Bài tập Năng lượng của con lắc lò xo, con lắc đơn lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là C

Ta có: \[{\mathop{\rm W}\nolimits} = {W_{{\rm{t max}}}} = mg\ell \left( {1 - cos{{\rm{\alpha }}_{\rm{0}}}} \right) = 0,2.10.1.\left( {1 - cos60^\circ } \right) = 1J.\]

a. Sai. \(\omega = \sqrt {\frac{k}{m}} = \sqrt {\frac{{100}}{{0,1}}} = \sqrt {1000} = 10\sqrt {10} = 10\pi {\rm{ rad/s}}\) (Phát biểu này Đúng với \({\pi ^2} = 10\)).

b. Đúng. \(W = \frac{1}{2}k{A^2} = \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot {(0,1)^2} = 0,5{\rm{ J}}\).

c. Sai. Thế năng \({W_t} = \frac{1}{2}k{x^2} = \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot {(0,06)^2} = 0,18{\rm{ J}}\).

Động năng \({W_d} = W - {W_t} = 0,5 - 0,18 = 0,32{\rm{ J}}\).

d. Sai. \({W_d} = {W_t} \Rightarrow v = \frac{{{v_{\max }}}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\omega A}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{10\pi \cdot 10}}{{\sqrt 2 }} = 50\sqrt 2 \pi {\rm{ cm/s}}\) (thiếu \(\pi \)).

a. Đúng. \(\omega = \sqrt {\frac{g}{l}} = \sqrt {\frac{{9,8}}{1}} = \sqrt {9,8} {\rm{ rad/s}}\).

b. Đúng. Với góc lệch nhỏ: \(W = \frac{1}{2}mgl\alpha _0^2 = \frac{1}{2} \cdot 0,2 \cdot 9,8 \cdot 1 \cdot {(0,1)^2} = 0,0098{\rm{ J}} = 9,8{\rm{ mJ}}\).

c. Đúng.

Thế năng tại \(\alpha = 0,06{\rm{ rad}}\): \({W_t} = \frac{1}{2}mgl{\alpha ^2} = \frac{1}{2} \cdot 0,2 \cdot 9,8 \cdot 1 \cdot {(0,06)^2} = 0,003528{\rm{ J}} = 3,528{\rm{ mJ}}\).

d. Đúng. \({W_{d\max }} = W = 9,8{\rm{ mJ}}\) khi qua vị trí cân bằng.

a. Đúng. \({\omega ^2} = \frac{k}{m} \Rightarrow k = m{\omega ^2} = 0,2 \cdot {10^2} = 20{\rm{ N/m}}\).

b. Đúng. \(W = \frac{1}{2}k{A^2} = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot {(0,08)^2} = 0,064{\rm{ J}}\).

c. Sai. Tại \(t = \frac{\pi }{{30}}{\rm{ s}}\), pha dao động là \(10 \cdot \frac{\pi }{{30}} = \frac{\pi }{3} \Rightarrow x = 8\cos \left( {\frac{\pi }{3}} \right) = 4{\rm{ cm}} = \frac{A}{2}\).

Thế năng \({W_t} = \frac{W}{4} = \frac{{0,064}}{4} = 0,016{\rm{ J}} \Rightarrow {W_d} = W - {W_t} = 0,048{\rm{ J}}\)

d. Đúng. \({v_{\max }} = \omega A = 10 \cdot 8 = 80{\rm{ cm/s}}\).

a. Đúng. \({\alpha _0} = 6 \cdot \frac{\pi }{{180}} = \frac{\pi }{{30}}{\rm{ rad}}\).

b. Đúng. \(\frac{{{W_t}}}{W} = \frac{{\frac{1}{2}mgl{\alpha ^2}}}{{\frac{1}{2}mgl\alpha _0^2}} = {\left( {\frac{\alpha }{{{\alpha _0}}}} \right)^2} = {\left( {\frac{3}{6}} \right)^2} = 0,25\).

c. Đúng. \({W_d} = 3{W_t} \Rightarrow W = 4{W_t} \Rightarrow \alpha = \pm \frac{{{\alpha _0}}}{2} = \pm {3^\circ }\).

d. Đúng. Theo công thức bảo toàn cơ năng của con lắc đơn: \({v_{\max }} = \sqrt {2gl(1 - \cos {\alpha _0})} \).

a. Đúng. \(\Delta {l_0} = \frac{{mg}}{k} = \frac{{0,2 \cdot 10}}{{50}} = 0,04{\rm{ m}} = 4{\rm{ cm}}\).

b. Đúng. Kéo khỏi VCB \(4{\rm{ cm}}\) thả nhẹ \( \Rightarrow A = 4{\rm{ cm}}\).

c. Đúng. Cơ năng \(W = \frac{1}{2}k{A^2} = \frac{1}{2} \cdot 50 \cdot {(0,04)^2} = 0,04{\rm{ J}}\).

d. Sai. \({F_{dh\max }} = k(\Delta {l_0} + A) = 50 \cdot (0,04 + 0,04) = 4{\rm{ N}}\)

a. Đúng. \({W_d} = {W_t} \Rightarrow v = \frac{{{v_{\max }}}}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow {v_{\max }} = v\sqrt 2 = 20\sqrt 2 \cdot \sqrt 2 = 40{\rm{ cm/s}} = 0,4{\rm{ m/s}}\).

b. Đúng. \(W = \frac{1}{2}m{v_{{{\max }^2}}} = \frac{1}{2} \cdot 0,1 \cdot {(0,4)^2} = 0,008{\rm{ J}}\).

c. Sai. \(W = \frac{1}{2}mgl\alpha _0^2 \Rightarrow 0,008 = \frac{1}{2} \cdot 0,1 \cdot 9,8 \cdot 0,8 \cdot \alpha _0^2 \Rightarrow \alpha _0^2 \approx 0,0204 \Rightarrow {\alpha _0} \approx 0,143{\rm{ rad}}\)

d. Sai. Thế năng cực đại \({W_{t\max }} = W = 0,008{\rm{ J}}\).

a. Đúng. \(T = 2T' = 2 \cdot 0,2 = 0,4{\rm{ s}}\).

b. Đúng. \(\omega = \frac{{2\pi }}{T} = \frac{{2\pi }}{{0,4}} = 5\pi {\rm{ rad/s}}\).

c. Đúng. \(W = {W_{t\max }} = 0,08{\rm{ J}} = \frac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2} \Rightarrow 0,08 = \frac{1}{2} \cdot 0,4 \cdot {(5\pi )^2}{A^2}\).

Với \({\pi ^2} = 10 \Rightarrow 0,08 = \frac{1}{2} \cdot 0,4 \cdot 250 \cdot {A^2} = 50{A^2} \Rightarrow {A^2} = 0,0016 \Rightarrow A = 0,04{\rm{ m}} = 4{\rm{ cm}}\).

d. Đúng. \({W_{d\max }} = W = 0,08{\rm{ J}}\).

a. Sai. Ta có \(W = {W_d} + \frac{1}{2}k{x^2}\):

\({W_{d1}} + \frac{1}{2}kx_1^2 = {W_{d2}} + \frac{1}{2}kx_2^2 \Rightarrow {W_{d1}} - {W_{d2}} = \frac{1}{2}k(x_2^2 - x_1^2)\).

\(0,091 - 0,07 = \frac{1}{2}k(0,{04^2} - 0,{03^2}) \Rightarrow 0,021 = \frac{1}{2}k(0,0007) \Rightarrow k = 60{\rm{ N/m}}\).

b. Đúng. \(W = {W_{d1}} + \frac{1}{2}kx_1^2 = 0,091 + \frac{1}{2} \cdot 60 \cdot {(0,03)^2} = 0,091 + 0,027 = 0,118{\rm{ J}}\).

c. Sai. \(W = \frac{1}{2}k{A^2} \Rightarrow 0,118 = \frac{1}{2} \cdot 60 \cdot {A^2} \Rightarrow {A^2} \approx 0,00393 \Rightarrow A \approx 6,27{\rm{ cm}}\).

d. Đúng. \({W_{d\max }} = W = 0,118{\rm{ J}}\).

a. Đúng. \(W = \frac{1}{2}m{v_{{{\max }^2}}} = \frac{1}{2} \cdot 0,1 \cdot {(0,5)^2} = 0,0125{\rm{ J}}\).

b. Sai. \({v_{\max }} = \sqrt {gl} {\alpha _0} \Rightarrow 0,5 = \sqrt {10 \cdot 1} \cdot {\alpha _0} \Rightarrow {\alpha _0} = \frac{{0,5}}{{\sqrt {10} }} \approx 0,158{\rm{ rad}}\).

c. Sai. Tại \(\alpha = 0,025{\rm{ rad}}\): \({W_t} = \frac{1}{2}mgl{\alpha ^2} = \frac{1}{2} \cdot 0,1 \cdot 10 \cdot 1 \cdot {(0,025)^2} = 0,0003125{\rm{ J}}\)

d. Đúng. \(v = {v_{\max }}\sqrt {1 - {{\left( {\frac{\alpha }{{{\alpha _0}}}} \right)}^2}} \).

a. Đúng. \({W_d} = 3{W_t} \Rightarrow v = \frac{{\sqrt 3 }}{2}{v_{\max }} = 30\sqrt 3 {\rm{ cm/s}} \Rightarrow {v_{\max }} = 60{\rm{ cm/s}} = 0,6{\rm{ m/s}}\).

b. Sai. \(W = \frac{1}{2}k{A^2}\), đối với con lắc lò xo cơ năng chỉ phụ thuộc \(k\) và \(A\), không phụ thuộc \(m\).

c. Đúng. Với \(m = 0,1{\rm{ kg}} \Rightarrow \omega = \sqrt {\frac{{40}}{{0,1}}} = 20{\rm{ rad/s}} \Rightarrow A = \frac{{{v_{\max }}}}{\omega } = \frac{{60}}{{20}} = 3{\rm{ cm}}\).

d. Đúng. \({W_d} = 3{W_t} \Rightarrow {W_t} = \frac{1}{3}{W_d}\).

Đáp án: 0,1

\(W = \frac{1}{2}k{A^2} = \frac{1}{2} \cdot 80 \cdot {(0,05)^2} = 0,1{\rm{ J}}\).

Đáp án: 36

\({W_{d\max }} = W = \frac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2} = \frac{1}{2} \cdot 0,2 \cdot {10^2} \cdot {(0,06)^2} = 0,036{\rm{ J}} = 36{\rm{ mJ}}\).

Đáp án: 1,25

\({W_t} = \frac{1}{2}mgl{\alpha ^2} = \frac{1}{2} \cdot 0,1 \cdot 10 \cdot 1 \cdot {(0,05)^2} = 0,00125{\rm{ J}} = 1,25{\rm{ mJ}}\).

Đáp án: 10

Thế năng \({W_t} = \frac{1}{2}k{x^2} = \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot {(0,04)^2} = 0,08{\rm{ J}}\).

Cơ năng \(W = {W_d} + {W_t} = 0,42 + 0,08 = 0,5{\rm{ J}}\).

\(W = \frac{1}{2}k{A^2} \Rightarrow 0,5 = \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot {A^2} \Rightarrow {A^2} = 0,01 \Rightarrow A = 0,1{\rm{ m}} = 10{\rm{ cm}}\).

Đáp án: 0,05

\({W_d} = 3{W_t} \Rightarrow W = 4{W_t} \Rightarrow \frac{1}{2}mgl\alpha _0^2 = 4 \cdot \frac{1}{2}mgl{\alpha ^2} \Rightarrow |\alpha | = \frac{{{\alpha _0}}}{2} = \frac{{0,1}}{2} = 0,05{\rm{ rad}}\).

Đáp án: 6

\(\omega = \frac{{2\pi }}{T} = \frac{{2\pi }}{{0,2}} = 10\pi {\rm{ rad/s}}\).

\(W = \frac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2} \Rightarrow 0,18 = \frac{1}{2} \cdot 0,1 \cdot {(10\pi )^2} \cdot {A^2} = 0,05 \cdot 1000 \cdot {A^2} = 50{A^2}\).

\({A^2} = \frac{{0,18}}{{50}} = 0,0036 \Rightarrow A = 0,06{\rm{ m}} = 6{\rm{ cm}}\).

Đáp án: 40

\({W_t} = 3{W_d} \Rightarrow W = \frac{4}{3}{W_t} \Rightarrow \frac{1}{2}k{A^2} = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2}k{x^2} \Rightarrow |x| = \frac{{A\sqrt 3 }}{2}\).

Do \(x = 2\sqrt 3 {\rm{ cm}} \Rightarrow A = 4{\rm{ cm}} = 0,04{\rm{ m}}\).

Ta có \({v_{\max }} = \omega A \Rightarrow \omega = \frac{{{v_{\max }}}}{A} = \frac{{0,4}}{{0,04}} = 10{\rm{ rad/s}}\).

Độ cứng \(k = m{\omega ^2} = 0,4 \cdot {10^2} = 40{\rm{ N/m}}\).

Đáp án: 28,28

\({W_d} = {W_t} \Rightarrow {W_d} = \frac{W}{2} = \frac{{16}}{2} = 8{\rm{ mJ}} = 0,008{\rm{ J}}\).

\({W_d} = \frac{1}{2}m{v^2} \Rightarrow 0,008 = \frac{1}{2} \cdot 0,2 \cdot {v^2} \Rightarrow {v^2} = 0,08 \Rightarrow v = \sqrt {0,08} \approx 0,2828{\rm{ m/s}} = 28,28{\rm{ cm/s}}\).

Đáp án: 0,05

Tại VCB \({W_t} = 0\). Tại điểm \(M\), thế năng \({W_t} = 0,15{\rm{ J}}\).

Động năng tại \(M\): \({W_d} = W - {W_t} = 0,2 - 0,15 = 0,05{\rm{ J}}\).

Đáp án: 4

Cơ năng con lắc đơn \(W = \frac{1}{2}mgl\alpha _0^2\).

Tỉ số \(\frac{{{W_2}}}{{{W_1}}} = \frac{{\frac{1}{2}{m_2}g{l_2}\alpha _0^2}}{{\frac{1}{2}{m_1}g{l_1}\alpha _0^2}} = \frac{{{m_2}}}{{{m_1}}} \cdot \frac{{{l_2}}}{{{l_1}}} = \frac{{200}}{{100}} \cdot 2 = 2 \cdot 2 = 4\).