7 bài tập Chứng minh hàm số F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K (có lời giải)

a) Ta có \({F^\prime }(x) = {\left( {5x + {x^2}} \right)^\prime } = 5 + 2x = f(x)\) với mọi \(x\) thuộc \(\mathbb{R}\).

Vậy \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên \(\mathbb{R}\).

b) Ta có \({G^\prime }(x) = {(\tan x)^\prime } = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} = g(x)\) với mọi \(x\) thuộc \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\).

Vậy \(G(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(g(x)\) trên \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\).

c) \(F'\left( x \right) = \ln x + x{\left( {\ln x} \right)^\prime } = \ln x + 1 = f\left( x \right)\) với mọi \(x \in \left( {0; + \infty } \right)\) nên hàm số \(F\left( x \right) = x\ln x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 1 + \ln x\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).

a) \({F^\prime }(x) = {\left( {{x^3}} \right)^\prime } = 3{x^2} = f(x)\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\), suy ra \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên \(\mathbb{R}\).

b) \({H^\prime }(x) = {(F(x) + C)^\prime } = {F^\prime }(x) + 0 = f(x)\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\), suy ra \(H(x)\) cũng là nguyên hàm của \(f(x)\) trên \(\mathbb{R}\).

c) \({[G(x) - F(x)]^\prime } = {G^\prime }(x) - {F^\prime }(x) = f(x) - f(x) = 0\). Suy ra \(G(x) - F(x) = C\) ( \(C\) là hằng số ). Do đó, \(G(x) - H(x)\) là hàm hằng.

Ta có: \({F^\prime }(x) = {x^2} - 2x,{G^\prime }(x) = {x^2} + 2x\).

Vì \({F^\prime }(x) = f(x)\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) nên hàm số \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên \(\mathbb{R}\).

Hàm số \(G(x)\) không là nguyên hàm của \(f(x)\) trên \(\mathbb{R}\) vì với \(x = 1\), ta có

\({G^\prime }(1) = 3 \ne  - 1 = f(1){\rm{. }}\)

\(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên khoảng \((0; + \infty )\).

a) \({F^\prime }(x) = \ln x + x{(\ln x)^\prime } = \ln x + 1 = f(x)\) với mọi \(x \in (0; + \infty )\) nên hàm số \(F(x) = x\ln x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 1 + \ln x\) trên khoảng .

b) \(F(x) = {e^{\sin x}}\) không là nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {e^{\cos x}}\) trên \(\mathbb{R}\).

a) \({\mathop{\rm Do}\nolimits} {(kx)^\prime } = k\) nên \(kx\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = k\) trên \(\mathbb{R}\). Vậy \(\int k \;{\rm{d}}x = kx + C\).

b) Do \({\left( {\frac{k}{2}{x^2}} \right)^\prime } = kx\) nên \(\frac{k}{2}{x^2}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = kx\) trên \(\mathbb{R}\).

Vậy \(\int k x\;{\rm{d}}x = \frac{k}{2}{x^2} + C(k \ne 0)\).