82 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 3: Mặt cầu - Khối cầu có đáp án
82 câu hỏi
Diện tích mặt cầu có bán kính R là
4πR2.
4πR3.
43πR2.
43πR3.
Chọn A
Từ công thức tính diện tích của mặt cầu S=4πR2 ta suy ra đáp án.
Cho hình cầu có bán kính R. Khi đó thể tích khối cầu là
43πR3.
23πR3.
13πR3.
4πR3.
Chọn A.Từ công thức tính thể tích của khối cầu V=43πR3 ta suy ra đáp án.
Từ một điểm M nằm ngoài mặt cầu S(O;R) có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với mặt cầu?
Vô số
0
1
2
Chọn A.
Từ một điểm M nằm ngoài mặt cầu S(O;R) có thể kẻ được vô số tiếp tuyến với mặt cầu.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Hình chóp đều luôn có mặt cầu ngoại tiếp.
Hình lăng trụ đều luôn có mặt cầu ngoại tiếp.
Hình hộp đứng luôn có mặt cầu ngoại tiếp.
Hình chóp tam giác luôn có mặt cầu ngoại tiếp.
Chọn C.
Đáy của hình hộp đứng không nội tiếp trong một đường tròn khi đáy của nó là hình bình hành (không phải các trường hợp đặc biệt như hình chữ nhật hay hình vuông) và khi đó hình hộp đứng không có mặt cầu ngoại tiếp.
Cho mặt cầu có tâm, bán kính. Mặt phẳng cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn có bán kính. Kết luận nào sau đây sai?
R=r2+d2O,α.
dO,α<r.
Diện tích của mặt cầu là S=4πr2.
Đường tròn lớn của mặt cầu có bán kính bằng bán kính mặt cầu
Chọn A
Đáp án A sai vì r=R2+d2O,α.
Thể tích V của khối cầu có bán kính R=a3 là
V=4πa33.
V=12πa33.
V=4πa333.
V=4πa33.
Chọn A.Ta có V=43πR3=43πa33=4πa33.
Một mặt cầu có diện tích xung quanh là π thì có bán kính bằng
32.
3.
12.
1
Chọn C.
Smc=4πR2⇔4πR2=π⇔R=12.
Diện tích S của một mặt cầu có bán kính R=a6 là
S=6πa2.
S=24πa2.
S=8πa2.
S=πa2.
Chọn B.
Diện tích của một mặt cầu có bán kính R=a6 làS=4πR2=4πa62=24πa2.
Khối cầu S1 có thể tích bằng 54 cm3 và có bán kính gấp 3 lần bán kính khối cầu S2. Thể tích V của khối cầu S2 là
2cm3.
18cm3.
4cm3.
6cm3.
Chọn A.
Khối cầu S1 có bán kính R. Khi đó khối cầu S2 có bán kính R3.
Từ giả thiết ta có 43πR3=54.
Do đó, thể tích khối cầu S2 là V=43πR33=127.43πR3=127.54=2cm3.
Cắt mặt cầu (S) bằng một mặt phẳng cách tâm một khoảng bằng 4cm ta được một thiết diện là đường tròn có bán kính bằng 3cm. Bán kính của mặt cầu (S) là
10cm.
7cm.
12cm.
5cm.
Chọn D.
Bán kính mặt cầu (S) là R=32+42=5cm.
Cho hình hộp chữ nhật có ba kích thước là 2a, 4a, 4a với 0<a∈R. Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật đã cho bằng
6a
4a
3a
2a
Chọn C
Giả sử hình hộp chữ nhật là ABCD.A'B'C'D'. Dễ thấy điểm O là trung điểm của AC’ là tâm mặt cầu ngoại tiếp của hình hộp chữ nhật.
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật là R = OAR=12AC'=12A'A2+A'C'2=12A'A2+A'D'2+D'C'2=122a2+4a2+4a2=3a.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là điểm I với
I là trung điểm của đoạn thẳng SD.
I là trung điểm của đoạn thẳng AC.
I là trung điểm của đoạn thẳng SC.
I là trung điểm của đoạn thẳng SB.
Chọn C
Từ giả thiết ta có BC⊥ABBC⊥SA
⇒BC⊥SAB⇒BC⊥SB⇒SBC^=90o 1.
Chứng minh tương tự ta cũng có CD⊥SD⇒SDC^=90o 2.
Do SA⊥ABCD⇒SA⊥AC⇒SAC^=90o 3.
Từ (1), (2) và (3) suy ra mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là mặt cầu đường kính SC nên tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là trung điểm I của đoạn thẳng SC.
Cho khối chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a3. Thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp là
V=3πa36.
V=πa36.
V=πa368.
V=3πa368.
Chọn B
Vì S.ABCD là hình chóp đều nên SO⊥ABCD.
Ta có OD=12BD=12.a6=a62,
SO=SD2−OD2=a62.
Vậy OS=OA=OD=OB=OC, nên O là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD.
Vậy thể tích khối cầu cần tìm là V=43π.SO3=πa36 (đvtt)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA⊥ABCD và SA=AB=a. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là
a22.
a32.
a52.
a2.
Chọn B
Chứng minh tương tự như ví dụ 2 ta được kết quả
=> Ba đỉnh A, B, D đều nhìn cạnh SC dưới một góc vuông.
=> Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là trung điểm SC và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là R=SC2.
Ta có ABCD là hình vuông cạnh a ⇒AC=a2.
Xét tam giác SAC vuông tại A có SC=a2+2a2=a3.
Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là R=a32.
Cho tứ diện ABCD có các mặt ABC và BCD là các tam giác đều cạnh bằng 2, hai mặt phẳng (ABD) và (ACD) vuông góc với nhau. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD bằng
22.
2.
223.
63.
Chọn B
Ta có △ABC, △BCD đều cạnh bằng 2 nên AC=CD=2⇒ΔACDcân tại C.
Gọi I là trung điểm AD⇒CI⊥AD.
Lại có ACD⊥ADBACD∩ADB=ADIC⊥AD⇒CI⊥ABD
⇒CI⊥IBdo IB⊂ABD1
Ta có ΔACD=ΔABDc.c.c⇒CI=IB 2.
Từ (1) và (2) ta có ACB vuông cân tại I⇒CB=IB2⇒IB=CB2=22=2=IC.
△DIB vuông tại I⇒ID=BD2−IB2=2⇒AD=2ID=22.
Xét △ADB có AB=DB=2; AD=22⇒ΔABD vuông tại B.
⇒ABD^=90o⇒ACD^=90o.
Suy ra mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có đường kính là AD nên bán kính là R=ID=2.
Cho hình chóp S.ABC có SA⊥ABC, tam giác ABC vuông tại B. Biết SA = 4a, AB = 2a, BC = 4a. Bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là
3a
2a
a
6a
Chọn A
Ta có BC⊥ABBC⊥SA do SA⊥ABC⇒BC⊥SAB⇒BC⊥SB.
SA⊥ABC⇒SA⊥AC
Suy ra hai điểm A, B cùng nhìn SC dưới một góc vuông. Vậy tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là trung điểm SC, bán kính mặt cầu là R=SC2.
Ta có AC2=AB2+BC2=4a2+16a2=20a2
⇒SC=SA2+AC2=16a2+20a2=6aα//BDSBD∩α=EF⇒BD//EF.
Vậy R = 3a
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AC=a3,ACB^=30o. Góc giữa đường thẳng AB' và mặt phẳng (ABC) bằng 60°. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A'ABC bằng
a214.
a212.
3a4.
a218.
Chọn A
Trong tam giác vuông ABC có AB=AC.sin30o=a32.
Vì AB'∩ABC=A và hình chiếu của B lên mặt phẳng (ABC) là B nên góc giữa đường thẳng AB' và mặt phẳng (ABC) bằng góc giữa hai đường thẳng AB' và AB, và bằng góc B'AB^ (vì tam giác AB'B vuông tại B). Do đó B'AB^=60o.
Trong tam giác vuông AB'B có BB'=AB.tan60o=a32tan60o=3a2.
Trong tam giác vuông AA'C có A'C=AA'2+AC2=3a22+3a2=212a.
Ta có BC⊥AB và BC⊥AA' nên BC⊥ABB'A', suy ra BC⊥A'B hay A'BC^=90o. Mà A'AC^=90o, suy ra hai điểm A, B cùng nhìn A'C dưới một góc vuông.
Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A'ABC bằng R=A'C2=214a.
Cho hình chóp S.ABC có đáy là hình vuông cạnh a, SA=a2 và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M là trung điểm cạnh SC. Mặt phẳng α qua A và M đồng thời song song với đường thẳng BD cắt SB, SD lần lượt tại E, F. Bán kính mặt cầu đi qua 5 điểm S, A, E, M, F nhận giá trị nào sau đây?
a
a2.
a22.
a2.
Chọn C
Gọi I là giao điểm của AM và SO.
Dễ thấy I là trọng tâm tam giác SAC và I, E, F thẳng hàng.
Lại có SFSD=SISO=23⇒SF=23SD
⇒SF.SD=23SD2=23SA2+AD2=2a2⇒SF.SD=SA2.
Xét tam giác vuông SAD có SF.SD=SA2⇒AF là đường cao tam giác AF⊥SF.
Chứng minh tương tự ta có AE⊥SB.
Tam giác SA=AC=a2 nên AM vừa là trung tuyến vừa là đường cao tam giác AM⊥SC.
Ta có AM⊥SMAF⊥SFAE⊥SE nên mặt cầu đi qua 5 điểm S, A, E, M, F có tâm là trung điểm SA và bán kính bằng SA2=a22.
Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với mặt đáy một góc 60°. Gọi (S) là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Thể tích của khối cầu tạo nên bởi mặt cầu (S) bằng
32πa381.
32πa377.
64πa377.
72πa339.
Chọn A
Gọi H là tâm của tam giác ABC, SH là trục của đường tròn ngoại tiếp ABC, mặt phẳng trung trực của SA qua E là trung điểm của SA và cắt SH tại I. Khi đó I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
Xét trong tam giác SAH ta có SH=AH.tan60o=a33.tan60o=a;SA=SHsin60o=2a3.
Xét hai tam giác đồng dạng △SEI và △SHA
Ta có SISA=SESH⇒SI=SA.SESH=2a3.2a23a=2a3
⇒R=2a3.
Suy ra thể tích của khối cầu tạo nên bởi mặt cầu (S) bằng 43π2a33=32πa381.
Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đều có tất cả các cạnh đều bằng a.
7πa25.
7πa23.
7πa26.
3πa27.
Chọn B
Gọi O1, O2 lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp hai đáy lăng trụ => O1O2 là trục đường tròn ngoại tiếp hai đa giác đáy.
Gọi I là trung điểm của O1O2⇒IA=IB=IC=IA'=IB'=IC'.
Suy ra trung điểm I của O1O2 là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ.
Bán kính R=IA=AO22+IO22=AO22+O1O222=23.a322+a22=a.712.
Do đó diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đều có tất cả các cạnh đều bằng a là S=4π.R2=4π.a.7122=7πa33.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và AB=2, AC=4, SA=5.Mặt cầu đi qua các đỉnh của hình chóp S.ABC có bán kính là
R=252.
R=52.
R=5.
R=103.
Chọn B
Gọi M, H lần lượt là trung điểm của BC, SA
Ta có tam giác ABC vuông tại A suy ra A là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Qua M kẻ đường thẳng d sao cho d⊥ABC⇒d là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Trong mặt phẳng kẻ đường trung trực Δ của đoạn SA, cắt d tại I ⇒IA=IB=ICIA=IS⇒IA=IB=IC=IS
=> I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Dễ thấy tứ giác HAMI là hình chữ nhật.
Ta có
AM=12BC=1222+42=5,IM=12SA=52.
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là R=AI=AM2+IM2=5+54=52.
Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là
a2.
a.
a22.
2a.
Chọn C
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD⇒SO⊥ABCD
Vậy SO là trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD
Trong (SAC) gọi (d) là trung trực của SA và I là giao điểm của (d) với SO
⇒I∈SOI∈d⇒IA=IB=IC=IDIA=IS⇒IA=IB=IC=ID=IS.
Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Bán kính mặt cầu là R=SA22SO=SA22SA2−AO2=a22a2−a222=a22.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, các mặt bên tạo với đáy một góc 60°. Diện tích Smc của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là
Smc=25πa23.
Smc=32πa23.
Smc=8πa23.
Smc=a212.
Chọn A
Trục của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy là SO. Mặt phẳng trung trực của SB cắt SO tại I, cắt SB tại K thì I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Gọi H là trung điểm BC thì SHO^=60o.
Xét tam giác vuông SHO, ta có tan60o=SOOH⇒SO=a3.
Từ đó suy ra SB=SO2+OB2=3a2+2a2=a5.
Ta có ΔSKI∽ΔSOBg.g.
⇒SKSO=SISB⇒SI=SK.SBSO⇒SI=a5.a52a3=5a23=5a36.
Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Smc=4πR2=4π75a236=25πa23.
Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy a2, cạnh bên 2a. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC, SD. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện ABCDMNPQ
R=a62.
R=a.
R=a64.
R=a104.
Chọn B
Ta có ABCD//MNPQ. Gọi O=AC∩BD.
Mà S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SO⊥ABCD. Nên SO là trục của hai đáy (ABCD) và (MNPQ).
Trong mặt phẳng (SAO) kẻ đường trung trực d của đoạn thẳng AM cắt SA, SO tại H, I.
Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ABCDMNPQ và bán kính là IA.
Ta có SA=SB=SC=SD=2a
AB=BC=CD=DA=a2.
Lại có SH=34SA=34.2a=3a2⇒HA=14SA=a2.
⇒AC=AB2=2a⇒AO=a⇒SO=SA2−AO2=a3.
Mặt khác ΔSHI∽ΔSOAg.g⇒HIOA=SHSO⇒HI=OA.SHSO=a.3a2a3=3a2.
Bán kính mặt cầu cần tìm là R=AI=HI2+HA2=a322+a22=a.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = 2a, BC = a, hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của AD, SH=a32. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD bằng bao nhiêu?
16πa23.
16πa29.
4πa33.
4πa23.
Chọn A
Gọi I là giao điểm của AC và BC, qua I dựng đương thẳng d song song với SH⇒d⊥ABCD.
Gọi M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAD, qua M kẻ đường thẳng d' vuông góc với mp(SAD), d' cắt d tại O => O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD và bán kính bằng R=OS=MO2+MS2.
Với OM=IH=AB2=a, MS=r (r là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB).
Lại có, △SAD cân tại A, cạnh AD = a, đường cao SH=a32 suy ra tam giác SAD đều r=AM=23SH=a33⇒R2=4a23 (R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD).
Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD bằng S=4πR2=16πa23.
Cho hình chóp S.ABC có SA⊥ABC. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC. Biết BAC^=α, BC=a. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ABCMN là
πcos2αa2.
πsin2αa2.
4πcos2αa2.
4πsin2αa2.
Chọn B
+) Gọi K, P lần lượt là trung điểm của AC và AB.
△ACN vuông tại N => K là tâm đường tròn ngoại tiếp △ACN.
△ABM vuông tại M => P là tâm đường tròn ngoại tiếp △ABM.
+) Hai mặt phẳng (SAB), (ABC) vuông góc và cắt nhau theo giao tuyến AB nên gọi d1 là trục của đường tròn ngoại tiếp △ABM thì d1 qua P, d1⊂ABC và d1⊥AB. Tương tự, gọi d2 là trục của đường tròn ngoại tiếp △ACN thì d2 qua K, d2⊂ABC và d2⊥AC.
+) Rõ ràng, trong mặt phẳng (ABC) thì d1d2 lần lượt là đường trung trực của các cạch AB, AC nên hai đường này cắt nhau tại tâm đường tròn ngoại tiếp △ABC. Do đó, tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ABCMN cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp △ABC, bán kính R của mặt cầu này cũng chính là bán kính đường tròn ngoại tiếp △ABC.
+) Áp dụng định lí sin cho △ABC ta được R=BC2sinA=a2sinα.
Vây diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ABCMN là S=4πR2=πa2sin2α.
Thể tích khối cầu nội tiếp hình lập phương có cạnh bằng 1 là
π12.
π3.
2π3.
π6.
Chọn D
Khối cầu nội tiếp hình lập phương có tâm trùng với tâm của hình lập phương và tiếp xúc với các mặt của hình lập phương tại tâm của các hình vuông là các mặt của hình lập phương.
Suy ra bán kính R=12.
Thể tích khối cầu nội tiếp hình lập phương là V=43πR3=43π123=π6.
Cho hình lập phương có thể tích bằng 64a3. Thể tích của khối cầu nội tiếp của hình lập phương đó bằng
V=64πa33.
V=64πa33.
V=32πa33.
V=16πa33.
Chọn C.
Hình lập phương có thể tích bằng 64a3, suy ra cạnh hình lập phương là 4a.
Khối cầu nội tiếp hình lập phương có bán kính bằng 12 cạnh hình lập phương ⇒R=2a.
Vậy V=43πR3=32πa33.
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, AB = 8, BC = 6. Biết SA = 6 và SA vuông góc với mp(ABC). Tính thể tích khối cầu có tâm thuộc phần không gian bên trong của hình chóp và tiếp xúc với tất cả các mặt của hình chóp S.ABC.
169π.
62581π.
25681π.
259π.
Chọn C
Gọi I và r lần lượt là tâm và bán kính của hình cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của hình chóp S.ABC.
Khi đó
VS.ABC=VI.ABC+VI.SBC+VI.SAB+VI.SAC=13rSΔABC+SΔSAB+SΔSBC+SΔSAC=r.STP3⇒r=3VS.ABCSTP.VS.ABC=13SA.SΔABC=13.6.12.8.6=48;SΔABC=SΔSAB=24;SΔSBC=SΔSAC=30⇒STP=108.
Vậy r=3VS.ABCSTP=3.48108=43⇒Vmc=43πr3=25681π.
Cho mặt cầu bán kính R = 5cm.Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) có chu vi bằng 8πcm. Bốn điểm A, B, C, D thay đổi sao cho A, B, C thuộc đường tròn (C), điểm D thuộc S D∉C và tam giác ABC đều. Thể tích lớn nhất của tứ diện ABCD bằng
203cm3.
323cm3.
603cm3.
963cm3.
Chọn B
Gọi H là hình chiếu của D trên mặt phẳng (P). Đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC có chu vi bằng 8πcm.
Suy ra bán kính đường tròn R=8π2π=4cm.
Suy ra cạnh của tam giác ABC bằng 43cm
Suy ra SΔABC=43234=123cm2 không đổi
Do đó thể tích khối tứ diện ABCD lớn nhất khi dD,ABC lớn nhất <=> D và O nằm cùng phía SO với mặt phẳng (P) và D, O, H thẳng hàng
⇔DH=DO+OH=DO+OA2−AH2=5+25−16=8.
Khi đó Vmax=13.123.8=323cm3.
Cho hai mặt cầu S1, S2 có cùng tâm I và bán kính lần lượt là 2 và 10. Các điểm A, B thay đổi thuộc S1 còn C, D thay đổi thuộc S2 sao cho có tứ diện ABCD. Khi thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất thì khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD bằng
10.
3
5.
2
Chọn C
Để có tứ diện ABCD thì AB và CD không đồng phẳng.
Gọi R1, R2 lần lượt là bán kính của các mặt cầu S1 và S2⇒R1=2;R2=10.
Gọi K là trung điểm của CD và h là khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD.
Ta CD=2CK,AB≤2R1=4,sinAB,CD≤1.
Thể tích khối tứ diện ABCD là VABCD=16AB.CD.sinAB,CD.dAB,CD≤16.4.CD.h
≤Co−si43h2+CK2≤43IK2+CK2.
Xét △ICK vuông tại K có IK2+CK2=CI2=R22.
Khi đó VABCD≤43R2=4310.
Dấu “=” xảy ra ⇔AB⊥CDAB=4h=IK=CK=5
Cho tam giác ABC đều cạnh a, đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi S là điểm thay đổi trên đường thẳng d, H là trực tâm tâm giác SBC. Biết rằng khi S thay đổi trên đường thẳng d thì điểm H nằm trên đường (C). Trong số các mặt cầu chứa đường (C), bán kính mặt cầu nhỏ nhất là
a22.
a
a312.
a36.
Chọn C
Gọi M là trung điểm BC suy ra AM⊥BC;SM⊥BC.
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, vì tam giác ABC đều cạnh a nên AM=a32;MG=13MA=a36 suy ra MG.MA=a24.
Mặt khác H trực tâm tam giác SBC nên tam giác BMH và tam giác SMC là hai tam giác đồng dạng nên BMSM=MHMC⇔MH.MS=BM.MC=a24.
Do đó MH.MS=MG.MA hay MHMG=MAMS nên tam giác MHG và tam giác MAS đồng dạng suy ra GH⊥SM.
Vì H thuộc (SAM) cố định khi S thay đổi trên d và GH⊥SM nên (C) là một phần của đường tròn đường kính GM do đó trong các mặt cầu chứa (C), mặt cầu có bán kính nhỏ nhất là mặt cầu nhận GM làm đường kính nên bán kính mặt cầu R=GM2=a312.
Người ta thả một viên bi có dạng hình cầu với bán kính bằng 3cm vào một cái ly dạng hình trụ đang chứa nước. Người ta thấy viên bi chìm xuống đáy ly và chiều cao của mực nước dâng lên thêm 1cm. Biết rằng chiều cao của mực nước ban đầu trong ly bằng 7,5cm. Tính thể tích V của khối nước ban đầu trong ly (kết quả lấy xấp xỉ).
V=282,74cm3.
V=848,23cm3.
V=636,17cm3.
V=1272,35cm3.
Chọn B
Gọi V0 là thể tích của viên bi.
Gọi R là bán kính của cái ly (không tính vỏ).
Theo bài ra ta có thể tích của cột nước dâng lên 1cm bằng thể tích viên bi nên ta có πR2.1=36π⇒R=6cm
Suy ra thể tích V của khối nước ban đầu trong ly πR2.h=π.36.7,5=848,23cm3
Cho ba hình cầu tiếp xúc ngoài với nhau từng đôi một và cùng tiếp xúc với một mặt phẳng. Các tiếp điểm của các hình cầu trên mặt phẳng lập thành tam giác có các cạnh là 4, 2 và 3. Tích bán kính của ba hình cầu trên là
12
3
6
9
Chọn B
Gọi O1,r1, O2,r2, O3,r3 lần lượt là 3 hình cầu thỏa mãn. Gọi A, B, C lần lượt là hình chiếu của O1; O2; O3 trên mặt phẳng. Giả sử AB = 4, BC = 2, AC = 3
Ta có O1A=r1;O2B=r2;O3C=r3;O1O2=r1+r2;O2O3=r2+r3;O3O1=r3+r1.
Kẻ O1H⊥BO2H∈BO2⇒BH=r1;O2H=r2−r1.
Theo định lý Py-ta-go ta có O1O22=O1H2+O2H2⇔r1+r22=AB2+r2−r12⇔r1r2=AB24.
Tương tự ta có r2r3=BC24;r3r1=AC24.
Vậy r1r2r3=AB2BC2CA264=3.
Cho quả địa cầu có độ dài đường kinh tuyến 30° Đông là 40πcm (tham khảo hình vẽ). Độ dài đường xích đạo là:
403π cm.
40π cm.
80π cm.
80π3 cm.
Chọn C
Đường xích đạo là đường vĩ tuyến lớn nhất. Độ dài đường xích đạo gấp hai lần đường kinh tuyến 30° Đông.
Vậy độ dài đường xích đạo là: 2.40π=80πcm.
Quả bóng đá được dùng thi đấu tại các giải bóng đá Việt Nam tổ chức có chu vi của thiết diện qua tâm là 68,5cm. Quả bóng được ghép nối bởi các miếng da hình lục giác đều màu trắng và đen, mỗi miếng có diện tích 49,83cm2. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu miếng da để làm quả bóng trên?
≈40 (miếng da).
≈20 (miếng da).
≈35 (miếng da).
≈30 (miếng da).
Chọn D
Vì thiết diện qua tâm là đường tròn có chu vi là 68,5cm, nên giả sử bán kính mặt cầu là R ta có 2πR=68,5⇒R=68,52π.
Diện tích mặt cầu: Sxq=4πR2=4π68,52π2≈1493,59cm2.
Vì mỗi miếng da có diện tích 49,83cm2 nên để phủ kín được mặt của quả bóng thì số miếng da cần là 1493,5949,83≈29,97. Vậy phải cần ≈30 miếng da.
Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm I đường kính AA', M là trung điểm của BC. Khi quay tam giác ABM cùng với nửa hình tròn đường kính AA' xung quanh đường thẳng AM, ta được khối nón và khối cầu có thể tích lần lượt là V1 và V2. Tỷ số V1V2 bằng
94.
49
2732.
932.
Chọn D
Gọi a là cạnh △ABC đều, suy ra BM=a2;AM=a32;IA=a33.Ta có V1V2=13πBM2.AM43.π.IA3=14.a22.a32a333=932.
Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh là 2a, có thể tích V1 và hình cầu có đường kính bằng chiều cao hình nón, có thể tích V2. Khi đó tỉ số thể tích V1V2 bằng bao nhiêu?
V1V2=13.
V1V2=23.
V1V2=12.
V1V2=1.
Chọn B
Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh là 2a
⇒I=2a,R=a,h=a3⇒V1=13a3πa2=33πa3;V2=43πa323=32πa3.
Vậy V1V2=23.
Một cái bồn chứa nước gồm hai nửa hình cầu và một hình trụ (như hình vẽ). Đường sinh của hình trụ bằng hai lần đường kính của hình cầu. Biết thể tích của bồn chứa nước là 128π3m3. Tính diện tích xung quanh của cái bồn chứa nước theo đơn vị m2.
48π m2.
50π m2.
40π m2.
64π m2.
Chọn A
Gọi x là bán kính hình cầu.
Ta có lt=2dc=4Rc=4Rt=4x.
Thể tích của bể nước là
V=Vt+Vc=πRt2lt+43πRc3=πx2.4x+43πx3=128π3⇒x3=8⇒x=2.
Diện tích xung quanh của bể nước là S=2πRt.lt+4πRc2=2.2π.8+4π.22=48πm2.
Khẳng định nào sau đây là sai?
Mọi hình chóp đều luôn có mặt cầu ngoại tiếp.
Mọi hình chóp luôn có mặt cầu ngoại tiếp.
Mọi hình chóp luôn có mặt cầu ngoại tiếp.
Mọi hình hộp chữ nhật luôn có mặt cầu ngoại tiếp.
Chọn C
Số mặt cầu chứa một đường tròn cho trước là
Vô số
2
4
1
Chọn A
Cho ba điểm A, B, C phân biệt cùng thuộc một mặt cầu và ACB^=90o. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
Luôn có một đường tròn nằm trên mặt cầu sao cho đường tròn này ngoại tiếp △ABC.
Đường tròn đi qua ba điểm A; B; C nằm trên mặt cầu.
AB là đường kính của đường tròn giao tuyến tạo bởi mặt cầu và mặt phẳng (ABC).
AB là đường kính của mặt cầu đã cho.
Chọn D
Trong không gian, cho hai điểm phân biệt A, B cố định. Xét điểm M di động luôn nhìn đoạn AB dưới một góc vuông. Hỏi điểm M thuộc mặt nào trong các mặt sau?
Mặt cầu.
Mặt nón.
Mặt trụ.
Mặt phẳng.
Chọn A
Trong không gian, cho hai điểm phân biệt A, B cố định. Xét điểm M di động luôn nhìn đoạn AB dưới một góc vuông. Hỏi điểm M thuộc mặt nào trong các mặt sau?
một mặt phẳng.
một đường thẳng.
một đường tròn.
một mặt cầu.
Chọn A
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với SA=6, AB=3. Diện tích của mặt cầu có tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (SBC) bằng
108π5.
54π5.
60π.
18π.
Chọn A
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BC = 2a. Mặt bên (SAB) vuông góc với đáy, ASB^=60o,SB=a. Gọi (S) là mặt cầu tâm B và tiếp xúc với (SAC). Bán kính r của mặt cầu (S) là
r=2a.
r=2a319.
r=2a3.
r=a319.
Chọn B
Cho điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O;R). Biết rằng qua A có vô số tiếp tuyến với mặt cầu. Tập hợp các tiếp điểm là một đường tròn nằm trên đường tròn có bán kính bằng 22R. Tính độ dài đoạn thẳng OA theo R.
3R.
2R.
2R.
22R.
Chọn B
Cho mặt cầu (S) tâm I bán kính R. M là điểm thỏa mãn IM=3R2. Hai mặt phẳng (P), (Q) qua M tiếp xúc với (S) lần lượt tại A và B. Biết góc giữa (P) và (Q) là 60°. Độ dài đoạn thẳng AB là
AB=R.
AB=R3.
AB=3R2.
AB=R hoặc AB=R3.
Chọn A
Cho mặt cầu (S) tâm O và các điểm A, B, C nằm trên mặt cầu (S) sao cho AB = 3, AC = 4, BC = 5 và khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) bằng 1. Thể tích của khối cầu (S) bằng
721π2.
29π.
205π3.
2929π6.
Chọn D
Cho tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng a, (S) là mặt cầu tiếp xúc với sáu cạnh của tứ diện ABCD. M là một điểm thay đổi trên (S). Tổng T=MA2+MB2+MC2+MD2 bằng
3a28.
a2.
4a2.
2a2.
Chọn D
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = 2a. Mặt bên (SAB), (SCA) lần lượt là các tam giác vuông tại B, C. Biết thể tích khối chóp S.ABC bằng 23a3. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng bao nhiêu?
R=a2.
R=a.
R=3a2.
R=3a2.
Chọn C
Cho lăng trụ đứng có chiều cao bằng h không đổi, một đáy là tứ giác ABCD với A, B, C, D di động. Gọi I là giao của hai đường chéo AC và BD của tứ giác đó. Cho biết IA.IC = IB.ID = h2 . Giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho là
2h.
h52.
h.
h32.
Chọn B
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp SABCD bằng
72154πa3.
721162πa3.
721216πa3.
492136πa3.
Chọn A
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=3a, AD=a, ΔSAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính theo a diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
S=5πa2.
S=10πa2.
S=4πa2.
S=2πa2.
Chọn A
Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là hai tam giác đều chung cạnh BC = 2. Gọi I là trung điểm của BC, AID^=2α với cosα=−13. Hãy xác định tâm O của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đó.
O là trung điểm của AD.
O là trung điểm của BD.
O thuộc mặt phẳng (ADB).
O là trung điểm của AB.
Chọn A
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AB=BC=a, AD=2a, SA⊥ABCD và SA=a2. Gọi E là trung điểm của AD. Kẻ EK⊥SD tại K. Bán kính mặt cầu đi qua sáu điểm S, A, B, C, E, K là
R=12a.
R=62a.
R=32a.
R=a.
Chọn D
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác với AB=2cm, AC=3cm, BAC^=60o, SA⊥ABC. Gọi B1, C1 lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SC. Thể tích khối cầu đi qua năm điểm A, B, C, B1, C1 bằng
2821π27cm3.
7657π27cm3.
77π6cm3.
27π6cm3.
Chọn A
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A, B, AB=BC=a, SA=AD=2a, SA⊥ABCD, gọi E là trung điểm của AD. Bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.CDE theo a là
R=3a22.
R=a102.
R=a112.
R=a22.
Chọn C
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và CD. Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.CMN là
3πa212.
31πa212.
πa212.
5πa212.
Chọn B
Cho hình chóp S.ABC có các tam giác ABC, SAB là các tam giác đều cạnh a nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là
R=a54.
R=a2.
R=a216.
R=a156.
Chọn D
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, D và AB = AD = a, DC = 2a tam giác SAD đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H là hình chiếu vuông góc của D trên AC và M là trung điểm của HC. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.BDM theo a là.
7πa29.
13πa29.
13πa23.
7πa23.
Chọn D
Tính thể tích V của khối chóp tứ giác đều có chiều cao là h và bán kính mặt cầu nội tiếp là r (h > 2r > 0). Giá trị của V là
V=4r2h23h+2r.
V=4r2h2h+2r.
V=4r2h23h−2r.
V=3r2h24h−2r.
Chọn C
Trong tất cả các khối chóp tứ giác đều ngoại tiếp mặt cầu bán kính bằng a, thể tích V của khối chóp có thể tích nhỏ nhất là
V=8a33.
V=10a33.
V=2a3.
V=32a33.
Chọn D
Cho hình cầu (S) tâm I, bán kính R không đổi. Một hình trụ có chiều cao h và bán kính đáy r thay đổi nội tiếp hình cầu. Chiều cao h theo R sao cho diện tích xung quanh của hình trụ lớn nhất là
h=R2.
h=R.
h=R2.
h=R22.
Chọn A
Hình nón gọi là nội tiếp mặt cầu nếu đỉnh và đường tròn đáy của hình nón nằm trên mặt cầu. Tìm chiều cao h của hình nón có thể tích lớn nhất nội tiếp mặt cầu có bán kính R cho trước.
h=3R2.
h=5R2.
h=5R4.
h=4R3.
Chọn D
Cho hình chóp đa giác đều có các cạnh bên bằng a và tạo với mặt đáy một góc 30°. Thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp là
4πa33.
4πa3.
4πa333.
4πa33.
Chọn A
Cho hình chóp SABC có SA = 3, AB = 1, AC = 2 và SA⊥ABC. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Mặt cầu tâm O và qua A cắt các tia SB, SC lần lượt tại D và. Khi độ dài đoạn BC thay đổi, giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.ADE là
81130.
6
21
87130.
Chọn A
Ba quả bóng dạng hình cầu có bán kính bằng một đôi một tiếp xúc nhau và tiếp xúc với mặt phẳng (P). Mặt cầu (S) bán kính bằng 2 tiếp xúc với ba quả bóng trên. Gọi M là điểm bất kì trên (S), MH là khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P). Giá trị lớn nhất của MH bằng
3+302.
3+693.
3+1234.
529.
Chọn B
Trong tất cả các hình chóp tứ giác đều nội tiếp hình cầu có bán kính bằng 9. Thể tích V của khối chóp có giá trị lớn nhất là
1446.
144
576
5762.
Chọn C
Cho mặt cầu đường kính AB = 2R. Mặt phẳng (P) vuông góc AB tại I (I thuộc đoạn AB), cắt mặt cầu theo đường tròn (C). Tính h = AI theo R để hình nón đỉnh A, đáy là hình tròn (C) có thể tích lớn nhất.
h=R.
h=R3.
h=4R3.
h=2R3.
Chọn C
Bạn An có một cốc giấy hình nón có đường kính đáy là 10cm và độ dài đường sinh là 8cm. Bạn dự định đựng một viên kẹo hình cầu sao cho toàn bộ viên kẹo nằm trong cốc (không phần nào của viên kẹo cao hơn miệng cốc). Hỏi bạn An có thể đựng được viên kẹo có đường kính lớn nhất bằng bao nhiêu?
6439cm.
53913cm.
3239cm.
103913cm.
Chọn D
Có 4 viên bi hình cầu có bán kính bằng 1cm. Người ta đặt 3 viên bi tiếp xúc nhau và cùng tiếp xúc với mặt bàn. Sau đó đai chặt 3 viên bi đó lại và đặt 1 viên bi thứ 4 tiếp xúc với cả 3 viên bi trên như hình vẽ dưới đây. Gọi O là điểm thuộc bề mặt của viên bi thứ tư có khoảng cách đến mặt bàn là lớn nhất. Khoảng cách từ O đến mặt bàn bằng
6+263.
72.
3+263.
463.
Chọn A
Một chậu nước hình bán cầu bằng nhôm có bán kính R = 10cm. Trong chậu có chứa sẵn một khối nước hình chõm cầu có chiều cao h = 4cm. Người ta bỏ vào chậu một viên bi hình cầu bằng kim loại thì mặt nước dâng lên vừa phủ kín viên bi. Bán kính của viên bi là (kết quả làm tròn đến 2 chữ số thập phân)
3,24cm.
2,09cm.
4,28cm.
4,03cm.
Chọn B
Một người dùng một cái ca hình bán cầu có bán kính là 3 cm để múc nước đổ vào trong một thùng hình trụ chiều cao 3cm và bán kính đáy bằng 12 cm. Hỏi người ấy sau bao nhiêu lần đổ thì nước đầy thùng? (Biết mỗi lần đổ, nước trong ca luôn đầy)
10 lần.
20 lần.
24 lần.
30 lần.
Chọn C
Một cốc nước hình trụ có đường kính đáy bằng 6cm, chiều cao bằng 15cm. Giả sử mức nước trong cốc cao 7cm so với đáy bên trong cốc. Người ta thả viên bi hình cầu có bán kính bằng 2cm vào cốc nước. Hỏi mức nước dâng lên trong cốc là bao nhiêu cm?
22
76.
8
3227.
Chọn D
Một cái cốc hình trụ có bán kính đáy là 2cm, chiều cao 20cm. Trong cốc đang có một ít nước, khoảng cách giữa đáy cốc và mặt nước là 12cm. Một con quạ muốn uống được nước trong cốc thì mặt nước phải cách miệng cốc không quá 6cm. Con quạ thông minh mổ những viên bi đá hình cầu có bán kính 0,6cm thả vào cốc nước để mực nước dâng lên. Để uống được nước thì con quạ cần thả vào cốc ít nhất bao nhiêu viên đá?
29
30
28
27
Chọn C
Người ta xếp bảy viên bi là các khối cầu có cùng bán kính R vào một cái lọ hình trụ. Biết rằng các viên bi đều tiếp xúc với hai đáy, viên bi nằm chính giữa tiếp xúc với sáu viên bi xung quanh và mỗi viên bi xung quanh đều tiếp xúc với các đường sinh của lọ hình trụ. Tính theo R thể tích lượng nước cần dùng để đổ đầy vào lọ sau khi đã xếp bi.
6πR3.
26πR33.
18πR3.
28πR33.
Chọn B
Cho khối cầu (S) tâm I, bán kính R không đổi. Một khối trụ có chiều cao h và bán kính đáy r thay đổi nội tiếp khối cầu. Tính chiều cao h theo R sao cho thể tích của khối trụ lớn nhất.
h=R2.
h=R33.
h=R22.
h=2R33.
Chọn D
Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = a. Đáy ABC nội tiếp trong đường tròn có đường kính AC = 4a. Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC nội tiếp hình trụ T. Thể tích khối trụ T bằng
17πa34.
1717πa38.
17πa38.
1717πa34.
Chọn D
Cho đường tròn tâm O có đường kính AB = 2a nằm trong mặt phẳng (P). Gọi I là điểm đối xứng với O qua A. Lấy điểm S sao cho SI⊥P và SI = 2a. Bán kính R mặt cầu đi qua đường tròn đã cho và điểm S có độ dài là
R=a654.
R=a6516.
R=a652.
R=7a4.
Chọn A
Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, △SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD có diện tích 84π cm2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD bằng
2217cm.
3217cm.
217cm.
6217cm.
Chọn D
Có một bể hình hộp chữ nhật chứa đầy nước. Người ta cho ba khối nón giống nhau có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân vào bể sao cho ba đường tròn đáy của ba khối nón tiếp xúc với nhau, một khối nón có đường tròn đáy chỉ tiếp xúc với một cạnh của đáy bể và hai khối nón còn lại có đường tròn đáy tiếp xúc với hai cạnh của đáy bể. Sau đó người ta đặt lên đỉnh của ba khối nón một khối cầu có bán kính bằng 43 lần bán kính đáy của khối nón. Biết khối cầu vừa đủ ngập trong nước và lượng nước trào ra là 337π3cm3. Tính thể tích nước ban đầu ở trong bể (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
885,2 cm3.
1209,2 cm3.
1106,2 cm3.
1174,2 cm3.
Chọn B
