Bài tập: Đa giác - đa giác đều

Có 2 tam giác: ABC, ACD, ADE

Có 2 tứ giác: ABCD, ACDE

Có 1 ngũ giác: ABDE

Có 4 tam giác: ABC, ACD,ADE,AEF

Có 3 tứ giác:ABCD, ACDE,ADEF

Có 2 ngũ giác: ABCDE,ACDEF

Có 1 lục giác: ABCDEF.

a)Vẽ các đường chéo xuất phát từ một đỉnh của n - giác, ta được (n - 2) tam giác.

Tổng các góc của hình n - giác bằng tổng các góc của (n - 2) tam giác, tức là có số đo bằng (n - 2).180⁰.

b) ta có: (n - 2).180⁰ = (12 - 2 ).180⁰ = 1800⁰

Ta có: (n - 2).180⁰ = 1080⁰. Từ đó ta tìm được n = 8

- Từ mỗi đỉnh của ngũ giác vẽ được 2 đường chéo. Khi đó, vẽ được tất cả 2.5 = 10 đường chéo.

Vì mỗi đường chéo được tính hai lần nên ngũ giác có tất cả 5 đường chéo.

- Tương tự: lục giác từ 6 đỉnh vẽ được 3.6 = 18 đường chéo. Vì mỗi đường chéo được tính 2 lần nên lục giác có tất car9 đường chéo.

- Từ mỗi đỉnh của hình n - giác (lồi) vẽ được (n - 1) đoạn thẳng nối đỉnh đó với (n - 1) đỉnh còn lại của đa giác, trong đó hai đoạn thẳng trùng với hai cạnh của đa giác sẽ không tính vào số đường chéo.

Þ Qua mỗi đỉnh của hình n - giác vẽ được n - 1 - 2 = n - 3 đường chéo.

Þ Hình n - giác vẽ được n (n - 3) đường chéo

Vì mỗi đường chéo được tính 2 lần nên hình n - giác có tất cả $\frac{n(n-3)}{2}$ đường chéo.

Ta có: $\frac{n(n-3)}{2}=20$. Từ đó tìm được n = 8

Chứng minh được $MQ=NP\left(=\frac{1}{2}BD\right)$ 

Chứng minh tam giác ABD đều, suy ra được MN = BN = NP  PD = DQ = QM

Chứng minh các góc của đa giác MBNPDQ bằng nhau và cùng bằng 120⁰.

Từ đó quy ra đa giác MBNPDQ là lục giác đều (ĐPCM).

Chứng minh: Các tam giác DDAE, DDBC, DCED, DCAB, DBEA bằng nhau rồi dựa vào tính chất đường trung bình suy ra các cạnh của ngũ giác MNPQR bằng nhau.

Chứng minh DDPN, DCNM, DBMR, DAQR, DQQP bằng nhau và dựa vào góc $\widehat{PDN}$ = 108⁰, từ đó suy ra các góc ngũ giác MNPQR bằng nhau và cùng bằng 108⁰.

Ta có: $\frac{(n-2){.180}^0}{n}={156}^0$. Từ đó, tìm được n = 15

Ta có: $\frac{(n-2){.180}^0}{n}={120}^0$. Tìm được n = 6 Þ số đường chéo là 9 đường chéo

a) Tổng số đo của góc trong và góc ngoài ở mỗi đỉnh của tứ giác (lồi) là 180⁰ Þ Tổng số đo các góc trong và các góc ngoài của tứ giacs là 4.180⁰ = 720⁰.

Mặt khác, tổng số đo các góc trong của tứ giác là: (4-2).180⁰ = 360⁰.

Þ Tổng số đo các góc ngoài của tứ giác là: 720⁰ - 360⁰ = 360⁰

Tương tự, ta cũng tính được tổng số đo các góc ngoài của ngũ giác và thập giác là 360⁰.

b) Tổng số đo của góc trong và góc ngoài ở mỗi đỉnh của hình n - giác (lồi) là 180⁰ Þ Tổng số đo các góc trong và các góc ngoài của đa giác là n.180⁰.

Mặt khác, tổng số đo các góc trong của đa giác là (n - 2).180⁰.

Þ Tổng số đo các góc ngoài của đa giác là:

n.180⁰ - (n - 2).180⁰ = 360⁰.

Ta có: (n - 2).180⁰ = 360⁰. Tìm được n = 4

Vậy đa giác cần tìm là tứ giác lồi

Gọi số cạnh là n (n ÎN, n ≥3).

a) Ta có: $\frac{n(n-3)}{2}=n$. Tìm được n = 5 (TMĐK)

b) Tìm được n = 4

c) Tìm được n = 7

d) Tìm được n Î Æ

Số đo mỗi góc của ngũ giác đều là 108⁰.

Ta có tam giác ABC cân tại B

$$\begin{gathered} \Rightarrow \widehat{A_1}=\widehat{C_1}=({180}^0-{108}^0):2={36}^0 \\ \Rightarrow \widehat{EAC}=\widehat{DCA} \end{gathered}$$    (1)

Chứng minh tương tự ta được:

$\widehat{C_3}={\widehat{E}}_1={36}^0\Rightarrow \widehat{C_2}={36}^0$ 

Có $\widehat{C_2}=\widehat{E_1}={36}^0\Rightarrow ED//AC$      (2)

Từ (1) và (2), suy ra ACDE là hình thang cân (ĐPCM)

(Các khác: Có thể chứng minh hình thang ACDE có hai đường chéo bằng nhau)

* Chứng minh tương tự ta có $\widehat{JEF}=\widehat{EFG}=\widehat{FGH}=\widehat{GHI}=\widehat{HI\text{J}}=\widehat{IJE}$.

Vậy tứ giác CDEK là hình bình hành

mà CD = DE, suy ra hình bình hành CDEK là hình thoi (ĐPCM)

a) Tam giác EBJ cân tại B Þ $\widehat{E_1}=\widehat{J_1}$ 

Từ đó suy ra $\widehat{IJE}=\widehat{JEF}$ 

Chứng minh tương tự ta có:

$\widehat{JEF}=\widehat{EFG}=\widehat{FGH}=\widehat{GHI}=\widehat{HI\text{J}}=\widehat{IJE}$ 

b) Chứng minh được EF = GH = IJ và FG = HI = ẸJ

Gọi O là trung điểm của FG Þ AO là phân giác của $\widehat{FAG}\Rightarrow \widehat{FAO}={60}^0$ 

Tam giác FAO vuông tại O có $\widehat{FAO}={60}^0\Rightarrow AO=\frac{AF}{2}=\frac{x}{2}$ 

Áp dụng định lý Pytago, tính được $F{O}^2=\frac{3x^2}{4}\Rightarrow F{G}^2=3x^2$

Để hình lục giác EFGHIJ là lục giác đều Û EF = FG hay $a^2=3x^2\Rightarrow x^2=\frac{a^2}{3}$