Bài tập Bài 34. Sự đồng quy của ba đường trung tuyến. Ba đường phân giác trong một tam giác có đáp án

Giả sử tam giác ABC đều có điểm I cách đều ba cạnh của tam giác, tức IM = IN = IP (hình vẽ).

Khi đó điểm I là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác ABC.

Do tam giác ABC đều nên tam giác ABC cũng cân tại A.

Theo kết quả Ví dụ 2, trang 75, ta có AI là đường trung tuyến của tam giác ABC.

Chứng minh tương tự, ta cũng có:

• Tam giác ABC đều nên tam giác ABC cân tại B, do đó BI là đường trung tuyến của tam giác ABC;

• Tam giác ABC đều nên tam giác ABC cân tại C, do đó CI là đường trung tuyến của tam giác ABC.

Suy ra AI, BI, CI là ba đường trung tuyến của tam giác cắt nhau tại điểm I.

Khi đó I là trọng tâm của tam giác ABC.

Vậy trong tam giác đều, điểm cách đều ba cạnh của tam giác là trọng tâm của tam giác đó.

a) Do tam giác ABC cân tại A nên AB = AC và $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (tính chất tam giác cân).

Vì M là trung điểm của AB nên AM = $\frac{1}{2}$AB;

Vì N là trung điểm của AC nên AN = $\frac{1}{2}$AC.

Mà AB = AC nên AM = AN

Xét $\Delta ANB$ và $\Delta AMC$ có:

AM = AN (chứng minh trên).

AB = AC (chứng minh trên).

$\widehat{BAC}$ chung

Suy ra $\Delta ANB=\Delta AMC$ (c - g - c).

Do đó BN = MC (2 cạnh tương ứng).

Vậy trong một tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên là hai đoạn thẳng bằng nhau.

G là trọng tâm tam giác ABC nên CG = $\frac{2}{3}$CM, BG = $\frac{2}{3}$BN.

Do CM = BN nên CG = BG.

$\Delta BGC$ có CG = BG nên $\Delta BGC$ cân tại G.

Do đó $\widehat{GBC}=\widehat{GCB}$.

Xét $\Delta MBC$ và $\Delta NCB$ có:

MC = NB (theo giả thiết).

$\widehat{MCB}=\widehat{NBC}$ (chứng minh trên).

BC chung.

Suy ra $\Delta MBC=\Delta NCB$ (c - g - c).

Do đó $\widehat{MBC}=\widehat{NCB}$ (2 góc tương ứng).

$\Delta ABC$ có $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$  nên $\Delta ABC$ cân tại A.

Vậy nếu tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó cân.

Xét $\Delta GBC$ có $\widehat{GBC}>\widehat{GCB}$ nên GC > GB (cạnh đối diện với góc lớn hơn thì lớn hơn).

Do G là trọng tâm của $\Delta ABC$ nên CG = $\frac{2}{3}$ CN, BG = $\frac{2}{3}$BM.

Khi đó $\frac{2}{3}$CN > $\frac{2}{3}$BM.

Do đó CN > BM.

Vậy CN > BM.

Xét $\Delta ABC$ có $\widehat{CAB}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180°$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác).

Do đó:

$\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180°-\widehat{CAB}$ 

= 180^o - 120^o = 60^o.

Do BI là tia phân giác của $\widehat{ABC}$ nên $\widehat{ABC}=2\widehat{IBC}$.

Do CI là tia phân giác của $\widehat{ACB}$ nên $\widehat{ACB}=2\widehat{ICB}$.

Do đó $\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=2\left(\widehat{IBC}+\widehat{ICB}\right)$.

hay 60^o = 2$\left(\widehat{IBC}+\widehat{ICB}\right)$.

$\left(\widehat{IBC}+\widehat{ICB}\right)$ = 60^o : 2 = 30^o.

Xét $\Delta IBC$ có $\widehat{BIC}+\widehat{IBC}+\widehat{ICB}=180°$.

Do đó $\widehat{BIC}=180°-\left(\widehat{IBC}+\widehat{ICB}\right)$ = 180^o - 30^o = 150^o.

Vậy $\widehat{BIC}$ = 150^o.

Do $\Delta ABC$ cân tại A nên $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$; AB = AC

Do BE là tia phân giác của $\widehat{ABC}$ nên $\widehat{EBA}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}$.

Do CF là tia phân giác của $\widehat{ACB}$ nên $\widehat{FCA}=\frac{1}{2}\widehat{ACB}$.

Mà $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ nên $\widehat{EBA}=\widehat{FCA}$.

Xét $\Delta AEB$ và $\Delta AFC$ có:

$\widehat{EBA}=\widehat{FCA}$ (chứng minh trên).

$\widehat{BAC}$ chung.

AB = AC (chứng minh trên).

Suy ra $\Delta FBC=\Delta ECB$ (g - c - g).

Do đó CF = BE (2 cạnh tương ứng).

Vậy BE = CF.

a) Vì D nằm trên tia phân giác BD của góc ABC nên D cách đều hai cạnh BA và BC.

Do đó DR = DP.

b) Do CD là tia phân giác của $\widehat{ACB}$ nên $\widehat{DCQ}=\widehat{DCP}=\frac{1}{2}\widehat{PCQ}$.

Xét $\Delta DCQ$ vuông tại Q và $\Delta DCP$ vuông tại P có:

$\widehat{DCQ}=\widehat{DCP}$ (chứng minh trên).

CD chung.

Suy ra $\Delta DCQ=\Delta DCP$ (cạnh huyền - góc nhọn).

Do đó DQ = DP (2 cạnh tương ứng).

c) Từ ý a và b ta có DR = DP và DQ = DP nên DR = DQ.

Ta có D nằm trong $\widehat{BAC}$ và D cách đều hai cạnh AB và AC của $\widehat{BAC}$ nên D nằm trên tia phân giác của $\widehat{BAC}$.