Trắc nghiệm Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác lớp 7 (có đúng sai, trả lời ngắn)

Đáp án đúng là: A

Cho \(\Delta ABC\) có \(M\) là trung điểm \(BC\) thì \(AM\) là đường trung tuyến của tam giác \(ABC\).

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác \(ABC\) có \(G\) là trọng tâm, \(AM\) là đường trung tuyến thì \(AG = \frac{2}{3}AM\).

Đáp án đúng là: D

Tam giác \(ABC\) có các đường trung tuyến \(AE\) và \(BF\) cắt nhau tại \(O\). Khi đó, \(O\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\).

Đáp án đúng là: A

Điểm cách đều ba cạnh của một tam giác là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác.

Đáp án đúng là: A

Cho \(G\) là trọng tâm của tam giác đều \(ABC\) thì \(GA = GB = GC\).

Đáp án đúng là: A

Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng \(\frac{2}{3}\) độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy

Đáp án đúng là: D

Ta có \(G\) là giao của hai trung tuyến \(BM\) và \(CN\) nên \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\).

Do đó, \(GN = \frac{{GC}}{2}.\)

Đáp án đúng là: C

Tam giác \(ABC\) có hai đường trung tuyến \(BE\) và \(AD\) cắt nhau tại \(G\).

Suy ra \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\).

Khi đó \(AG = \frac{2}{3}AD = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6\) cm và \(BG = \frac{2}{3}BE = \frac{2}{3}.12 = 8\) cm.

Xét tam giác \(AGB\) vuông tại \(G\):

Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ta có: \(AB < AG + GB = 6 + 8 = 14\).

Vì \(AB\) là cạnh huyền nên \(AB > BG\) hay \(AB > 8\).

Do đó độ dài cạnh \(AB\) nằm trong khoảng \(\left( {8;\,\,14} \right)\).

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: C

Vì hai đường phân giác \(CD\) và \(BE\) cắt nhau tại \(I\) nên \(I\) là giao điểm của các đường phân giác trong tam giác \(ABC\).

Do đó, \(AI\) là đường phân giác của \(A\).

Đáp án đúng là: B

Gọi \(G\) là giao điểm của \(BD\) và \(CE.\) Trong \(\Delta GBC\) ta có: \(BC + CG > BC.\)

Ta lại có: \(BG = \frac{2}{3}BD;\,\,CG = \frac{2}{3}CE\) (tính chất các đường trung tuyến của tam giác \(ABC\))

Từ đó, ta có: \(\frac{2}{3}BD + \frac{2}{3}CE > BG + CG\), suy ra \(\frac{2}{3}\left( {BD + CE} \right) > BC\).

Do đó, \(BD + CE > \frac{3}{2}BC\).

a) Đúng.

Tam giác \(ABC\) có \(AM,\,\,BD\) là hai đường trung tuyến cắt nhau tại \(I\).

Suy ra \(I\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\).

b) Sai.

Khi đó \(BI = \frac{2}{3}BD\) (1)

Vì vậy \(BD - ID = \frac{2}{3}BD\).

Suy ra \(ID = \frac{1}{3}BD\) (2)

Từ (1), (2), suy ra \(BI = 2ID\) (*)

c) Đúng.

Chứng minh tương tự, ta được \(EK = 2DK\) (**)

Ta có \(DB = DE\) (giả thiết)

Suy ra \(DI + BI = DK + KE\).

Khi đó \(DI + 2DI = DK + 2DK\).

Vì vậy \(3DI = 3DK\) hay \(DI = DK.\)

Suy ra \(DI = DK\)(***)

d) Sai.

Khi đó \(DI + DK = DK + DK\).

Vì vậy \(IK = 2DK\) (****)

Từ (*), (**), (***), (****), suy ra \(BI = IK = KE\).

a) Sai.

Xét \(\Delta ABC\)và \(\Delta AEC\), có:

\(AC\) là cạnh chung.

\(AB = AE\) (\(A\) là trung điểm \(BE\)).

\(\widehat {BAC} = \widehat {CAE} = 90^\circ \).

Do đó \(\Delta ABC = \Delta AEC\) (c.g.c)

b) Đúng.

Tam giác \(BCE\) có \(BH,\,\,CA\) là các đường trung tuyến.

Mà \(BH\) cắt \(AC\) tại \(M.\)

Do đó \(M\) là trọng tâm của tam giác \(BEC.\)

c) Đúng.

Ta có \(K\) là trung điểm của \(BC.\)

Suy ra \(EK\) là đường trung tuyến thứ ba của tam giác \(EBC.\)

Khi đó \(M \in EK\) hay ba điểm \(E,\,\,M,\,\,K\) thẳng hàng.

d) Đúng.

Nhận thấy \(AC\) vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến trong tam giác \(ECB\) nên \(\Delta BEC\) cân tại \(C\).

a) Đúng.

Xét \(\Delta HKC\), có:

Ta có: \(BH = 2BK\) hay \(BK + KH = 2BK\) suy ra \(KH = BK.\)

Mà \(MK = \frac{1}{2}KB\) nên \(MK = \frac{1}{2}KH\) hay \(M\) là trung điểm của \(KH\).

Lại có: \(IC = \frac{1}{3}CA = \frac{1}{3} \cdot 2MC = \frac{2}{3}MC\) với \(MC\) là trung tuyến của \(\Delta HKC\).

Suy ra \(I\) là trọng tâm của \(\Delta HKC\).

b) Đúng.

Có \(I\) là trọng tâm của \(\Delta HKC\) (cmt) nên \(KI\) là đường trung tuyến trong \(\Delta HKC\).

Mà đường thẳng \(KI\) cắt \(HC\) ở \(E\) nên \(E\) là trung điểm của \(HC.\)

c) Sai.

Ta có \(I\) là trọng tâm của \(\Delta HKC\) nên \(\frac{{IE}}{{KE}} = \frac{1}{3}\) và \(\frac{{IK}}{{KE}} = \frac{2}{3}\) do đó, \(\frac{{IE}}{{IK}} = \frac{1}{2}.\)

d) Đúng.

Ta có \(\frac{{MI}}{{MC}} = \frac{1}{3}\) hay \(MI = \frac{1}{3}MC\).

Mà \(MC = \frac{1}{2}AC\).

Suy ra \(MI = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}AC = \frac{1}{6}AC\).

Do đó, \(\frac{{MI}}{{AC}} = \frac{1}{6}.\)

a) Đúng.

Ta có: \(BF = 2BE\) suy ra \(BE = EF.\)

Mà \(BE = 2ED\) nên \(EF = 2ED.\)

Do đó, \(D\) là trung điểm của \(EF.\)

b) Đúng.

Vì \(D\) là trung điểm của \(EF\) nên \(CD\) là đường trung tuyến của tam giác \(EFC\).

Vì \(K\) là trung điểm của \(CF\) nên \(EK\) là đường trung tuyến của \(\Delta EFC\).

Vì \(\Delta EFC\) có hai đường trung tuyến \(CD\) và \(EK\) cắt nhau tại \(G\) nên \(G\) là trọng tâm của \(\Delta EFC\).

c) Sai.

Vì \(G\) là trọng tâm của \(\Delta EFC\) nên \(\frac{{GC}}{{DC}} = \frac{2}{3}\) và \(GE = \frac{2}{3}EK\).

d) Đúng.

Có \(GE = \frac{2}{3}EK\) nên \(GK = \frac{1}{3}EK\) nên \(GE = 2GK\). Do đó, \(\frac{{GE}}{{GK}} = 2.\)

a) Đúng.

Vì hai trung tuyến \(BD\) và \(CE\) cắt nhau tại \(G\) nên \(G\) là trọng tâm \(\Delta ABC\).

b) Đúng.

Vì \(G\) là trọng tâm \(\Delta ABC\) nên \(BG = \frac{2}{3}BD;CG = \frac{2}{3}CE\) (tính chất trọng tâm tam giác)

Mà \(BD = CE\) (giả thiết) nên \(\frac{2}{3}BD = \frac{2}{3}CE\) hay \(BG = CG\).

Suy ra tam giác \(GBC\) là tam giác cân.

c) Đúng.

Ta có: \(BG = \frac{2}{3}BD\) nên \(DG = \frac{1}{3}BD\) do đó \(BG = 2DG\) hay \(DG = \frac{1}{2}BG.\)

Lại có \(CG = \frac{2}{3}CE\) nên \(GE = \frac{1}{3}CE\) do đó \(CG = 2CE\) hay \(CE = \frac{1}{2}CG\).

Mà \(BG = CG\) (cmt) nên \(DG = EG\).

Ta có: \(DG + EG = \frac{1}{2}BG + \frac{1}{2}CG = \frac{1}{2}\left( {BG + CG} \right)\).

d) Sai.

Xét tam giác \(GBC\) có \(BG + CG > BG\) (trong một tam giác tổng độ dài hai cạnh lớn hơn độ dài cạnh còn lại).

Vậy \(DG + EG > \frac{1}{2}BC\) (đpcm).

Đáp án: 4

Tam giác \(MNP\) có \(NE\) là đường trung tuyến và \(G\) là trọng tâm của tam giác \(MNP\).

Suy ra \(NG = \frac{2}{3}NE = \frac{2}{3}.6 = 4\) (cm)

Đáp án: 60

Tam giác \(ABC\) có \(BI,\,\,CI\) là hai đường phân giác.

Suy ra \(\widehat {ABC} = 2\widehat {IBC}\) và \(\widehat {ACB} = 2\widehat {ICB}\).

Tam giác \(IBC\) có: \(\widehat {BIC} + \widehat {IBC} + \widehat {ICB} = 180^\circ \) (định lí tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra \(\widehat {IBC} + \widehat {ICB} = 180^\circ - \widehat {BIC} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \).

Khi đó \[2\left( {\widehat {IBC} + \widehat {ICB}} \right) = 120^\circ \].

Vì vậy \[2\widehat {IBC} + 2\widehat {ICB} = 120^\circ \].

Suy ra \(\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 120^\circ \).

Tam giác \(ABC\) có: \(\widehat {BAC} + \widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 180^\circ \) (định lí tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra \(\widehat {BAC} = 180^\circ - \left( {\widehat {ABC} + \widehat {ACB}} \right) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \).

Đáp án: 9

Vì \(O\) là giao điểm của hai tia phân giác \(\widehat {ABC}\) và \(\widehat {CAB}\) (gt).

Suy ra, \(CO\) là phân giác của \(\widehat {ACB}\) (tính chất ba đường phân giác của tam giác).

Suy ra \(\widehat {ACO} = \widehat {BCO}\) (tính chất tia phân giác của một góc)

\(BO\) là phân giác của \(\widehat {ABC}\) suy ra \(\widehat {OBA} = \widehat {OBC}\) (2) (tính chất tia phân giác của một góc)

Vì \(MN\parallel BC\) (gt) nên \(\widehat {MOB} = \widehat {OBC}\) và \(\widehat {NOc} = \widehat {OCB}\) (so le trong).

Từ (1) và (4) suy ra \(\widehat {NOC} = \widehat {NCO}\).

Do đó, \(\Delta NOC\) cân tại \(N\) (dấu hiệu nhận biết tam giác cân).

Suy ra \(NO = NC = 5\,\,{\rm{cm}}\)

Từ (2) và (3) suy ra \(\widehat {MOB} = \widehat {MBO}\) nên \(\Delta MOB\) cân tại \(N\).

Suy ra \(MB = MO = 4\,\,{\rm{cm}}\).

Vậy \(MN = MO + ON = 5 + 4 = 9\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

Đáp án: 2

Nhận thấy \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\), do đó, ta có: \(\frac{{AG}}{{AD}} = \frac{2}{3};\,\,\frac{{GD}}{{AD}} = \frac{1}{3}\).

Suy ra \(\frac{{AG}}{{GD}} = \frac{{AG}}{{AD}}:\frac{{GD}}{{AD}} = \frac{2}{3}:\frac{1}{3} = 2\).

Đáp án: 30

Ta có \(\widehat {CAx}\) và \(\widehat {CAB}\) là hai góc kề bù nên \(\widehat {CAx} = 180^\circ - \widehat {CAB} = 60^\circ \).

Lại có \(AD\) là phân giác của \(\widehat {CAB}\) nên \(\widehat {CAD} = \widehat {DAB} = \frac{{120^\circ }}{2} = 60^\circ \).

Suy ra \(\widehat {CAx} = \widehat {CAD} = 60^\circ \) nên \(AC\) là phân giác của \(\widehat {DAx}\)

Xét \(\Delta ABD\) có \(AE\) là tia phân giác góc ngoài đỉnh \(A\), \(BE\) là tia phân giác của \[\widehat {ABC}\].

Mà hai đường phân giác này cắt nhau tại \(E\), do đó \(DE\) cũng là phân giác của \(\widehat {ADC}\).

Mà \(\widehat {EDC}\) là góc ngoài đỉnh \(D\) của \(\Delta BED\) nên ta có \(\widehat {BED} + \widehat {{B_2}} = \widehat {{D_2}}\).

Suy ra \(\widehat {BED} = \widehat {{D_2}} - \widehat {{B_2}} = \frac{{\widehat {ADC} - \widehat {ABC}}}{2} = \frac{{\widehat {ABD} + \widehat {BAD} - \widehat {ABC}}}{2} = \widehat {\frac{{BAD}}{2}} = 30^\circ \).

Vậy \(\widehat {BED} = 30^\circ \).