Đáp án đúng là: D

\(\Delta BDE\) và \(\Delta AOC\) có: \(\widehat D = \widehat O = 90^\circ ;\;\,\widehat B = \widehat A\) nên $∆BDE ~∆AOC$

Suy ra: \(\frac{{BD}}{{OA}} = \frac{{ED}}{{OC}} = \frac{2}{1} = 2,\) do đó, \(BD = 2OA.\)

Đáp án đúng là: B

Vì \(\Delta ABC\) và \(\Delta ANM\) có:  \(\frac{{AB}}{{AN}} = \frac{{BC}}{{NM}}\;\,\left( { = \frac{1}{3}} \right),\;\,\widehat {BAC} = \widehat {NAM} = 90^\circ \) nên $∆ABC ~∆ANM$

Do đó, \(\widehat {AMN} = \widehat C,\;\,\widehat {ANM} = \widehat B.\) Suy ra, chọn đáp án B.

Đáp án đúng là: C

\(\Delta ABC\) và \(\Delta AMN\) có: \(\widehat {MNA} = \widehat {ACB} = 90^\circ ,\;\,\widehat A\) chung. Do đó, $∆ABC ~∆AMN$

Suy ra \(\frac{{BC}}{{NM}} = \frac{{AC}}{{AN}} = \frac{{40}}{4} = 10.\) Do đó, \(BC = 10MN = 10 \cdot 3 = 30\;\,\left( {\rm{m}} \right).\)

Vậy chiều cao của ngọn tháp bằng \(30\;\,{\rm{m}}{\rm{.}}\)

a) Đúng.

\(\Delta DAE\) và \(\Delta EBC\) có: \(\widehat A = \widehat B = 90^\circ ,\;\,\widehat {ADE} = \widehat {CEB}\) nên $∆DAE ~∆EBC$

b) Sai.

Vì $∆DAE ~∆EBC$ nên \(\frac{{DE}}{{EC}} = \frac{{AE}}{{CB}} = \frac{{AD}}{{EB}} = \frac{{10}}{{12}} = \frac{5}{6}.\) Vậy \(\frac{{DE}}{{EC}} = \frac{{AE}}{{CB}} = \frac{5}{6}.\)

c) Đúng.

Vì \(\frac{{AE}}{{CB}} = \frac{5}{6}\) nên \(CB = \frac{{6AE}}{5} = \frac{{6 \cdot 15}}{5} = 18\;\,\left( {{\rm{cm}}} \right).\) Vậy \(BC > 15\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

d) Đúng.

Tứ giác \(ADCB\) có: \(AD\;{\rm{//}}\;BC\) (cùng vuông góc với \(AB\)) nên tứ giác \(ADCB\) là hình thang.

Lại có: \(\widehat A = 90^\circ \) nên tứ giác \(ADCB\) là hình thang vuông.

Diện tích hình thang \(ADCB\) là: \(\frac{{\left( {AD + BC} \right)AB}}{2} = \frac{{\left( {10 + 18} \right) \cdot 27}}{2} = 378\;\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).\)

Vậy diện tích tứ giác \(ADCB\) lớn hơn \(200\;\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}.\)

a) Sai.

Vì tam giác \(AEB\) vuông tại \(A\) nên theo định lý Pythagore ta có:

\(E{B^2} = A{B^2} + A{E^2} = {8^2} + {4^2} = 80\) nên \(EB = \sqrt {80} \approx 8,9\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

Vậy \(EB < 10\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

b) Đúng.

\(\Delta AEB\) và \(\Delta ADC\) có: \(\widehat {EAB} = \widehat {DAC} = 90^\circ ,\;\,\widehat E = \widehat D\) nên $∆AEB ~∆ADC$

c) Đúng.

Vì nên \(\frac{{AE}}{{AD}} = \frac{{EB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{4}{2} = 2.\) Vậy \(EB = 2DC.\)

d) Sai.

Ta có: \(DC = \frac{{EB}}{2} \approx 4,5\;\,\left( {{\rm{cm}}} \right);\;\,\frac{{AE}}{{AD}} = 2\) nên \(AD = \frac{{AE}}{2} = \frac{8}{2} = 4\;\,\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Chu vi \(\Delta ADC\) là: \(AC + AD + DC = 2 + 4 + 4,5 = 10,5\;\,\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Vậy chu vi \(\Delta ADC\) nhỏ hơn \(15\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

a) Đúng.

\(\Delta ABC\) và \(\Delta DEF\) có: \(\widehat {BAC} = \widehat {EDF} = 90^\circ ;\;\,\widehat C = \widehat {EFD}\) nên $∆ABC ~∆DEF$

b) Sai.

Vì  nên \(\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{{AC}}{{DF}}.\) Do đó, \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{DE}}{{DF}}.\)

c) Sai.

Vì cột đèn cao \(3,5\;{\rm{m}}\) có bóng trên mặt đất dài \(2\;{\rm{m}}\) nên \(DE = 3,5\;{\rm{m}};\;\,DF = 2\;{\rm{m}}{\rm{.}}\)

Vì bóng tòa nhà trên mặt đất là \(40\;\,{\rm{m}}\) nên \(AC = 40\;\,{\rm{m}}.\)

Vì \(\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{{AC}}{{DF}}\) nên \(AB = \frac{{AC \cdot DE}}{{DF}} = \frac{{40 \cdot 3,5}}{2} = 70\;\,\left( {\rm{m}} \right).\)

Vậy tòa nhà thấp hơn \(80\;\,{\rm{m}}{\rm{.}}\)

d) Sai.

Số tầng của tòa nhà là: \(70:3,5 = 20\) (tầng). Vậy tòa nhà có 20 tầng.

a) Đúng.

Vì \(M,\;\,N\) lần lượt là hình chiếu của \(H\) trên \(AB,\;\,AC\) nên \(HM \bot AB;\;\,HN \bot AC.\)

Do đó, \(\widehat {AMH} = \widehat {HMB} = \widehat {ANH} = \widehat {HNC} = 90^\circ .\)

Vì \(AH\) là đường cao của tam giác \(ABC\) nên \(AH \bot BC.\) Suy ra \(\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = 90^\circ .\)

\(\Delta AHM\) và \(\Delta ABH\) có: \(\widehat {AMH} = \widehat {AHB} = 90^\circ ;\;\,\widehat {HAM}\) chung nên $∆AHM ~∆ABH$

b) Đúng.

\(\Delta AHN\) và \(\Delta ACH\) có: \(\widehat {ANH} = \widehat {AHC} = 90^\circ ;\;\,\widehat {HAN}\) chung nên $∆AHN ~∆ACH$

Do đó, \(\frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{AN}}{{AH}}.\) Suy ra \(A{H^2} = AN \cdot AC.\)

c) Sai.

Theo a) ta có: $∆AHM ~∆ABH$ nên \(\frac{{AM}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AB}}.\) Suy ra \(AM \cdot AB = A{H^2}.\)

Mà \(A{H^2} = AN \cdot AC\) nên \(AM \cdot AB = AN \cdot AC.\)

d) Đúng.

Vì \(AM \cdot AB = AN \cdot AC\) nên \(\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{AN}}{{AB}}.\)

\(\Delta ANM\) và \(\Delta ABC\) có: \(\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{AN}}{{AB}};\;\,\widehat {NAM} = \widehat {BAC} = 90^\circ \) chung nên  $∆ANM ~∆ABC$

Đáp án: \(5\)

\(\Delta MNC\) và \(\Delta ABC\) có: \(\widehat {NMC} = \widehat {BAC} = 90^\circ ,\;\,\widehat C\) chung nên $∆MNC ~∆ABC$. Suy ra: \(\frac{{MN}}{{AB}} = \frac{{MC}}{{AC}}\;\,\left( 1 \right).\)

Vì \(AM\) là đường phân giác trong \(\Delta ABC\) nên \(\frac{{MB}}{{MC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) suy ra \(\frac{{MB}}{{AB}} = \frac{{MC}}{{AC}}\;\,\left( 2 \right).\)

Từ \(\left( 1 \right),\;\,\left( 2 \right)\) ta có: \(\frac{{MN}}{{AB}} = \frac{{MB}}{{AB}}.\) Vậy \(MB = MN = 5\;\,{\rm{m}}{\rm{.}}\)

Đáp án: \(0,75\)

\(\Delta ANB\) và \(\Delta CNM\) có: \(\widehat {NAB} = \widehat {NCM} = 90^\circ ,\;\,\widehat N\) chung nên $∆ANB ~∆CNM$

Do đó, \(\frac{{NB}}{{NM}} = \frac{{AN}}{{CN}} = \frac{2}{{1,5}} = \frac{4}{3}.\) Vậy \(NM = 0,75NB.\)

Đáp án: \(90\)

\(\Delta MNA\) và \(\Delta ABH\) có: \(\widehat N = \widehat {ABH} = 90^\circ ;\;\,\frac{{MN}}{{AB}} = \frac{{AM}}{{AH}}\;\,\left( { = \frac{3}{2}} \right).\) Suy ra: $∆MNA ~∆ABH$

Do đó, \(\widehat M = \widehat {BAH}.\)

Lại có: \(\widehat M + \widehat {MAN} = 90^\circ \) nên \(\widehat {BAH} + \widehat {MAN} = 90^\circ .\) Vậy \(\widehat {MAH} = 90^\circ .\)

Đáp án: \(2,8\)

\(\Delta BCA\) và \(\Delta BC'A'\) có: \(\widehat {ACB} = \widehat {BC'A'} = 90^\circ ;\;\,\widehat {ABC} = \widehat {A'BC'}\) nên $∆BCA ~∆BC\text{'}A\text{'}$

Do đó, \(\frac{{BC}}{{BC'}} = \frac{{AC}}{{A'C'}}\) suy ra \(A'C' = \frac{{AC \cdot BC'}}{{BC}} = \frac{{1,5 \cdot 1,4}}{{0,75}} = 2,8\;\,\left( {\rm{m}} \right).\)

Vậy chiều cao cột đèn bằng \(2,8\;\,{\rm{m}}{\rm{.}}\)