Giải SGK Toán 8 Bài 3. Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông có đáp án

Lời giải:

Sau bài học này, ta giải quyết bài toán này như sau:

Theo hình vẽ, cột điện là AB, có bóng trên mặt đất là AC.

Thanh sắt là DE, có bóng trên mặt đất là DF.

Vì cột cờ và thanh sắt đều vuông góc với mặt đất nên hai ΔABC và ΔDEF đều là tam giác vuông.

Vì cùng một thời điểm tia sáng tạo với mặt đất một góc bằng nhau nên \[\widehat B = \widehat E\].

Xét ΔABC và ΔDEF có:

\[\widehat B = \widehat E\]

\[\widehat A = \widehat D = 90^\circ \]

Do đó ΔABCᔕΔDEF (g.g)

Suy ra: \[\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{{AC}}{{DF}}\] (các cạnh tương ứng).

Thay số: \[\frac{{AB}}{{2,4}} = \frac{6}{{1,8}}\] nên \[AB = \frac{{2,4\,.\,6}}{{1,8}} = 8\] (m)

Vậy chiều cao cột cờ là 8 m.

Lời giải:

a) Xét tam giác ABC và tam giác MNP có:

\[\widehat B = \widehat N\] (gt)

\[\widehat A = \widehat M = 90^\circ \]

Do đó ΔABCᔕΔMNP (g.g).

b) Xét tam giác ABC và tam giác MNP có:

\[\widehat A = \widehat M = 90^\circ \]

\[\frac{{AB}}{{MN}} = \frac{{AC}}{{MP}}\]

Do đó ΔABCᔕΔMNP (c.g.c).

Lời giải:

Tam giác HED vuông tại H và tam giác DEF vuông tại D có  chung

Do đó ΔHEDᔕΔDEF (g.g)

Suy ra (các cạnh tương ứng).

Do đó DE²=EH.EF (đpcm).

Lời giải:

Theo hình vẽ, cột điện là AB, có bóng trên mặt đất là AC.

Thanh sắt là DE, có bóng trên mặt đất là DF.

Vì cột cờ và thanh sắt đều vuông góc với mặt đất nên hai ΔABC và ΔDEF đều là tam giác vuông.

Vì cùng một thời điểm tia sáng tạo với mặt đất một góc bằng nhau nên \[\widehat B = \widehat E\].

Xét ΔABC và ΔDEF có:

\[\widehat B = \widehat E\]

\[\widehat A = \widehat D = 90^\circ \]

Do đó ΔABCᔕΔDEF (g.g)

Suy ra: \[\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{{AC}}{{DF}}\] (các cạnh tương ứng).

Thay số: \[\frac{{AB}}{{2,4}} = \frac{6}{{1,8}}\] nên \[AB = \frac{{2,4\,.\,6}}{{1,8}} = 8\] (m)

Vậy chiều cao cột cờ là 8 m.

Lời giải:

a) Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vuông ABC, ta có: 

BC² = AB²+AC² 

Suy ra AC² = BC² – AB² = 10² – 6² = 64

Do đó AC = 8.

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vuông DEF, ta có: 

EF² = DE²+DF² 

Suy ra DF² = EF² – DE² = 15² – 9² = 144.

Do đó DF = 12.

b) Ta có: \[\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3},\;\frac{{AC}}{{DF}} = \frac{8}{{12}} = \frac{2}{3},\;\frac{{BC}}{{EF}} = \frac{{10}}{{15}} = \frac{2}{3}\].

Suy ra \[\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{{AC}}{{DF}} = \frac{{BC}}{{EF}}\].

c) Xét ΔABC vàΔDEF có: \[\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{{AC}}{{DF}} = \frac{{BC}}{{EF}}\] (câu b).

Dự đoán: ΔABC ᔕΔDEF.

Lời giải:

• Tỉ số: \[\frac{{AC}}{{DE}} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3};\,\,\frac{{BC}}{{FE}} = \frac{{20}}{{15}} = \frac{4}{3}\].

Xét ΔABC và ΔDFE có:

\[\frac{{AC}}{{DE}} = \frac{{BC}}{{FE}} = \frac{4}{3}\]

Do đó ΔABC ᔕΔDFE (c.c.c).

• Tỉ số: \[\frac{{DE}}{{MN}} = \frac{6}{3} = 2;\,\,\frac{{EF}}{{NP}} = \frac{{15}}{6} = \frac{5}{2}\].

Vì \[\frac{{DE}}{{MN}} \ne \frac{{EF}}{{NP}}\] nên hai tam giác DEF và MNP không đồng dạng với nhau.

• Tỉ số: \[\frac{{DE}}{{RS}} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2};\,\,\frac{{EF}}{{ST}} = \frac{{15}}{{12}} = \frac{5}{4}\].

Vì \[\frac{{DE}}{{RS}} \ne \frac{{EF}}{{ST}}\] nên hai tam giác DEF và RST không đồng dạng với nhau.

Lời giải:

a) Ta có ΔMNPᔕΔABC nên \[\widehat N = \widehat B\]

Xét tam giác vuông MNK và ABH có \[\widehat N = \widehat B\]

Suy ra ΔMNK ᔕΔABH nên \[\frac{{MK}}{{AH}} = \frac{{MN}}{{AB}} = k\].

b) ΔMNP ᔕΔABC nên \[\frac{{NP}}{{BC}} = \frac{{MN}}{{AB}} = k\]

Ta có \[{S_1}{S_2} = \frac{{\frac{1}{2}MK.NP}}{{\frac{1}{2}AH.BC}} = \frac{{MK}}{{AH}}.\frac{{NP}}{{BC}} = {k^2}\].

Lời giải:

•Xét hai tam giác vuông TUV và MKN, ta có: 

\[\frac{{UV}}{{KN}} = \frac{{TV}}{{MN}} = \frac{2}{3}\;\]

Suy ra ΔTUV ᔕΔMKN (c.g.c)

•Xét hai tam giác vuông DEF và GHI, ta có: 

\[\frac{{DE}}{{GH}} = \frac{{DF}}{{GI}} = \frac{6}{5}\;\]

Suy ra ΔDEF ᔕΔGHI (c.g.c).

Tam giác PQR có \[\widehat P = 90^\circ - 48^\circ = 42^\circ \].

•Xét hai tam giác vuông BAC và PQR, ta có: \[\widehat B = \widehat P = 42^\circ \]

Suy ra ΔBAC ᔕΔPQR (g.g).

Lời giải:

a) Xét tam giác vuông DEF và HDE có: \[\widehat E\] chung

Vậy ΔDEF ᔕΔHDF (g.g).

b) Từ câu b: ΔDEF ᔕΔHDF suy ra \[\frac{{DF}}{{FH}} = \frac{{FE}}{{DF\;}}\](các cạnh tương ứng).

Do đóDF²= FH.FE (đpcm).

c) Thay EF = 15 cm, FH = 5,4 cm ta có: 

DF² = 5,4.15 = 81 suy ra DF = 9 cm.

Lời giải:

Xét ta giác vuông MEF và MAB ta có: \[\widehat M\] chung

Suy ra ΔMEF ᔕΔMAB (g.g) nên \[\frac{{EF}}{{AB}} = \frac{{MF}}{{MB}}\] (các cạnh tương ứng).

Khi đó \[\frac{{1,65}}{{AB}} = \frac{2}{{20}}\;\]suy ra \[AB = \frac{{1,65\,.\,20}}{2} = 16,5\;\] (cm).

Vậy AB = 16,5 (cm).

Lời giải:

Xét tam giác vuông ABE và ACD có \[\widehat B = \widehat C\]

Suy ra ΔABE ᔕΔACD (g.g) nên \[\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{BE}}{{CD}}\] (các cạnh tương ứng).

Khi đó \[\frac{{20}}{{AC}} = \frac{{25}}{{15}}\;\]nên \[AC = \frac{{20\,.\,15}}{{25}}\; = 12\] (cm)

Vậy AC = 12 cm.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông ABE, ta có: 

BE²= AB² + AE²

Suy ra \[AE = \sqrt {B{E^2} - A{B^2}} = \sqrt {{{25}^2} - {{20}^2}} = 15\].

Do đó CE = AE – AC = 15 – 12 = 3 (cm).

Vậy CE = 3 cm.

Lời giải:

a) Ta có BH ⊥AE, CJ ⊥AE nên BH // CJ.

Suy ra \[\widehat {ABH} = \widehat {BCD\;}\] (hai góc so le trong)

Xét hai tam giác vuông ABH và DCB có: 

\[\widehat {ABH} = \widehat {BCD\;}\] (chứng minh trên).

Suy ra ΔABH ᔕΔDCB (g.g).

b) ΔABH ᔕΔDCB nên \[\widehat A = \widehat {BDC}\].

Xét tam giác vuông DCB và AEB ta có: \[\widehat A = \widehat {BDC}\].

Suy ra ΔDCB ᔕΔAEB (g.g) nên \[\frac{{BC}}{{BE}} = \frac{{BD}}{{BA}}\](đpcm).

Lời giải:

Gọi chiều cao của tòa nhà là h = A'C' và cọc tiêu AC = 3m.

Khoảng cách từ chân đến mắt người đo là DE = 1,5 m.

Cọc xa cây một khoảng A'A = 27 m, và người cách cọc một khoảng AD = 1,2 m và gọi B là giao điểm của C'E và A'A.

Vì A'C' ⊥ A'B, AC ⊥ A'B, DE ⊥ A'B nên A'C' // AC // DE.

•ΔDEB ᔕ ΔACB (vì DE // AC)

Suy ra \[\frac{{DE}}{{AC}} = \frac{{DB}}{{AB}}\] (các cặp cạnh tương ứng).

Mà AC = 3m; DE = 1,5 m nên 

\[\frac{{1,5}}{3} = \frac{{DB}}{{AB}} \Rightarrow \frac{{DB}}{{AB}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{DB}}{1} = \frac{{AB}}{2}\]

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\[\frac{{DB}}{1} = \frac{{AB}}{2} = \frac{{AB - DB}}{{2 - 1}} = \frac{{AD}}{1} = 1,2\]

Suy ra \[\frac{{DB}}{1} = 1,2\]nên DB = 1,2

\[\frac{{AB}}{2} = 1,2\] suy ra AB = 2,4

Do đó A'B = A'A + AD + DB = 27 + 1,2 + 1,2 = 29,4 (m)

•ΔACB ᔕ ΔA'C'B (vì AC // A'C')

Suy ra \[\frac{{AB}}{{A\prime B}} = \frac{{AC}}{{A\prime C\prime }}\] (các cặp cạnh tương ứng).

Do đó\[A\prime C\prime = \frac{{AC.A\prime B}}{{AB}} = \frac{{2.29,4}}{{2,4}} = 24,5\,\,(m)\]

Vậy tòa nhà cao 24,5m.

Lời giải:

a) Xét hai tam giác vuông AMH và AHB có: \[\widehat A\] chung

Suy ra ΔAMH ᔕ ΔAHB (g.g)

b) ΔAMH ᔕ ΔAHB nên \[\frac{{AM}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AB}}\;\] hay AM.AB = AH² (1)

Xét hai tam giác vuông ANH và AHC có: \[\widehat A\] chung

Suy ra ΔANH ᔕ ΔAHC (g.g) nên \[\frac{{AN}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AC}}\;\] hay AN.AC = AH² (2)

Từ (1) và (2) suy ra AM.AB = AN.AC (đpcm).

c) Ta có AM.AB = AN.AC, do đó \[\frac{{AN}}{{AB}} = \frac{{AM}}{{AC}}\].

Xét hai tam giác vuông AMN và ABC có:

\[\frac{{AN}}{{AB}} = \frac{{AM}}{{AC}}\] (chứng minh trên)

Do đó ΔANM ᔕ ΔABC (c.g.c)

d) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC, ta có: 

BC²= AB²+ AC²= 9²+ 12² = 225.

Suy ra BC = 15 cm.

Xét hai tam giác vuông ABC và HBA có \(\widehat B\) chung

Do đó ΔABC ᔕΔHBA (g.g).

Suy ra \[\frac{{AC}}{{AH}} = \frac{{BC}}{{AB}}\] (các cặp cạnh tương ứng).

Khi đó AH.BC = AB.AC hay AH.15 = 9.12.

Suy ra AH = 7,2 cm.

• Từ (1): AM.AB = AH² nên \[AM = \frac{{A{H^2}}}{{AB}} = \frac{{7,{2^2}}}{9} = 5,76\,\,(cm)\]

• Từ (2): AN.AC = AH² nên \[AN = \frac{{A{H^2}}}{{AC}} = \frac{{7,{2^2}}}{{12}} = 4,32\,\,(cm)\]

Diện tích tam giác AMN là: 

\[\frac{1}{2}\,.\,5,76\,.\,4,32 = 12,4416\,\,(c{m^2})\].

Vậy diện tích tam giác AMN là 12,4416cm².