Bài tập Bài 4. Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ có đáp án
20 câu hỏi
Lấy một tấm bìa, ghim hai cái đinh lên đó tại hai điểm F1 và F2. Lấy một vòng dây kín không đàn hồi có độ dài lớn hơn hai lần đoạn F1F2. Quàng vòng dây đó qua hai chiếc đinh và kéo căng tại một điểm M nào đó. Tựa đầu bút chì vào trong vòng dây tại điểm M rồi di chuyển sao cho dây luôn luôn căng. Đầu bút chì vạch lên tấm bìa một đường mà người ta gọi là đường elip.
Cho biết 2c là khoảng cách F1F2 và 2a + 2c là độ dài của vòng dây. Tính tổng hai khoảng cách F1M và F2M.
Ta có độ dài vòng dây là : F1M + F2M + F1F2 = 2a + 2c
⇒F1M + F2M = (2a + 2c) − F1F2 = (2a + 2c) –2c = 2a
Vậy F1M + F2M = 2a.
Cho elip (E) có các tiêu điểm F1 và F2 và đặt F1F2 = 2c. Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho F1(−c; 0) và F2(c; 0). Xét điểm M(x; y).
a) Tính F1M và F2M theo x, y và c.
a) Ta có: F1M→ = ( x+ c; y) ; F2M→ = (x – c ; y).
Khi đó F1M = F1M→=(x+c)2+y2 ; F2M = F2M→=(x-c)2+y2 ;
Vậy F1M = (x+c)2+y2 ; F2M = (x-c)2+y2.
b) Giải thích phát biểu sau: M(x; y) ∈ (E) ⇔ (x+c)2+y2+(x−c)2+y2 = 2a
b) Elip (E) là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho F1M + F2M = 2a
⇔ (x+c)2+y2+(x−c)2+y2= 2a.
Vậy M(x; y) ∈ (E) ⇔ (x+c)2+y2+(x−c)2+y2 = 2a
Viết phương trình chính tắc của elip trong Hình 4.
Ta có: a = 3; b = 2.
Vậy phương trình chính tắc của (E) là: x29+y24=1.
Một đường hầm có mặt cắt hình nửa elip cao 4m, rộng 10m (Hình 5). Viết phương trình chính tắc của elip đó.
Ta có: 2a = 10 ⇒ a = 5 và b = 4.
Vậy phương trình chính tắc của elip (E) là: x225+y216=1.
Lấy một tấm bìa, trên đó đánh dấu hai điểm F1 và F2. Lấy một cây thước thẳng với mép thước AB có chiều dài d và một đoạn dây không đàn hồi có chiều dài l sao cho d − l = 2a nhỏ hơn khoảng cách F1F2 (Hình 6a).
Đính một đầu dây vào đầu A của thước, dùng đinh ghim đầu dây còn lại vào điểm F2. Đặt thước sao cho đầu B của thước trùng với điểm F1 và đoạn thẳng BA có thể quay quanh F1. Tựa đầu bút chì M vào đoạn dây, di chuyển M trên tấm bìa và giữ một đường (H) (xem Hình 6b).
a) Chứng tỏ rằng khi M di động, ta luôn có MF1 – MF2 = 2a.
a) Ta có: MF2 + MA = l ⇒ MA = l – MF2
Lại có MF1 + MA = d ⇒ MF1 + l – MF2 = d ⇒ MF1 – MF2 = d − l = 2a
Vậy MF1 – MF2 = 2a.
b) Vẫn đính một đầu dây vào đầu A của thước nhưng đổi chỗ cố định đầu dây còn lại vào F1, đầu B của thước trùng với F2 sao cho đoạn thẳng BA có thể quay quanh F2 và làm tương tự như lần đầu để bút chì M vẽ được một nhánh khác của đường (H) (Hình 6c). Tính MF2 – MF1.
b) Khi đính một đầu dây vào đầu A của thướcvà đổi chỗ cố định đầu dây còn lại vào F1, đầu B của thước trùng với F2 sao cho đoạn thẳng BA có thể quay quanh F2 và làm tương tự như lần đầu để bút chì M vẽ được một nhánh khác của đường (H) (Hình 6c) thì ta có: MF1+ MA = l ⇒ MA = l – MF1
Lại có MF2+ MA = d ⇒ MF2 + l – MF1 = d ⇒ MF2 – MF1 = d − l = 2a
Vậy MF2 – MF1 = 2a.
Cho hypebol (H) có các tiêu điểm F1 và F2 và đặt F1F2 = 2c. Điểm M thuộc hypebol (H) khi và chỉ khi |F1M – F2M| = 2a. Chọn hệ trục tóa độ Oxy sao cho F1 = (−c; 0) và F2 = (c; 0). Xét điểm M(x; y).
a) Tính F1M và F2M theo x, y và c.
a) Ta có: F1M→ = ( x+ c; y) ; F2M→ = (x – c ; y).
Khi đó F1M = F1M→=(x+c)2+y2 ; F2M = F2M→=(x−c)2+y2 ;
Vậy F1M = (x+c)2+y2; F2M = (x−c)2+y2.
b) Giải thích phát biểu sau: M(x; y) ∈ (H) ⇔ (x+c)2+y2−(x−c)2+y2= 2a
b) Ta có: Hypebol (H) là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho |F1M − F2M |= 2a
Nếu M thuộc hypebol (H) thì |F1M – F2M| = 2a hay
⇔ (x+c)2+y2−(x−c)2+y2= 2a.
Nếu điểm M(x; y) có toạ độ thoả mãn (x+c)2+y2−(x−c)2+y2= 2a
⇔ |F1M – F2M| = 2a hay M là điểm thỏa mãn |F1M – F2M| = 2a thì M thuộc hypebol (H).
Viết phương trình chính tắc của hypebol có tiêu cự bằng 10 và độ dài trục ảo bằng 6.
Ta có tiêu cự bằng 10 nên 2c = 10 ⇒ c = 5; độ dài trục ảo bằng 6 nên 2b = 6 ⇒ b = 3.
Ta lại có a2 = c2 – b2 = 52 – 32 = 16 ⇔a = 4.
Khi đó phương trình chính tắc của hypebol là:
x2a2−y2b2=1⇔x242−y232=1⇔x216−y29=1
Vậy phương trình chính tắc của hypebol (H) là: x216−y29=1.
Một tháp làm nguội của một nhà máy có mặt cắt là một hypebol có phương trình x2272−y2402=1 (Hình 9). Cho biết chiều cao của tháp là 120 m và khoảng cách từ nóc thấp đến tâm đối xứng của hypebol bằng một nửa khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy. Tính bán kính đường tròn nóc và bán kính đường tròn đáy của tháp.
Theo bài ra khoảng cách từ nóc tháp đến tâm O bằng một nửa khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy mà tổng hai khoảng cách này bằng 120m nên ta có:
− Khoảng cách từ nóc tháp đến tâm O bằng 40m;
− Khoảng cách từ tâm O đến đáy bằng 80m.
Thay y = 40 vào phương trình (H), ta được:
x2272−402402=1 ⇔ x2 = 1 107⇔ x = ± 1107 ⇔ x ≈ ± 33,3.
⇒ Bán kính đường tròn nóc bằng 33,3 m.
Thay y = 80 vào phương trình (H), ta được:
x2272−802402=1⇔ x2 = 3 645 ⇔ x = ± 3645 ⇔ x ≈ ± 60,4
⇒ Bán kính đường tròn đáy bằng 60,4 m.
Vậy bán kính nóc và bán kính đáy của tháp lần lượt là 33,3 (m) và 60,4 (m).
Viết phương trình chính tắc của parabol (P) có đường chuẩn Δ: x + 1 = 0
Gọi phương trình chính tắc của parabol (P) là y2 = 2px.
(P) có đường chuẩn Δ: x + 1 = 0 ⇒ p2 =1 ⇔ p = 2.
Thay p = 2 vào phương trình chính tắc của parabol (P) ta được: y2 = 2.2.x = 4x
Vậy (P) có phương trình y2 = 4x.
Một cổng chào có hình parabol cao 10m và bề rộng của cổng tại chân cổng là 5 m. Tính bề rộng của cổng tại chỗ cách đỉnh 2 m.
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Gọi phương trình của parabol là y2= 2px.
Trong đó AB là chân của cổng, OH là chiều cao của cổng, K là vị trí cách đỉnh cổng 2m. Từ điểm K dựng đường thẳng vuông góc với Ox cắt parabol tại 2 điểm C và D. Gọi phương trình của parabol là y2 = 2px.
Ta có chiều cao của cổng là OC = 10 m ⇒ C(10; 0).
Bề rộng của cổng tại chân cổng là AB = 5 m ⇒ AC = 2,5 m ⇒ A(10; 2,5).
Vì A(10; 2,5) ∈ (P) nên thay tọa độ của A vào phương trình (P), ta được: 2,52 = 2p. 10
⇒ p = 516 ⇒ (P): y2 = 58x..
Thay tọa độ điểm D(2; a) vào phương trình (P), ta được: a2 = 58. 2 ⇒ a = 52
Vậy bề rộng của cộng tại chỗ cách đỉnh 2m là: 2a = 2. 52=5 (m).
Viết phương trình chính tắc của:
a) Elip có trục lớn bằng 20 và trục nhỏ bằng 16;
a) Gọi phương trình chính tắc của elip (E) là x2a2+y2b2=1
Ta có 2a = 20 ⇒ a = 10;
2b = 16 ⇒ b = 8.
Thay a = 10 và b = 8 vào phương trình x2a2+y2b2=1, ta được:
⇔ x2a2+y2b2=1⇔x2100+y264=1.
Vậy phương trình chính tắc của elip (E) là: x2100+y264=1.
b) Hypebol có tiêu cự 2c = 20 và độ dài trục thực 2a = 12;
b) Gọi phương trình chính tắc của hypebol (H) là x2a2−y2b2=1
Ta có: 2c = 20 ⇒ c = 10.
2a = 12 ⇒ a = 6 .
Ta lại có: b2 = c2− a2= 102 – 62 = 64⇒ b = 8.
Thay a = 6 và b = 8 vào phương trình x2a2−y2b2=1, ta được:
x262−y282=1⇔x236−y264=1
Vậy phương trình chính tắc của hypebol (H) là: x236−y264=1
c) Parabol có tiêu điểm F( 12; 0).
c) Gọi phương trình chính tắc của parabol (P) là y2 = 2px.
(P) có tiêu điểm F( 12; 0) ⇒ p2=12 ⇒p = 1.
Thay p = 1 vào phương trình chính tắc của parabol (P) ta được: y2 = 2.1.x = 2x
Vậy parabol (P) có phương trình: y2= 2x.
Để cắt một bảng quảng cáo hình elip có trục lớn là 80cm và trục nhỏ là 40 cm từ một tấm ván ép hình chữ nhật có kích thước 80cm x 40 cm, người ta vẽ hình elip đó lên tấm ván ép như hướng dẫn sau:
Chuẩn bị:
− Hai cái đinh, một vòng dây kín không đàn hồi, bút chì.
Thực hiện:
− Xác định vị trí (hai tiêu điểm của elip) và ghim hai cái đinh lên hai điểm đó trên tấm ván).
− Quàng vòng dây qua hai chiếc đinh vào kéo căng tại một điểm M nào đó. Tựa đầu bút chì vào trong vòng dây tại điểm M rồi di chuyển sao cho dây luôn luôn căng. Đầu bút chì vạch lên tấm bìa một đường elip (Xem minh họa trong Hình 15).
Phải ghim hai cái đinh cách mép tấm ván ép bao nhiêu xentimet và lấy vòng dây có độ dài là bao nhiêu?
Gắn hệ trục tọa độ cho elip như hình sau:
Ta có: hình elip có trục lớn là 80 cm, trục nhỏ là 40 cm nên 2a = 80 cm và 2b = 40 cm
⇒ a = 40 cm, b = 20cm
⇒ c = a2−b2=402−202=203 (cm).
⇒ Khoảng cách từ mỗi đinh đến mép chiều dài của tấm ván là:
F1A1 = F2A2 = a – c = 40 – 203 ≈ 5,36 (cm).
Khoảng cách từ mỗi đinh đến mép chiều rộng của tấm ván là F1D = OB2 = b = 20 cm.
Vòng dây có độ dài là 2a + 2c = 2.40 + 2. 203 ≈ 74,64 cm.
Vậy, hai cái đinh cách mép chiều dài của tấm ván khoảng 5,36 cm, cách mép chiều rộng của tấm ván là 20 cm và lấy vòng dây có độ dài khoảng 74,64 cm.
Một nhà vòm chứa máy bay có mặt cắt hình nửa elip cao 8 m, rộng 20 m (Hình 16).
a) Chọn hệ tọa độ thích hợp và viết phương trình của elip nói trên.
a) Chọn hệ tọa độ như hình vẽ:
Ta có: b = 8m và 2a = 20 m ⇒ a = 10 m.
Vậy phương trình của elip (E) là: x2102+y282=1.
b) Tính khoảng cách theo phương thẳng đứng từ một điểm cách chân tường 5m đến nóc nhà vòm.
b) Điểm A cách chân tường 5m nên A(5; 0). Ta có độ dài AB chính là khoảng cách từ điểm A đến nóc nhà vòm.
Gọi B(5; y). Vì B ∈ (E) nên thay tọa độ B vào phương trình (E), ta được: 52102+y282=1
⇒ y2 = 48 ⇒ y = 48 ≈ 6,9 ⇒AB ≈ 6,9.
Vậy khoảng cách theo phương thẳng đứng từ điểm cách chân tường 5m đến nóc nhà vòm khoảng 6,9 mét.
Một tháp làm nguội của một nhà máy có mặt cắt là hình hypebol có phương trình là x2282−y2422=1(Hình 17). Biết chiều cao của tháp là 150m và khoảng cách từ nóc tháp đến tấm đối xứng của hypebol bằng 23 khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy. Tính bán kính nóc và bán kính đáy của tháp.
Theo bài ra ta có: OA + OB = 150 m và OA = 23OB ⇒ OA = 60 m, OB = 90 m.
⇒ A(0; 60), B(0; −90).
Thay y = 60 vào phương trình , ta được:
x2282−602422=1⇔ x2 = 2 384 ⇔ x = ± x2282−y2422=1 ≈ 2384 ± 48,8
⇒ Bán kính nóc khoảng 48,8 m.
Thay y = −90 vào phương trình , ta được:
x2282−(−90)2422=1⇔ x2 = 4 384 ⇔ x = ± 4384 ≈ ± 66,2
⇒ Bán kính đáy khoảng 66,2 m.
Vậy bán kính nóc và bán kính đáy của tháp lần lượt khoảng 48,8 (m) và 66,2 (m).
