Bài tập Mối quan hệ giữa động năng và thế năng lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là A

Ta có: ${\text{W}}_{đ}=\frac{1}{2}{\text{W}}_t\Rightarrow x=\frac{\pm A}{\sqrt{\frac{1}{2}+1}}=\pm A\sqrt{\frac{2}{3}}$

Mặt khác: \[{\left( {\frac{x}{A}} \right)^2} + {\left( {\frac{v}{{{v_{{\rm{max}}}}}}} \right)^2} = 1 \Rightarrow v = \frac{{ \pm {v_{{\rm{max}}}}}}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow {v_{{\rm{max}}}} = 10\sqrt 3 {\rm{ cm/s}}.\].

Đáp án đúng là D

\({W_d} = \frac{3}{4}W \Rightarrow {W_t} = \frac{1}{4}W \Rightarrow \frac{{k{x^2}}}{2} = \frac{1}{4}\frac{{k{A^2}}}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{A}{2} = \pm 3{\rm{ cm}}{\rm{.}}\)

Đáp án đúng là C

\({W_d} = {W_t} = \frac{W}{2} \Rightarrow \frac{{m{v^2}}}{2} = \frac{{m{\omega ^2}{A^2}}}{{2.2}} \Rightarrow A = 0,12{\rm{ m}}\)

Đáp án đúng là D

Khi động năng bằng thế năng ${\text{W}}_{đ}={\text{W}}_t\Rightarrow x=\frac{\pm A}{\sqrt{1+1}}=\frac{\pm A}{\sqrt{2}}$

Khoảng thời gian 2 lần liên tiếp động năng và thế năng của vật lại bằng nhau là \[{t_{\left( {\frac{{A\sqrt 2 }}{2} \to \frac{{A\sqrt 2 }}{2}} \right)}} = \frac{T}{8} + \frac{T}{8} = \frac{T}{4} = 0,05 \Rightarrow T = 0,2 = 2\pi \sqrt {\frac{m}{k}} = 5{\rm{0 N/m}}{\rm{.}}\]

Đáp án đúng là D

Ta có khi động năng bằng thế năng ${\text{W}}_{đ}={\text{W}}_t\Rightarrow x=\frac{\pm A}{\sqrt{1+1}}=\frac{\pm A}{\sqrt{2}}$.

Do \[\overrightarrow x \bot \overrightarrow v \Rightarrow {\left( {\frac{x}{A}} \right)^2} + {\left( {\frac{v}{{{v_{{\rm{max}}}}}}} \right)^2} = 1 \Rightarrow {\left( {\frac{v}{{{v_{{\rm{max}}}}}}} \right)^2} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\].

Do đó \[{v_{{\rm{max}}}} = \left| v \right|\sqrt 2 = 60\sqrt 2 = \omega A \Rightarrow A = 6\sqrt 2 \]cm.

Đáp án đúng là A

Ta có: ${\text{W}}_{đ}=3{\text{W}}_t\Rightarrow {\text{W}}_t=\frac{1}{4}\text{W}\Rightarrow {\text{α}}^2=\pm \frac{1}{4}{\text{α}}_0^2=\Rightarrow \text{α}=\pm \frac{1}{2}{\text{α}}_0=\pm 3°.$

Đáp án đúng là A

+ Ta có: $W_{đ}=\frac{1}{2}{W}_t\Rightarrow x=\frac{\pm A}{\sqrt{\frac{1}{2}+1}}=\pm A\sqrt{\frac{2}{3}}$

+ Mặt khác: \[{\left( {\frac{x}{A}} \right)^2} + {\left( {\frac{v}{{{v_{{\rm{max}}}}}}} \right)^2} = 1 \Rightarrow v = \frac{{ \pm {v_{{\rm{max}}}}}}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow {v_{{\rm{max}}}} = 10\sqrt 3 cm/s\].

Đáp án đúng là B

$\left\{\begin{array}{c}{\text{W}}_{đ}=2W_t\\ {\text{W}}_{đ}+{\text{\hspace{0.17em}W}}_t=\frac{1}{2}mg\mathcal{l}{\alpha }_o^2\end{array}\right.\Rightarrow 3W_t=\frac{1}{2}mg\mathcal{l}{\alpha }_o^2\Rightarrow 3\frac{1}{2}mg\mathcal{l}{\alpha }^2=\frac{1}{2}mg\mathcal{l}{\alpha }_o^2\Rightarrow \alpha =\pm \frac{{\alpha }_o}{\sqrt{3}}=\pm 2,{89}^o.$

Đáp án đúng là C

- Khi con lắc qua vị trí cân bằng thì \[{{\rm{v}}_{\max }} = \sqrt {2g\ell \left( {1 - c{\rm{os}}{\alpha _0}} \right)} \Rightarrow c{\rm{os}}{\alpha _0} = 0 \Rightarrow {\alpha _0} = {90^0}.\]

- Ở vị trí \[{{\rm{W}}_d} = {{\rm{W}}_t}\] \[ \Leftrightarrow {\rm{W}} = 2{{\rm{W}}_t} \Rightarrow 1 - c{\rm{os}}{\alpha _0} = 2\left( {1 - c{\rm{os}}\alpha } \right)\]

\( \Leftrightarrow {\rm{cos}}\alpha = \frac{{1 + {\rm{cos}}{\alpha _0}}}{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 60^\circ .\)

Đáp án đúng là D

Động năng

\({W_d} = {\rm{W}} - {{\rm{W}}_t} = mg\ell \left( {1 - \cos {\alpha _0}} \right) - mg\ell \left( {1 - \cos \alpha } \right) = mg\ell \left( {\cos \alpha - \cos {\alpha _0}} \right) = 13,2297{\rm{ }}mJ.\)

a. Sai. Động năng và thế năng biến thiên tuần hoàn với chu kỳ \(T' = \frac{T}{2}\) (bằng một nửa chu kỳ dao động của vật).

b. Đúng. Động năng biến thiên tuần hoàn với tần số góc \(\omega ' = 2\omega \).

c. Sai. Cơ năng \(W = {W_d} + {W_t} = \frac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2}\) là hằng số không biến thiên theo thời gian.

d. Đúng. Cơ năng được bảo toàn, do đó tổng \({W_d} + {W_t} = W = {\rm{const}}\) tại mọi thời điểm.

a. Đúng. Ra vị trí biên thì \(v\) giảm dần về \(0\) (động năng giảm) và $|x|$ tăng đến \(A\) (thế năng tăng), nên động năng chuyển hóa thành thế năng.

b. Đúng. Tại vị trí cân bằng, \(x = 0 \Rightarrow {W_t} = 0\); tốc độ \(|v| = {v_{\max }} \Rightarrow {W_d} = {W_{d\max }} = W\).

c. Đúng. Tại vị trí biên, \(v = 0 \Rightarrow {W_d} = 0\); \(|x| = A \Rightarrow {W_t} = {W_{t\max }} = W\).

d. Sai. Khi đi từ biên về VTCB, |x| giảm làm thế năng giảm, |v| tăng làm động năng tăng (thế năng chuyển hoá thành động năng).

a. Đúng. Cơ năng \(W = \frac{1}{2}k{A^2} = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot {(0,05)^2} = 0,05{\rm{ J}} = 50{\rm{ mJ}}\).

b. Sai. Với \(x = 2,5{\rm{ cm}} = \frac{A}{2} \Rightarrow {W_t} = \frac{1}{4}W \Rightarrow {W_d} = \frac{3}{4}W \Rightarrow {W_d} = 3{W_t}\) (động năng bằng 3 lần thế năng).

c. Đúng. Khi \({W_d} = {W_t} \Rightarrow {W_t} = \frac{1}{2}W \Rightarrow \frac{1}{2}k{x^2} = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2}k{A^2}} \right) \Rightarrow x = \pm \frac{A}{{\sqrt 2 }} = \pm \frac{5}{{\sqrt 2 }} = \pm 2,5\sqrt 2 {\rm{ cm}}\).

d. Đúng. Động năng cực đại \({W_{d\max }} = W = 0,05{\rm{ J}} = 50{\rm{ mJ}}\).

a. Đúng. Động năng bằng thế năng khi \(x = \pm \frac{A}{{\sqrt 2 }}\). Khoảng thời gian ngắn nhất giữa hai vị trí này liên tiếp là \(\Delta t = \frac{T}{4} = \frac{1}{4} = 0,25{\rm{ s}}\).

b. Sai. Thế năng tăng từ \(0\) (tại VTCB) đến \({W_{t\max }}\) (tại biên) mất thời gian ngắn nhất là \(\Delta t = \frac{T}{4} = 0,25{\rm{ s}}\).

c. Đúng. Trong một chu kỳ, vật qua 4 vị trí \(x = \pm \frac{A}{{\sqrt 2 }}\) tương ứng 4 lần \({W_d} = {W_t}\).

d. Đúng. Động năng đạt cực đại tại VTCB. Hai lần liên tiếp qua VTCB cách nhau \(\frac{T}{2} = 0,5{\rm{ s}}\).

a. Sai. Khi \({W_d} = 3{W_t} \Rightarrow {W_d} = \frac{3}{4}W \Rightarrow \frac{1}{2}m{v^2} = \frac{3}{4}\left( {\frac{1}{2}m{v_{{{\max }^2}}}} \right) \Rightarrow |v| = \frac{{{v_{\max }}\sqrt 3 }}{2}\).

b. Đúng. Khi \({W_t} = 3{W_d} \Rightarrow {W_t} = \frac{3}{4}W \Rightarrow \frac{1}{2}k{x^2} = \frac{3}{4}\left( {\frac{1}{2}k{A^2}} \right) \Rightarrow |x| = \frac{{A\sqrt 3 }}{2}\).

c. Sai. Khi vật di chuyển từ \( - \frac{A}{2}\) qua \(0\) đến \(\frac{A}{2}\), thế năng giảm từ \({W_0}\) về \(0\) rồi lại tăng lên \({W_0}\).

d. Đúng. \(\frac{{{W_d}}}{{{W_t}}} = \frac{{W - {W_t}}}{{{W_t}}} = \frac{{\frac{1}{2}k{A^2} - \frac{1}{2}k{x^2}}}{{\frac{1}{2}k{x^2}}} = \frac{{{A^2} - {x^2}}}{{{x^2}}} = {\left( {\frac{A}{x}} \right)^2} - 1\).

a. Đúng. \({W_t} = \frac{1}{2}k{x^2} = \frac{1}{2}k{\left( { \pm \frac{A}{3}} \right)^2} = \frac{1}{9}\left( {\frac{1}{2}k{A^2}} \right) = \frac{1}{9}W\).

b. Đúng. \({W_d} = W - {W_t} = \frac{8}{9}W \Rightarrow \frac{{{W_d}}}{{{W_t}}} = 8\).

c. Đúng. Khi \({W_d} = {W_t} \Rightarrow {W_d} = \frac{1}{2}W \Rightarrow \frac{1}{2}m{v^2} = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2}m{v_{{{\max }^2}}}} \right) \Rightarrow |v| = \frac{{{v_{\max }}}}{{\sqrt 2 }}\).

d. Sai. Khi \(x = \pm A\), thế năng bằng cơ năng, động năng bằng \(0\).

a. Đúng. \(v = - A\omega \sin (\omega t) \Rightarrow {W_d} = \frac{1}{2}m{v^2} = \frac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2}{\sin ^2}(\omega t) = \frac{1}{4}m{\omega ^2}{A^2}[1 - \cos (2\omega t)]\).

b. Đúng. \({W_t} = \frac{1}{2}m{\omega ^2}{x^2} = \frac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2}{\cos ^2}(\omega t) = \frac{1}{4}m{\omega ^2}{A^2}[1 + \cos (2\omega t)]\).

c. Đúng. Do \(\langle \cos (2\omega t)\rangle = 0 \Rightarrow \langle {W_d}\rangle = \frac{1}{4}m{\omega ^2}{A^2} = \frac{W}{2}\).

d. Sai. Giá trị trung bình của thế năng trong một chu kỳ cũng bằng \(\langle {W_t}\rangle = \frac{W}{2}\).

a. Sai. Cơ năng con lắc lò xo \(W = \frac{1}{2}k{A^2}\), không phụ thuộc trực tiếp vào khối lượng \(m\) (nếu giữ nguyên \(k\) và \(A\)).

b. Đúng. Cơ năng tỉ lệ thuận với độ cứng \(k\).

c. Đúng. Cơ năng \(W \propto {A^2}\).

d. Đúng. Biên độ tăng \(2\) lần \( \Rightarrow A' = 2A \Rightarrow W' = \frac{1}{2}k{(2A)^2} = 4W\).

a. Sai. \(W = \frac{1}{2}m{v_{{{\max }^2}}} \Rightarrow 1 = \frac{1}{2}m \cdot {2^2} \Rightarrow m = 0,5{\rm{ kg}}\) (Lời giải tính đúng \(m = 0,5{\rm{ kg}}\), phát biểu ghi \(0,5{\rm{ kg}}\) là Đúng).

b. Đúng. \({W_t} = W - {W_d} = 1 - 0,75 = 0,25{\rm{ J}}\).

c. Đúng. \({W_d} = \frac{1}{2}m{v^2} = \frac{1}{2} \cdot 0,5 \cdot {1^2} = 0,25{\rm{ J}}\).

d. Đúng. Khi \({W_d} = {W_t} \Rightarrow |v| = \frac{{{v_{\max }}}}{{\sqrt 2 }} = \frac{2}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 {\rm{ m/s}}\).

a. Đúng. Với góc \(\alpha \) nhỏ, \(1 - \cos \alpha \approx \frac{{{\alpha ^2}}}{2} \Rightarrow {W_t} \approx \frac{1}{2}mgl{\alpha ^2}\).

b. Đúng. \(W = \frac{1}{2}mgl\alpha _0^2 \Rightarrow W \propto \alpha _0^2\).

c. Đúng. \({W_t} = \frac{1}{2}mgl{\alpha ^2} = \frac{1}{2}mgl{\left( {\frac{{{\alpha _0}}}{{\sqrt 2 }}} \right)^2} = \frac{1}{2}W \Rightarrow {W_d} = {W_t}\).

d. Sai. Tại VTCB, lực căng dây đạt giá trị cực đại \({T_{\max }} = mg(3 - 2\cos {\alpha _0})\).

Đáp án: 0,5

Cơ năng của con lắc lò xo: \(W = \frac{1}{2}k{A^2} = \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot {(0,1)^2} = 0,5{\rm{ J}}\).

Đáp án: 36

Động năng cực đại bằng cơ năng:

\({W_{d\max }} = W = \frac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2} = \frac{1}{2} \cdot 0,2 \cdot {10^2} \cdot {(0,06)^2} = 0,036{\rm{ J}} = 36{\rm{ mJ}}\).

Đáp án: 6

Khi \({W_d} = 3{W_t} \Rightarrow W = {W_d} + {W_t} = 4{W_t}\).

\( \Rightarrow \frac{1}{2}k{A^2} = 4\left( {\frac{1}{2}k{x^2}} \right) \Rightarrow {x^2} = \frac{{{A^2}}}{4} \Rightarrow |x| = \frac{A}{2} = \frac{{12}}{2} = 6{\rm{ cm}}\).

Đáp án: 40

Khi \({W_t} = 3{W_d} \Rightarrow W = 4{W_d}\).

\( \Rightarrow \frac{1}{2}m{v_{{{\max }^2}}} = 4\left( {\frac{1}{2}m{v^2}} \right) \Rightarrow {v^2} = \frac{{{v_{{{\max }^2}}}}}{4} \Rightarrow |v| = \frac{{{v_{\max }}}}{2} = \frac{{80}}{2} = 40{\rm{ cm/s}}\).

Đáp án: 0,1

Khoảng thời gian ngắn nhất giữa hai lần liên tiếp \({W_d} = {W_t}\) là:

\(\Delta t = \frac{T}{4} = \frac{{0,4}}{4} = 0,1{\rm{ s}}\).

Đáp án: 40

Thế năng tại li độ \(x\):

\({W_t} = \frac{1}{2}k{x^2} = \frac{1}{2}k{\left( {\frac{2}{3}A} \right)^2} = \frac{4}{9}\left( {\frac{1}{2}k{A^2}} \right) = \frac{4}{9}W\).

Thay \(W = 90{\rm{ mJ}} \Rightarrow {W_t} = \frac{4}{9} \cdot 90 = 40{\rm{ mJ}}\).

Đáp án: 1,78

Tỉ số \(\frac{{{W_d}}}{{{W_t}}} = \frac{{W - {W_t}}}{{{W_t}}} = \frac{{\alpha _0^2 - {\alpha ^2}}}{{{\alpha ^2}}} = \frac{{0,{1^2} - 0,{{06}^2}}}{{0,{{06}^2}}} = \frac{{0,01 - 0,0036}}{{0,0036}} = \frac{{0,0064}}{{0,0036}} = \frac{{16}}{9} \approx 1,78\).

Đáp án: 32

Cơ năng của hệ: \(W = {W_d} + {W_t} = 0,09 + 0,07 = 0,16{\rm{ J}}\).

Mặt khác \(W = \frac{1}{2}k{A^2} \Rightarrow 0,16 = \frac{1}{2}k{(0,1)^2} = 0,005k\).

\( \Rightarrow k = \frac{{0,16}}{{0,005}} = 32{\rm{ N/m}}\).

Đáp án: 1,26

Cơ năng của vật: \(W = {W_d} + {W_t} = 0,06 + 0,02 = 0,08{\rm{ J}}\).

Mặt khác \(W = \frac{1}{2}m{v_{{{\max }^2}}} \Rightarrow 0,08 = \frac{1}{2} \cdot 0,1 \cdot {v_{{{\max }^2}}} \Rightarrow {v_{{{\max }^2}}} = 1,6\).

\( \Rightarrow {v_{\max }} = \sqrt {1,6} \approx 1,265{\rm{ m/s}} \approx 1,26{\rm{ m/s}}\).

Đáp án: 4

Chu kỳ biến thiên của thế năng \(T' = \frac{T}{2} \Rightarrow T = 2T' = 2 \cdot 0,25 = 0,5{\rm{ s}}\).

Số dao động toàn phần vật thực hiện trong \(t = 2{\rm{ s}}\) là:

\(N = \frac{t}{T} = \frac{2}{{0,5}} = 4\) dao động.