32 bài tập Toán 9 Chân trời sáng tạo Bài 2. Hệ thức giữa cạnh và góc của tam giác vuông có đáp án
32 câu hỏi
\(MN = MP.\sin P\).
\(MN = MP.\cos P\).
\(MN = MP.\tan P\).
\(MN = MP.\cot P\).
Chọn A
Ta có: O10-2024-GV154 \(\sin P = \frac{{MN}}{{MP}} \Rightarrow MN = MP.\sin P\)
\(NP = MP.\cos P\).
\(NP = MN.\cos P\).
\(NP = MN.\tan P\).
\(NP = MP.\cot P\).
Chọn B
Ta có: O10-2024-GV154 \(\cot P = \frac{{NP}}{{MN}} \Rightarrow NP = MN.\cot P\)
\(b = a.\sin B = a.\cos C\).
\(a = c.\tan B = c.\cot C\).
\({a^2} = {b^2} + {c^2}\).
\(c = a.\sin C = a.\cos B\).
Chọn B
+ Theo định lý Pytago ta có \({a^2} = {b^2} + {c^2}\)nên C đúng
+ Theo hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông ta có: O10-2024-GV154
\(\begin{array}{l}b = a.\sin B = a.\cos C\\b = c.\tan B = c.\cot C\\c = a.\sin C = a.\cos B\\c = b.\tan C = b.\cot B\end{array}\)
Nên A, D đúng.
\(b = c.\sin 50^\circ \).
\(b = a.\tan 50^\circ \).
\(b = c.\cot 50^\circ \).
\(c = b.\cot 50^\circ \).
Chọn D
+ Theo hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông ta có: O10-2024-GV154 \(c = b.\cot 50^\circ \)
\[\widehat C = 38^\circ \,,\,\,AB = 8,4\,\,{\rm{cm}}\,,\,\,BC = 10,5\,\,{\rm{cm}}\].
\[\widehat C = 38^\circ \,,\,\,AB = 9,2\,\,{\rm{cm}}\,,\,\,BC = 11,8\,\,{\rm{cm}}\].
\[\widehat C = 38^\circ ,AB = 9,8\,\,{\rm{cm}}\,,\,\,BC = 12,4\,\,{\rm{cm}}\].
\[\widehat C = 38^\circ ,AB = 9,2\,\,{\rm{cm}}\,,\,\,BC = 12,4\,\,{\rm{cm}}\].
Chọn B
Ta có \[ABC\] vuông tại \[B \Rightarrow \widehat A + \widehat C = 90^\circ \]
Mà \[\widehat A = 52^\circ \Rightarrow \widehat C = 38^\circ \]
+ \[AB = AC.\sin C = 15.\sin 38^\circ \approx 9,2cm\]
+ \[BC = AC.\sin A = 15.\sin 52^\circ \approx 11,8cm\]
\[AB = 20\sqrt 3 ;BC = 40\].
\[AB = 20\sqrt 3 ;BC = 40\sqrt 3 \].
\[AB = 20;BC = 40\].
\[AB = 20;BC = 20\sqrt 3 \].
Chọn A
![+ \[BC = AC.\sin A = 15.\sin 52^\circ \approx 11,8cm\] (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/04/11-1775565204.png)
+ Theo hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:
\[AB = AC.\tan C = 20.\tan 30^\circ = 20\sqrt 3 \]
\(AC = BC.\cos C \Rightarrow BC = \frac{{AC}}{{\cos 30^\circ }} = \frac{{20}}{{\frac{1}{2}}} = 40\)
\[42,65c{m^2}\].
\[48,08c{m^2}\].
\[51,54c{m^2}\].
\[52,68c{m^2}\].
Chọn D
Ta có: \[NI = MI.\cot N = 8.cot70^\circ = 2,91\left( {cm} \right)\]
+ \[PI = MI.\cot P = 8.\cot 38^\circ = 8.\frac{1}{{0,78}} = 10,26\left( {cm} \right)\]
\[ \Rightarrow NP = NI + IP = 2,91 + 10,26 = 13,17\left( {cm} \right)\]
\[ \Rightarrow {S_{MNP}} = \frac{1}{2}.8.13,17 = 52,68\left( {c{m^2}} \right)\]
Giải tam giác vuông ABC, biết \(\widehat A = 90^\circ \) và:
a) \(a = 15cm;\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}b = 10cm.\)
b) \(b = 12cm;\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}c = 7cm.\)
a) (h.110) Trước hết tính \[\sin B\] rồi suy ra \[\widehat B \approx 42^\circ ,\,\,\widehat C \approx 48^\circ .\]
Dùng định lý Pythagore để tính \[AB\] hoặc tính \[AB\] theo hệ thức:
\[AB = BC.\cos B = 15.\cos 42^\circ \approx 11,147\,\,\left( {cm} \right).\]
b) (h.111) Tính \[\tan B\] rồi suy ra \[\widehat B = 60^\circ ;\,\,\widehat C = 30^\circ ;\,\,BC = 14\,cm.\]
Tam giác ABC có \(\widehat B = 60^\circ ;\,\,\widehat C = 50^\circ \) và AC = 35 cm. Tính diện tích tam giác ABC ( làm tròn đến hàng đơn vị).
![b) (h.111) Tính \[\tan B\] rồi suy ra \[\widehat B = 60^\cir (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/04/15-1775565481.png)
Vẽ đường cao \[AH,\] tính được: \[AH \approx 26,812\,cm;\,\,HC \approx 22,498\,cm;\] \[HB \approx 15,480\,cm.\]
\[S = \frac{1}{2}BC.AH \approx 509\,\,\left( {c{m^2}} \right).\]
Vẽ \[BH \bot CD,\] ta tính được: \[DH\] và \[BH,\] từ đó tính được \[CH.\]
Tính diện tích theo công thức tính diện tích hình thang: \[S = 17\,c{m^2}.\]
![Vẽ \[BH \bot CD,\] ta tính được: \[DH\] và \[BH,\] từ đó tính được \[CH.\] Tính diện tích theo công thức tính diện tích hình thang: \[S = 17\,c{m^2}.\] (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/04/17-1775565541.png)
Vì \[\Delta ABC\]vuông tại \(A,\,\,\,b = 10\;{\rm{cm}},\,\,\widehat C = 30^\circ \) nên ta có
\(\widehat B = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \)
\(c = b \cdot {\rm{tan}}30^\circ = 10 \cdot \frac{1}{{\sqrt 3 }} = \frac{{10}}{{\sqrt 3 }} \approx 5,773\;{\rm{cm}}\)
\(a = \frac{b}{{{\rm{cos}}30^\circ }} = 10 \cdot \frac{2}{{\sqrt 3 }} \approx 11,547\;{\rm{cm}}\)
![Vì \[\Delta ABC\]vuông tại \(A,\,\,\,b = 10\;{\rm{ (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/04/18-1775565566.png)
Cho \[\;\Delta ABC\]có \(BC = 15cm\), \(\widehat {ABC} = 42^\circ \) và \(\widehat {ACB} = 30^\circ \). Gọi \(H\) là chân đường cao hạ từ
đỉnh \(A\) xuống \(BC\). Hãy tính
a) Độ dài đoạn thẳng \(AH\)
b) Độ dài đoạn thẳng \(AC\)
a) Đặt \(AH = x\). Ta có
\[CH = \frac{{AH}}{{\tan 30^\circ }} = x\sqrt 3 \approx 1,732x.\]
\(BH = \frac{{AH}}{{\tan 42^\circ }} \approx 1,1106x.\)
Do đó \(BC = CH + HB \approx 2,8426x \Rightarrow x \approx \frac{{15}}{{2,8426}} \approx 5,2768\,\,\;{\rm{cm}}\)
b) Ta có \(AC = \frac{{AH}}{{\sin 30^\circ }} = 2AH \approx 10,5537\;{\rm{cm}}\).
Cho tam giác \(ABC\) vuôag tai \(A\).Biêt \(AB = 3\;{\rm{cm}},BC = 5\;{\rm{cm}}\).
a) Giải tam giác vuông \(ABC\).
b) Từ \(B\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(BC\), đường thẳng này cắt đường thẳng \(AC\)tại \(D\). Tính độ dài các đoạn thẳng \(AD\)và \(BD\).
a) Do tam giác \[ABC\]vuông tại \(A\) nên \(AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = \sqrt {{5^2} - {3^2}} = 4\;{\rm{cm}}\). Ta có \(\sin C = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{3}{5} \Rightarrow \widehat C \approx 36^\circ 52' \Rightarrow \widehat B = 90^\circ - \widehat C \approx 53^\circ 48'\).
b) Vì \(BD \bot BC\) nên \(\widehat {CBD} = 90^\circ \). Xét tam giác \[ABD\]vuông tại \(A\) có \(AB = 3\;{\rm{cm}}\), do vậy
\(\begin{array}{*{20}{l}}{A{B^2} = AD\cdotAC \Rightarrow AD = \frac{9}{4} = 2,25\;{\rm{cm}}}\\{B{D^2} = DA\cdotDC = 2,25\left( {2,25 + 4} \right) = 14,0625 \Rightarrow BD = 3,75\;{\rm{cm}}}\end{array}\)
![a) Do tam giác \[ABC\]vuông tại \(A\) (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/04/21-1775565655.png)
Ta có \[\widehat B = 90^\circ - \widehat C = 50^\circ \].
Vì \(BD\)là tia phân giác của góc \(\widehat B\) nên \(\widehat {ABD} = \frac{{\widehat B}}{2} = 25^\circ \). Trong tam giác vuông \(ABD\), ta có \(BD = \frac{{AB}}{{\cos 25^\circ }} = \frac{{21}}{{0,9063}} \approx 23,2\,\,(\;{\rm{cm}})\)
![Ta có \[\widehat B = 90^\circ - \widehat C = 50^\circ \]. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/04/22-1775565688.png)
Kẻ đường cao \(AH\). Ta có
\(HC = AH\cot 30^\circ = AH\sqrt 3 \).
\(BH = AH.\cot 45^\circ = AH.\)
Mặt khác
\(BH + HC = 2 \Rightarrow {\rm{ }}AH + AH\sqrt 3 = 2{\rm{ }}\)
\( \Rightarrow AH(1 + \sqrt 3 ) = 2\)
\( \Rightarrow AH = \frac{2}{{1 + \sqrt 3 }} = \sqrt 3 - 1\)
Viy \({S_{{\rm{ABC }}}} = \frac{1}{2}BC\cdotAH = \frac{1}{2}\cdot2(\sqrt 3 - 1) = \sqrt 3 - 1\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Xét tam giác \(\,MAH\)vuông tai \(H\) có \(HM = AH\tan \alpha \).
Xét tam giác \(\,NAH\)vuông tai \(H\) có \(HN = AH\tan \beta \).
Do đó
\(\begin{array}{l}MN = MH + HN = AH(\tan \alpha + \tan \beta )\\ = 120\cdot\left( {\tan 3x + \tan 20^\circ } \right) \approx 113\;{\rm{m}}\end{array}\).
Vẽ \(BH \bot CD\)tại \(H\). Khi đó ta có \(BH = AD = 3,1\) và \(DH = AB = 3,5\).
Xét tam giác\(BHC\) vuông tal \(H\), có
\(HC = BH.\cot C = 3,1.\cot 38^\circ \approx 4\)
Do vậy \(CD = CH + HD \approx 4 + 3,5 \approx 7,5\)
Diện tích hinh thang \(ABCD\;\)là
\(S = \frac{{(AB + CD)AD}}{2} \approx \frac{{(3,5 + 7,5)\cdot3,1}}{2} \approx 17,1\) (dvdt).
Gọi \(K\) là giao điểm của\(AD\) và \(BC\). Kẻ \(AH\)và \(KI\)vuông góc với \(CD\).Ta có
\(\widehat {{A_1}} = \widehat {{K_1}} = \frac{1}{2}\widehat {CKD}\)
\(HD = \frac{{CD - AB}}{2} = \frac{{6 - 2}}{2} = 2(\;{\rm{cm}})\)
\(\tan \widehat {{A_1}} = \frac{{HD}}{{AH}} = \frac{2}{4} = 0,5\)
Nên \(\widehat A \approx 27^\circ \). Suy ra \(\widehat {CKD} \approx 54^\circ \).
Kẻ đường cao \(AH\).
Ta eó \(HB = HC = (HM + MB) = (MC = HM) = 2HM\)
Đặt \(AH = h,{\rm{ }}\widehat {AMH} = \alpha \). Ta có
\(HB = HC = 2HM\)
\( \Rightarrow h\cot 40^\circ = h\cot 60^\circ = 2h\cot \alpha \)
\( \Rightarrow \cot \alpha = \frac{{\cot 20^\circ - \cot 60^\circ }}{2} \approx \frac{{1,1918 - 0,5\pi 4}}{2} \approx 0,3072\)
\( \Rightarrow \quad \alpha \approx 73^\circ .\)
Kẻ đường cao \(AH\). Ta có \(BC = BH - CH = AH\cot 30^\circ - AH\cot 45^\circ = AH\left( {\sqrt 3 - 1} \right).\)
Suy ra\[\;AH = \frac{{BC}}{{\sqrt 3 - 1}} = \frac{2}{{\sqrt 3 - 1}} = \sqrt 3 + 1(cm).\]
Vậy \({S_{ABC}} = \frac{1}{2} \cdot 2(\sqrt 3 + 1) = \sqrt 3 + 1\left( {\;c{m^2}} \right)\)
Vẽ \[AH \bot BD;\,\,CK \bot BD;\]\[AH = OA.\sin 50^\circ ;\,\,\,CK = OC.\sin 50^\circ .\]
\[{S_{ABCD}} = {S_{ABD}} + {S_{CBD}} = \frac{1}{2}BD\left( {AH + CK} \right).\]
\( = \frac{1}{2}.BD\left( {OA.\sin 50^\circ + OC.\sin 50^\circ } \right)\)
\( = \frac{1}{2}.BD.AC.\sin 50^\circ \)
\( = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4 \cdot \sin 50^\circ \approx 8{\rm{ }}\left( {c{m^2}} \right)\)
Chú ý: Ta chứng minh được diện tích một tứ giác (lồi) bằng tích của hai đường chéo nhân với sin của góc nhọn tạo bởi hai đường chéo.
\(AB = \frac{{BH}}{{\sin \alpha }} = \frac{{2,1}}{{\sin 28^\circ }} \approx 4,5\left( m \right)\)
\({\rm{AH}} = {\rm{CH}}\cot \alpha ;{\rm{BH}} = {\rm{CH}}\cot \alpha \)
\({\rm{AH}} - {\rm{BH}} = {\rm{CH}}(\cot \alpha - \cot \beta )\)
\({\rm{a}} = {\rm{CH}}(\cot \alpha - \cot \beta )\)
\({\rm{CH}} = \frac{\alpha }{{\cot \alpha - \cot \beta }} = \)\(\frac{{8,5}}{{\cot 20^\circ - \cot 24^\circ }} = 17(\;{\rm{m}}).\)
Tàu ngầm đang ở trên mặt biển bỗng đột ngột lặn xuống theo phương tạo với mặt nước biển một góc \[21^\circ \]. (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười)
a) Nếu tàu chuyển động theo phương lặn xuống được 300 m thì nó ở độ sâu bao nhiêu? Khi đó khoảng cách theo phương nằm ngang so với nơi xuất phát là bao nhiêu?
b) Tàu phải chạy bao nhiêu mét để đạt đến độ sâu 1000 m?
a) Ta có AC là quãng đường tàu ngầm đi được, BC là độ sâu tàu ngầm đạt được Khi đó khoảng cách theo phương nằm ngang so với nơi xuất phát là \(AB\)
Xét DABC vuông tại \(B\)
\[AB{\rm{ }} = {\rm{ }}AC.{\rm{ }}\cos A{\rm{ }} = {\rm{ }}300.\cos 21^\circ \approx 280,1{\rm{ }}\left( m \right)\]
b) Xét DABC vuông tại \(B\)
\(AC = \frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{1000}}{{\sin 21}} \approx 2790,4(m)\)
Vậy tàu phải chạy khoảng 2790,4 m để đạt đến độ sau 1000 m.
Bác An lên kế hoạch xây một ngôi nhà cấp bốn có một mái dốc như hình vẽ. Biết chiều rộng của sàn nhà là 4 m, chiều dài của sàn nhà là 7 m.
a) Giả sử bức tường phía sau của nhà cao hơn bức tường phía trước là 2,5m.
i) Em hãy tính xem mái nhà dốc bao nhiêu độ?
ii) Bác dự định mua tôn để lợp nhà, hỏi bác cần mua ít nhất bao nhiêu mét vuông tôn?
b) Trong lúc dự tính chọn mua nguyên vật liệu, bác An được biết rằng để cho mái nhà thoát nước tốt, không bị đọng nước và thấm dột thì với mỗi một chất liệu lợp nhà, mái nhà cần có độ dốc thích hợp. Bác chọn mua mái tôn múi (như hình) và được tư vấn độ dốc mái là 25 .
i) Em hãy tính xem bác cần xây bức tường phía sau cao hơn bức tường
phía trước bao nhiêu mét?
ii) Bác cần mua ít nhất bao nhiêu mét vuông tôn loại trên để lợp nhà?
| a) Giả sử bức tường trước là AB, bức tường sau là CD, hai bức tường cao hơn nhau đoạn CE bằng 2,5m. Khi đó ta có: O10-2024-GV154.\(AE = BD = 7m\) và độ dốc của mái nhà là góc \(\widehat {CAE} = \alpha \). |
i) Xét tam giác vuông ACE có:O10-2024-GV154 \(\tan \alpha = \frac{{CE}}{{AE}} = \frac{{2,5}}{7} = \frac{5}{{14}}\) nên độ dốc của mái nhà là:O10-2024-GV154 \(\alpha \approx {19^{\rm{o}}}39'.\)
ii) Bác An cần mua ít nhất số tôn để lợp mái nhà bằng diện tích hình chữ nhật có chiều rộng bằng 4 m và chiều dài bằng đoạn \(AC.\)
O10-2024-GV154Theo định lý Pythagore thì \(AC = \sqrt {C{E^2} + A{E^2}} = \sqrt {{{\left( {2,5} \right)}^2} + {7^2}} = \frac{{\sqrt {221} }}{2}{\rm{ }}\left( m \right)\)
Diện tích tôn bác An cần mua ít nhất là: \(4.\frac{{\sqrt {221} }}{2} = 2\sqrt {221} \approx 29,73{\rm{ }}\left( {{m^2}} \right)\)
b) i) Khi độ dốc mái nhà là \(25^\circ \) thì bức tường phía sau phải cao hơn bức tường phía trước số mét là: O10-2024-GV154..\[CE = AE \cdot \tan 25^\circ \]\( = 7.\tan 25^\circ \approx 3,26{\rm{ }}\left( m \right)\) |
|
ii) Ta có: \(AE = AC.c{\rm{os25}}^\circ \Rightarrow AC = \frac{{AE}}{{c{\rm{os25}}^\circ }} \approx 7,72\left( m \right)\)
Diện tích tôn ít nhất cần dùng để lợp mái nhà là: O10-2024-GV154 \(7,72.4 \approx 30,88{\rm{ }}\left( {{m^2}} \right)\)
Hình vẽ minh họa bài toán:
Xét \(\Delta ADC\) vuông tại \(C\), ta có: ..\(\tan \widehat {DCA} = \frac{{AD}}{{AC}}\) (tỉ số lượng giác của hai góc nhọn)
\( \Rightarrow AD = AC.\tan DCA = 8,5.\tan 30^\circ \,\,\,(m)\)
Và \(\cos \widehat {DCA} = \frac{{AC}}{{DC}}\) (tỉ số lượng giác của hai góc nhọn)\( \Rightarrow DC = \frac{{AC}}{{\cos DCA}} = \frac{{8,5}}{{\cos 30^\circ }}\,\left( m \right)\)
\( \Rightarrow AB = AD + DC = 8,5.\tan 30^\circ + \frac{{8,5}}{{\cos 30^\circ }} \approx 14,72\,\left( m \right)\)
