51 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Mặt trụ có đáp án

Vì AB cố định nên diện tích tam giác MAB không đổi khi d (M,AB) = const hay M thuộc mặt trụ trục là đường thẳng AB.

$$\begin{gathered} S_{\Delta MAB}=\frac{1}{2}d\left(M,AB\right).AB \\ =\frac{1}{2}.MH.AB \end{gathered}$$

Thiết diện thu được là hình chữ nhật ABCD và OO' // (ABCD), gọi I là trung điểm của AB

Do thiết diện là một hình vuông cạnh 2a nên chiều cao h của hình trụ bằng 2a và đường kính mặt đáy bằng 2a suy ra bán kính đáy r = a. Khi đó diện tích xung quanh của hình trụ là $S_{xq}=2\pi rh=4\pi a^2$

Gọi r là bán kính đáy.

Do thiết diện qua trục là hình vuông nên độ dài đường sinh bằng 2r.

Dựng đường sinh AA'.

Gọi M là trung điểm của A' B

$\begin{array}{l}\Rightarrow O\text{'}M\perp \left(AA\text{'}B\right)\\ \Rightarrow d\left(OO\text{'},AB\right)=O\text{'}M\\ \Rightarrow O\text{'}M=\frac{a\sqrt{3}}{2}\end{array}$

Ta có $A\text{'}B=\sqrt{A{B}^2-AA{\text{'}}^2}=\sqrt{4a^2-4r^2}$

Mặt khác $A\text{'}M=\sqrt{O\text{'}A{\text{'}}^2-O\text{'}M{\text{'}}^2}=\sqrt{r^2-\frac{3a^2}{4}}$

$\Rightarrow \sqrt{4a^2-4r^2}=2\sqrt{r^2-\frac{3a^2}{4}}\iff r=\frac{a\sqrt{14}}{4}$

Gọi  I là trung điểm của OO'

Khi đó, mặt phẳng $\left(\alpha \right)=\left(IAB\right)$

Hạ $OH\perp AB, OK\perp IH$. Dễ thấy H là trung điểm của AB và $OK\perp \left(IAB\right)$

Suy ra $\left(OO\text{'},\left(\alpha \right)\right)=\left(IO,\left(IAB\right)\right)=\left(OI,KI\right)=\widehat{KIO}=30°$ (vì $\Delta KIO$ vuông tại O)

Diện tích hình chữ nhật ABB'A' bằng 60 (cm²)

nên AB.BB' = 60 $\iff 6.BB\text{'}=60\iff BB\text{'}=10$

Ta có $MK=5$

Chiều cao hình trụ bằng $6\sqrt{2}$ (cm) nên $MO=3\sqrt{2}$

$\begin{array}{l}OK=\sqrt{M{K}^2-M{O}^2}=\sqrt{25-18}=\sqrt{7};\\ AB=6\Rightarrow KB=3.\\ BO=\sqrt{O{K}^2+K{B}^2}=\sqrt{7+9}=4\end{array}$

Đặt $AB=AD=2x\Rightarrow S_{ABCD}=4x^2$

Gọi A', B' lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B lên mặt đáy của hình trụ.

Xét tam giác AA'D vuông tại A' ta có $A\text{'}D=\sqrt{A{D}^2-AA{\text{'}}^2}=\sqrt{4x^2-a^2}$

Mặt khác, gọi I là trung điểm của A'D thì ta có:

$$\begin{gathered} A\text{'}D=2A\text{'}I=2\sqrt{O\text{'}A{\text{'}}^2-O\text{'}{I}^2}=2\sqrt{O\text{'}A{\text{'}}^2-{\left(\frac{1}{2}CD\right)}^2} \\ =2\sqrt{a^2-{\left(\frac{1}{2}2x\right)}^2}=2\sqrt{a^2-x^2} \end{gathered}$$

Gọi ABCD là thiết diện qua trục của hình trụ, ta có ABCD là hình chữ nhật. Từ giả thiết suy ra AB = 2a và $2\left(AB+BC\right)=10a\Rightarrow BC=3a.$

Vậy thể tích khối trụ đã cho bằng: $\pi a^2.3a=3\pi a^3$

Ta có $AC=BD=a\sqrt{2}$

Mặt khác xét tam giác ADC vuông tại D, ta có

$AD=AC.\sin 30°=\frac{\sqrt{2}}{2}a\Rightarrow h=\frac{\sqrt{2}}{2}a$ và $CD=AC\cos 30°=\frac{\sqrt{6}}{2}a\Rightarrow r=\frac{CD}{2}=\frac{\sqrt{6}}{4}a$

Thể tích $V=V_1-V_2$. Trong đó $V_1$ là thể tích khối trụ có bán kính đáy là BA = a và chiều cao AD = 2a. $V_2$ là thể tích khối nón có bán kính đáy là B'D = a và chiều cao CB' = a

Giả sử hình vuông ABCD là thiết diện của hình trụ cắt bởi (P) như hình vẽ.

Gọi H, K lần lượt là trung điểm AD, BC.

Ta có $OH\perp AD\Rightarrow OH\perp \left(P\right)\Rightarrow d\left(O;\left(P\right)\right)=OH\Rightarrow OH=\frac{a}{2}$

Do đó $AD=2AH=2\sqrt{O{A}^2-O{H}^2}=2\frac{a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$

Suy ra $OO\text{'}=AB=AD=a\sqrt{3}$

Gọi V₁; V₂ lần lượt là thể tích khối nhỏ và khối lớn.

Ta có thể tích khối trụ là $V=\frac{\pi R^2\left(8+14\right)}{2}=11\pi R^2$ (với R là bán kính khối trụ).

Thể tích $V_2=\frac{\pi R^2\left(8+14\right)}{2}=11\pi R^2$

Ta có $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=2a\Rightarrow MN=a,MQ=2a.$

Gọi E, F lần lượt là trung điểm MN và BC.

$AF=a,EF=\frac{a}{2}\Rightarrow IF=\frac{3}{2}a$

Vậy thể tích cần tìm là tổng thể tích của khối nón có chiều cao là AF bán kính đáy FB và thề tích khối trụ có chiều cao IF bán kính IQ.

$V=\frac{1}{3}\pi AF.F{B}^2+\pi IF.I{Q}^2=\frac{1}{3}\pi .a.a^2+\pi .\frac{3}{2}a.{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=\frac{17}{24}\pi a^3$

Xét tam giác AIC' ta có $IC\text{'}=\frac{AI}{\tan \widehat{IC\text{'}A}}=R\sqrt{3}$

Xét tam giác CIC' ta có $IC{\text{'}}^2=I{C}^2+CC{\text{'}}^2\Rightarrow 3R^2=R^2+4a^2\Rightarrow R=a\sqrt{2}$

Thể tích khối trụ ngoại tiếp lăng trụ ABC.A'B'C' là $V=\pi R^{2}h=4\pi a^3$

Ta có $V=\pi h\cdot r^2\Rightarrow h=\frac{V}{\pi r^2}\Rightarrow \frac{h}{r}=\frac{V}{\pi r^3}$

Giá thành vật liệu để làm chiếc thùng là $T=\left(2\pi rh+6\pi r^2\right)\cdot A=\left(\frac{2V}{r}+6\pi \cdot r^2\right)\cdot A=\left(\frac{V}{r}+\frac{V}{r}+6\pi r^2\right)\cdot A,$ trong đó A là giá của một đơn vị diện tích vật liệu làm mặt xung quanh của thùng. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các số dương $\frac{V}{r},\frac{V}{r},6\pi r^2$ được $T\ge 3\sqrt[3]{6\pi V^2}$

Dấu “= ” xảy ra khi $\frac{V}{r}=6\pi r^2\iff \frac{V}{\pi r^3}=6$