7 bài tập Chứng minh hàm số F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K (có lời giải)
7 câu hỏi
Chứng minh rằng:
a) \(F(x) = 5x + {x^2}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 5 + 2x\) trên \(\mathbb{R}\).
b) \(G(x) = \tan x\) là một nguyên hàm của hàm số \(g(x) = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\) trên \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\).
c) Chứng minh rằng \(F\left( x \right) = x\ln x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 1 + \ln x\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).
a) Ta có \({F^\prime }(x) = {\left( {5x + {x^2}} \right)^\prime } = 5 + 2x = f(x)\) với mọi \(x\) thuộc \(\mathbb{R}\).
Vậy \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên \(\mathbb{R}\).
b) Ta có \({G^\prime }(x) = {(\tan x)^\prime } = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} = g(x)\) với mọi \(x\) thuộc \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\).
Vậy \(G(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(g(x)\) trên \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\).
c) \(F'\left( x \right) = \ln x + x{\left( {\ln x} \right)^\prime } = \ln x + 1 = f\left( x \right)\) với mọi \(x \in \left( {0; + \infty } \right)\) nên hàm số \(F\left( x \right) = x\ln x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 1 + \ln x\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Cho hàm số \(f(x) = 3{x^2}\) xác định trên \(\mathbb{R}\).
a) Chứng minh rằng \(F(x) = {x^3}\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên \(\mathbb{R}\).
b) Với \(C\) là hằng số tuỳ ý, hàm số \(H(x) = F(x) + C\) có là nguyên hàm của \(f(x)\) trên \(\mathbb{R}\) không?
c) Giả sử \(G(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên \(\mathbb{R}\). Tìm đạo hàm của hàm số \(G(x) - F(x)\). Từ đó, có nhận xét gì về hàm số \(G(x) - F(x)\) ?
a) \({F^\prime }(x) = {\left( {{x^3}} \right)^\prime } = 3{x^2} = f(x)\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\), suy ra \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên \(\mathbb{R}\).
b) \({H^\prime }(x) = {(F(x) + C)^\prime } = {F^\prime }(x) + 0 = f(x)\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\), suy ra \(H(x)\) cũng là nguyên hàm của \(f(x)\) trên \(\mathbb{R}\).
c) \({[G(x) - F(x)]^\prime } = {G^\prime }(x) - {F^\prime }(x) = f(x) - f(x) = 0\). Suy ra \(G(x) - F(x) = C\) ( \(C\) là hằng số ). Do đó, \(G(x) - H(x)\) là hàm hằng.
Tính đạo hàm của hàm số \(F(x) = x{e^x}\), suy ra nguyên hàm của hàm số \(f(x) = (x + 1){e^x}\).
\({F^\prime }(x) = {e^x} + x{e^x} = (x + 1){e^x}\) nên \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x) = (x + 1){e^x}\).
Cho hàm số \(f(x) = {x^2} - 2x\). Trong các hàm số cho dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên \(\mathbb{R}\) ?
a) \(F(x) = \frac{{{x^3}}}{3} - {x^2}\); b) \(G(x) = \frac{{{x^3}}}{3} + {x^2}\).
Ta có: \({F^\prime }(x) = {x^2} - 2x,{G^\prime }(x) = {x^2} + 2x\).
Vì \({F^\prime }(x) = f(x)\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) nên hàm số \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên \(\mathbb{R}\).
Hàm số \(G(x)\) không là nguyên hàm của \(f(x)\) trên \(\mathbb{R}\) vì với \(x = 1\), ta có
\({G^\prime }(1) = 3 \ne - 1 = f(1){\rm{. }}\)
Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = x + \frac{1}{x}\) trên khoảng \((0; + \infty )\) ?
a) \(F(x) = \frac{1}{2}{x^2} + \ln x\); b) \(G(x) = \frac{{{x^2}}}{2} - \ln x\).
\(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên khoảng \((0; + \infty )\).
Trong mỗi trường hợp sau, hàm số \(F(x)\) có là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên khoảng tương ứng không? Vi sao?
a) \(F(x) = x\ln x\) và \(f(x) = 1 + \ln x\) trên khoảng \((0; + \infty )\);
b) \(F(x) = {e^{\sin x}}\) và \(f(x) = {e^{\\((0; + \infty )\)cos x}}\) trên \(\mathbb{R}\).
a) \({F^\prime }(x) = \ln x + x{(\ln x)^\prime } = \ln x + 1 = f(x)\) với mọi \(x \in (0; + \infty )\) nên hàm số \(F(x) = x\ln x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 1 + \ln x\) trên khoảng .
b) \(F(x) = {e^{\sin x}}\) không là nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {e^{\cos x}}\) trên \(\mathbb{R}\).
Chứng tỏ rằng:
a) \(\int k \;{\rm{d}}x = kx + C\) với \(k\) là hằng số thực;
b) \(\int k x\;{\rm{d}}x = \frac{k}{2}{x^2} + C\) với \(k\) là hằng số thực khác không.
c) \(\int k {x^2}\;{\rm{d}}x = \frac{k}{3}{x^3} + C(k \ne 0){\rm{. }}\)
a) \({\mathop{\rm Do}\nolimits} {(kx)^\prime } = k\) nên \(kx\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = k\) trên \(\mathbb{R}\). Vậy \(\int k \;{\rm{d}}x = kx + C\).
b) Do \({\left( {\frac{k}{2}{x^2}} \right)^\prime } = kx\) nên \(\frac{k}{2}{x^2}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = kx\) trên \(\mathbb{R}\).
Vậy \(\int k x\;{\rm{d}}x = \frac{k}{2}{x^2} + C(k \ne 0)\).
