82 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 3: Mặt cầu - Khối cầu có đáp án

Từ công thức tính diện tích của mặt cầu $S=4\pi R^2$ ta suy ra đáp án.

Chọn A.

Chọn C.

$S_{mc}=4\pi R^2\iff 4\pi R^2=\pi \iff R=\frac{1}{2}.$

Chọn B.

Chọn A.

Gọi O là tâm của hình vuông $ABCD\Rightarrow SO\perp \left(ABCD\right)$

Vậy SO là trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD

Trong (SAC) gọi (d) là trung trực của SA và I là giao điểm của (d) với SO

$\begin{array}{l}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}I\in \left(SO\right)\\ I\in \left(d\right)\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}IA=IB=IC=ID\\ IA=IS\end{array}\right.\\ \Rightarrow IA=IB=IC=ID=IS.\end{array}$

Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

Trục của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy là SO. Mặt phẳng trung trực của SB cắt SO tại I, cắt SB tại K thì I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Gọi H là trung điểm BC thì $\widehat{SHO}={60}^o.$

Xét tam giác vuông SHO, ta có $\tan {60}^o=\frac{SO}{OH}\Rightarrow SO=a\sqrt{3}.$

 Từ đó suy ra $SB=\sqrt{S{O}^2+O{B}^2}=\sqrt{3a^2+2a^2}=a\sqrt{5}.$

Ta có $\Delta SKI\backsim \Delta SOB\left(g.g\right).$

$\Rightarrow \frac{SK}{SO}=\frac{SI}{SB}\Rightarrow SI=\frac{SK.SB}{SO}\Rightarrow SI=\frac{a\sqrt{5}.\frac{a\sqrt{5}}{2}}{a\sqrt{3}}=\frac{5a}{2\sqrt{3}}=\frac{5a\sqrt{3}}{6}.$

Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S_{mc}=4\pi R^2=4\pi \frac{75a^2}{36}=\frac{25\pi a^2}{3}.$

Ta có $\left(ABCD\right)//\left(MNPQ\right).$ Gọi $\left\{O\right\}=AC\cap BD.$

Mà S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên $SO\perp \left(ABCD\right).$ Nên SO là trục của hai đáy (ABCD) và (MNPQ).

Trong mặt phẳng (SAO) kẻ đường trung trực d của đoạn thẳng AM cắt SA, SO tại H, I.

Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ABCDMNPQ và bán kính là IA.

Ta có $SA=SB=SC=SD=2a$

$AB=BC=CD=DA=a\sqrt{2}.$

Lại có $SH=\frac{3}{4}SA=\frac{3}{4}.2a=\frac{3a}{2}\Rightarrow HA=\frac{1}{4}SA=\frac{a}{2}.$

$\Rightarrow AC=AB\sqrt{2}=2a\Rightarrow AO=a\Rightarrow SO=\sqrt{S{A}^2-A{O}^2}=a\sqrt{3}.$

Mặt khác $\Delta SHI\backsim \Delta SOA\left(g.g\right)\Rightarrow \frac{HI}{OA}=\frac{SH}{SO}\Rightarrow HI=\frac{OA.SH}{SO}=\frac{a.\frac{3a}{2}}{a\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}a}{2}.$

Gọi I là giao điểm của AC và BC, qua I dựng đương thẳng d song song với $SH\Rightarrow d\perp \left(ABCD\right).$

Gọi M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAD, qua M kẻ đường thẳng d' vuông góc với mp(SAD), d' cắt d tại O => O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD và bán kính bằng $R=OS=\sqrt{M{O}^2+M{S}^2}.$

Với $OM=IH=\frac{AB}{2}=a, MS=r$ (r là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB).

Lại có, $△$SAD cân tại A, cạnh AD = a, đường cao $SH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ suy ra tam giác SAD đều $r=AM=\frac{2}{3}SH=\frac{a\sqrt{3}}{3}\Rightarrow R^2=\frac{4a^2}{3}$ (R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD).

Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD bằng $S=4\pi R^2=\frac{16\pi a^2}{3}.$

+) Gọi K, P lần lượt là trung điểm của AC và AB.

$△$ACN vuông tại N => K là tâm đường tròn ngoại tiếp $△$ACN.

$△$ABM vuông tại M => P là tâm đường tròn ngoại tiếp $△$ABM.

+) Hai mặt phẳng (SAB), (ABC) vuông góc và cắt nhau theo giao tuyến AB nên gọi d1 là trục của đường tròn ngoại tiếp $△$ABM thì d₁ qua $P, d_1\subset \left(ABC\right)$ và $d_1\perp AB.$ Tương tự, gọi d₂ là trục của đường tròn ngoại tiếp $△$ACN thì d₂ qua $K,d_2\subset \left(ABC\right)$ và $d_2\perp AC.$

+) Rõ ràng, trong mặt phẳng (ABC) thì d₁d₂ lần lượt là đường trung trực của các cạch AB, AC nên hai đường này cắt nhau tại tâm đường tròn ngoại tiếp $△$ABC. Do đó, tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ABCMN cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp $△$ABC, bán kính R của mặt cầu này cũng chính là bán kính đường tròn ngoại tiếp $△$ABC.

+) Áp dụng định lí sin cho $△$ABC ta được $R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{a}{2\sin \alpha }.$

Vây diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ABCMN là $S=4\pi R^2=\frac{\pi a^2}{{\sin }^2\alpha }.$

Khối cầu nội tiếp hình lập phương có tâm trùng với tâm của hình lập phương và tiếp xúc với các mặt của hình lập phương tại tâm của các hình vuông là các mặt của hình lập phương.

Suy ra bán kính $R=\frac{1}{2}.$

Chọn C.

Gọi I và r lần lượt là tâm và bán kính của hình cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của hình chóp S.ABC.

Khi đó 

$\begin{array}{l}{V}_{S.ABC}=V_{I.ABC}+V_{I.SBC}+V_{I.SAB}+V_{I.SAC}=\frac{1}{3}r\left(S_{\Delta ABC}+S_{\Delta SAB}+S_{\Delta SBC}+S_{\Delta SAC}\right)=\frac{r.S_{TP}}{3}\\ \Rightarrow r=\frac{3V_{S.ABC}}{S_{TP}}.\\ V_{S.ABC}=\frac{1}{3}SA.S_{\Delta ABC}=\frac{1}{3}\mathrm{.6.}\frac{1}{2}\mathrm{.8.6}=48;\\ S_{\Delta ABC}=S_{\Delta SAB}=24;S_{\Delta SBC}=S_{\Delta SAC}=30\Rightarrow S_{TP}=108.\end{array}$

Vậy $r=\frac{3V_{S.ABC}}{S_{TP}}=\frac{3.48}{108}=\frac{4}{3}\Rightarrow V_{mc}=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{256}{81}\pi .$

Gọi H là hình chiếu của D trên mặt phẳng (P). Đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC có chu vi bằng 8$\mathrm{\pi }$cm.

Suy ra bán kính đường tròn $R=\frac{8\pi }{2\pi }=4\left(cm\right).$

Suy ra cạnh của tam giác ABC bằng $4\sqrt{3}\left(cm\right)$

Suy ra $S_{\Delta ABC}=\frac{{\left(4\sqrt{3}\right)}^2\sqrt{3}}{4}=12\sqrt{3}\left(c{m}^2\right)$ không đổi 

Do đó thể tích khối tứ diện ABCD lớn nhất khi $d\left(D,\left(ABC\right)\right)$ lớn nhất <=> D và O nằm cùng phía SO với mặt phẳng (P) và D, O, H thẳng hàng

$\begin{array}{l}\iff DH=DO+OH=DO+\sqrt{O{A}^2-A{H}^2}\\ =5+\sqrt{25-16}=8.\end{array}$

Để có tứ diện ABCD thì AB và CD không đồng phẳng.

Gọi R₁, R₂ lần lượt là bán kính của các mặt cầu $\left(S_1\right)$ và $\left(S_2\right)\Rightarrow R_1=2;R_2=\sqrt{10}.$

Gọi K là trung điểm của CD và h là khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD.

Ta $CD=2CK,AB\le 2R_1=4,\sin \left(AB,CD\right)\le 1.$

Thể tích khối tứ diện ABCD là $V_{ABCD}=\frac{1}{6}AB.CD.\sin \left(AB,CD\right).d\left(AB,CD\right)\le \frac{1}{6}\mathrm{.4.}CD.h$

                                                                $\stackrel{Co-si}{\le }\frac{4}{3}\sqrt{h^2+C{K}^2}\le \frac{4}{3}\sqrt{I{K}^2+C{K}^2}.$

Xét $△$ICK vuông tại K có $I{K}^2+C{K}^2=C{I}^2=R_2^2.$

Khi đó $V_{ABCD}\le \frac{4}{3}{R}_2=\frac{4}{3}\sqrt{10}.$

Gọi V₀ là thể tích của viên bi.

Gọi R là bán kính của cái ly (không tính vỏ).

Theo bài ra ta có thể tích của cột nước dâng lên 1cm bằng thể tích viên bi nên ta có $\pi R^2.1=36\pi \Rightarrow R=6\left(cm\right)$

Suy ra thể tích V của khối nước ban đầu trong ly $\pi R^2.h=\pi \mathrm{.36.7},5=848,23\left(c{m}^3\right)$

Gọi $\left(O_1,r_1\right), \left(O_2,r_2\right), \left(O_3,r_3\right)$ lần lượt là 3 hình cầu thỏa mãn. Gọi A, B, C lần lượt là hình chiếu của O₁; O₂; O₃ trên mặt phẳng. Giả sử AB = 4, BC = 2, AC = 3

Ta có $O_{1}A=r_1;O_{2}B=r_2;O_{3}C=r_3;O_1{O}_2=r_1+r_2;O_2{O}_3=r_2+r_3;O_3{O}_1=r_3+r_1.$

Kẻ $O_{1}H\perp B{O}_2\left(H\in B{O}_2\right)\Rightarrow BH=r_1;O_{2}H=r_2-r_1.$

Theo định lý Py-ta-go ta có $O_1{O_2}^2=O_1{H}^2+O_2{H}^2\iff {\left(r_1+r_2\right)}^2=A{B}^2+{\left(r_2-r_1\right)}^2\iff r_1{r}_2=\frac{A{B}^2}{4}.$

Tương tự ta có $r_2{r}_3=\frac{B{C}^2}{4};r_3{r}_1=\frac{A{C}^2}{4}.$

Đường xích đạo là đường vĩ tuyến lớn nhất. Độ dài đường xích đạo gấp hai lần đường kinh tuyến 30° Đông.

Vì thiết diện qua tâm là đường tròn có chu vi là 68,5cm, nên giả sử bán kính mặt cầu là R ta có $2\pi R=68,5\Rightarrow R=\frac{68,5}{2\pi }.$

Diện tích mặt cầu: $S_{xq}=4\pi R^2=4\pi {\left(\frac{68,5}{2\pi }\right)}^2\approx 1493,59\left(c{m}^2\right).$

Vì mỗi miếng da có diện tích 49,83cm² nên để phủ kín được mặt của quả bóng thì số miếng da cần là $\frac{1493,59}{49,83}\approx 29,97.$ Vậy phải cần $\approx$30 miếng da.

Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh là 2a

$\begin{array}{l}\Rightarrow I=2a,R=a,h=a\sqrt{3}\Rightarrow V_1=\frac{1}{3}a\sqrt{3}\pi a^2=\frac{\sqrt{3}}{3}\pi a^3;\\ V_2=\frac{4}{3}\pi {\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^3=\frac{\sqrt{3}}{2}\pi a^3.\end{array}$

Gọi x là bán kính hình cầu.

Ta có $l_t=2d_c=4R_c=4R_t=4x.$

Thể tích của bể nước là 

$\begin{array}{l}V=V_t+V_c=\pi R_t^2{l}_t+\frac{4}{3}\pi R_c^3=\pi x^2.4x+\frac{4}{3}\pi x^3=\frac{128\pi }{3}\\ \Rightarrow x^3=8\Rightarrow x=2.\end{array}$

Diện tích xung quanh của bể nước là $S=2\pi R_t.l_t+4\pi R_c^2=2.2\pi .8+4\pi {.2}^2=48\pi \left(m^2\right).$