Bài tập Lập phương trình bậc hai khi biết các nghiệm của nó và tìm hai số khi biết tổng, tích của hai số đó lớp 9 (có lời giải)

Đáp án đúng là: D

Điều kiện tồn tại hai số thực có tổng là S, tích bằng P là S² – 4P ≥ 0.

Đáp án đúng là: C

Nếu hai số x₁, x₂ có tổng là S và tích là P (với S² – 4P ≥ 0) thì x₁, x₂ là các nghiệm của phương trình x² – Sx + P = 0.

Đáp án đúng là: A

Với \(u = 2 + \sqrt 3 \) và \(v = 2 - \sqrt 3 \) thì

\(u + v = \left( {2 + \sqrt 3 } \right) + \left( {2 - \sqrt 3 } \right) = 4\) và \(uv = \left( {2 + \sqrt 3 } \right)\left( {2 - \sqrt 3 } \right) = 4 - 3 = 1.\)

Ta có: (u + v)² – 4.uv = 4² – 4.1 = 12 > 0 nên u và v là hai nghiệm của phương trình:

x² – 4x + 1 = 0.

Đáp án đúng là: C

Ta có: (u + v)² – 4.uv = 7² – 4.12 = 1 > 0 nên u và v là hai nghiệm của phương trình:

x² – 7x + 12 = 0.

Phương trình trên có ∆ = (–7)² – 4.1.12 = 1 > 0 và \(\sqrt \Delta = \sqrt 1 = 1.\)

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là: \({x_1} = \frac{{7 - 1}}{{2 \cdot 1}} = 3;\,\,{x_2} = \frac{{7 + 1}}{{2 \cdot 1}} = 4.\)

Như vậy hai số cần tìm trong trường hợp này là u = 3; v = 4 hoặc u = 4; v = 3.

Vậy có 2 cặp số (u; v) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Đáp án đúng là: A

Ta có: (u + v)² – 4.uv = 3² – 4.5 = –11 < 0 nên không tồn tại hai số u và v thỏa mãn u + v = 3 và uv = 5.

Vậy không có cặp số (u; v) nào thỏa mãn yêu cầu đề bài.

>

Đáp án đúng là: B

Ta có: (x + y)² – 4.xy = (–5)² – 4.6 = 1 > 0 nên x và y là hai nghiệm của phương trình:

X² + 5X + 6 = 0.

Phương trình trên có ∆ = 5² – 4.1.6 = 1 > 0 và \(\sqrt \Delta = \sqrt 1 = 1.\)

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là: \({x_1} = \frac{{ - 5 - 1}}{{2 \cdot 1}} = - 3;\,\,{x_2} = \frac{{ - 5 + 1}}{{2 \cdot 1}} = - 2.\)

Như vậy hai số cần tìm trong trường hợp này là x = –3; y = –2 hoặc x = –2; y = –3.

Mà x < y nên ta chọn x = –3; y = –2.

Khi đó, A = x² – 2y + y² = (–3)² – 2.(–2) + (–2)² = 17.

>

Đáp án đúng là: A

Ta có: (u + v)² = u² + 2uv + v².

Suy ra 9² = 41 + 2uv

Do đó 2uv = 40 nên uv = 20.

Ta có: (u + v)² – 4.uv = 9² – 4.20 = 1 > 0 nên u và v là hai nghiệm của phương trình:

x² – 9x + 20 = 0.

Phương trình trên có ∆ = (–9)² – 4.1.20 = 1 > 0 và \(\sqrt \Delta = \sqrt 1 = 1.\)

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là: \({x_1} = \frac{{9 - 1}}{{2 \cdot 1}} = 4;\,\,{x_2} = \frac{{9 + 1}}{{2 \cdot 1}} = 5.\)

Như vậy hai số cần tìm trong trường hợp này là u = 4; v = 5 hoặc u = 5; v = 4.

Mà u < v nên u = 4 và v = 5.

Khi đó, u² – v² = 4² – 5² = –9.

>

Đáp án đúng là: C

Phương trình x² + mx – 2 = 0 có ∆ = m² – 4.1.(–2) = m² + 8 > 0 với mọi m.

Do đó, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ với mọi m.

Theo định lí Viète, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - m\\{x_1}{x_2} = - 2\end{array} \right..\)

Ta có: \(S = \frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{{ - m}}{{ - 2}} = \frac{m}{2}.\)

Và \(P = \frac{1}{{{x_1}}} \cdot \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{1}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{1}{{ - 2}} = \frac{{ - 1}}{2}.\)

Khi đó, \[{S^2} - 4P = {\left( {\frac{m}{2}} \right)^2} - 4 \cdot \frac{{ - 1}}{2} = \frac{{{m^2}}}{4} + 2 > 0\] với mọi m.

Do đó, với mọi m thì ta có \(\frac{1}{{{x_1}}}\) và \(\frac{1}{{{x_2}}}\) là hai nghiệm của phương trình bậc hai \[{X^2} - \frac{m}{2}X + \frac{{ - 1}}{2} = 0\] hay 2X² – mX – 1 = 0.

Đáp án đúng là: B

Phương trình x² + 5x – 3m = 0 có ∆ = 5² – 4.1.(–3m) = 25 + 12m.

Để phương trình đã cho có nghiệm thì ∆ ≥ 0, tức là 25 + 12m ≥ 0 hay \(m \ge - \frac{{25}}{{12}}.\)

Khi đó, phương trình đã cho có hai nghiệm x₁, x₂, theo định lí Viète, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 5\\{x_1}{x_2} = - 3m\end{array} \right..\)

Ta có: \(S = \frac{2}{{x_1^2}} + \frac{2}{{x_2^2}} = \frac{{2\left( {x_1^2 + x_2^2} \right)}}{{x_1^2 \cdot x_2^2}} = \frac{{2\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right]}}{{{{\left( {{x_1}{x_2}} \right)}^2}}}\)

\( = \frac{{2 \cdot \left[ {{{\left( { - 5} \right)}^2} - 2 \cdot \left( { - 3m} \right)} \right]}}{{{{\left( { - 3m} \right)}^2}}} = \frac{{50 + 12m}}{{9{m^2}}}\) (với m ≠ 0).

Và \(P = \frac{2}{{x_1^2}} \cdot \frac{2}{{x_2^2}} = \frac{4}{{{{\left( {{x_1}{x_2}} \right)}^2}}} = \frac{4}{{{{\left( { - 3m} \right)}^2}}} = \frac{4}{{9{m^2}}}\) (với m ≠ 0).

Khi đó, \[{S^2} - 4P = {\left( {\frac{{50 + 12m}}{{9{m^2}}}} \right)^2} - 4 \cdot \frac{4}{{9{m^2}}}\]

\[ = \frac{{{{\left( {50 + 12m} \right)}^2} - 144{m^2}}}{{81{m^2}}}\]

\[ = \frac{{{{\left( {12m + 44} \right)}^2} + 564}}{{81{m^2}}} > 0\] với mọi m ≠ 0 và \(m \ge - \frac{{25}}{{12}}.\)

Do đó, với điều kiện m ≠ 0 và \(m \ge - \frac{{25}}{{12}}\) thì ta có \(\frac{2}{{x_1^2}}\) và \(\frac{2}{{x_2^2}}\) là hai nghiệm của phương trình bậc hai \[{X^2} - \frac{{50 + 12m}}{{9{m^2}}}X + \frac{4}{{9{m^2}}} = 0\] hay 9m²X² – 2(6m + 25)X + 4 = 0.

Đáp án đúng là: A

Phương trình 3x² + 5x – m = 0 có ∆ = 5² – 4.3.(–m) = 25 + 12m.

Để phương trình đã cho có nghiệm thì ∆ ≥ 0, tức là 25 + 12m ≥ 0 hay \(m \ge - \frac{{25}}{{12}}.\)

Khi đó, phương trình đã cho có hai nghiệm x₁, x₂, theo định lí Viète, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{ - 5}}{3}\\{x_1}{x_2} = \frac{{ - m}}{3}\end{array} \right..\)

Ta có: \(S = \frac{{{x_1}}}{{{x_2} + 1}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1} + 1}} = \frac{{{x_1}\left( {{x_1} + 1} \right) + {x_2}\left( {{x_2} + 1} \right)}}{{\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{x_1^2 + x_2^2 + {x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2} + {x_1} + {x_2} + 1}}\)\( = \frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2} + {x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2} + {x_1} + {x_2} + 1}}\)

\( = \frac{{{{\left( {\frac{{ - 5}}{3}} \right)}^2} - 2 \cdot \frac{{ - m}}{3} + \frac{{ - 5}}{3}}}{{\frac{{ - m}}{3} + \frac{{ - 5}}{3} + 1}} = \frac{{\frac{{2m}}{3} + \frac{{10}}{9}}}{{\frac{{ - m}}{3} - \frac{2}{3}}} = - \frac{{6m + 10}}{{3m + 6}}\) (với m ≠ –2).

Và \(P = \frac{{{x_1}}}{{{x_2} + 1}} \cdot \frac{{{x_2}}}{{{x_1} + 1}} = \frac{{{x_1}{x_2}}}{{\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{{x_1}{x_2}}}{{{x_1}{x_2} + {x_1} + {x_2} + 1}}\)

\( = \frac{{\frac{{ - m}}{3}}}{{\frac{{ - m}}{3} + \frac{{ - 5}}{3} + 1}} = \frac{{\frac{{ - m}}{3}}}{{\frac{{ - m}}{3} - \frac{2}{3}}} = \frac{m}{{m + 2}}\) (với m ≠ –2).

Khi đó, \[{S^2} - 4P = {\left( { - \frac{{6m + 10}}{{3m + 6}}} \right)^2} - 4 \cdot \frac{m}{{m + 2}}\]

\[ = \frac{{{{\left( {6m + 10} \right)}^2} - 4m \cdot 9\left( {m + 2} \right)}}{{9{{\left( {m + 2} \right)}^2}}}\]

\[ = \frac{{48m + 100}}{{9{{\left( {m + 2} \right)}^2}}} \ge 0\] với mọi m ≠ –2 và \(m \ge - \frac{{25}}{{12}}.\)

Do đó, với điều kiện m ≠ –2 và \(m \ge - \frac{{25}}{{12}}\) thì ta có \(\frac{{{x_1}}}{{{x_2} + 1}}\) và \(\frac{{{x_2}}}{{{x_1} + 1}}\) là hai nghiệm của phương trình bậc hai \[{X^2} - \left( { - \frac{{6m + 10}}{{3m + 6}}} \right)X + \frac{m}{{m + 2}} = 0\] hay (3m + 6)X² + (6m + 10)X + 3m = 0.

Đáp án đúng là: A

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là nghiệm của phương trình x² – Sx + P = 0.

Đáp án đúng là: B

Vì hai số có tổng bằng 8 và tích bằng 5 nên hai số đó là nghiệm của phương trình

x² – 8x + 5 = 0.

Đáp án đúng là: A

Điều kiện để có hai số có tổng bằng S và tích bằng P là S² – 4P ≥ 0.

Đáp án đúng là: D

Điều kiện để có hai số u và v là 6² – 4P ≥ 0, suy ra P ≤ 9.

Đáp án đúng là: A

Ta có: 5² – 4.9 = 25 – 36 = –11 < 0.

Vậy không có cặp số (u; v) nào thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng.

Vì hai số cần tìm có tổng bằng 10 và tích bằng 21 nên hai số đó là nghiệm của phương trình x² – 10x + 21 = 0.

b) Đúng.

Phương trình x² – 10x + 21 = 0 có \(\Delta\) = (–10)² – 4.1.21 = 16 > 0 nên phương trình đó có hai nghiệm phân biệt \({{\rm{x}}_1} = \frac{{ - \left( { - 10} \right) + \sqrt {16} }}{2} = 7;\;\,{{\rm{x}}_2} = \frac{{ - \left( { - 10} \right) - \sqrt {16} }}{2} = 3\).

Vậy số lớn hơn trong 2 số bằng 7.

c) Sai.

Theo b) ta có hai số cần tìm là 7 và 3.

Vậy số lớn lớn hơn số bé 4 đơn vị.

d) Đúng.

Ta có: 2.7 + 3.3 = 23 > 20.

Vậy lần số lớn cộng với 3 lần số nhỏ lớn hơn 20.

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Sai.

Điều kiện để có hai số u và v là 8² – 4P ≥ 0, suy ra 16 – P ≥ 0.

Vậy điều kiện để có hai số u và v là 16 – P ≥ 0.

b) Đúng.

Theo a) ta có: 16 – P ≥ 0 nên P ≤ 16.

Mà P là số lẻ lớn nhất nên P = 15.

c) Đúng.

Ta có: Hai số u và v có tổng bằng 8 và tích bằng 15.

Vậy hai số u và v là nghiệm của phương trình x² – 8x + 15 = 0.

d) Sai.

Phương trình x² – 8x + 15 = 0 có \(\Delta\)’ = (–4)² – 1.15 = 1 > 0 nên phương trình đó có hai nghiệm phân biệt \({{\rm{x}}_1} = \frac{{ - \left( { - 4} \right) + \sqrt 1 }}{1} = 5;\;\,{{\rm{x}}_2} = \frac{{ - \left( { - 4} \right) - \sqrt 1 }}{2} = 3\).

Do đó, u = 5; v = 3 (vì u > v), suy ra 2u + 5v = 2.10 + 5.3 = 35.

Vậy 2u + 5v = 35.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng.

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta có: 2u = 34 nên u = 17. Vậy u > 16.

b) Sai.

Thay u = 17 vào (1) ta có: 17 + v = 20 nên v = 3. Vậy v < 4.

c) Đúng.

Theo a) và b) ta có: u = 17, v = 3 nên uv = 17.3 = 51. Vậy uv = 51.

d) Sai.

Ta có: Hai số u và v có tổng bằng 20 và tích bằng 51.

Vậy hai số u và v là nghiệm của phương trình x² – 20x + 51 = 0.

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai.

Thay u = 3v vào u – v = 2 ta có 3v – v = 2, suy ra v = 1. Vậy v < 3.

b) Đúng.

Với v = 1 thì u = 3.1 = 3. Vậy u > 2.

c) Đúng.

Theo a) và b) ta có: u = 3; v = 1 nên u + v = 4. Vậy u + v = 4.

d) Đúng.

Ta có: Hai số u và v có tổng bằng 4, tích bằng 3.

Vậy hai số u và v là nghiệm của phương trình x² – 4x + 3 = 0.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng.

Nửa chu vi hình chữ nhật là: 200 : 2 = 100 (cm).

Vậy nửa chu vi hình chữ nhật đã cho bằng 100 cm.

b) Sai.

Vì hình chữ nhật có nửa chu vi bằng 100 cm và diện tích bằng 2 100 cm² nên chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đó là nghiệm của phương trình x² – 100x + 2 100 = 0.

c) Đúng.

Phương trình x² – 100x + 2 100 = 0 có \(\Delta\)’ = (–50)² – 1.2 100 = 400 > 0 nên phương trình đó có hai nghiệm phân biệt \({{\rm{x}}_1} = \frac{{ - \left( { - 50} \right) + \sqrt {400} }}{1} = 70;\;\,{{\rm{x}}_2} = \frac{{ - \left( { - 50} \right) - \sqrt {400} }}{1} = 30\).

Vậy chiều dài của hình chữ nhật bằng 70 cm.

d) Sai.

Theo c) ta có: Hình chữ nhật đã cho có chiều dài bằng 70 cm và chiều rộng bằng 30 cm.

Vậy chiều dài hơn chiều rộng 40 cm.

Đáp án: 452

Vì hai số có tổng bằng 30 và tích bằng 224 nên hai số đó là nghiệm của phương trình

x² – 30x + 224 = 0.

Do đó, a = –30; b = 224. Vậy a² – 2b = 452.

Đáp án: 7

Để tồn tại 2 số u và v thì 5² – 4P ≥ 0 nên P ≤ 6,25.

Mà P là số tự nhiên nên P {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}.

Vậy có tất cả 7 số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án: 4

Để tồn tại 2 số u và v thì S² – 4.10 ≥ 0 nên S² ≥ 40.

Kết hợp S² < 80 ta có: 40 ≤ S² < 80.

Mà S là số nguyên nên S {7; 8; –7; –8}.

Vậy có tất cả 4 số nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án: 13

Vì x² – 2x = 0 nên x(x – 2) = 0, suy ra x = 0 hoặc x = 2. Do đó, u = 2.

Vì phương trình x² + 4x – 5 = 0 có 1 + 4 + (–5) = 0 nên phương trình đó có hai nghiệm là x₁ = 1 và x₂ = –5. Do đó v = –5.

Hai số u = 2 và v = –5 có tổng bằng –3 và tích bằng –10 nên hai số đó là nghiệm của phương trình x² – (–3)x – 10 = 0 hay x² + 3x – 10 = 0.

Suy ra b = 3; c = –10, do đó N = 3 – (–10) = 13. Vậy N = 13.

Đáp án: 1021

Gọi hai số tự nhiên cần tìm là u và v (điều kiện: 0 ≤ u < v < 30).

Vì u và v là hai số tự nhiên liên tiếp và u < v nên v = u + 1.

Vì tích của hai số bằng 30 nên uv = 30.

Thay v = u + 1 vào uv = 30 nên ta có:

u(u + 1) = 30

u² + u – 30 = 0

u² + 6u – 5u – 30 = 0

u(u + 6) – 5(u + 6) = 0

(u + 6)(u – 5) = 0

u – 5 = 0 (do u ≥ 0)

u = 5.

Với u = 5 thì v = 5 + 1 = 6.

Hai số u và v có tổng bằng 11 và tích bằng 30 nên hai số đó là nghiệm của phương trình

x² – 11x + 30 = 0.

Do đó, a = –11; b = 30.

Suy ra: M = a² + b² = (–11)² + 30² = 1 021.

Vậy M = 1 021.