5 bài tập Bài toán tốc độ thay đổi của một đại lượng (có lời giải)

Giả sử số lượng của một quần thể nấm men tại môi trường nuôi cấy trong phòng thí nghiệm được mô hinh hoá bằng hàm số \(P\left( t \right) = \frac{a}{{b + {e^{ - 0,75t}}}}\), trong đó thời gian \(t\) được tính bằng giờ. Tại thời điểm ban đầu \(t = 0\), quần thể có 20 tế bào và tăng với tốc độ 12 tế bào/giờ. Tìm các giá trị của \(a\) và \(b\). Theo mô hình này, điều gì xảy ra với quần thể nấm men về lâu dài?

Giả sử chi phí \(C\left( x \right)\) (nghìn đồng) để sản xuất \(x\) đơn vị của một loại hàng hoá nào đó được cho bởi hàm số \(C\left( x \right) = 30000 + 300x - 2,5{x^2} + 0,125{x^3}\).

a) Tìm hàm chi phí biên.

b) Tìm \(C'\left( {200} \right)\) và giải thích ý nghĩa.

c) So sánh \(C'\left( {200} \right)\) với chi phí sản xuất đơn vị hàng hoá thứ 201.

Để loại bỏ \(x\% \) chất gây ô nhiễm không khí từ khí thải của một nhà máy, người ta ước tính chi phí cần bỏ ra là1\(C\left( x \right) = \frac{{300x}}{{100 - x}}{\rm{, }}0 \le x < 100\) (triệu đồng). Khảo sát sự biến thiên của hàm số \(y = C\left( x \right)\). Từ đó, hãy cho biết:

a) Chi phí cần bỏ ra sẽ thay đổi như thế nào khi \(x\) tăng?

b) Có thể loại bỏ được \(100\% \) chất gây ô nhiễm không khí không? Vì sao?

Xét phản ứng hoá học tạo ra chất \(C\) từ hai chất \(A\) và \(B\): . Giả sử nồng độ của hai chất \(A\) và \(B\) bằng nhau \(\left[ A \right] = \left[ B \right] = a\) (mol/l) . Khi đó nồng độ của chất \(C\) theo thời gian \(t\) \(\left( {t > 0} \right)\) được cho bởi công thức: \(\left[ C \right] = \frac{{{a^2}Kt}}{{aKt + 1}}\)(mol/l) trong đó \(K\) là hằng số dương.

a) Tìm tốc độ phản ứng tại thời điểm \(t > 0\).

b) Chứng minh nếu \(x = \left[ C \right]\) thì \(x'\left( t \right) = K{\left( {a - x} \right)^2}\)

c) Nêu hiện tượng xảy ra với nồng độ các chất khi \(t \to  + \infty \)

d) Nêu hiện tượng xảy ra với tốc độ phản ứng khi \(t \to  + \infty \)