Bài tập Bài 23. Quy tắc đếm có đáp án
14 câu hỏi
A. Các câu hỏi trong bài
Đếm là một bài toán cổ xưa nhất của nhân loại. Trong khoa học và trong cuộc sống, người ta cần đếm các đối tượng để giải quyết các vấn đề khác nhau. Chẳng hạn như bài toán sau:
Mỗi mật khẩu của một trang web là một dãy có từ 2 tới 3 kí tự, trong đó kí tự đầu tiên là một trong 26 chữ cái in thường trong bảng chữ cái tiếng Anh (từ a đến z), mỗi kí tự còn lại là một chữ số từ 0 đến 9. Hỏi có thể tạo được bao nhiêu mật khẩu khác nhau?
Bài học này sẽ giúp em hiểu và áp dụng hai quy tắc đếm cơ bản để giải quyết bài toán trên.
Hướng dẫn giải
Sau khi học bài này, ta sẽ giải quyết được bài toán mở đầu như sau:
Ta thấy có hai trường hợp: độ dài của mật khẩu là 2 hoặc 3 kí tự.
+) Trường hợp 1: độ dài mật khẩu là 2 kí tự. Chọn từng kí tự và áp dụng quy tắc nhân.
Kí tự đầu tiên có 26 cách chọn trong các chữ cái in thường tiếng Anh.
Kí tự thứ hai có 10 cách chọn trong các chữ số từ 0 đến 9.
Vậy, theo quy tắc nhân, ta có 26 . 10 = 260 cách chọn mật khẩu trong trường hợp 1.
+) Trường hợp 2: độ dài mật khẩu là 3 kí tự.
Tương tự như trường hợp 1, ta có 26 . 102 = 2 600 cách chọn mật khẩu.
Vì có hai trường hợp rời nhau, mật khẩu có thể rơi vào một trong hai trường hợp, nên ta áp dụng quy tắc cộng. Tổng số mật khẩu có thể là 260 + 2 600 = 2 860.
Chọn chuyến đi (H.8.1)
Từ Hà Nội vào Vinh mỗi ngày có 7 chuyến tàu hỏa và 2 chuyến máy bay. Bạn An muốn ngày Chủ nhật này đi từ Hà Nội vào Vinh bằng tàu hỏa hoặc máy bay. Hỏi bạn An có bao nhiêu cách chọn chuyến đi?
Hướng dẫn giải
Bạn An có thể chọn đi tàu hỏa hoặc đi máy bay.
+) Vì có 7 chuyến tàu hỏa mỗi ngày, nên An có thể chọn 1 chuyến bất kì trong 7 chuyến đó để đi. Do đó An có 7 cách chọn tàu hỏa.
+) Vì có 2 chuyến máy nay mỗi ngày, nên An có thể chọn 1 chuyến bất kì trong 2 chuyến đó để đi. Do đó An có 2 cách chọn máy bay.
Vì tàu hỏa và máy bay là khác nhau nên An có 7 + 2 = 9 (cách chọn).
Vậy bạn An có 9 cách chọn chuyến đi.
Chọn vé tàu (H.8.2)
Bạn An đã quyết định mua vé tàu đi từ Hà Nội vào Vinh trên chuyến tàu SE7. Trên tàu có các toa ghế ngồi và các toa giường nằm. Toa ngồi có hai loại vé: ngồi cứng và ngồi mềm. Toa nằm có loại khoang 4 giường và khoang 6 giường. Khoang 4 giường có hai loại vé: tầng 1 và tầng 2, khoang 6 giường có ba loại vé: tầng 1, tầng 2 và tầng 3. Hỏi:
a) Có bao nhiêu loại vé ghế ngồi và bao nhiêu loại vé giường nằm?
b) Có bao nhiêu loại vé để bạn An lựa chọn?
Hướng dẫn giải
a) Toa ngồi có hai loại vé: ngồi cứng và ngồi mềm nên số loại vé ghế ngồi là 2.
Toa nằm có loại khoang 4 giường và khoang 6 giường.
+ Khoang 4 giường có 2 loại vé: tầng 1 và tầng 2.
+ Khoang 6 giường có 3 loại vé: tầng 1, tầng 2 và tầng 3.
Số loại vé giường nằm là: 2 + 3 = 5.
Vậy có 2 loại vé ghế ngồi và 5 loại vé giường nằm.
b) An chọn loại vé ghế ngồi: có 2 cách chọn.
An chọn loại vé giường nằm: có 5 cách chọn.
Vậy số loại vé để An lựa chọn: 2 + 5 = 7 (cách chọn).
Có bao nhiêu số tự nhiên từ 1 đến 30 mà không nguyên tố cùng nhau với 35?
Hướng dẫn giải
Để tìm các số từ 1 đến 30 mà không nguyên tố cùng nhau với 35, ta tìm các số từ 1 đến 30 mà có ước chung lớn nhất với 35 lớn hơn 1.
Phân tích 35 ra thừa số nguyên tố, ta được: 35 = 5 . 7.
Các số là bội của 5 mà lớn hơn 1 và nhỏ hơn hoặc bằng 30 là: 5, 10, 15, 20, 25, 30.
Các số là bội của 7 mà lớn hơn 1 và nhỏ hơn hoặc bằng 30 là: 7, 14, 21, 28.
Các số là bội của 5 hoặc 7 mà lớn hơn 1 và nhỏ hơn hoặc bằng 30 thì đều có ước chung lớn nhất với 35 là lớn hơn 1.
Vậy số các số từ 1 đến 30 mà không nguyên tố cùng nhau với 35 là: 6 + 4 = 10 (số).
Thầy Trung muốn đi từ Hà Nội vào Huế, rồi từ Huế vào Quảng Nam. Biết rằng từ Hà Nội vào Huế có thể đi bằng 3 cách: ô tô, tàu hỏa hoặc máy bay. Còn từ Huế vào Quảng Nam có thể đi bằng 2 cách: ô tô hoặc tàu hỏa (H.8.5).
Hỏi thầy Trung có bao nhiêu cách chọn các phương tiện để đi từ Hà Nội vào Quảng Nam?
Hướng dẫn giải
Để chọn phương tiện đi từ Hà Nội và Quảng Nam, qua Huế, ta phải thực hiện liên tiếp hai công đoạn:
+ Đi từ Hà Nội vào Huế có 3 cách chọn phương tiện (chọn ô tô, hoặc chọn tàu hỏa, hoặc chọn máy bay).
+ Đi từ Huế vào Quảng Nam có 2 cách chọn phương tiện (chọn ô tô hoặc chọn tàu hỏa).
Kết quả ta có các cách chọn phương tiện như sau:
– ô tô → ô tô
– ô tô → tàu hỏa
– tàu hỏa → ô tô
– tàu hỏa → tàu hỏa
– máy bay → ô tô
– máy bay → tàu hỏa
Với mỗi cách đi Hà Nội vào Huế thì có hai cách đi từ Huế vào Quảng Nam.
Vậy số cách chọn phương tiện từ Hà Nội vào Quảng Nam là: 2 + 2 + 2 = 3 . 2 = 6 (cách).
Để lắp ghế vào một phòng chiếu phim, các ghế được gắn nhãn bằng một chữ cái in hoa (trong bảng 26 chữ cái tiếng Anh từ A đến Z) đứng trước và một số nguyên từ 1 đến 20, chẳng hạn X15, Z2,...
Hỏi có thể gắn nhãn tối đa được bao nhiêu ghế?
Hướng dẫn giải
Để gắn nhãn mỗi ghế, ta phải thực hiện liên tiếp hai công đoạn:
+ Chọn một chữ cái có 26 cách chọn (bảng chữ cái in hoa tiếng Anh có 26 chữ cái).
+ Chọn một số từ 1 đến 20 có 20 cách chọn.
Do đó, số cách gắn nhãn là: 26 . 20 = 520 (cách).
Vậy có thể gắn nhãn tối đa được 520 ghế.
Tại kì World Cup năm 2018, vòng bảng gồm có 32 đội tham gia, được chia vào 8 bảng, mỗi bảng 4 đội thi đấu vòng tròn (mỗi đội chơi một trận với từng đội khác trong cùng bảng). Hỏi tổng cộng vòng bảng có bao nhiêu trận đấu?
Hướng dẫn giải
Trong một bảng có 4 đội thi đấu, mỗi đội sẽ gặp 3 đội còn lại.
Chẳng hạn ta có 4 đội A, B, C, D.
+ Đội A gặp 3 đội còn lại, ta có 3 trận đấu: AB, AC, AD.
+ Đội B đã gặp đội A ở trên rồi nên ta không tính nữa, do đó có thêm 2 trận đấu của đội B với 2 đội còn lại: BC, BD.
+ Cuối cùng, có thêm 1 trận đấu giữa đội C và D.
Do đó, mỗi bảng có 3 + 2 + 1 = 6 (trận đấu).
Có tất cả 8 bảng nên số trận đấu của vòng bảng là: 8 . 6 = 48 (trận).
Vậy tổng cộng vòng bảng có 48 trận đấu.
Từ các chữ số 0, 1, 2, 3 có thể lập được bao nhiêu số thỏa mãn:
a) Là số tự nhiên có ba chữ số khác nhau.
b) Là số tự nhiên chẵn có ba chữ số khác nhau?
Hướng dẫn giải
a) Gọi số tự nhiên cần lập có dạng: \(\overline {abc} \), với a, b, c thuộc tập hợp số A = {0; 1; 2; 3} (a ≠ 0, a ≠ b ≠ c).
Để lập số tự nhiên có ba chữ số khác nhau trên, ta cần thực hiện liên tiếp 3 công đoạn:
+ Chọn số a: có 3 cách chọn, do a ≠ 0, chọn 1, hoặc 2 hoặc 3.
+ Chọn b có: 3 cách chọn từ tập A\{a}, do b ≠ a.
+ Chọn c có: 2 cách từ tập A\{a; b}, do c ≠ b ≠ a.
Vậy theo quy tắc nhân, số các số thỏa mãn bài toán là: 3 . 3 . 2 = 18 (số).
b) Gọi số tự nhiên cần lập có dạng: \(\overline {abc} \), với a, b, c thuộc tập hợp số A = {0; 1; 2; 3}, (a ≠ 0, a ≠ b ≠ c).
Để \(\overline {abc} \) là số chẵn thì c ∈ {0; 2}.
+ Trường hợp 1: c = 0.
Chọn a có 3 cách (do a ≠ 0 nên chọn 1, hoặc 2, hoặc 3), chọn b có 2 cách chọn từ tập A\{a; c} (do a ≠ b ≠ c)
Do đó, số các số lập được ở trường hợp này là: 3 . 2 = 6 (số).
+ Trường hợp 2: c = 2.
Chọn a có 2 cách chọn (do a ≠ 0 và a ≠ c nên chọn 1 hoặc chọn 3).
Chọn b có 2 cách chọn từ tập A\{a; c} (do a ≠ b ≠ c).
Do đó, số các số lập được ở trường hợp này là: 2 . 2 = 4 (số).
Vì các trường hợp rời nhau nên theo quy tắc cộng, số các số chẵn có 3 chữ số khác nhau lập được là: 6 + 4 = 10 (số).
Khối lớp 10 của một trường trung học phổ thông có ba lớp 10A, 10B, 10C. Lớp 10A có 30 bạn, lớp 10B có 35 bạn, lớp 10C có 32 bạn. Nhà trường muốn chọn 4 bạn để thành lập đội cờ đỏ của khối sao cho có đủ đại diện của các lớp. Hỏi có bao nhiêu cách lựa chọn?
Hướng dẫn giải
Để chọn được 4 bạn lập thành đội cờ đỏ sao cho có đủ đại diện của các lớp, ta thấy có 3 trường hợp như sau:
+ Trường hợp 1: Thực hiện 3 công đoạn – chọn 2 bạn lớp 10A, 1 bạn 10B, 1 bạn 10C.
– Chọn 2 bạn của lớp 10A, vì vai trò hai bạn như nhau nên số cách chọn là: 30 . 29 : 2 = 435 cách chọn.
– Chọn 1 bạn của lớp 10B có 35 cách chọn.
– Chọn 1 bạn của lớp 10C có 32 cách chọn.
Do đó, số cách chọn là: 435 . 35 . 32 = 487 200 (cách chọn).
+ Trường hợp 2: Thực hiện 3 công đoạn – chọn 1 bạn lớp 10A, 2 bạn 10B, 1 bạn 10C.
– Chọn 1 bạn của lớp 10A có 30 cách chọn.
– Chọn 2 bạn của lớp 10B, vì vai trò hai bạn như nhau nên số cách chọn là: 35 . 34 : 2 = 595 cách chọn.
– Chọn 1 bạn của lớp 10C có 32 cách chọn.
Do đó, số cách chọn là: 30 . 595 . 32 = 571 200 (cách chọn).
+ Trường hợp 3: Thực hiện 3 công đoạn – chọn 1 bạn lớp 10A, 1 bạn 10B, 2 bạn 10C.
– Chọn 1 bạn của lớp 10A có 30 cách chọn.
– Chọn 1 bạn của lớp 10B có 35 cách chọn.
– Chọn 2 bạn của lớp 10C, vì vai trò hai bạn như nhau nên số cách chọn là: 32 . 31 : 2 = 496 cách chọn.
Do đó, số cách chọn là: 30 . 35 . 496 = 520 800 (cách chọn).
Vì các trường hợp là rời nhau nên ta áp dụng quy tắc cộng, vậy số cách chọn 4 bạn để thành lập đội cờ đỏ là: 487 200 + 571 200 + 520 800 = 1 579 200 (cách chọn).
B. Bài tập
Trên giá sách có 8 cuốn truyện ngắn, 7 cuốn tiểu thuyết và 5 tập thơ (tất cả đều khác nhau). Vẽ sơ đồ hình cây minh hoạ và cho biết bạn Phong có bao nhiêu cách chọn một cuốn để đọc vào ngày cuối tuần.
Hướng dẫn giải
Theo bài ra, ta vẽ được sơ đồ hình cây như sau:
Số cách chọn một cuốn để đọc là: 8 + 7 + 5 = 20 (cách).
Vậy bạn Phong có 20 cách chọn một cuốn để đọc vào ngày cuối tuần.
Một người gieo đồng xu hai mặt, sau mỗi lần gieo thì ghi lại kết quả là sấp hay ngửa. Hỏi nếu người đó gieo 3 lần thì có thể có bao nhiêu khả năng xảy ra?
Hướng dẫn giải
Người đó gieo một đồng xu 3 lần liên tiếp:
+ Gieo lần 1 thì có thể xuất hiện mặt sấp hoặc ngửa nên số khả năng xảy ra là: 2.
+ Gieo lần 2 tương tự lần 1, số khả năng xảy ra là: 2.
+ Gieo lần 3 tương tự như trên, số khả năng xảy ra là: 2.
Vậy nếu người đó gieo 3 lần, số khả năng xảy ra là: 2 . 2 . 2 = 8.
Ở một loài thực vật, A là gene trội quy định tính trạng hoa kép, a là gene lặn quy định tính trạng hoa đơn.
a) Sự tổ hợp giữa hai gene trên tạo ra mấy kiểu gene? Viết các kiểu gene đó.
b) Khi giao phối ngẫu nhiên, có bao nhiêu kiểu giao phối khác nhau từ các kiểu gene đó?
Hướng dẫn giải
a) Sự tổ hợp giữa hai gene trội A và gene lặn a tạo 3 kiểu gene. Đó là các kiểu gene: AA, Aa, aa.
b) Khi giao phối ngẫu nhiên thì cứ lấy 2 gene bất kì (có thể trùng nhau) trong 3 kiểu gene AA, Aa, aa sẽ kết hợp với nhau.
Suy ra có các kiểu: AA × AA; AA × Aa; AA × aa; Aa × Aa; Aa × aa; aa × aa.
Vậy có 6 kiểu giao phối khác nhau từ các kiểu gene đó.
Cóbao nhiêu số tự nhiên
a) có 3 chữ số khác nhau?
b) là số lẻ có 3 chữ số khác nhau?
c) là số có 3 chữ số và chia hết cho 5?
d) là số có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 5?
Hướng dẫn giải
a) Gọi số tự nhiên cần lập có dạng: \(\overline {abc} \), với a, b, c thuộc tập hợp số A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}, (a ≠ 0, a ≠ b ≠ c).
Để lập số này, ta thực hiện ba công đoạn liên tiếp:
+ Chọn số a có 9 cách, do a ≠ 0.
+ Chọn b có 9 cách từ tập A\{a}.
+ Chọn c có 8 cách từ tập A\{a; b}.
Vậy số các số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau là: 9 . 9 . 8 = 648 (số).
b) Gọi số tự nhiên cần lập có dạng: \(\overline {abc} \), với a, b, c thuộc tập hợp số A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}, (a ≠ 0, a ≠ b ≠ c).
Để \(\overline {abc} \) là số lẻ thì c thuộc tập hợp {1; 3; 5; 7; 9},
+ Chọn c có 5 cách từ tập {1; 3; 5; 7; 9}.
+ Chọn a có 8 cách từ tập A\{c; 0}.
+ Chọn b có 8 cách từ tập A\{c; a}.
Vậy số các số tự nhiên là số lẻ có 3 chữ số khác nhau là: 5 . 8 . 8 = 320 (số).
c) Gọi số tự nhiên cần lập có dạng: \(\overline {abc} \), với a, b, c thuộc tập hợp số A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}, (a ≠ 0).
Để \(\overline {abc} \)chia hết cho 5 thì c thuộc tập hợp {0; 5}.
+ Chọn c có 2 cách từ tập {0; 5}.
+ Chọn a có 9 cách từ tập A\{0}.
+ Chọn b có 10 cách từ tập A.
Vậy số các số tự nhiên có 3 chữ số mà chia hết cho 5 là: 2 . 9 . 10 = 180 (số).
d) Gọi số tự nhiên cần lập có dạng: \(\overline {abc} \), với a, b, c thuộc tập hợp số A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}, (a ≠ 0, a ≠ b ≠ c).
Để \(\overline {abc} \) chia hết cho 5 thì c thuộc tập hợp {0; 5}.
+ Trường hợp 1: Nếu c = 0 thì: chọn a có 9 cách, chọn b có 8 cách.
Do đó, số các số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau mà tận cùng là 0 là: 9 . 8 = 72 (số).
+ Trường hợp 2: Nếu c = 5 thì: chọn a có 8 cách (do a ≠ 0 và a ≠ c), chọn b có 8 cách (do a ≠ b ≠ c).
Do đó, số các số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau mà tận cùng là 5 là: 8 . 8 = 64 (số).
Vì hai trường hợp rời nhau nên ta áp dụng quy tắc cộng, vậy số các số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau mà chia hết cho 5 là: 72 + 64 = 136 (số).
a) Mật khẩu của chương trình máy tính quy định gồm 3 kí tự, mỗi kí tự là một chữ số. Hỏi có thể tạo được bao nhiêu mật khẩu khác nhau?
b) Nếu chương trình máy tính quy định mới mật khẩu vẫn gồm 3 kí tự, nhưng kí tự đầu tiên phải là một chữ cái in hoa trong bảng chữ cái tiếng Anh gồm 26 chữ (từ A đến Z) và 2 kí tự sau là các chữ số (từ 0 đến 9). Hỏi quy định mới có thể tạo được nhiều hơn quy định cũ bao nhiêu mật khẩu khác nhau?
Hướng dẫn giải
a) Để lập một mật khẩu chương trình máy tính, ta cần thực hiện ba công đoạn liên tiếp:
+ Chọn kí tự thứ nhất: có 10 cách chọn (chọn 1 chữ số trong 10 chữ số từ 0 đến 9).
+ Chọn kí tự thứ hai: tương tự kí tự thứ nhất, có 10 cách chọn.
+ Chọn kí tự thứ ba: tương tự trên, có 10 cách chọn.
Vậy theo quy tắc nhân, có thể tạo được số mật khẩu là: 10 . 10 . 10 = 1 000 (mật khẩu).
b) Để lập một mật khẩu chương trình máy tính theo quy định mới, ta cần thực hiện ba công đoạn liên tiếp:
+ Chọn kí tự thứ nhất từ tập 26 chữ từ A đến Z: có 26 cách chọn.
+ Chọn kí tự thứ hai là chữ số: có 10 cách chọn.
+ Chọn kí tự thứ ba là chữ số: có 10 cách chọn.
Do đó, theo quy tắc nhân, số cách tạo mật khẩu mới là: 26 . 10 . 10 = 2 600 (mật khẩu).
Vậy có thể tạo được nhiều hơn quy định cũ số mật khẩu là: 2 600 – 1 000 = 1 600 (mật khẩu).
