5 bài tập Tính cạnh, tính góc của tam giác (có lời giải)
5 câu hỏi
Cho tam giác \(ABC,\) trong đó \(BC = 11\,cm,\,\,\widehat {ABC} = 38^\circ ,\) \[\widehat {ACB} = 30^\circ .\] Gọi điểm \[N\]là chân đường vuông góc kẻ từ \[A\] đến cạnh \[BC.\] Hãy tính:
a) Đoạn thẳng \(AN;\)
b) Cạnh \(AC.\)
Vẽ \[BH \bot AC \Rightarrow BH = BC.\sin C = 11.\sin 30^\circ = 11.\frac{1}{2} = 5,5\,\left( {cm} \right).\]
Dễ thấy \[\widehat {HBC} = 60^\circ ;\,\,\,\widehat {HBA} = 22^\circ .\]
Xét tam giác vuông \[HBA\] có \[AB = \frac{{BH}}{{\cos \widehat {HBA}}} = \frac{{5,5}}{{\cos 22^\circ }} \approx 5,932\,\,\left( {cm} \right).\]
Xét tam giác vuông \[ABN\]có \[AN = AB.\sin 38^\circ \approx 3,652\,\,\left( {cm} \right).\]
Xét tam giác vuông \[ANC\]có \[AC = \frac{{AN}}{{\sin C}} \approx \frac{{3,652}}{{\sin 30^\circ }} = 7,304\,\,\left( {cm} \right).\]
Trong hình 33: \[AC = 8\,cm,\,\,AD = 9,6\,cm,\,\,\widehat {ABC} = 90^\circ ,\,\,\widehat {ACB} = 54^\circ \] và \[\widehat {ACD} = 74^\circ .\] Hãy tính:
a) Đoạn thẳng \(AB;\)
b) \[\widehat {ADC}.\]
a) \(AB = AC.\sin C = 8.\sin 54^\circ \approx 6,472\)
b) Vẽ \(AH \bot CD\).
\(AH = AC.\sin C = 8.\sin 74^\circ \approx 7.690\)
\(\sin D = \frac{{AH}}{{AD}} = \frac{{7.690}}{{9,6}} \approx 0,8010\)
\(\widehat D \approx 53^\circ \).
Ta có \(\widehat A = 180^\circ - \widehat B - \widehat C = 180^\circ - 65^\circ - 45^\circ = 70^\circ \).
Kẻ đường cao \(AH\). Xét \(\Delta ABH\) vuông tại \(H\), ta có
\(AH = AB \cdot \sin B = 2,8 \cdot \sin 65^\circ \approx 2,54{\mkern 1mu} \,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\).
Tương tự \(BH = AB \cdot \cos B = 2,8 \cdot \cos 65^\circ \approx 1,18{\mkern 1mu} \left( {{\rm{cm}}} \right)\).
Mặt khác, do giả thiết suy ra tam giác \(HAC\) vuông cân tại \(H\) nên \(HA = HC\). Do đó \(BC \approx 2,54 + 1,18 = 3,7\,\,{\mkern 1mu} \left( {{\rm{cm}}} \right)\).
Xét vuông tại \(H\), ta có: \(AC = \frac{{HA}}{{\sin C}} \approx \frac{{2,54}}{{\sin 45^\circ }} \approx 3,6{\mkern 1mu} \left( {{\rm{cm}}} \right).\)
Ta có \[\widehat A = 180^\circ - \widehat B - \widehat C = 180^\circ - 65^\circ - 40^\circ = 75^\circ \].
Kẻ đường cao \(BH\). Xét \(\Delta BCH\) vuông tại \(H\), ta có
\(BH = BC \cdot \sin C = 4,2 \cdot \sin 40^\circ \approx 2,70\,\,{\mkern 1mu} \left( {{\rm{cm}}} \right)\).
Tương tự, xét vuông tại \(H\), ta có
\(AB = \frac{{BH}}{{\sin A}} = \frac{{2,70}}{{\sin 75^\circ }} \approx 2,8{\mkern 1mu} \left( {{\rm{cm}}} \right).\)
Mặt khác, ta có
\(\begin{array}{*{20}{l}}{AC}& = &{AH + CH = BH \cdot \left( {\cot A + \cot C} \right)}\\{}& \approx &{2,70 \cdot \left( {\cot 75^\circ + \cot 40^\circ } \right) \approx 3,9\,\,{\mkern 1mu} \left( {{\rm{cm}}} \right)}\end{array}\)
Vẽ \(AH \bot BC\). Xét \[\Delta ABH\] vuông tại \(H\), ta có
\(AH = AB \cdot \sin B = 2,1 \cdot \sin 70^\circ \approx 1,97\).
Tương tự, xét \(BH = AB \cdot \cos B = 2,1 \cdot \cos 70^\circ \approx 0,72\).
Mặt khác, xét \(\Delta AHC\) vuông tại \(H\), ta có \(\sin C = \frac{{AH}}{{AC}} \approx \frac{{1,97}}{{3,8}} \approx \sin 31^\circ 14'\) do đó \(\hat C \approx 31^\circ 14'\).
Mà \(\widehat A = 180^\circ - \left( {70^\circ + 31^\circ 14'} \right) = 78^\circ 46'\).
Ta có \(HC = AC \cdot \cos C \approx 3,80 \cdot \cos 31^\circ 14' \approx 3,25\).
Mà \(BC = BH + HC = 0,72 + 3,25 = 3,97\).
