[BM = MC = \frac{1}{2}BC\].

⦁ Kẻ AH vuông góc với BC.

Ta có: \[{S_{\Delta AMB}} = \frac{1}{2}AH.BM;{S_{\Delta AMC}} = \frac{1}{2}AH.MC;{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AH.BC\]

Khi đó \[\frac{{{S_{\Delta AMB}}}}{{{S_{\Delta AMC}}}} = \frac{{\frac{1}{2}AH.BM}}{{\frac{1}{2}AH.MC}} = 1\] (do BM = MC)

Suy ra S­_∆AMB = S­_∆AMC.

Mà S­_∆AMB + S­_∆AMC = S_∆ABC

Do đó S_∆ABC = S­_∆AMB + S­_∆AMB = 2S­_∆AMB

Vì vậy, \[{S_{\Delta AMB}} = {S_{\Delta AMC}} = \frac{1}{2}{S_{\Delta ABC}}\]

⦁ Kẻ BK vuông góc AM.

Ta có: \[{S_{\Delta BAG}} = \frac{1}{2}BK.AG;{S_{\Delta BAM}} = \frac{1}{2}BK.AM\]

Khi đó \[\frac{{{S_{\Delta BAG}}}}{{{S_{\Delta BAM}}}} = \frac{{\frac{1}{2}BK.AG}}{{\frac{1}{2}BK.AM}} = \frac{{AG}}{{AM}} = \frac{{\frac{2}{3}AM}}{{AM}} = \frac{2}{3}\]

Suy ra \[{S_{\Delta BAG}} = \frac{2}{3}{S_{\Delta BAM}} = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}\]

Tương tự: \[{S_{\Delta AGC}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}\] và \[{S_{\Delta BGC}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.\]

Từ đó suy ra: \[{S_{\Delta GAB}} = {S_{\Delta GBC}} = {S_{\Delta GAC}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.\]