Bài tập Áp dụng định nghĩa và tính chất tích phân lớp 12 (có lời giải)
25 câu hỏi
Cho \(\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} = 3\) và \(\int\limits_1^2 {g\left( x \right)dx} = - 2\). Giá trị \(\int\limits_1^2 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} \).
1;
5;
−1;
6.
Đáp án đúng là: A
\(\int\limits_1^2 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} \)\( = \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^2 {g\left( x \right)dx} \) = 3 – 2 = 1.
Cho \(\int\limits_1^2 {\left[ {4f\left( x \right) - 2x} \right]dx} = 1\). Khi đó \(\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} \) bằng
1;
3;
−1;
−3.
Đáp án đúng là: A
\(\int\limits_1^2 {\left[ {4f\left( x \right) - 2x} \right]dx} = 1\)\( \Leftrightarrow 4\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} - 2\int\limits_1^2 {xdx} = 1\)\( \Leftrightarrow 4\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} - 3 = 1\)\( \Leftrightarrow \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} = 1\).
Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên ℝ thỏa mãn f(0) = −2023, \(\int\limits_0^1 {f'\left( x \right)dx} = 2024\) thì
f(1) = 4047;
f(1) = −1;
f(1) = 1;
f(1) = −4047.
Đáp án đúng là: C
\(\int\limits_0^1 {f'\left( x \right)dx} = 2024\)\( \Leftrightarrow \left. {f\left( x \right)} \right|_0^1 = 2024\)\( \Leftrightarrow f\left( 1 \right) - f\left( 0 \right) = 2024\)\( \Leftrightarrow f\left( 1 \right) = 2024 + f\left( 0 \right) = 2024 - 2023 = 1\).
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a; b]. Chọn mệnh đề sai.
\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = F\left( b \right) - F\left( a \right)\);
\(\int\limits_a^a {f\left( x \right)dx} = 1\);
\(\int\limits_a^a {f\left( x \right)dx} = 0\);
\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = - \int\limits_b^a {f\left( x \right)dx} \).
Đáp án đúng là: B
Vì \(\int\limits_a^a {f\left( x \right)dx} = 0\) nên đáp án B sai.
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) và f'(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a; b]. Chọn mệnh đề đúng.
\(f\left( b \right) - f\left( a \right) = \int\limits_a^b {f'\left( x \right)dx} \);
\(F\left( b \right) - F\left( a \right) = \int\limits_a^b {f'\left( x \right)dx} \);
\(f\left( b \right) - f\left( a \right) = \int\limits_a^b {F\left( x \right)dx} \);
\(f'\left( b \right) - f'\left( a \right) = \int\limits_a^b {f'\left( x \right)dx} \).
Đáp án đúng là: A
Ta có \(f\left( b \right) - f\left( a \right) = \int\limits_a^b {f'\left( x \right)dx} \).
Biết F(x) = x2 là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên ℝ. Giá trị của \(\int\limits_1^2 {\left[ {2 + f\left( x \right)} \right]dx} \) bằng
3;
5;
\(\frac{{13}}{3}\);
\(\frac{7}{3}\).
Đáp án đúng là: B
Có \(\int\limits_1^2 {\left[ {2 + f\left( x \right)} \right]dx} = \left. {\left( {2x + {x^2}} \right)} \right|_1^2 = 8 - 3 = 5\).
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [−6; 11] và thỏa mãn \(\int\limits_{ - 6}^{11} {f\left( x \right)dx = 8} ,\int\limits_2^6 {f\left( x \right)dx} = 3\). Giá trị của biểu thức \(P = \int\limits_{ - 6}^2 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_6^{11} {f\left( x \right)dx} \) bằng
4;
11;
5;
2.
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\int\limits_{ - 6}^{11} {f\left( x \right)dx} = 8\) \( \Leftrightarrow \int\limits_{ - 6}^2 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_2^6 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_6^{11} {f\left( x \right)dx} = 8\)
\( \Leftrightarrow \int\limits_{ - 6}^2 {f\left( x \right)dx} + 3 + \int\limits_6^{11} {f\left( x \right)dx} = 8\)\( \Leftrightarrow \int\limits_{ - 6}^2 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_6^{11} {f\left( x \right)dx} = 5\).
Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ. Gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên ℝ thỏa mãn F(2) – F(0) = 5. Khi đó \(\int\limits_0^2 {3f\left( x \right)dx} \) bằng
6;
15;
10;
5.
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\int\limits_0^2 {3f\left( x \right)dx} \)\( = 3\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} \)\( = 3\left( {F\left( 2 \right) - F\left( 0 \right)} \right) = 3.5 = 15\).
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ và \(\int\limits_1^5 {f\left( x \right)dx} = 10,\int\limits_3^5 {f\left( x \right)dx} = 1\). Khi đó \(\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} \) bằng
9;
10;
11;
−9.
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_1^5 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_3^5 {f\left( x \right)dx} = 10 - 1 = 9\).
Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên đoạn [1; 2], f(1) = 1 và f(2) = 2. Giá trị \(\int\limits_1^2 {f'\left( x \right)dx} \) bằng
1;
−1;
3;
\(\frac{7}{2}\).
Đáp án đúng là: A
\(\int\limits_1^2 {f'\left( x \right)dx} = \left. {f\left( x \right)} \right|_1^2 = f\left( 2 \right) - f\left( 1 \right) = 1\).
Cho \(\int_0^2 f (x)dx = 3\) và \(\int_0^2 g (x)dx = - 1\). Tính tích phân \(I = \int_0^2 {\left[ {f(x) - 5g(x)} \right]} dx\).
8.
−2.
−8.
2.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Áp dụng tính chất của tích phân, ta có: \(I = \int_0^2 f (x)dx - 5\int_0^2 g (x)dx\)
Thay số vào biểu thức ta được: I = 3 – 5 · (−1) = 3 + 5 = 8.
Cho \(\int_1^5 f (x)dx = 10\) và \(\int_1^3 f (x)dx = 4\). Tính giá trị của biểu thức \(P = \int_3^5 {\left[ {2f(x) - x} \right]} dx\).
4.
8.
12.
−4.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Áp dụng tính chất của tích phân, ta có: \(\int_1^5 f (x)dx = \int_1^3 f (x)dx + \int_3^5 f (x)dx\)
Suy ra \(10 = 4 + \int_3^5 f (x)dx \Rightarrow \int_3^5 f (x)dx = 6\).
Tính tích phân của hàm số cơ bản: \(\int_3^5 x dx = \left. {\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_3^5 = \frac{{25}}{2} - \frac{9}{2} = 8\).
Khi đó \(P = 2\int_3^5 f (x)dx - \int_3^5 x dx\) = 2·6 − 8 = 4.
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [2; 8] thỏa mãn f(x) = f(10 − x) và \(\int_2^8 f \left( x \right)dx = 12.\) Tính tích phân \(I = \int_2^8 x f\left( x \right)dx\).
60.
30.
120.
48.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Sử dụng tính chất đặc biệt của tích phân: \(\int_a^b h \left( x \right)dx = \int_a^b h \left( {a + b - x} \right)dx\).
Áp dụng vào I, ta có: \(I = \int_2^8 {\left( {2 + 8 - x} \right)} f\left( {2 + 8 - x} \right)dx = \int_2^8 {\left( {10 - x} \right)} f\left( {10 - x} \right)dx\).
Do giả thiết f(10 − x) = f(x), ta thu được:
\(I = \int_2^8 {(10 - x)} f(x)dx = 10\int_2^8 f (x)dx - \int_2^8 x f(x)dx\) = 10·12 − I.
Từ đó suy ra 2I = 120 Þ I = 60.
Cho hai hàm số f(x), g(x) liên tục trên đoạn [0; 1] và thỏa mãn hệ điều kiện \(\int_0^1 {\left[ {2f(x) + 3g(x)} \right]} dx = 13\) và \(\int_0^1 {\left[ {f(x) - 2g(x)} \right]} dx = - 4\). Tính tích phân \(I = \int_0^1 {\left[ {f(x) + g(x)} \right]} dx\).
5.
9.
1.
−1.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Đặt \(u = \int_0^1 f (x)dx\) và \(v = \int_0^1 g (x)dx\).
Dựa vào các tính chất của tích phân, ta thiết lập được hệ phương trình:
2u + 3v = 13 và u − 2v = −4
Từ phương trình thứ hai suy ra u = 2v − 4. Thay vào phương trình thứ nhất:
2(2v − 4) + 3v = 13 Þ 4v − 8 + 3v = 13 Þ 7v = 21 Þ v = 3.
Suy ra u = 2·3 − 4 = 2.
Vậy I = u + v = 2 + 3 = 5.
Hàm số f(x) liên tục trên đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) và thỏa mãn hệ thức f(x) + 2f(−x) = 3cosx với mọi x thuộc \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\). Tính tích phân \(I = \int_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} f (x)dx\).
2.
6.
3.
1.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Lấy tích phân hai vế của hệ thức trên đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\), ta có:
\(\int_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} f (x)dx + 2\int_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} f ( - x)dx = \int_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} 3 \cos xdx\) (1).
Ta có tính chất của tích phân trên khoảng đối xứng: \(\int_{ - a}^a f ( - x)dx = \int_{ - a}^a f (x)dx\).
Do đó \(\int_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} f ( - x)dx = I\). Lại có \(\int_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} 3 \cos xdx = \left. {\left( {3\sin x} \right)} \right|_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\) = 3(1 − (−1)) = 6.
Thay vào (1), ta được: I + 2I = 6 Þ 3I = 6 => I = 2.
Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
\(\int_a^b {\left[ {f(x) + g(x)} \right]} dx = \int_a^b f (x)dx + \int_a^b g (x)dx\).
\(\int_a^b f (x) \cdot g(x)dx = \int_a^b f (x)dx \cdot \int_a^b g (x)dx\).
\(\int_a^b {{{\left[ {f(x)} \right]}^2}} dx \ge 0\).
Với mọi số thực c nằm giữa a và b, ta luôn có \(\int_a^c f (x)dx + \int_b^c f (x)dx = \int_a^b f (x)dx\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Đây là tính chất cơ bản của tích phân về tổng hai hàm số.
b) Sai. Tích phân của một tích hai hàm số không bằng tích các tích phân của chúng.
c) Đúng. Vì \({\left[ {f(x)} \right]^2} \ge 0\) với mọi x nên tích phân của nó trên một đoạn từ a đến b (a < b) luôn lớn hơn hoặc bằng 0.
d) Sai. Theo tính chất, ta có \(\int_a^c f (x)dx + \int_c^b f (x)dx = \int_a^b f (x)dx\), không phải là \(\int_b^c f (x)dx\).
Cho hàm số f(x) được xác định bởi f(x) = 2x + 1 khi x ≥ 1 và f(x) = 3x2 khi x < 1. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
Hàm số f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\).
\(\int_0^1 f (x)dx = 1\).
\(\int_1^2 f (x)dx = 3\).
\(\int_0^2 f (x)dx = 5\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Tại x = 1, ta có f(1) = 2·1 + 1 = 3 và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} 3{x^2} = 3\). Vì giới hạn trái bằng giới hạn phải và bằng f(1) nên hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\).
b) Đúng. Ta tính \(\int_0^1 3 {x^2}dx = \left. {{x^3}} \right|_0^1\) = 1.
c) Sai. Ta tính \(\int_1^2 {(2x + 1)} dx = \left. {\left( {{x^2} + x} \right)} \right|_1^2\) = 6 − 2 = 4.
d) Đúng. Áp dụng tính chất tích phân, ta có \(\int_0^2 f \left( x \right)dx = \int_0^1 f \left( x \right)dx + \int_1^2 f \left( x \right)dx\) = 1 + 4 = 5.
Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [1; 3] thỏa mãn F(1) = 3 và F(3) = 7. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
\(\int_1^3 f \left( x \right)dx = 4\).
\(\int_1^3 {\left[ {2f\left( x \right) - 1} \right]} dx = 6\).
Nếu f(x) là một hàm hằng trên đoạn [1; 3] thì f(x) = 2.
\(\int_1^3 {f'} \left( x \right)dx = 4\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Theo định nghĩa tích phân, \(\int_1^3 f (x)dx\) = F(3) − F(1) = 7 − 3 = 4.
b) Đúng. Ta có \(\int_1^3 {\left[ {2f(x) - 1} \right]} dx = 2\int_1^3 f (x)dx - \int_1^3 1 dx\) = 2·4 − (3 − 1) = 8 − 2 = 6.
c) Đúng. Nếu f(x) = C (hằng số), ta có \(\int_1^3 C dx\) = C(3 − 1) = 2C. Suy ra 2C = 4 Þ C = 2.
d) Sai. Tích phân \(\int_1^3 {f'} (x)dx\) = f(3) − f(1). Không có dữ kiện nào cho biết f(3) − f(1) = 4, giả thiết chỉ cho F(3) − F(1) = 4.
Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 2], biết f(0) = 2 và \(\int_0^2 {f'} (x)dx = 6\). Xét hàm số phụ g(x) = f(x) − 3x. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
f(2) = 8.
\(\int_0^2 {\left[ {f'(x) - x} \right]} dx = 4\).
Giá trị g(2) = g(0).
\(\int_0^2 {g'} (x)dx = 2\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Theo định nghĩa tích phân, \(\int_0^2 {f'} \left( x \right)dx\) = f(2) − f(0) Þ 6 = f(2) − 2 => f(2) = 8.
b) Đúng. Tính \(\int_0^2 {\left[ {f'\left( x \right) - x} \right]} dx = \int_0^2 {f'} \left( x \right)dx - \int_0^2 x dx = 6 - \left. {\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_0^2\) = 6 − 2 = 4.
c) Đúng. Ta có g(2) = f(2) − 3·2 = 8 − 6 = 2.
Mặt khác, g(0) = f(0) − 3·0 = 2. Do đó g(2) = g(0).
d) Sai. Ta có \(\int_0^2 {g'} (x)dx\) = g(2) − g(0) = 2 − 2 = 0.
Cho hàm số f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn phương trình hàm f(x) + f(−x) = x² + 2. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
Hàm số f(x) bắt buộc phải là hàm số chẵn.
\(\int_{ - 2}^2 {\left[ {f(x) + f( - x)} \right]} dx = \frac{{40}}{3}\).
\(\int_{ - 2}^2 f (x)dx = \int_{ - 2}^2 f ( - x)dx\).
\(\int_{ - 2}^2 f (x)dx = \frac{{20}}{3}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.
a) Sai. f(x) không nhất thiết là hàm chẵn. Ví dụ lấy \(f(x) = {x^3} + \frac{1}{2}{x^2} + 1\), ta vẫn có f(x) + f(−x) = x2 + 2 nhưng f(x) không phải hàm chẵn.
b) Đúng. Ta lấy tích phân hai vế:
\[\int_{ - 2}^2 {\left[ {f\left( x \right) + f\left( { - x} \right)} \right]} dx = \int_{ - 2}^2 {\left( {{x^2} + 2} \right)} dx = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + 2x} \right)} \right|_{ - 2}^2 = \left( {\frac{8}{3} + 4} \right) - \left( { - \frac{8}{3} - 4} \right) = \frac{{40}}{3}\].
c) Đúng. Đổi biến số t = −x cho tích phân ở vế phải, ta sẽ thu được tích phân vế trái.
d) Đúng. Từ ý c, ta có \(\int_{ - 2}^2 {\left[ {f(x) + f( - x)} \right]} dx = 2\int_{ - 2}^2 f (x)dx\).
Suy ra \(2\int_{ - 2}^2 f (x)dx = \frac{{40}}{3} \Rightarrow \int_{ - 2}^2 f (x)dx = \frac{{20}}{3}\).
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [1; 2] thỏa mãn \(\int_1^2 {\left[ {3{x^2} - f(x)} \right]} dx = 2,5\). Tính giá trị của \(\int_1^2 f (x)dx\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 4,5
Sử dụng tính chất của tích phân, ta tách biểu thức:\(\int_1^2 3 {x^2}dx - \int_1^2 f (x)dx = 2,5\)
Tính tích phân của hàm đa thức: \(\int_1^2 3 {x^2}dx = \left. {{x^3}} \right|_1^2\) = 8 − 1 = 7.
Thay vào biểu thức trên: \(7 - \int_1^2 f (x)dx = 2,5 \Rightarrow \int_1^2 f (x)dx = 7 - 2,5 = 4,5\).
Cho hàm số f(x) là hàm số chẵn, liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(\int_0^2 f (x)dx = 1,2\). Tính giá trị của tích phân \(I = \int_{ - 2}^2 f (x)dx\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 2,4
Vì f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên ta có tính chất:\(\int_{ - a}^a f (x)dx = 2\int_0^a f (x)dx\).
Áp dụng tính chất trên với a = 2, ta được: \(I = \int_{ - 2}^2 f (x)dx = 2\int_0^2 f (x)dx\) = 2·1,2 = 2,4.
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0; 1] và \(\int_0^1 f (x)dx = 2,4\). Tính giá trị của biểu thức \(P = \int_0^1 {\left[ {5f(x) - x} \right]} dx\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 11,5
Áp dụng tính chất của tích phân, ta có: \(P = 5\int_0^1 f (x)dx - \int_0^1 x dx\).
Ta tính được \[\int_0^1 x dx = \left. {\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_0^1 = \frac{1}{2} = 0,5\].
Thay các giá trị vào biểu thức: P = 5·2,4 − 0,5 = 12 − 0,5 = 11,5.
Cho hàm số f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn phương trình
f(x) = 1,5x2 − 0,5\(\int_0^2 f (x)dx\) với mọi x. Tính giá trị f(1).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 0,5
Đặt \(A = \int_0^2 f (x)dx\) (A là một hằng số).
Khi đó hàm số có dạng: f(x) = 1,5x² − 0,5A.
Lấy tích phân hai vế từ 0 đến 2, ta có:
\(\int_0^2 f (x)dx = \int_0^2 {(1,5{x^2} - 0,5A)} dx \Rightarrow A = \left. {\left( {0,5{x^3} - 0,5Ax} \right)} \right|_0^2\).
Thay cận vào ta được: A = (0,5·8 − 0,5A·2) − 0 = 4 − A.
Suy ra 2A = 4 Þ A = 2.
Vậy hàm số cần tìm là f(x) = 1,5x2 − 0,5·2 = 1,5x2 − 1.
Tính giá trị f(1) = 1,5·1² − 1 = 0,5.
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0; 3] và thỏa mãn f(x) + f(3 − x) = 5 với mọi x. Tính tích phân \(I = \int_0^3 f (x)dx\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 7,5
Lấy tích phân hai vế của giả thiết trên đoạn [0; 3], ta có:
\(\int_0^3 f (x)dx + \int_0^3 f (3 - x)dx = \int_0^3 5 dx = 15\) (1).
Xét \(\int_0^3 f (3 - x)dx\), đặt t = 3 − x => dt = −dx.
Đổi cận: x = 0 => t = 3; x = 3 => t = 0.
Khi đó \(\int_0^3 f (3 - x)dx = \int_3^0 f (t)( - dt) = \int_0^3 f (t)dt = \int_0^3 f (x)dx = I\).
Thay vào (1) ta được: I + I = 15 => 2I = 15 => I = 7,5.
