Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {\sqrt {x - 2}  + 3} \right) = 3\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {ax - 1} \right) = 2a - 1\).

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right)\) tồn tại nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right)\) Û 2a – 1 = 3 Û a = 2.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {3^ - }} \frac{{2{x^2} + 5x - 3}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {3^ - }} \frac{{\left( {x + 3} \right)\left( {2x - 1} \right)}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {3^ - }} \frac{{2x - 1}}{{x + 3}} =  + \infty \).

Hàm số \(u\left( x \right) = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\) liên tục trên khoảng (a; b) khi g(x) ≠ 0, ∀x Î (a; b).

Hàm số liên tục tại x = 2 khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)\)\( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 2}} = a\)

\( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {x - 1} \right) = a\) Û a = 1.

Hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\) có tập xác định D = ℝ\{1}. Do đó hàm số gián đoạn tại điểm x0 = 1.

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{ - 3{n^3} + 1}}{{2n + 5}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{n\left( { - 3{n^2} + \frac{1}{n}} \right)}}{{n\left( {2 + \frac{5}{n}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{ - 3{n^2} + \frac{1}{n}}}{{2 + \frac{5}{n}}} =  - \infty \),

do \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( { - 3{n^2} + \frac{1}{n}} \right) =  - \infty }\\{\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {2 + \frac{5}{n}} \right) = 2}\end{array}} \right.\)

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{{{( - 1)}^n} \cdot {5^n}}}{{{2^n} + {5^{2n}}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{{{( - 1)}^n} \cdot {5^n}}}{{{2^n} + {{25}^n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{{{25}^n} \cdot {{\left( {\frac{{ - 1}}{5}} \right)}^n}}}{{{{25}^n}\left[ {{{\left( {\frac{2}{{25}}} \right)}^n} + 1} \right]}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{{{\left( {\frac{{ - 1}}{5}} \right)}^n}}}{{{{\left( {\frac{2}{{25}}} \right)}^n} + 1}} = 0\).

a) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{ - 3{n^3} + 1}}{{2n + 5}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( { - 3{n^2} + \frac{1}{n}} \right) =  - \infty \).

b) x = 0 là hoành độ giao điểm của đường thẳng \(y = 2x\) với trục hoành.

c) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {\left( {\frac{1}{{2024}}} \right)^n} = b\).

d) u1 = 0; u3 = 0 + 2d = 1.

Đáp án: a) Đúng;   b) Đúng;   c) Đúng;   d) Sai.

 a) Khi m = 1 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {{x^2} - 3} \right) = 4 - 3 = 1\).

b) Có f(2) = 4m – 3.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {m{x^2} - 3} \right) = 4m - 3\);

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{\sqrt {{x^2} - 4x + 4} }}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{\sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2}} }}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{2 - x}}{{x - 2}} =  - 1\).

Để hàm số f(x) liên tục tại x = 2 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)\)

Û 4m – 3 = −1 \( \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}\).

c) f(2) = 4m – 3.

d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {m{x^2} - 3} \right) = 4m - 3\).

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai;   c) Đúng;   d) Sai.

 a) Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} f\left( x \right) =  - 4\).

b) Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} \left( {x - 2} \right) =  - 3\).

c) Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \left( {\sqrt {{x^2} + 1}  + m} \right) = m + \sqrt 2 \).

d) Hàm số đã cho có giới hạn tại x0 = −1 khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} f\left( x \right) = f\left( { - 1} \right) \Leftrightarrow m =  - 3 - \sqrt 2 \).

Đáp án: a) Sai;   b) Đúng;   c) Đúng;   d) Sai.

a) Tập xác định của hàm số là D = ℝ.

b) Ta có \(f\left( 7 \right) = \frac{{4 - {7^2}}}{{\sqrt {7 + 2}  - 2}} =  - 45\);

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 7} \frac{{4 - {x^2}}}{{\sqrt {x + 2}  - 2}} = \frac{{4 - {7^2}}}{{\sqrt {7 + 2}  - 2}} =  - 45 = f\left( 7 \right)\).

Suy ra hàm số liên tục tại x = 7 với mọi m.

c) Ta có f(0) = m.0 + 8 = 8.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {mx + 8} \right) = 2.0 + 8 = 8 = f\left( 2 \right)\).

Suy ra hàm số liên tục tại x = 0 với mọi m.

d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{4 - {x^2}}}{{\sqrt {x + 2}  - 2}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\left( {4 - {x^2}} \right)\left( {\sqrt {x + 2}  + 2} \right)}}{{x - 2}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left[ {\left( { - x - 2} \right)\left( {\sqrt {x + 2}  + 2} \right)} \right]\)

\( = \left( { - 2 - 2} \right)\left( {\sqrt {2 + 2}  + 2} \right) =  - 16\);

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {mx + 8} \right) = 2m + 8 = f\left( 2 \right)\).

Do đó để hàm số f(x) liên tục tại x0 = 2 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)\) Û 2m + 8 = −16

Û m = −12.

Vậy m = −12 thì hàm số f(x) liên tục tại điểm x0 = 2.

Đáp án: a) Đúng;   b) Đúng;   c) Sai;   d) Đúng.

a) Với t = 0 Þ T(t) = 20.

b) Với t = 10 Þ T(t) = 20 + 4.10 = 60.

c) Ta có T(70) = 20 + 4.70 = 300.

\(\mathop {\lim }\limits_{t \to {{70}^ - }} T\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to {{70}^ - }} \left( {20 + 4t} \right) = 300\); \(\mathop {\lim }\limits_{t \to {{70}^ + }} T\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to {{70}^ + }} \left( {a - 2t} \right) = a - 140\).

Nếu a = 300°C thì \(\mathop {\lim }\limits_{t \to {{70}^ + }} T\left( t \right) = 300 - 140 = 160 \ne \mathop {\lim }\limits_{t \to {{70}^ - }} T\left( t \right)\).

Do đó hàm số không liên tục tại t = 70.

Vậy T(t) không liên tục trên tập xác định với ∀a Î ℝ.

d) Với a = 440°C thì \(\mathop {\lim }\limits_{t \to {{70}^ - }} T\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to {{70}^ + }} T\left( t \right) = T\left( {70} \right) = 300\).

Do đó với a = 440°C thì hàm số liên tục trên tập xác định.

Đáp án: a) Đúng;   b) Đúng;   c) Sai;   d) Đúng.

Khi x → 1 thì (x – 1) → 0 và (x2 + ax + b) → 1 + a + b.

Nếu 1 + a + b ≠ 0 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + ax + b}}{{x - 1}}\) không hữu hạn. Điều này trái với giả thiết.

Do đó 1 +a + b = 0 Þ b = −a −1.

Khi đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + ax + b}}{{x - 1}} = 2025\)\( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + ax - a - 1}}{{x - 1}} = 2025\)\( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + a + 1} \right)}}{{x - 1}} = 2025\)

Û 2025 = 1 + a + 1 Û a = 2023 Þ b = −2024.

Do đó 2a + b = 2022.

Trả lời: 2022.

\(L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{\sqrt {x + 4}  - 3}}{{{x^2} - 25}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{x - 5}}{{\left( {{x^2} - 25} \right)\left( {\sqrt {x + 4}  + 3} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{1}{{\left( {x + 5} \right)\left( {\sqrt {x + 4}  + 3} \right)}} = \frac{1}{{60}}\).

Suy ra a = 1; b = 60. Do đó a + b = 61.

Trả lời: 61.

Ta có \(f\left( 5 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ - }} 10 = 10\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ + }} \left( {{x^2} + ax + 10} \right) = 35 + 5a\).

Để hàm số liên tục tại x0 = 5 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ - }} f\left( x \right) = f\left( 5 \right)\) Û 35 + 5a = 10 Û a = −5.

Trả lời: −5.

Diện tích của hình tròn bán kính R là S1 = πR2 (cm2).

Diện tích của hình tròn bán kính \(\frac{R}{2}\) là \({S_2} = \pi .{\left( {\frac{R}{2}} \right)^2}\) (cm2).

Diện tích của hình tròn bán kính \(\frac{R}{4}\) là \({S_3} = \pi .{\left( {\frac{R}{4}} \right)^2}\) (cm2).

Tổng diện tích của các hình tròn là: \({S_n} = {S_1} + 2{S_2} + 4{S_3} + ... = \pi {R^2} + \pi {R^2}\frac{1}{2} + \pi {R^2}\frac{1}{4} + ...\)

Tổng trên là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu u1 = πR2 và công bội \(q = \frac{1}{2}\)

nên \({S_n} = \frac{{\pi {R^2}}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 2\pi {R^2}\). Suy ra a = 2.

Trả lời: 2.

Gọi ri là khoảng cách lần rơi thứ i.

Ta có r1 = 81; \({r_2} = \frac{2}{3}.81\); …; \({r_n} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{n - 1}}.81\); …

Suy ra tổng các khoảng cách rơi của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến lần rơi thứ n bằng \(81.{\frac{{1 - \left( {\frac{2}{3}} \right)}}{{1 - \frac{2}{3}}}^n}\).

Gọi ti là khoảng cách lần nảy thứ i

Ta có \({t_1} = \frac{2}{3}.81\), \({t_1} = \left( {\frac{2}{3}} \right).\frac{2}{3}81\); …; \({t_n} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{n - 1}}.\frac{2}{3}81\); …

Suy ra tổng các khoảng cách nảy của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến lần nảy thứ n bằng \(\frac{2}{3}.81.\frac{{1 - {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{n - 1}}}}{{1 - \frac{2}{3}}}\).

Vậy tổng các khoảng cách rơi và nảy của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến lúc bóng không nảy nữa bằng \(S = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {81.\frac{{1 - {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n}}}{{1 - \frac{2}{3}}} + \frac{2}{3}.81.\frac{{1 - {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{n - 1}}}}{{1 - \frac{2}{3}}}} \right) = 81.3 + \frac{2}{3}.81.3 = 405\)m.

Trả lời: 405.