56 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 1: Mặt nón có đáp án
56 câu hỏi
Cho đường thẳng l cắt và không vuông góc với Δ quay quanh Δ thì ta được
khối nón tròn xoay.
mặt trụ tròn xoay.
mặt nón tròn xoay.
hình nón tròn xoay.
Chọn C
Cho đường thẳng l cắt và không vuông góc với Δ quay quanh Δ thì ta được mặt nón tròn xoay.
Gọi l, h, R lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của một hình nón. Đẳng thức nào sau đây luôn đúng?
l2=hR
1l2=1h2+1R2
l2=h2+R2
R2=h2+l2
Chọn C
Theo định nghĩa hình nón, ta có tam giác OIM vuông tại I.
Do đó OM2=OI2+IM2, suy ra l2=h2+R2
Tính diện tích xung quanh của khối nón có thiết diện qua trục là tam giác vuông cân diện tích bằng 2?
S=22π
S=4π
S=2π
S=42π
Chọn A
Tam giác OAB vuông cân diện tích bằng 2
⇒12OA2=2⇒OA=OB=2AB=22+22=22⇒h=R=AB2=2
Suy ra Sxq=π.2.2=22π
Cắt một hình nón bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là tam giác đều cạnh 2a. Tính diện tích toàn phần của hình nón đó.
6πa2
24πa2
3πa2
12πa2
Chọn C
Ta có h=2a32=a3, l=2a, r=a
Diện tích toàn phần của hình nón là Stp=πrl+πr2=π.a.2a+π.a2=3πa2
Cho hình nón có đường sinh bằng đường kính đáy, diện tích đáy của hình nón bằng 9π. Độ dài đường cao của hình nón bằng
33
3
932
33
Chọn A
Gọi r, l, h lần lượt là bán kính đường tròn đáy, đường sinh, chiều cao của hình nón đã cho.
Theo giả thiết ta có πr2=9πl=2r nên r=3l=6
Lại có h=l2−r2 do đó h=36−9=33
Thiết diện qua trục của một hình nón là tam giác vuông có cạnh góc vuông bằng 1. Mặt phẳng α qua đỉnh S của hình nón đó cắt đường tròn đáy tại M, N. Tính diện tích tam giác SMN, biết góc giữa α và đáy hình nón bằng 60o
13
12
23
32
Chọn C
Gọi O là tâm đường tròn đáy, H là trung điểm của MN.
Ta có MN là giao tuyến của đường tròn đáy và mặt phẳng α, lại có OH⊥MN,SH⊥MN. Do đó góc giữa α và đáy hình nón là SHO^=60°
Vì thiết diện qua trục của một hình nón là tam giác vuông có cạnh góc vuông bằng 1 ⇒SO=22
Xét ΔSOH vuông tại O có sin60°=SOSH⇒SH=SOsin60°=63
Khi đó MN=2SN2−SH2=212−632=233
Vậy diện tích tam giác SMN là SΔSMN=12SH.MN=12.63.233=23
Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO, A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao cho khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB) bằng a33 và SAO^=30°, SAB^=60°. Độ dài đường sinh của hình nón theo a bằng
a2
a3
2a3
a5
Chọn A
Gọi I là trung điểm của AB, dựng OH⊥SI
Ta có OH=a33
Do SAB^=60° nên tam giác SAB đều.
Suy ra SA=SB=AB
Mặt khác
SAO^=30°⇒SO=SA.sin30°=12SA
và OA=SA.cos30°=SA.32
Xét tam giác SOI ta có
1OH2=1OS2+1OI2=1OS2+1OA2−AI2=112SA2+1SA322−12SA2⇔1OH2=6SA2⇔SA=OH6=a33.6=a2
Cho hình nón đỉnh S, đáy là đường tròn tâm O bán kính bằng 2a và độ dài đường sinh bằng a5. Mặt phẳng (P) qua đỉnh S cắt hình nón theo thiết diện là một tam giác có chu vi bằng 21+5a. Khoảng cách d từ O đến mặt phẳng (P) là
d=a33
d=a2
d=a37
d=a32
Chọn D
Giả sử thiết diện là tam giác SAB, khi đó ta có
SA+SB+AB=21+5a⇔a5+a5+AB=21+5a⇔AB=2a
Gọi E là trung điểm AB, ta có AB⊥SE, mặt khác AB⊥SOEnên AB⊥SOE
Kẻ OH⊥SEtại H, ( H∈SE ).
Ta thấy OH⊥AB vì OH⊂SOE⇒OH⊥SAB
Vậy khoảng cách từ S đến (P) là OH (hay dO;P=OH).
EB=12AB=a,OB=R=2a,OE=OB2−EB2=4a2−a2=a3SO=SB2−OB2=5a2−4a2=aOH=OS.OEOS2+OE2=a.a3a2+3a2=a32
Vậy d=a32
Cho hình nón tròn xoay nằm giữa hai mặt phẳng song song (P) và (Q) như hình vẽ. Kẻ đường cao SO của hình nón và gọi I là trung điểm của SO. Lấy M∈P, N∈Q, MN=a và đi qua I cắt mặt nón tại E và F đồng thời tạo với SO một góc 45o. Biết góc giữa đường cao và đường sinh của hình nón bằng . Độ dài đoạn EF là
EF=2a
EF=−a2tan2β
EF=−atan2β
EF=−2atan2β
Chọn B
Xét tam giác NIO có OI=NI.cosβ=a2cosβ,NO=NI.sinβ=a2sinβ
Xét tam giác SEF vuông tại S có
SEF^=ESM^+SME^=45°+90°−β=135°−βSF=SE.tanSEF^=SE.tan135°−β=SE.1+tanβtanβ−1
Vì SI là độ dài đường phân giác trong góc FSE^ nên
SI=2.SE.SFSE+SF⇔a2cosβ=2SEtan135°−β1+tan135°−β⇔SE=a1+1+tanβtanβ−1cosβ221+tanβtanβ−1=asinβ21+tanβ
Do đó EF=SEcosSEF^=SEcos135°−β=asinβ1+tanβ−cosβ+sinβ=−a2tan2β
Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60o. Tính diện tích xung quanh Sxq của hình nón đỉnh S, có đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Sxq=πa233
Sxq=πa2108
Sxq=πa274
Sxq=πa276
Chọn D
Gọi O là tâm của tam giác ABC, khi đó SO⊥ABC
Hình nón đỉnh S, có đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có đường sinh là SA, bán kính đường tròn đáy là OA.
Gọi H là trung điểm của BC thì
Tam giác ABC đều và O là tâm của tam giác đều nên
OH=13AH=13.a32=a36OA=23AH=a33
Tam giác SOH vuông tại O và có SHO^=60°nên SO=OH.tan60°=a36.3=a2
Tam giác SOA vuông tại O nên SA=SO2+OA2=a24+3a29=a216
Diện tích xung quanh hình nón là Sxq=πrl=π.OA.SA=π.a33.a216=πa276
Cho hình nón có góc ở đỉnh bằng 60o, diện tích xung quanh bằng 6πa2. Thể tích V của khối nón đã cho là
V=3πa324
V=πa324
V=3πa3
V=πa3
Chọn C
Thể tích V=13πR2h=13π.OA2.SO
Ta có
ASB^=60°⇒ASO^=30°⇒tan30°=OASO=13⇒SO=OA3
Lại có
Sxq=πRl=π.OA.SA=πOA.OA2+SO2=6πa2⇒OAOA2+3OA2=6a2⇒2OA2=6a2⇒OA=a3⇒SO=3a⇒V=13π.3a2.3a=3πa3
Cho tam giác ABC có ABC^=45°, ACB^=30°, AB=22. Quay tam giác ABC xung quanh cạnh BC ta được khối tròn xoay có thể tích V bằng
V=π31+32
V=π1+324
V=π1+38
V=π1+33
Chọn B
Ta có ABsin30°=ACsin45°=BCsin105°
⇒AC=1BC=2sin5π12=1+32
Gọi H là chân đường cao kẻ từ đỉnh A.
Ta có AH.BC=AB.AC.sin105°⇒AH=12
Suy ra thể tích khối tròn xoay cần tìm là
V=13πAH2.BH+13πAH2.CH=13πAH2.BC=π1+324
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Hình nón (N) có đỉnh A và đường tròn đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Thể tích V của khối nón (N) là
V=π3a327
V=6a327
V=π6a39
V=π6a327
Chọn D
Gọi O là tâm của tam giác đều BCD.
Ta có AO=h, OC=r
⇒r=23.a32=a33
Suy ra h=a2−r2=a2−a332=2a3
Vậy thể tích khối nón là V=13πr2h=13πa23.a23=π6a327
Cho hình nón (N) có góc ở đỉnh bằng 60o. Mặt phẳng qua trục của (N) cắt (N) theo một thiết diện là tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 2. Thể tích khối nón (2) là
V=33π
V=43π
V=3π
V=6π
Chọn C
Tam giác SAB đều vì có SA = SB và ASB^=60°. Tâm đường tròn ngoại tiếp của ΔSAB là trọng tâm tam giác. Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB là r=23SO=2⇔SO=3
Mà SO=SA.sin60°⇒SA=SOsin60°=332=23
Vậy bán kính đường tròn của khối nón là R=AB2=232=3
Vậy thể tích khối nón là V=13π32.3=3π
Cho hình tứ diện ABCD có AD⊥ABC, ABC là tam giác vuông tại B. Biết BC=a, AB=a3, AD=3a. Quay các tam giác ABC và ABD (bao gồm cả điểm bên trong hai tam giác) xung quanh đường thẳng AB ta được hai khối tròn xoay. Thể tích phần chung của hai khối tròn xoay đó bằng:
33πa316
83πa33
53πa316
43πa316
Chọn A
Khi quay tam giác ABD quanh AB ta được khối nón đỉnh B có đường cao BA, đáy là đường tròn bán kính AE = 3cm. Gọi I=AC∩BE, IH⊥AB, tại H.
Phần chung của 2 khối nón khi quay tam giác ABC và tam giác ABD quanh AB là 2 khối nón đỉnh A và đỉnh B có đáy là đường tròn bán kính IH.
Ta có ΔIBC đồng dạng với ΔIEA⇒ICIA=BCAE=13⇒IA=3IC
Mặt khác IH // BC⇒AHAB=IHBC=AIAC=34⇒IH=34BC=3a4
Gọi V1; V2 lần lượt là thể tích của khối nón đỉnh A và B có đáy là hình tròn tâm H.
V1=13πIH2.AH; V2=13πIH2.BH⇒V=V1+V2⇒V=π3IH2.AB⇒V=π3.9a216.a3⇒V=3a3316π
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC. Hình nón có đỉnh S và có đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tam giác ABC gọi là hình nón nội tiếp hình chóp S.ABC, hình nón có đỉnh S và có đường tròn đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC gọi là hình nón ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Tỉ số thể tích của hình nón nội tiếp và hình nón ngoại tiếp hình chóp đã cho bằng
12
13
23
14
Chọn D
Hai hình nón có cùng chiều cao nên tỉ số thể tích bằng tỉ số diện tích mặt đáy. Vì tam giác ABC đều nên bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 23 đường cao của tam giác, bán kính đường tròn nội tiếp bằng 13 đường cao của tam giác.
Suy ra rR=12⇒V1V2=S1S2=14
Cho một đồng hồ cát gồm 2 hình nón chung đỉnh ghép lại, trong đó đường sinh bất kỳ của hình nón tạo với đáy một góc 60o như hình bên dưới. Biết rằng chiều cao của đồng hồ là 30cm và tổng thể tích của đồng hồ là 1000πcm3. Hỏi nếu cho đầy lượng cát vào phần trên thì khi chảy hết xuống dưới, khi đó tỉ lệ thể tích lượng cát chiếm chỗ và thể tích phần dưới là bao nhiêu?
133
18
127
164
Chọn B
Gọi bán kính của hình nón lớn và nón nhỏ lần lượt là x, y x>y
Suy ra chiều cao của hình nón lớn và nón nhỏ lần lượt là x3, y3
Theo giả thiết, ta có x3+y3=3013πx2.x3+13πy2.y3=1000π
⇔x+y=103x3+y3=10003⇔x=2033, y=1033
Do hai hình nón đồng dạng nên tỉ số cần tính bằng yx3=18
Trong tất cả các hình nón có độ dài đường sinh bằng l . Hình nón có thể tích lớn nhất bằng
πl339
2πl339
πl3327
2πl3327
Chọn D
Gọi h0<h<l là chiều cao hình nón, suy ra bán kính .
Suy ra thể tích khối nón là
V=13πr2h=13πl2h−h3=13πfh
Xét hàm fh=l2h−h3 trên 0;l
f'h=l2−3h2=0⇔h=l3h=−l3khong thoa man
Lập bảng biến thiên ta được
Ta thấy maxfh=fl3=2l333
Vậy Vmax=2πl3327. Dấu “=” xảy ra ⇔h=l3
Trong các hình nón cùng có diện tích toàn phần bằng S. Hình nón có thể tích lớn nhất khi ( r, l lần lượt là bán kính đáy và đường sinh của hình nón)
l = 3r
l=22r
l = r
l = 2r
Chọn A
Ta có S=πrl+πr2→l=S−πr2πr
Thể tích
V=13πr2h=13πr2l2−r2=13πr2S−πr22π2r2−r2=13SSr2−2πr4
Lập bảng biến thiên cho hàm fr=Sr2−2πr4 trên 0;+∞, ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất tại r=S4π→l=3r
Cho hình nón đỉnh S có đáy là đường tròn tâm O. Thiết diện qua trục hình nón là một tam giác cân với cạnh đáy bằng a và có diện tích là a2. Gọi A, B là hai điểm bất kỳ trên đường tròn (O) . Thể tích khối chóp S.OAB đạt giá trị lớn nhất bằng
a32
a36
a312
a3212
Chọn C
Tam giác cân SCD, có SΔSCD=12CD.SO⇔a2=12a.SO→SO=2a
Khối chóp S.OAB có chiều cao SO = 2a không đổi nên để thể tích lớn nhất khi và chỉ khi diện tích tam giác OAB lớn nhất.
Mà SΔOAB=12OA.OB.sinAOB^=12r2.sinAOB^ (với r là bán kính đường tròn mặt đáy hình nón). Do đó để SΔOAB lớn nhất khi sinAOB^=1. Khi đó Vmax=a312
Cho hình nón N1 có đỉnh S, chiều cao h. Một hình nón N2 có đỉnh là tâm của đáy N1 và có đáy là một thiết diện song song với đáy của N2 như hình vẽ.
Khối nón N2 có thể tích lớn nhất khi chiều cao x bằng
h2
h3
2h3
h33
Chọn B
Xét mặt cắt qua trục hình nón và kí hiệu như hình vẽ. Với O, I lần lượt là tâm đáy của hình nón N1,N2; R, r lần lượt là các bán kính của hai đường tròn đáy của N1,N2
Ta có SISO=rR⇔h−xh=rR→r=Rh−xh
Thể tích khối nónN2 là
VN2=13πr2x=13πR2h−x2h2x=πR23h2.xh−x2
Xét hàm fx=xh−x2=x3−2hx2+h2x trên (0;h). Ta có
f'x=3x2−4hx+h2;x=0⇔x=hx=h3
Lập bảng biến thiên ta có
Vậy f(x) đạt giá trị lớn nhất trên khoảng (0;h) tại x=h3
Xét các hình nón có đường sinh với độ dài đều bằng 10cm. Chiều cao của hình nón có thể tích lớn nhất là
53 cm
103 cm
533 cm
1033 cm
Chọn D
Xét hình nón có chiều cao là x cm và bán kính đáy là y cm (x, y dương).
Ta có x2+y2=102⇒y2=100−x2, ta có điều kiện x, y∈0;10
Thể tích khối nón là V=13πr2h=13π100−x2x
Xét hàm số fx=100−x2x=100x−x3, x∈0;10
f'x=100−3x2;x=0⇔x=1033
Bảng biến thiên
Ta thấy V lớn nhất khi lớn nhất tại cm.
Giả sử đồ thị hàm số y=m2+1x4−2mx2+m2+1 có 3 điểm cực trị là A, B, C mà xA<xB<xC. Khi quay tam giác ABC quanh cạnh AC ta được một khối tròn xoay. Giá trị của m để thể tích của khối tròn xoay đó lớn nhất thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
(4;6)
(2;4)
(-2;0)
(0;2)
Chọn B
y'=4m2+1x3−4mx=4xm2+1x2−my'=0⇔4xm2+1x2−m=0⇔x=0x=±mm2+1m>0
Với m > 0 thì đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị (với xA<xB<xC) là
A−mm2+1;−m2m2+1+m2+1; B0;m2+1Cmm2+1;−m2m2+1+m2+1
Quay ΔABC quanh AC thì được khối tròn xoay có thể tích là
V=2.13πr2h=23πBI2.IC=23πm2m2+12.mm2+1=23πm9m2+15
Xét hàm fm=m9m2+15
Ta có f'm=m89−m2m2+16;m=0⇔m=3m>0
Ta có bảng biến thiên
Vậy thể tích cần tìm lớn nhất khi m = 3
Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 6 cm, AC = 3 cm. Gọi M điểm di động trên cạnh BC sao cho MH vuông góc với AB tại H. Cho tam giác AHM quay quanh cạnh AH tạo nên một hình nón, thể tích lớn nhất của hình nón được tạo thành là
π3
4π3
8π3
4π
Chọn C
Đặt AH=xcm, 0<x<6
Khi đó BH=6−xcm
Xét tam giác BHM vuông tại H.
Ta có tanHBM^=HMBH
⇒HM=BH.tanHBM^=6−x.tanHBM^
Mà tanHBM^=tanABC^=ACAB=36=12
Do đó HM=6−x.12
Thể tích của khối nón tạo thành khi tam giác AHM quay quanh cạnh AH là V=13AH.π.HM2=π3.x.146−x2=π12x3−12x2+36x (1).
Xét hàm số fx=x3−12x2+36x với 0 < x < 6, ta có
f'x=3x2−24x+36;x=0⇔3x2−24x+36=0⇔x=2x=6
Bảng biến thiên của hàm số fx=x3−12x2+36x với 0 < x < 6
Từ (1) và bảng biến thiên ta có thể tích lớn nhất của khối nón tạo thành là V=π12.32=8π3
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có thể tích bằng 1. Gọi (N) là một hình nón có tâm đường tròn đáy trùng với tâm của hình vuông ABCD, đồng thời các điểm A', B', C', D' nằm trên các đường sinh của hình nón như hình vẽ. Thể tích khối nón (N) có giá trị nhỏ nhất bằng
2π3
3π4
9π8
9π16
Chọn C
Xét phần mặt cắt qua trục hình nón và đi qua mặt phẳng (AA'C'C), kí hiệu như hình vẽ. Với I, H lần lượt là tâm của hình vuông ABCD, A'B'C'D' và đỉnh A'nằm trên đường sinh EF của hình nón.
Hình lập phương có thể tích bằng 1 nên AA'=HI=1,A'H=22
Đặt EH = x (x > 0). Khi đó, ta có
EHEI=A'HFI⇔xx+1=22FI→FI=22x+1x=r
Thể tích khối nón (N) là
VN=13πr2EI=16πx+1x2x+1=π6x+13x2
Xét hàm số fx=x+13x2 trên 0;+∞. Ta có f'x=x−2x+12x3
Lập bảng biến thiên
Ta được min0;+∞fx=274 tại x = 2. Suy ra minVN=9π8
Một hình nón đỉnh S bán kính đáy R=a3, góc ở đỉnh là 120°. Mặt phẳng qua đỉnh hình nón cắt hình nón theo thiết diện là một tam giác. Diện tích lớn nhất của tam giác đó bằng
3a2
2a2
32a2
23a2
Chọn B
Giả sử ΔSAM là thiết diện tạo bởi mặt phẳng và hình nón.
Gọi AM=x 0<x≤2a3
Gọi H là trung điểm của AM
⇒OH⊥AM⇒AM⊥SOH⇒AM⊥SH
Vì ASB^=120°⇒ASO^=60°⇒SA=AOsin60°=2aSO=AOtan60°=a
OH=OA2−AH2=3a2−x24⇒SH=OH2+SO2=4a2−x24SΔSAM=12AM.SH=12x4a2−x24
Ta có S'=124a2−x24−x244a2−x24=16a2−2x284a2−x24⇒S'=0⇒x=2a2
⇒Smax=2a2
Cho mặt cầu (S) bán kính R. Hình nón (N) thay đổi có đỉnh và đường tròn đáy thuộc mặt cầu (S). Thể tích lớn nhất của khối nón (N) là
32πR381
32πR327
32πR327
32R327
Chọn A
Ta có thể tích khối nón đỉnh S lớn hơn hoặc bằng thể tích khối nón đỉnh S'. Do đó chỉ cần xét khối nón đỉnh S có bán kính đường tròn đáy là r và đường cao là SI = h với h≥R. Thể tích khối nón được tạo nên bởi (N) là
V=13hSC=13h.π.r2=13.h.πR2−h−R2=13π−h3+2h2R
Xét hàm số fh=−h3+2h2R với h∈R;2R
Ta có f'h=−3h2+4hR
f'h=0⇔−3h2+4hR=0⇔h=0 (loại) hoặc h=4R3
Bảng biến thiên
Ta có maxfh=3227R3 tại h=4R3
Vậy thể tích khối nón được tạo nên bởi (N) có giá trị lớn nhất là V=13π3227R3=3281πR3 khi h=4R3
Người thợ gia công của một cơ sở chất lượng cao X cắt một miếng tôn hình tròn với bán kính 60 cm thành ba miếng hình quạt bằng nhau. Sau đó người thợ ấy quấn và hàn ba miếng tôn đó để được ba cái phễu hình nón. Hỏi thể tích V của mỗi cái phễu đó bằng bao nhiêu?
V=1600023 lít
V=162π3 lít
V=160002π3 lít
V=1602π3 lít
Chọn B
Đổi 60 cm = 6 dm.
Đường sinh của hình nón tạo thành là l = 6 dm.
Chu vi đường tròn ban đầu là C=2πR=12π
Gọi r là bán kính đường tròn đáy của hình nón tạo thành.
Chu vi đường tròn đáy của hình nón tạo thành là
2πr=2π.63=4π (dm) ⇒r=4π2π=2 (dm).
Đường cao của khối nón tạo thành là
h=l2−r2=62−22=42
Thể tích của mỗi phễu là
V=13πr2h=13π22.42=162π3dm3 =162π3(lít)
Hai chiếc ly đựng chất lỏng giống hệt nhau, mỗi chiếc có phần chứa chất lỏng là một khối nón có chiều cao 2dm (mô tả như hình vẽ). Ban đầu chiếc ly thứ nhất chứa đầy chất lỏng, chiếc ly thứ hai để rỗng. Người ta chuyển chất lỏng từ ly thứ nhất sang ly thứ hai sao cho độ cao của cột chất lỏng trong ly thứ nhất còn 1dm. Tính chiều cao h của cột chất lỏng trong ly thứ hai sau khi chuyển (độ cao của cột chất lỏng tính từ đỉnh của khối nón đến mặt chất lỏng – lượng chất lỏng coi như không hao hụt khi chuyển. Tính gần đúng h với sai số không quá 0,01dm).
h≈1,73 dm
h≈1,89 dm
h≈1,91 dm
h≈1,41 dm
Chọn C
Có chiều cao hình nón khi đựng đầy nước ở ly thứ nhất AH = 2
Chiều cao phần nước ở ly thứ nhất sau khi đổ sang ly thứ hai AD = 1
Chiều cao phần nước ở ly thứ hai sau khi đổ sang ly thứ hai AF = h
Theo Ta-lét ta có
R'R=ADAH=12, R''R=AFAH=h2 suy ra R'=R2,=Rh2
Thể tích phần nước ban đầu ở ly thứ nhất V=2πR2
Thể tích phần nước ở ly thứ hai V1=πR''2h=πR2h34
Thể tích phần nước còn lại ở ly thứ nhất V2=πR24
Mà V=V1+V2⇔πR2h34+πR24=2πR2⇔h34+14=2⇔h=73=1,91
Một bể nước lớn của khu công nghiệp có phần chứa nước là một khối nón đỉnh S phía dưới (hình vẽ), đường sinh SA = 27 mét. Có một lần lúc bể chứa đầy nước, người ta phát hiện nước trong bể không đạt yêu cầu về vệ sinh nên lãnh đạo khu công nghiệp cho thoát hết nước để làm vệ sinh bể chứa. Công nhân cho thoát nước ba lần qua một lỗ ở đỉnh S. Lần thứ nhất khi mực nước tới điểm M thuộc SA thì dừng, lần thứ hai khi mực nước tới điểm N thuộc SA thì dừng, lần thứ ba mới thoát hết nước. Biết rằng lượng nước mỗi lần thoát bằng nhau. Tính độ dài đoạn MN.
2723−1 m
99343−1 m
99323−1 m
93323−1 m
Chọn C
Ta gọi V1, V2, V lần lượt là thể tích khối nón có đường sinh là SN, SM, SA.
Do ΔSEM đồng dạng với ΔSOA nên ta có SMSA=SESO=EMOA
Lại có V2V=13π.EM2.SE13π.OA2.SA⇔23=SASM3⇔23=SM273⇔SM=131223
Tương tự V1V=SNSA3⇔13=SN273⇔SN=65613
Vậy MN=SM−SN=131223−65613
Cho hình nón (N) có chiều cao h, độ dài đường sinh l, bán kính đáy r. Kí hiệu Sxq là diện tích xung quanh của khối nón (N). Công thức nào sau đây là đúng?
Sxq=πrh
Sxq=2πrl
Sxq=2πr2h
Sxq=πrl
Đáp án D
Cho tứ diện đều ABCD. Khi quay tứ diện đó quanh trục AB có bao nhiêu hình nón khác nhau được tạo thành?
Một.
Hai.
Không có hình nón nào.
Ba.
Đáp án B
Cho hình nón có diện tích xung quanh là Sxq và bán kính r. Công thức nào sau đây dùng để tính đường sinh của hình nón đã cho.
l=Sxqπr
l=2Sxqπr
l=2πSxqr
l=Sxq2πr
Đáp án A
Cho hình nón có bán kính đường tròn đáy bằng R, chiều cao bằng h, độ dài đường sinh bằng l . Khẳng định nào sau đây đúng?
l=R2−h2
R=l2+h2
h=R2−l2
l=R2+h2
Đáp án D
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh a. Một khối nón có đỉnh là tâm của hình vuông ABCD và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông A'B'C'D'. Kết quả tính diện tích toàn phần Stp của khối nón đó có dạng bằng πa24b+c với b và c là hai số nguyên dương và b > 1. Giá trị của bc là
bc = 5
bc = 8
bc = 15
bc = 7
Đáp án A
Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng 5πa2 và bán kính đáy bằng a. Độ dài đường sinh của hình nón đã cho là
a5
3a2
3a
5a
Đáp án D
Một tứ diện đều cạnh a có một đỉnh trùng với đỉnh hình nón, ba đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy của hình nón. Khi đó diện tích xung quanh của hình nón bằng
32πa2
233πa2
33πa2
3πa2
Đáp án C
Cho hình nón có thiết diện qua trục là tam giác vuông có cạnh huyền bằng a2. Diện tích xung quanh Sxq của hình nón đó là
Sxq=πa233
Sxq=πa222
Sxq=πa226
Sxq=πa223
Đáp án B
Cho một miếng tôn hình tròn có bán kính 50 cm. Biết hình nón có thể tích lớn nhất khi diện tích toàn phần của hình nón bằng diện tích miếng tôn ở trên. Khi đó hình nón có bán kính đáy bằng
102 cm
502 cm
20 cm
25 cm
Đáp án D
Cho hình nón đỉnh S có chiều cao bằng bán kính đáy và bằng 2a. Mặt phẳng (P) đi qua S cắt đường tròn đáy tại A và B sao cho AB=23a. Khoảng cách từ tâm của đường tròn đáy đến (P) bằng
a5
a
a22
2a5
Đáp án D
Người ta đặt được vào trong một hình nón hai khối cầu có bán kính lần lượt là a và 2a sao cho các khối cầu đều tiếp xúc với mặt xung quanh của hình nón, hai khối cầu tiếp xúc với nhau và khối cầu lớn tiếp xúc với đáy của hình nón. Bán kính đáy của hình nón đã cho là
5a
3a
22a
8a3
Đáp án C
Một cái phễu có dạng hình nón chiều cao của phễu là 30 cm. Người ta đổ một lượng nước vào phễu sao cho chiều cao của cột nước trong phễu bằng 15 cm (hình H1). Nếu bịt kín miệng phễu rồi lật ngược phễu lên (hình H2) thì chiều cao của cột nước trong phễu gần với giá trị nào sau đây?
1,553 cm.
1,306 cm.
1,233 cm.
15 cm.
Đáp án B
Cho một hình nón đỉnh S có chiều cao bằng 8 cm bán kính đáy bằng 6 cm. Cắt hình nón đã cho bởi một mặt phẳng song song với mặt phẳng chứa đáy được một hình nón (N) đỉnh S có đường sinh bằng 4 cm. Thể tích của khối nón (N) là
V=768125π cm3
V=786125π cm3
V=2304125π cm3
V=2358125π cm3
Đáp án A
Cho hình nón (N) có bán kính đáy bằng a và diện tích xung quanh Sxq=2πa2. Tính thể tích V của khối chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD nội tiếp đáy của khối nón (N) và đỉnh S trùng với đỉnh của khối nón (N).
V=25a33
V=22a33
V=23a3
V=23a33
Đáp án D
Cho hình nón đỉnh S, đáy là đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Biết rằng AB = BC = 10a, AC = 12a, góc tạo bởi hai mặt phẳng (SAB) và (ABC) bằng 45o. Thể tích V của khối nón đã cho là
V=3πa3
V=9πa3
V=27πa3
V=12πa3
Đáp án B
Cắt hình nón S bởi một mặt phẳng đi qua trục ta được thiết diện là một tam giác vuông cân, cạnh huyền bằng a2. Thể tích khối nón bằng
πa24
πa326
πa2212
πa3212
Đáp án D
Cho hình nón có góc ở đỉnh bằng 60o, diện tích xung quanh bằng 6πa2. Thể tích V của khối nón đã cho là
V=3πa324
V=πa324
V=3πa3
V=πa3
Đáp án C
Cho hình nón (N) có góc ở đỉnh bằng 60o. Mặt phẳng qua trục của (N) cắt (N) theo một thiết diện là tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 2. Tính thể tích khối nón (N)
V=33π
V=43π
V=3π
V=6π
Đáp án C
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Hình nón (N) có đỉnh A và đường tròn đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Thể tích V của khối nón (N) là
V=π3a327
V=6a327
V=π6a39
V=π6a327
Đáp án D
Cho hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều. Gọi V1, V2 lần lượt là thể tích của khối cầu nội tiếp ngoại tiếp và nội tiếp hình nón đã cho. Tính V1V2
4
2
8
16
Đáp án C
Với một đĩa phẳng hình tròn bằng thép bán kính R, phải làm một cái phễu bằng cách cắt đi một hình quạt của đĩa này và gấp phần còn lại thành một hình nón. Gọi độ dài cung tròn của hình quạt còn lại là x. Tìm x để thể tích khối nón tạo thành nhận giá trị lớn nhất.
x=2πR63
x=2πR23
x=2πR33
x=πR63
Đáp án A
Hình nón gọi là nội tiếp mặt cầu nếu đỉnh và đường tròn đáy của hình nón nằm trên mặt cầu. Tìm chiều cao h của hình nón có thể tích lớn nhất nội tiếp mặt cầu có bán kính R cho trước.
h=3R2
h=5R2
h=5R4
4R3
Đáp án D
Cho mặt cầu (S) có bán kính R không đổi, hình nón (H) bất kì nội tiếp mặt cầu (S). Thể tích khối nón (H) là V1; và thể tích phần còn lại của khối cầu là V2. Giá trị lớn nhất của V1V2 bằng
8132
7632
3281
819
Đáp án D
Cho một tấm bìa có hình dạng tam giác vuông, biết b và c là độ dài hai cạnh góc vuông của tấm bìa. Trên tấm bìa đó ta chọn cạnh huyền làm trục rồi quay xung quanh tấm bìa đó (kể cả điểm trong) với trục tạo thành một khối tròn xoay. Thể tích V khối tròn xoay sinh ra bởi tấm bìa đó là
V=b2c23b2+c2
V=πb2c23b2+c2
V=2πb2c23b2+c2
V=πb2c232b2+c2
Đáp án B
Cho khối gỗ hình trụ có bán kính 3 cm và chiều cao 6 cm, đáy là hai hình tròn tâm O và O'. Đục khối gỗ này tạo ra hai khối nón có đỉnh nằm trên OO' và đáy trùng với hai đáy của khối gỗ sao cho góc ở đỉnh bằng 60o (như hình vẽ) và OI=x32<x<33. Giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích xung quanh hai hình nón đã đục bằng
12π cm2
14π cm2
44π cm2
72π cm2
Đáp án A
Một tấm tôn hình tam giác đều SBC có độ dài cạnh bằng 3. K là trung điểm BC. Người ta dùng compa vạch một cung tròn MN có tâm là S, bán kính SK. Lấy phần hình quạt gò thành hình nón không có mặt đáy với đỉnh là S, cung MN thành đường tròn đáy của hình nón (hình vẽ). Tính thể tích khối nón trên.
π10564
3π32
3π332
π14164
Đáp án A
