32 câu Trắc nghiệm Toán 11 Bài 4: Đạo hàm cấp cao của hàm số có đáp án (Mới nhất)
32 câu hỏi
Hàm số \[y = \frac{x}{{x - 2}}\]có đạo hàm cấp hai là:
\(y'' = 0\).
\(y'' = \frac{1}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\).
\(y'' = - \frac{4}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\).
\(y'' = \frac{4}{{{{\left( {x - 2} \right)}^3}}}\).
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có \(y' = {\left( {\frac{x}{{x - 2}}} \right)^\prime } = \frac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\); \(y'' = {\left( {\frac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}} \right)^\prime } = 2.\frac{{2\left( {x - 2} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^4}}} = \frac{4}{{{{\left( {x - 2} \right)}^3}}}\)
Hàm số \[y = {\left( {{x^2} + {\rm{ }}1} \right)^3}\] có đạo hàm cấp ba là:
\[y''' = {\rm{ }}12\left( {{x^2} + {\rm{ }}1} \right)\].
\[y''' = {\rm{ }}24\left( {{x^2} + {\rm{ }}1} \right)\].
\[y''' = {\rm{ }}24\left( {5{x^2} + {\rm{ }}3} \right)\].
\[y''' = {\rm{ }}-12\left( {{x^2} + {\rm{ }}1} \right)\].
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có \(y = {x^6} + 3{x^4} + 3{x^2} + 1\); \(y' = 6{x^5} + 12{x^3} + 6x\)
\(y'' = 30{x^4} + 36{x^2} + 6\); \(y''' = 120{x^3} + 72x = 24\left( {5{x^2} + 3} \right)\).
Hàm số \(y = \sqrt {2x + 5} \) có đạo hàm cấp hai bằng:
\(y'' = \frac{1}{{(2x + 5)\sqrt {2x + 5} }}\).
\(y'' = \frac{1}{{\sqrt {2x + 5} }}\).
\(y'' = - \frac{1}{{(2x + 5)\sqrt {2x + 5} }}\).
\(y'' = - \frac{1}{{\sqrt {2x + 5} }}\).
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có \(y' = {\left( {\sqrt {2x + 5} } \right)^\prime } = \frac{2}{{2\sqrt {2x + 5} }} = \frac{1}{{\sqrt {2x + 5} }}\)
\(y'' = - \frac{{{{\left( {\sqrt {2x + 5} } \right)}^\prime }}}{{2x + 5}} = - \frac{{\frac{2}{{2\sqrt {2x + 5} }}}}{{2x + 5}} = - \frac{1}{{\left( {2x + 5} \right)\sqrt {2x + 5} }}\).
Hàm số \(y{\rm{ }} = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}\) có đạo hàm cấp 5 bằng:
\({y^{(5)}} = - \frac{{120}}{{{{(x + 1)}^6}}}\).
\({y^{(5)}} = \frac{{120}}{{{{(x + 1)}^6}}}\).
\({y^{(5)}} = \frac{1}{{{{(x + 1)}^6}}}\).
\({y^{(5)}} = - \frac{1}{{{{(x + 1)}^6}}}\).
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có \(y = x + \frac{1}{{x + 1}}\)\( \Rightarrow y' = 1 - \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\).
\( \Rightarrow y'' = \frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}\)\( \Rightarrow {y^{\left( 3 \right)}} = \frac{{ - 6}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^4}}}\)\( \Rightarrow {y^{\left( 4 \right)}} = \frac{{24}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^5}}}\)\( \Rightarrow {y^{(5)}} = - \frac{{120}}{{{{(x + 1)}^6}}}\).
Hàm số \(y = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}\) có đạo hàm cấp \(5\) bằng :
\[{y^{\left( 5 \right)}} = - \frac{{120}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^6}}}\].
\[{y^{\left( 5 \right)}} = \frac{{120}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^5}}}\].
\[{y^{\left( 5 \right)}} = \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^5}}}\].
\[{y^{\left( 5 \right)}} = - \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^5}}}\].
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có: \(y = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}} = x + \frac{1}{{x + 1}}\).
\( \Rightarrow y' = 1 - \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\); \(y'' = \frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}\); \(y''' = - \frac{6}{{{{\left( {x + 1} \right)}^4}}}\); \({y^{\left( 4 \right)}} = \frac{{24}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^5}}}\);\({y^{\left( 5 \right)}} = - \frac{{120}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^6}}}\).
Hàm số \[y = x\sqrt {{x^2} + 1} \] có đạo hàm cấp \(2\) bằng :
\[y'' = - \frac{{2{x^3} + 3x}}{{\left( {1 + {x^2}} \right)\sqrt {1 + {x^2}} }}\].
\[y'' = \frac{{2{x^2} + 1}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\].
\[y'' = \frac{{2{x^3} + 3x}}{{\left( {1 + {x^2}} \right)\sqrt {1 + {x^2}} }}\].
\[y'' = - \frac{{2{x^2} + 1}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\].
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có: \[y' = \sqrt {{x^2} + 1} + x\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = \frac{{2{x^2} + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\] ; \[y'' = \frac{{4x\sqrt {{x^2} + 1} - \left( {2{x^2} + 1} \right)\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{2{x^3} + 3x}}{{\left( {1 + {x^2}} \right)\sqrt {1 + {x^2}} }}\]
Hàm số \[y = {\left( {2x + 5} \right)^5}\] có đạo hàm cấp \(3\) bằng :
\[y''' = 80{\left( {2x + 5} \right)^3}\].
\[y''' = 480{\left( {2x + 5} \right)^2}\].
\[y''' = - 480{\left( {2x + 5} \right)^2}\].
\[y''' = - 80{\left( {2x + 5} \right)^3}\].
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có: \[y' = 5{\left( {2x + 5} \right)^4} \cdot 2\]\[ = 10{\left( {2x + 5} \right)^4}\] ;\[y'' = 80{\left( {2x + 5} \right)^3}\]; \[y'' = 480{\left( {2x + 5} \right)^2}\].
Hàm số \(y = tanx\) có đạo hàm cấp \(2\) bằng :
\[y'' = - \frac{{2\sin x}}{{{{\cos }^3}x}}\].
\[y'' = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\].
\[y'' = - \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\].
\[y'' = \frac{{2\sin x}}{{{{\cos }^3}x}}\].
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có: \[y' = \frac{1}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x}}\]. \[y'' = - \frac{{2{\rm{cos}}x\left( { - {\rm{sin}}x} \right)}}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^4}x}} = \frac{{2{\rm{sin}}x}}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^3}x}}\]
Cho hàm số \(y = {\rm{sin}}x\). Chọn câu sai.
\[y' = \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)\].
\[y'' = \sin \left( {x + \pi } \right)\].
\[y''' = \sin \left( {x + \frac{{3\pi }}{2}} \right)\].
\[{y^{\left( 4 \right)}} = \sin \left( {2\pi - x} \right)\].
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có: \[y' = {\rm{cos}}x = {\rm{sin}}\left( {\frac{\pi }{2} + x} \right)\] ; \[y'' = {\rm{cos}}\left( {\frac{\pi }{2} + x} \right) = {\rm{sin}}\left( {\pi + x} \right)\].
\[y''' = {\rm{cos}}\left( {\pi + x} \right) = {\rm{sin}}\left( {\frac{{3\pi }}{2} + x} \right)\]; \[{y^{\left( 4 \right)}} = {\rm{cos}}\left( {\frac{{3\pi }}{2} + x} \right) = {\rm{sin}}\left( {2\pi + x} \right)\].
Hàm số \(y = \frac{{ - 2{x^2} + 3x}}{{1 - x}}\) có đạo hàm cấp \(2\) bằng :
\[y'' = 2 + \frac{1}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}\].
\[y'' = \frac{2}{{{{\left( {1 - x} \right)}^3}}}\].
\[y'' = \frac{{ - 2}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^3}}}\].
\[y'' = \frac{2}{{{{\left( {1 - x} \right)}^4}}}\].
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có: \(y = 2x - 1 + \frac{1}{{1 - x}}\)\( \Rightarrow y' = 2 + \frac{1}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}\) ; \[y'' = \frac{2}{{{{(1 - x)}^3}}}\].
Hàm số \(y = f\left( x \right) = \cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)\). Phương trình \({f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) = - 8\) có nghiệm \(x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\) là:
\[x = \frac{\pi }{2}\].
\(x = 0\) và \[x = \frac{\pi }{6}\].
\(x = 0\) và \[x = \frac{\pi }{3}\].
\(x = 0\) và \[x = \frac{\pi }{2}\].
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có: \(y' = - 2{\rm{sin}}\left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)\). \[y'' = - 4{\rm{cos}}\left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)\]. \[y''' = 8{\rm{sin}}\left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)\]. \[{y^{\left( 4 \right)}} = 16{\rm{cos}}\left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)\]
Khi đó : \({f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) = - 8\)\[ \Leftrightarrow 16{\rm{cos}}\left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = - 8\]\[ \Leftrightarrow {\rm{cos}}\left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = - \frac{1}{2}\]
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - \frac{\pi }{3} = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\2x - \frac{\pi }{3} = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\x = - \frac{\pi }{6} + k\pi \end{array} \right.\).
Cho hàm số \(y = {\rm{sin2}}x\). Chọn khẳng định đúng
\[4y - y' = 0\].
\[4y + y'' = 0\].
\(y = y'tan2x\).
\({y^2} = {\left( {y'} \right)^2} = 4\).
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có: \(y' = 2{\rm{cos2}}x\); \[y'' = - 4{\rm{sin2}}x\]. \[ \Rightarrow 4y + y'' = 0\].
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = - \frac{1}{x}\). Xét hai mệnh đề :
\(\left( I \right):y'' = f''\left( x \right) = \frac{2}{{{x^3}}}\). \(\left( {II} \right):y''' = f'''\left( x \right) = - \frac{6}{{{x^4}}}\).
Mệnh đề nào đúng?
Chỉ \[\left( I \right)\] đúng.
Chỉ \[\left( {II} \right)\] đúng
Cả hai đều đúng.
Cả hai đều sai.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có: \(y' = \frac{1}{{{x^2}}}\); \[y'' = - \frac{2}{{{x^3}}}\]; \[y''' = \frac{6}{{{x^4}}}\].
Nếu \(f''\left( x \right) = \frac{{2\sin x}}{{{{\cos }^3}x}}\) thì \(f\left( x \right)\) bằng
\[\frac{1}{{\cos x}}\].
\[ - \frac{1}{{\cos x}}\].
\(\cot x\).
\(tanx\).
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Vì: \[{\left( {tanx} \right)^{\prime \prime }} = {\left( {\frac{1}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x}}} \right)^\prime }\]\[ = \frac{{ - 2{\rm{cos}}x \cdot \left( { - {\rm{sin}}x} \right)}}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^4}x}}\]\[ = \frac{{2{\rm{sin}}x}}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^3}x}}\].
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{ - {x^2} + x + 2}}{{x - 1}}\). Xét hai mệnh đề :
\(\left( I \right):y' = f'\left( x \right)\)\( = - 1 - \frac{2}{{{{(x - 1)}^2}}} < 0,\forall x \ne 1\). \(\left( {II} \right):y'' = f''\left( x \right)\)\( = \frac{4}{{{{(x - 1)}^2}}} > 0,\forall x \ne 1\).
Mệnh đề nào đúng?
Chỉ \[\left( I \right)\] đúng.
Chỉ \[\left( {II} \right)\] đúng.
Cả hai đều đúng.
Cả hai đều sai.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có: \(y = f\left( x \right)\)\( = \frac{{ - {x^2} + x + 2}}{{x - 1}}\)\( = - x + \frac{2}{{x - 1}}\)\[ \Rightarrow y' = - 1 - \frac{2}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\]; \[y'' = \frac{4}{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}}\].
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {\left( {x + 1} \right)^3}\). Giá trị \(f''\left( 0 \right)\) bằng
\[3\].
\[6\].
\(12\).
\(24\).
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Vì: \(f'\left( x \right) = 3{\left( {x + 1} \right)^2}\) ; \(f''\left( x \right) = 6\left( {x + 1} \right)\)\[ \Rightarrow f''\left( 0 \right) = 6\].
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {\sin ^3}x + {x^2}\). Giá trị \(f''\left( {\frac{\pi }{2}} \right)\) bằng
\[0\].
\[ - 1\].
\( - 2\).
\(5\).
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Vì: \(f'\left( x \right) = 3{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x{\rm{cos}}x + 2x\) ; \(f''\left( x \right) = 6{\rm{sin}}x{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x - 3{\rm{si}}{{\rm{n}}^3}x + 2\)\[ \Rightarrow f''\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = - 1\].
Cho hàm số \(f\left( x \right) = 5{\left( {x + 1} \right)^3} + 4\left( {x + 1} \right)\). Tập nghiệm của phương trình \(f''\left( x \right) = 0\) là
\[\left[ { - 1;2} \right]\].
\[\left( { - \infty ;0} \right]\].
\(\left\{ { - 1} \right\}\).
\(\emptyset \).
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Vì: \(f'\left( x \right) = 15{\left( {x + 1} \right)^2} + 4\) ; \(f''\left( x \right) = 30\left( {x + 1} \right)\)\[ \Rightarrow f''\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = - 1\].
Cho hàm số \[y = \frac{1}{{x - 3}}\]. Khi đó :
\[y'''\left( 1 \right) = \frac{3}{8}\].
\[y'''\left( 1 \right) = \frac{1}{8}\].
\[y'''\left( 1 \right) = - \frac{3}{8}\].
\[y'''\left( 1 \right) = - \frac{1}{4}\].
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Vì: \(y' = - \frac{1}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}\) ; \(y'' = \frac{2}{{{{\left( {x - 3} \right)}^3}}}\) ; \(y''' = - \frac{6}{{{{\left( {x - 3} \right)}^4}}}\)\[ \Rightarrow y'''\left( 1 \right) = - \frac{3}{8}\].
Cho hàm số \[y = {\left( {ax + b} \right)^5}\] với \(a\), \(b\) là tham số. Khi đó :
\[{y^{\left( {10} \right)}}\left( 1 \right) = 0\].
\[{y^{\left( {10} \right)}}\left( 1 \right) = 10a + b\].
\[{y^{\left( {10} \right)}}\left( 1 \right) = 5a\].
\[{y^{\left( {10} \right)}}\left( 1 \right) = 10a\].
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Vì: \(y' = 5a{\left( {ax + b} \right)^4}\) ; \(y'' = 20{a^2}{\left( {ax + b} \right)^3}\) ; \(y''' = 60{a^3}{\left( {ax + b} \right)^2}\) ; \({y^{\left( 4 \right)}} = 120{a^4}\left( {ax + b} \right)\) ; \({y^{\left( 5 \right)}} = 120{a^5}\) ; \({y^{\left( 6 \right)}} = 0\)\[ \Rightarrow {y^{\left( {10} \right)}} = 0\]. Do đó \({y^{\left( {10} \right)}}\left( 1 \right) = 0\)
Cho hàm số \[y = {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}{\rm{2}}x\]. Tính \({y^{\left( 4 \right)}}\left( {\frac{\pi }{6}} \right)\) bằng:
\[64\].
\[ - 64\].
\(64\sqrt 3 \).
\( - 64\sqrt 3 \).
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Vì: \(y' = 2{\rm{sin2}}x\left( {2{\rm{cos2}}x} \right) = 2{\rm{sin4}}x\); \(y'' = 8{\rm{cos4}}x\) ; \(y''' = - 32{\rm{sin4}}x\);
\({y^{\left( 4 \right)}} = - 128{\rm{cos4}}x\)\( \Rightarrow {y^{\left( 4 \right)}}\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = 64\sqrt 3 \).
Cho hàm số \(y = \sin 2x\). Tính \(y''\)
\(y'' = - \sin 2x\)
\(y'' = - 4\sin x\)
\(y'' = \sin 2x\)
\(y'' = - 4\sin 2x\)
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có \(y' = 2\cos 2x \Rightarrow y'' = - 4\sin 2x\)
Cho hàm số \(y = \sin 2x\). Tính \(y'''(\frac{\pi }{3})\), \({y^{(4)}}(\frac{\pi }{4})\)
4 và 16
5 và 17
6 và 18
7 và 19
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có \(y''' = - 8\cos 2x,{\rm{ }}{y^{(4)}} = 16\sin 2x\)
Suy ra \(y'''(\frac{\pi }{3}) = - 8\cos \frac{{2\pi }}{3} = 4;{\rm{ }}{y^{(4)}}(\frac{\pi }{4}) = 16\sin \frac{\pi }{2} = 16\).
Cho hàm số \(y = \sin 2x\). Tính \({y^{(n)}}\)
\({y^{(n)}} = {2^n}\sin (2x + n\frac{\pi }{3})\)
\({y^{(n)}} = {2^n}\sin (2x + \frac{\pi }{2})\)
\({y^{(n)}} = {2^n}\sin (x + \frac{\pi }{2})\)
\({y^{(n)}} = {2^n}\sin (2x + n\frac{\pi }{2})\)
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có \(y' = 2\sin (2x + \frac{\pi }{2}),y'' = {2^2}\sin (2x + 2\frac{\pi }{2})\), \(y''' = {2^3}\sin (2x + 3\frac{\pi }{2})\)
Bằng quy nạp ta chứng minh \({y^{(n)}} = {2^n}\sin (2x + n\frac{\pi }{2})\)
Với \(n = 1 \Rightarrow y' = {2^1}\sin (2x + \frac{\pi }{2})\) đúng
Giả sử \({y^{(k)}} = {2^k}\sin (2x + k\frac{\pi }{2})\),
suy ra \({y^{(k + 1)}} = \left( {{y^{(k)}}} \right)' = {2^{k + 1}}\cos (2x + k\frac{\pi }{2}) = {2^{k + 1}}\sin \left( {2x + (k + 1)\frac{\pi }{2}} \right)\)
Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh.
Tính đạo hàm cấp n của hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x + 2}}\)
\({y^{(n)}} = \frac{{{{(1)}^{n - 1}}.3.n!}}{{{{(x + 2)}^{n + 1}}}}\)
\({y^{(n)}} = \frac{{{{( - 1)}^{n - 1}}.n!}}{{{{(x + 2)}^{n + 1}}}}\)
\({y^{(n)}} = \frac{{{{( - 1)}^{n - 1}}.3.n!}}{{{{(x - 2)}^{n + 1}}}}\)
\({y^{(n)}} = \frac{{{{( - 1)}^{n - 1}}.3.n!}}{{{{(x + 2)}^{n + 1}}}}\)
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có \(y' = \frac{3}{{{{(x + 2)}^2}}},y'' = - \frac{{3{{\left[ {{{(x + 2)}^2}} \right]}^'}}}{{{{(x + 2)}^4}}} = \frac{{ - 3.2}}{{{{(x + 2)}^3}}}\)
\(y''' = \frac{{3.2.3}}{{{{(x + 2)}^4}}}\). Ta chứng minh \({y^{(n)}} = \frac{{{{( - 1)}^{n - 1}}.3.n!}}{{{{(x + 2)}^{n + 1}}}}\)
\( \bullet \) Với \(n = 1 \Rightarrow y' = \frac{{{{( - 1)}^0}.3}}{{{{(x + 2)}^2}}} = \frac{3}{{{{(x + 2)}^2}}}\) đúng
\( \bullet \) Giả sử \({y^{(k)}} = \frac{{{{( - 1)}^{k - 1}}.3.k!}}{{{{(x + 2)}^{k + 1}}}}\)
\( \Rightarrow {y^{(k + 1)}} = \left( {{y^{(k)}}} \right)' = - \frac{{{{( - 1)}^{k - 1}}.3.k!.\left[ {{{(x + 2)}^{k + 1}}} \right]'}}{{{{(x + 2)}^{2k + 2}}}} = \frac{{{{( - 1)}^k}.3.(k + 1)!}}{{{{(x + 2)}^{k + 2}}}}\)
Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh.
Tính đạo hàm cấp n của hàm số \(y = \frac{1}{{ax + b}},a \ne 0\)
\({y^{(n)}} = \frac{{{{(2)}^n}.{a^n}.n!}}{{{{(ax + b)}^{n + 1}}}}\)
\({y^{(n)}} = \frac{{{{( - 1)}^n}.{a^n}.n!}}{{{{(x + 1)}^{n + 1}}}}\)
\({y^{(n)}} = \frac{{{{( - 1)}^n}.n!}}{{{{(ax + b)}^{n + 1}}}}\)
\({y^{(n)}} = \frac{{{{( - 1)}^n}.{a^n}.n!}}{{{{(ax + b)}^{n + 1}}}}\)
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có \(y' = \frac{{ - a}}{{{{(ax + b)}^2}}},y'' = \frac{{{a^2}.2}}{{{{(ax + b)}^3}}},y''' = \frac{{ - {a^3}.2.3}}{{{{(ax + b)}^4}}}\)
Ta chứng minh: \({y^{(n)}} = \frac{{{{( - 1)}^n}.{a^n}.n!}}{{{{(ax + b)}^{n + 1}}}}\)
\( \bullet \) Với \(n = 1 \Rightarrow y' = \frac{{{{( - 1)}^1}.{a^1}.1!}}{{{{(ax + b)}^2}}} = - \frac{a}{{{{(ax + b)}^2}}}\) đúng
\( \bullet \) Giả sử \({y^{(k)}} = \frac{{{{( - 1)}^k}.{a^k}.k!}}{{{{(ax + b)}^{k + 1}}}}\)
\( \Rightarrow {y^{(k + 1)}} = \left( {{y^{(k)}}} \right)' = - \frac{{{{( - 1)}^k}.{a^k}.k!.\left[ {{{(ax + b)}^{k + 1}}} \right]'}}{{{{(ax + b)}^{2k + 2}}}} = \frac{{{{( - 1)}^{k + 1}}.{a^{k + 1}}.(k + 1)!}}{{{{(x + 2)}^{k + 2}}}}\)
Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh.
Tính đạo hàm cấp n của hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{{x^2} - 5x + 6}}\)
\({y^{(n)}} = \frac{{{{(2)}^n}.7.n!}}{{{{(x - 2)}^{n + 1}}}} - \frac{{{{(1)}^n}.5.n!}}{{{{(x - 3)}^{n + 1}}}}\)
\({y^{(n)}} = \frac{{{{( - 1)}^{n + 1}}.7.n!}}{{{{(x - 2)}^{n + 1}}}} - \frac{{{{( - 1)}^{n + 1}}.5.n!}}{{{{(x - 3)}^{n + 1}}}}\)
\({y^{(n)}} = \frac{{{{( - 1)}^n}.7.n!}}{{{{(x - 2)}^n}}} - \frac{{{{( - 1)}^n}.5.n!}}{{{{(x - 3)}^n}}}\)
\({y^{(n)}} = \frac{{{{( - 1)}^n}.7.n!}}{{{{(x - 2)}^{n + 1}}}} - \frac{{{{( - 1)}^n}.5.n!}}{{{{(x - 3)}^{n + 1}}}}\)
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có: \(2x + 1 = 7(x - 2) - 5(x - 3)\); \({x^2} - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)\)
Suy ra \(y = \frac{7}{{x - 3}} - \frac{5}{{x - 2}}\).
Mà \({\left( {\frac{1}{{x - 2}}} \right)^{(n)}} = \frac{{{{( - 1)}^n}{{.1}^n}.n!}}{{{{(x - 2)}^{n + 1}}}} = \frac{{{{( - 1)}^n}.n!}}{{{{(x - 2)}^{n + 1}}}},{\left( {\frac{1}{{x - 2}}} \right)^{(n)}} = \frac{{{{( - 1)}^n}.n!}}{{{{(x - 3)}^{n + 1}}}}\)
Nên \({y^{(n)}} = \frac{{{{( - 1)}^n}.7.n!}}{{{{(x - 2)}^{n + 1}}}} - \frac{{{{( - 1)}^n}.5.n!}}{{{{(x - 3)}^{n + 1}}}}\).
Tính đạo hàm cấp n của hàm số \(y = \cos 2x\)
\({y^{(n)}} = {\left( { - 1} \right)^n}\cos \left( {2x + n\frac{\pi }{2}} \right)\)
\({y^{(n)}} = {2^n}\cos \left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right)\)
\({y^{(n)}} = {2^{n + 1}}\cos \left( {2x + n\frac{\pi }{2}} \right)\)
\({y^{(n)}} = {2^n}\cos \left( {2x + n\frac{\pi }{2}} \right)\)
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có \(y' = 2\cos \left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right),y'' = {2^2}\cos \left( {2x + 2\frac{\pi }{2}} \right),\)
\(y''' = {2^3}\cos \left( {2x + 3\frac{\pi }{2}} \right)\).
Bằng quy nạp ta chứng minh được \({y^{(n)}} = {2^n}\cos \left( {2x + n\frac{\pi }{2}} \right)\).
Tính đạo hàm cấp n của hàm số \(y = \sqrt {2x + 1} \)
\({y^{(n)}} = \frac{{{{( - 1)}^{n + 1}}.3.5...(3n - 1)}}{{\sqrt {{{(2x + 1)}^{2n - 1}}} }}\)
\({y^{(n)}} = \frac{{{{( - 1)}^{n - 1}}.3.5...(2n - 1)}}{{\sqrt {{{(2x + 1)}^{2n - 1}}} }}\)
\({y^{(n)}} = \frac{{{{( - 1)}^{n + 1}}.3.5...(2n - 1)}}{{\sqrt {{{(2x + 1)}^{2n + 1}}} }}\)
\({y^{(n)}} = \frac{{{{( - 1)}^{n + 1}}.3.5...(2n - 1)}}{{\sqrt {{{(2x + 1)}^{2n - 1}}} }}\)
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có \(y' = \frac{1}{{\sqrt {2x + 1} }},y'' = - \frac{1}{{\sqrt {{{(2x + 1)}^3}} }},y''' = \frac{3}{{\sqrt {{{(2x + 1)}^5}} }}\)
Bằng quy nạp ta chứng minh được: \({y^{(n)}} = \frac{{{{( - 1)}^{n + 1}}.3.5...(2n - 1)}}{{\sqrt {{{(2x + 1)}^{2n - 1}}} }}\)
Tính đạo hàm cấp n của hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{{x^2} - 3x + 2}}\)
\({y^{(n)}} = \frac{{5.{{( - 1)}^n}.n!}}{{{{(x - 2)}^{n + 1}}}} + \frac{{3.{{( - 1)}^n}.n!}}{{{{(x - 1)}^{n + 1}}}}\)
\({y^{(n)}} = \frac{{5.{{( - 1)}^n}.n!}}{{{{(x + 2)}^{n + 1}}}} - \frac{{3.{{( - 1)}^n}.n!}}{{{{(x - 1)}^{n + 1}}}}\)
\({y^{(n)}} = \frac{{5.{{( - 1)}^n}.n!}}{{{{(x - 2)}^{n + 1}}}}:\frac{{3.{{( - 1)}^n}.n!}}{{{{(x - 1)}^{n + 1}}}}\)
\({y^{(n)}} = \frac{{5.{{( - 1)}^n}.n!}}{{{{(x - 2)}^{n + 1}}}} - \frac{{3.{{( - 1)}^n}.n!}}{{{{(x - 1)}^{n + 1}}}}\)
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có: \(y = \frac{5}{{x - 2}} - \frac{3}{{x - 1}}\)
Bằng quy nạp ta chứng minh được: \({y^{(n)}} = \frac{{5.{{( - 1)}^n}.n!}}{{{{(x - 2)}^{n + 1}}}} - \frac{{3.{{( - 1)}^n}.n!}}{{{{(x - 1)}^{n + 1}}}}\).
Tính đạo hàm cấp \(n\) của hàm số \(y = \frac{x}{{{x^2} + 5x + 6}}\)
\[{y^{(n)}} = \frac{{{{( - 1)}^n}.3.n!}}{{{{(x + 3)}^{n + 1}}}} + \frac{{{{( - 1)}^n}.2.n!}}{{{{(x + 2)}^{n + 1}}}}\]
\[{y^{(n)}} = \frac{{{{( - 1)}^n}.3.n!}}{{{{(x + 3)}^n}}} - \frac{{{{( - 1)}^n}.2.n!}}{{{{(x + 2)}^n}}}\]
\[{y^{(n)}} = \frac{{{{( - 1)}^n}.3.n!}}{{{{(x + 3)}^{n - 1}}}} - \frac{{{{( - 1)}^n}.2.n!}}{{{{(x + 2)}^{n - 1}}}}\]
\[{y^{(n)}} = \frac{{{{( - 1)}^n}.3.n!}}{{{{(x + 3)}^{n + 1}}}} - \frac{{{{( - 1)}^n}.2.n!}}{{{{(x + 2)}^{n + 1}}}}\]
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có:\(x = 3(x + 2) - 2(x + 3)\); \({x^2} + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)\)
Suy ra \(y = \frac{3}{{x + 3}} - \frac{2}{{x + 2}}\).
Mà \({\left( {\frac{1}{{x + 2}}} \right)^{(n)}} = \frac{{{{( - 1)}^n}{{.1}^n}.n!}}{{{{(x + 2)}^{n + 1}}}} = \frac{{{{( - 1)}^n}.n!}}{{{{(x + 2)}^{n + 1}}}},{\rm{ }}{\left( {\frac{1}{{x + 3}}} \right)^{(n)}} = \frac{{{{( - 1)}^n}.n!}}{{{{(x + )}^{n + 1}}}}\)
Nên ta có: \[{y^{(n)}} = \frac{{{{( - 1)}^n}.3.n!}}{{{{(x + 3)}^{n + 1}}}} - \frac{{{{( - 1)}^n}.2.n!}}{{{{(x + 2)}^{n + 1}}}}\].
Tính đạo hàm cấp \(n\) của hàm số \(y = \cos 2x\)
\({y^{(n)}} = {2^{n + 1}}\cos \left( {2x + n\frac{\pi }{2}} \right)\)
\({y^{(n)}} = {2^{n - 1}}\cos \left( {2x + n\frac{\pi }{2}} \right)\)
\({y^{(n)}} = {2^n}\cos \left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right)\)
\({y^{(n)}} = {2^n}\cos \left( {2x + n\frac{\pi }{2}} \right)\)
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có :
\(y' = 2\cos \left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right),y'' = {2^2}\cos \left( {2x + 2\frac{\pi }{2}} \right),\)\(y''' = {2^3}\cos \left( {2x + 3\frac{\pi }{2}} \right)\).
Bằng quy nạp ta chứng minh được \({y^{(n)}} = {2^n}\cos \left( {2x + n\frac{\pi }{2}} \right)\).
