Bài tập Mệnh đề có đáp án

Sau bài học này chúng có thể phát biểu định lý trên bảng bằng những cách khác như sau:

Tam giác ABC cân là điều kiện đủ để hai góc ở đáy của tam giác ABC bằng nhau.

Tam giác ABC có hai góc ở đáy bằng nhau là điều kiện cần để có tam giác ABC cân.

…

Ta có:

(1) 1 + 1 = 2 là một khẳng định và khẳng định này đúng.

(2) Dân ca Quan họ là di sản văn hóa phi vật thể đại diện cho nhân loại là một khẳng định đúng (ngày 30/9/2009, dân ca quan họ Bắc Ninh chính thức được UNESCO công nhận là Di sản văn hóa phi vật thể đại diện của nhân loại).

(3) Dơi là một loài chim là một khẳng định sai (Dơi không phải là chim vì dơi đẻ con và nuôi con bằng sữa).

(4) Nấm có là một loài thực vật không? Đây là một câu hỏi không phải khẳng định.

(5) Hoa hồng đẹp nhất trong các loài hoa. Đây là một câu khẳng định nhưng không xác định được tính đúng sai vì mỗi loài hoa có một vẻ đẹp riêng và trong mắt mỗi người cảm nhận khác nhau.

(6) Trời ơi, nóng quá! Đây là một câu cảm thán không phải khẳng định.

a) Các câu là khẳng định đúng là: Câu (1) và câu (2).

Các câu là khẳng định sai là: Câu (3).

b) Câu không phải khẳng định là: Câu (4) và câu (6).

c) Câu là khẳng định nhưng không thể xác định được tính đúng sai của nó là: Câu (5).

a) $\sqrt{2}$ là số vô tỉ là một khẳng định có thể xác định được tính đúng sai. Do đó câu này là một mệnh đề.

b) $\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\mathrm{...}+\frac{1}{\sqrt{10}}>2$ là một khẳng định có thể xác định được tính đúng sai. Do đó câu này là một mệnh đề.

c) 100 tỉ là số rất lớn là một khẳng định không thể xác định được tính đúng sai. Do đó câu này không là một mệnh đề.

d) “Trời hôm nay đẹp quá!” là một câu cảm thán không xác định được tính đúng sai. Do đó câu này không là một mệnh đề.

Năm 1994 vùng lõi của vịnh Hạ Long được UNESCO công nhận là Di sản Thiên nhiên Thế giới. Do đó mệnh đề a) là mệnh đề đúng.

Ta có: $\sqrt{{\left(-5\right)}^2}=\left|-5\right|=5$. Do đó mệnh đề b) là mệnh đề sai.

Ta có 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13². Do đó mệnh đề c) là mệnh đề đúng.

a) Câu “n chia hết cho 5” không thể khẳng định được tính đúng sai.

b) Với n = 125 ta được câu “125 chia hết cho 5” là một khẳng định đúng.

Với n = 10 ta được câu “10 chia hết cho 5” là một khẳng định đúng.

Với n = 49 ta được câu “49 chia hết cho 5” là một khẳng định sai.

Với n = 81 ta được câu “81 chia hết cho 5” là một khẳng định sai.

a) Ta có:

Với x = 2 ta được P(2): “2² = 2” là một mệnh đề sai.

Với $x=\sqrt{2}$ ta được $P\left(\sqrt{2}\right):"{\left(\sqrt{2}\right)}^2=2"$ là một mệnh đề đúng.

b) Ta có:

Với x = 1 ta được: Q(1): “1² + 1 > 0” là một mệnh đề đúng.

Vì x² ≥ 0. $\forall x$ nên x² + 1 > 0 với mọi x. Do đó không tồn tại giá trị của x để mệnh đề Q(x) là một mệnh đề sai.

c) Ta có:

Với n = 1 ta được R(1): “1 + 2 chia hết cho 3” là một mệnh đề đúng.

Với n = 2 ta được R(2): “2 + 2 chia hết cho 3” là một mệnh đề sai.

+) Dơi là thú chứ không phải là chim vì dơi đẻ con và nuôi con bằng sữa. Do đó P là mệnh đề sai còn $\overline{P}$ là mệnh đề đúng.

+) Ta có: π ≈ 3,141592654…

Suy ra π là một số vô tỉ. Do đó P là mệnh đề đúng còn $\overline{P}$ là mệnh đề sai.

+) Ta có: ${\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}^2=5+2\sqrt{6}$ và 5² = 25 = 5 + 2.10

Vì $5+2.10>5+2\sqrt{6}$nên ${\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}^2>5^2$

Mà $\sqrt{2}+\sqrt{3};5>0$ suy ra $\sqrt{2}+\sqrt{3}>5$.

Do đó P là mệnh đề đúng còn $\overline{P}$ là mệnh đề sai.

+) Ta có: $\sqrt{2}.\sqrt{18}=\sqrt{2.18}=\sqrt{36}=6$.

Do đó P là mệnh đề đúng còn $\overline{P}$ là mệnh đề sai.

+) Gọi A: “Paris là thủ đô của nước Anh”

Mệnh đề phủ định của mệnh đề A là $\overline{A}$: “Paris không là thủ đô của nước Anh”.

Thủ đô của Anh là Luân Đôn. Do đó mệnh đề A là mệnh đề sai và $\overline{A}$ là mệnh đề đúng.

+) Gọi B: “23 là số nguyên tố”

Mệnh đề phủ định của mệnh đề b) là “23 không là số nguyên tố”.

Ta có 23 chỉ có ước là 1 và chính nó nên 23 là số nguyên tố.

Do đó mệnh đề B là mệnh đề đúng và $\overline{B}$ là mệnh đề sai.

c) Gọi C: “2 021 chia hết cho 3”

Mệnh đề phủ định của C là $\overline{C}$: “2 021 không chia hết cho 3”.

Ta có 2 + 0 + 2 + 1 = 5 không chia hết cho 3 nên 2 021 không chia hết cho 3.

Do đó C là mệnh đề sai và $\overline{C}$ là mệnh đề đúng.

d) Gọi D: “Phương trình x² – 3x + 4 = 0 vô nghiệm”.

Mệnh đề phủ định của D là $\overline{D}$: “Phương trình x² – 3x + 4 = 0 có nghiệm”.

Xét phương trình x² – 3x + 4 = 0 có ∆ = (-3)² – 4.4 = 9 – 16 = -7 < 0.

Suy ra phương trình đã cho vô nghiệm.

Do đó D là mệnh đề đúng và $\overline{D}$ là mệnh đề sai.

a) Xét mệnh đề (1):

Tam giác ABC đều

⇒ AB = BC = AC và $\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}$

⇒ AB = AC

Suy ra tam giác ABC cân tại A.

Do đó mệnh đề (1) là mệnh đề đúng.

Xét mệnh đề (2):

Ta có 2a – 4 > 0 ⇔ 2a > 4 ⇔ a > 2.

Do đó mệnh đề (2) đúng.

Vậy mệnh đề (1) và mệnh đề (2) là các mệnh đề đúng.

b) Đối với mệnh đề (1), ta có:

P: “ABC là tam giác đều”

Q: “nó là tam giác cân”.

Đối với mệnh đề (2), ta có:

P: “2a – 4 > 0”

Q: “a > 2”.

a) Mệnh đề P ⇒ Q được phát biểu như sau:

P ⇒ Q: “Nếu hai tam giác ABC và A’B’C’ bằng nhau thì hai tam giác ABC và A’B’C’ có diện tích bằng nhau”.

b) Mệnh đề P ⇒ Q là mệnh đề đúng. Do đó mệnh đề P ⇒ Q là một định lí.

Hai tam giác ABC và A’B’C’ bằng nhau là điều kiện đủ để có hai tam giác ABC và A’B’C’ có diện tích bằng nhau.

Hai tam giác ABC và A’B’C’ có diện tích bằng nhau là điều kiện cần để có hai tam giác ABC và A’B’C’ bằng nhau.

a) +) Xét mệnh đề “Nếu ABC là tam giác đều thì nó có hai góc bằng 60⁰”

Khi đó: P: “ABC là tam giác đều” và Q: “ABC có hai góc bằng 60⁰”.

Ta có tam giác ABC đều

⇒ $\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}={60}^0$ 

Suy ra tam giác ABC có hai góc bằng 60⁰.

Do đó mệnh đề “Nếu ABC là tam giác đều thì nó có hai góc bằng 60⁰” là một mệnh đề đúng.

+) Xét mệnh đề “Nếu a = 2 thì a² – 4 = 0”.

Khi đó: P: “a = 2” và Q: “a² – 4 = 0”.

Ta có: a = 2 thì a² – 4 = 2² – 4 = 0.

Do đó mệnh đề “Nếu a = 2 thì a² – 4 = 0” là mệnh đề đúng.

b) +) Xét mệnh đề “Nếu ABC là tam giác đều thì nó có hai góc bằng 60⁰”

Khi đó Q ⇒ P: “Nếu ABC có hai góc bằng 60⁰ thì nó là tam giác đều”.

Xét tam giác ABC:

Giả sử có: $\widehat{A}=\widehat{B}={60}^0$

⇒ ∆ABC cân tại C

Mà tam giác ABC cân có một góc bằng 60⁰nên ABC là tam giác đều.

Do đó mệnh đề Q ⇒ P là mệnh đề đúng.

+) Xét mệnh đề “Nếu a = 2 thì a² – 4 = 0”.

Khi đó Q ⇒ P: “Nếu a² – 4 = 0 thì a = 2”.

Ta có: a² – 4 = 0 ⇔ a² = 4 $\iff \left[\begin{array}{l}a=2\\ a=-2\end{array}\right.$

Do đó Q ⇒ P là mệnh đề sai.

a) Mệnh đề P ⇒ Q được phát biểu như sau:

P ⇒ Q: “Nếu tứ giác ABCD là hình vuông thì tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau”.

Mệnh đề đảo Q ⇒ P được phát biểu như sau:

Q ⇒ P: “Nếu tứ giác ABCD hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau thì tứ giác ABCD là là hình vuông”.

b) +) Tứ giác ABCD là hình vuông thì $\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=\widehat{D}={90}^0$

⇒ ABCD là hình chữ nhật

Hơn nữa do ABCD là hình vuông nên hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau.

Do đó ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau.

Vì vậy mệnh đề P ⇒ Q đúng. (1)

+) Tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau thì tứ giác ABCD là hình vuông (theo dấu hiệu nhận biết).

Do đó mệnh đề Q ⇒ P đúng. (2)

Từ (1) và (2) suy ra P ⇔ Q và được phát biểu như sau:

“Tứ giác ABCD là hình vuông là điểu kiện cần và đủ để tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau”.

“Nếu tứ giác ABCD là hình vuông khi và chỉ khi tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau”.

(1) Đây là mệnh đề sai, vì:

Chọn x = 9 thì $\sqrt{x}=\sqrt{9}=3$ là một số hữu tỉ.

(2) Đây là mệnh đề đúng, vì:

Với mọi x $\in ℝ$ ta có x² ≥ 0 .

(3) 0 là số nguyên và 0 + 0 = 0. Do đó mệnh đề này là đúng.

(4) Xét 2n – 1 = 0 $\iff n=\frac{1}{2}$ là một số hữu tỉ không phải là số tự nhiên. Do đó không tồn tại số tự nhiên n nào thỏa mãn 2n – 1 = 0. Vì vậy mệnh đề này sai.

Bằng cách sử dụng kí hiệu các mệnh đề được viết:

a) $"\forall x\in ℝ,x+\left(-x\right)=0"$;

b) $"\forall x\in ℝ,x+\left(-x\right)=0"$.

a) Gọi: P: “$\forall x\in ℝ,x^2>0$”.

Chọn x = 0 ∈$ℝ$, ta thấy x² = 0² = 0 > 0 (vô lí). Do đó mệnh đề P sai.

Mệnh đề phủ định của mệnh đề P là: $\overline{P}:"\exists x\in ℝ,x^2\le 0"$.

b) Gọi Q: “$\exists x\in ℝ,x^2=5x-4$”.

Xét phương trình: x² = 5x – 4

⇔ x² – 5x + 4 = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=4\end{array}\right.$

Ta thấy hai nghiệm 1 và 4 đều là các số thực.

Do đó mệnh đề Q đúng.

Mệnh đề phủ định của mệnh đề Q là: $\overline{Q}:"\forall x\in ℝ,x^2\ne 5x-4"$.

c) Gọi H: “$\exists x\in \mathbb{Z},2x+1=0$”.

Xét 2x + 1 = 0 $\iff x=-\frac{1}{2}\notin \mathbb{Z}$

Do đó không tồn tại giá trị nguyên nào của x để 2x + 1 = 0.

Vì vậy mệnh đề H là mệnh đề sai.

Mệnh đề phủ định của mệnh đề H là: $\overline{H}:"\forall x\in \mathbb{Z},2x+1\ne 0"$.

+) 3 + 2 > 5 là một khẳng định có thể xác định được tính đúng sai. Do đó a) là mệnh đề.

+) 1 – 2x = 0 không xác định được tính đúng sai mà phụ thuộc vào giá trị của biến x. Do đó b) là mệnh đề chứa biến.

+) x – y = 2 không xác định được tính đúng sai mà phụ thuộc vào giá trị của biến x và y. Do đó c) là mệnh đề chứa biến.

+) 1 – $\sqrt{2}$ < 0 là một khẳng định có thể xác định được tính đúng sai. Do đó d) là mệnh đề.

Vậy các mệnh đề là a), d) và các mệnh đề chứa biến là b), c).

a) Gọi P: “2 020 chia hết cho 3”

Ta có: 2 + 0 + 2 + 0 = 4 không chia hết cho 3 nên 2 020 không chia hết cho 3. Do đó mệnh đề P sai.

Mệnh đề phủ định của mệnh đề P là $\overline{P}$: “2 020 không chia hết cho 3”.

b) Gọi Q: “π < 3,15”

Ta có: π ≈ 3,14 < 3,15. Do đó mệnh đề Q là mệnh đề đúng.

Mệnh đề phủ định của mệnh đề Q là $\overline{Q}$: “π ≥ 3,15”.

c) Gọi H: “Nước ta hiện nay có 5 thành phố trực thuộc Trung ương”

Nước hiện có 85 thành phố, gồm 5 thành phố trực thuộc Trung ương là Hà Nội, Hải Phòng, Đà Nẵng, TP Hồ Chí Minh và Cần Thơ.

Do đó H là mệnh đề đúng.

Mệnh đề phủ định của mệnh đề H là $\overline{H}$: “Nước ta hiện nay không phải có 5 thành phố trực thuộc Trung ương”.

d) Gọi K: “Tam giác có hai góc bằng 45⁰ là tam giác vuông cân”.

Xét tam giác ABC có $\widehat{A}=\widehat{B}={45}^0$ 

Ta lại có: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={180}^0$ (định lý Py – ta – go)

$\Rightarrow \widehat{C}={180}^0-\left(\widehat{A}+\widehat{B}\right)={180}^0-\left({45}^0+{45}^0\right)={180}^0-{90}^0={90}^0$

Suy ra tam giác ABC vuông tại C

Mà $\widehat{A}=\widehat{B}={45}^0$ nên tam giác ABC vuông cân tại C.

Do đó mệnh đề K đúng.

Mệnh đề phủ định của mệnh đề K là $\overline{K}$: “Tam giác có hai góc bằng 45⁰ không là tam giác vuông cân”.

a) Mệnh đề P ⇒ Q được phát biểu như sau:

P ⇒ Q: “Nếu tứ giác ABCD là hình hành thì tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường”.

Xét hình bình hành ABCD:

Theo tính chất của hình bình hành ta có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Do đó mệnh đề P ⇒ Q là mệnh đề đúng.

b) Mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q được phát biểu là:

Q ⇒ P: “Nếu tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình hành thì tứ giác ABCD là hình bình hành”.

a) Chỉ ra giả thiết và kết luận của mỗi định lí;

Xét định lý P: “Nếu hai tam giác bằng nhau thì diện tích của chúng bằng nhau” có:

Giả thiết: Nếu hai tam giác bằng nhau.

Kết luận: Diện tích của chúng bằng nhau.

Xét định lý Q: “Nếu a < b thì a + c < b + c” (a, b, c $\in ℝ$), có:

Giả thiết: a < b

Kết luận: a + c < b + c

b) Phát biểu lại mỗi định lí đã cho, sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần” hoặc “điều kiện đủ”:

Bằng thuật ngữ “điều kiện cần” hoặc “điều kiện đủ”, các định lý đã cho được phát biểu như sau:

Định lý P:

Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để diện tích của chúng bằng nhau.

Hai tam giác có diện tích bằng nhau là điều kiện cần để hai tam giác bằng nhau.

Định lý Q:

a < b là điều kiện đủ để có a + c < b + c.

a + c < b + c là điều kiện cần để có a < b.

c) +) Mệnh đề đảo của định lí P là: “Nếu hai tam giác có diện tích bằng nhau thì hai tam giác đó bằng nhau”.

Mệnh đề này là mệnh đề sai, chẳng hạn hai tam giác sau ABC và MNP có cùng diện tích là 7,5 (đvdt) nhưng hai tam giác này không bằng nhau.

Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần và đủ”, các định lí được phát biểu như sau:

a) Một phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt là điều kiện cần và đủ để biệt thức của nó dương.

b) Một hình bình hành là hinh thoi là điều kiện cần và đủ để hai đường chéo vuông góc với nhau.

a) Xét x + 3 = 0

⇔ x = -3

Nhưng – 3 không là số tự nhiên.

Do đó không tồn tại số tự nhiên x thỏa mãn x + 3 = 0.

Vậy mệnh đề a) sai.

b) Xét bất phương trình: x² + 1 ≥ 2x

⇔ x² – 2x + 1 ≥ 0

⇔ (x – 1)² ≥ 0 (luôn đúng với mọi x)

Do đó với mọi số thực x đề thỏa mãn x² + 1 ≥ 2x.

Vậy mệnh đề b) đúng.

c) $\forall a\in ℝ,\sqrt{a^2}=a.$

Ta có hằng đẳng thức: $\sqrt{a^2}=\left|a\right|$.

Nếu a ≥ 0 thì $\sqrt{a^2}=\left|a\right|=a$

Nếu a < 0 thì $\sqrt{a^2}=\left|a\right|=-a$

Do đó với a ≥ 0 thì $\sqrt{a^2}=a$.

Vậy mệnh đề c) sai.