8 bài tập Tính các tỉ số lượng giác của các góc nhọn trong một tam giác vuông biết độ dài các cạnh (có lời giải)
8 câu hỏi
Áp dụng định lí Pythagore ta có: \(AC = \sqrt {A{B^2} - B{C^2}} = 0,9m\)
\(\sin B = \cos A = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{0,9}}{{1,5}} = 0,60\)
\(\cos B = \sin A = \frac{{BC}}{{AB}} = \frac{{1,2}}{{1,5}} = 0,80.\quad \)
\(\tan B = \cot A = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{0,9}}{{1,2}} = 0,75\)
\(\cot B = \tan A = \frac{{BC}}{{AC}} = \frac{{1,2}}{{0,9}} = 1,3\).
![Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \(A\). Biết \(AB = 3\,{\rm{cm}},AC = 4\,{\rm{cm}}\). Tính tỉ số lượng giác của góc nhọn \(B\) (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/04/4-1775550778.png)
\(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) nên \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5\).
Ta có
\(\sin B = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{3}{5};\quad \tan B = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{4}{3};\)
\(\cos B = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{4}{5};\quad \cot B = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{3}{4}.\)
Ta có \(A{C^2} = B{C^2} - A{B^2} = {3,5^2} - {1,5^2} = 10 \Rightarrow AC = \sqrt {10} \).
Do đó \[\cos B = \sin C = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{1,5}}{{3,5}} \approx 0,4286\]
\[\begin{array}{l}\sin B = \cos C = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{\sqrt {10} }}{{3,5}} \approx 0,9035\\\cot B = \tan C = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{1,5}}{{\sqrt {10} }} \approx 0,4743\\\tan B = \cot C = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{\sqrt {10} }}{{1,5}} \approx 2,1082\end{array}\]
Tính tỉ số lượng giác của góc \(B\) trong hình bên.
Ta có \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {5^2} + {12^2} = 169 \Rightarrow BC = 13\).
Do đó \(\sin B = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{12}}{{13}}\); \(\cos B = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{5}{{13}}\);
\(\tan B = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{12}}{5}\); \(\cot B = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{5}{{12}}\).
\(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \(BC = 2AB\). Tính các tỉ số lượng giác của góc \(C\).
Ta đặt \(AB = m\) thì \(BC = 2m\), suy ra
\(A{C^2} = B{C^2} - A{B^2} = 4{m^2} - {m^2} = 3{m^2} \Rightarrow AC = m\sqrt 3 \).
Ta có \(\sin C = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{m}{{2m}} = \frac{1}{2};\cos C = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{m\sqrt 3 }}{{2m}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2};\)
\(\tan C = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{m}{{m\sqrt 3 }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }};\cot C = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{m\sqrt 3 }}{m} = \sqrt 3 \).
Ta có \(BH = 6:2 = 3\); \(AB = \sqrt {{4^2} + {3^2}} = 5\). Do đó
\(\begin{array}{*{20}{l}}{}&{\sin B = \frac{{AH}}{{AB}} = \frac{4}{5} = 0,8;}\\{}&{\cos B = \frac{{BH}}{{AB}} = \frac{3}{5} = 0,6;}\\{}&{\tan B = \frac{{AH}}{{AB}} = \frac{4}{3};}\\{}&{\cot B = \frac{{BH}}{{AH}} = \frac{3}{4} = 0,75.}\end{array}\)
Tính \(\tan C\) trong hình bên.
Ta có \(A{H^2} = A{B^2} - B{H^2} = {6^2} - {3^2} = 27 \Rightarrow AH = 3\sqrt 3 \).
Do đó \(\tan C = \cot B = \frac{{BH}}{{AH}} = \frac{3}{{3\sqrt 3 }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).
Tính \(\sin M + \cos N\) trong hình bên.
Ta có \(O{H^2} = HM \cdot HN = 1 \cdot 3 = 3 \Rightarrow OH = \sqrt 3 \);
\(OM = \sqrt {1 + 3} = 2\).
Do đó \(\sin M = \frac{{OH}}{{OM}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Mặt khác \(\cos N = \sin M = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) nên \(\sin M + \cos N = \sqrt 3 \).
