Đáp án đúng là: B

Vì \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) nên \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\) (định lí Pythagore).

Vì \(\Delta MNP\) vuông tại \(M\) nên \(N{P^2} = M{N^2} + M{P^2}\) (định lí Pythagore).

Đáp án đúng là: B

Chiều dài của cầu thang là: \(\sqrt {{3^2} + {5^2}} = \sqrt {34} \;\left( {\rm{m}} \right).\)

Đáp án đúng là: A

Vì: \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\;\left( {{\rm{do}}\;{3^2} + {4^2} = {5^2}} \right)\) nên \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) (định lí Pythagore đảo).

Do đó, \(\widehat A = 90^\circ .\) Suy ra \(AB \bot AC.\)

Vì \(\widehat B = \widehat {BCk,}\) mà hai góc này ở vị trí so le trong nên \(AB\;{\rm{//}}\;Ck.\)

a) Đúng.

Vì \(AH\) là đường cao của \(\Delta ABC\) nên \(AH \bot BC.\) Do đó, \(\Delta ABH\) vuông tại \(H.\)

Nên \(A{H^2} + H{B^2} = A{B^2}\) (định lí Pythagore), suy ra \(A{H^2} = A{B^2} - H{B^2} = {\left( {\sqrt {80} } \right)^2} - {4^2} = 64.\)

Suy ra \(AH = \sqrt {64} = 8\;{\rm{m}}{\rm{.}}\) Vậy \(AH = 8\;{\rm{m}}{\rm{.}}\)

b) Sai.

Vì \(AH \bot BC\) nên \(\Delta ACH\) vuông tại \(H.\)

Suy ra \(A{H^2} + H{C^2} = A{C^2}\) (định lí Pythagore), suy ra \(C{H^2} = A{C^2} - A{H^2} = {10^2} - 64 = 36.\)  

Suy ra \(CH = \sqrt {36} = 6\;{\rm{m}}{\rm{.}}\) Vậy \(CH = 6\;{\rm{m}}{\rm{.}}\)

c) Sai.

Chu vi \(\Delta AHC\) là: \({P_1} = AH + HC + AC = 8 + 6 + 10 = 24\;\left( {\rm{m}} \right).\)

Vậy chu vi \(\Delta AHC\) bằng \(24\;{\rm{m}}{\rm{.}}\)

d) Sai.

Ta có: \(BC = BH + CH = 4 + 6 = 10\;\left( {\rm{m}} \right).\)

Chu vi \(\Delta ABC\) là: \({P_2} = AC + AB + BC = 10 + \sqrt {80} + 10 = 20 + \sqrt {80} \;\left( {\rm{m}} \right).\)

Ta có: \({P_2} - {P_1} = 20 + \sqrt {80} - 24 = \sqrt {80} - 4 \approx 5\;\left( {\rm{m}} \right).\)

Vậy chu vi \(\Delta ABC\) lớn hơn chu vi \(\Delta AHC\) khoảng \(5\;{\rm{m}}{\rm{.}}\)

a) Sai.

Vì \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{3}{4}\) nên \(AC = \frac{4}{3}AB.\)

Vì \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) nên theo định lí Pythagore ta có:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = A{B^2} + {\left( {\frac{4}{3}AB} \right)^2} = \frac{{25}}{9}A{B^2}\) nên \(BC = \frac{5}{3}AB,\) suy ra \(\frac{{BC}}{5} = \frac{{AB}}{3}.\)

b) Sai.

Vì \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{3}{4}\) nên \(\frac{{AB}}{3} = \frac{{AC}}{4},\)mà \(\frac{{BC}}{5} = \frac{{AB}}{3}\) nên \(\frac{{AB}}{3} = \frac{{AC}}{4} = \frac{{BC}}{5}.\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: \(\frac{{AB}}{3} = \frac{{AC}}{4} = \frac{{BC}}{5} = \frac{{AB + AC + BC}}{{3 + 4 + 5}} = \frac{{48}}{{12}} = 4.\)

Vậy \(\frac{{AB}}{3} = \frac{{AC}}{4} = \frac{{BC}}{5} = 4.\)

c) Đúng.

Ta có: \(BC = 5 \cdot 4 = 20\;\left( {{\rm{cm}}} \right).\) Vậy \(BC = 20\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

d) Đúng.

Ta có: \(AB = 3 \cdot 4 = 12\;\left( {{\rm{cm}}} \right)\) và \(AC = 4 \cdot 4 = 16\;\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Diện tích \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) là: \(S = \frac{1}{2}AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = 96\;\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).\)

Vậy diện tích \(\Delta ABC\) bằng \(96\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}.\)

a) Sai.

\(\Delta ADE\) và \(\Delta ACB\) có: \(\widehat D = \widehat C\;\left( {gt} \right),\;AD = AC\;\left( { = 6\;{\rm{cm}}} \right),\;\widehat {DAE} = \widehat {BAC}\) (hai góc đối đỉnh).

Do đó, \(\Delta ADE = \Delta ACB\;\left( {g - c - g} \right).\)

b) Đúng.

Vì \(\Delta ADE = \Delta ACB\;\left( {cmt} \right)\) nên \(DE = BC = 10\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

Vì: \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\;\left( {{\rm{do}}\;{6^2} + {8^2} = {{10}^2}} \right)\) nên \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) (định lí Pythagore đảo).

c) Đúng.

Diện tích \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) là: \(S = \frac{1}{2}AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24\;\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).\)

Vậy diện tích \(\Delta ABC\) bằng \(24\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}.\)

d) Sai.

Vì \(AF\) là đường cao của \(\Delta ABC\) nên diện tích \(\Delta ABC\) là: \(S = \frac{1}{2}AF \cdot BC.\)

Suy ra: \(\frac{1}{2} \cdot AF \cdot 10 = 24,\) suy ra \(AF = 4,8\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

a) Đúng.

Vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) nên \(AD\) là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của \(\Delta ABC.\)

Do đó, \(AD \bot BC\) tại \(D.\) Suy ra, \(\Delta ADC\) vuông tại \(D.\)

b) Đúng.

Vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) nên \(AC = AB = 12\;{\rm{cm}}.\) Ta có: \(DC = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3\;\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Áp dụng định lí Pythagore vào \(\Delta ADC\) vuông tại \(D\) ta có:

\(A{D^2} + D{C^2} = A{C^2}\)

\(A{D^2} = A{C^2} - A{D^2} = {12^2} - {3^2} = 135\)

\(AD = \sqrt {135} \;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

Vậy \(AD = \sqrt {135} \;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

c) Sai.

Vì \(DE = \frac{1}{4}AE\) nên \(DE = \frac{1}{3}AD = \frac{{\sqrt {135} }}{3}\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

Áp dụng định lí Pythagore vào \(\Delta EDC\) vuông tại \(D\) ta có:

\(E{C^2} = E{D^2} + D{C^2} = {\left( {\frac{{\sqrt {135} }}{3}} \right)^2} + {3^2} = 24\) nên \(EC = \sqrt {24} \;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

d) Sai.

Chu vi \(\Delta DEC\) là: \(P = EC + ED + DC = \sqrt {24} + \frac{{\sqrt {135} }}{3} + 3 \approx 11,8 < 12.\)

Vậy chu vi \(\Delta DEC\) nhỏ hơn \(12\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

a) Đúng.

Vì tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên theo định lí Pythagore ta có:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {5^2} + {12^2} = 169\) nên \(BC = \sqrt {169} = 13\;\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Vậy \(BC = 13\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

b) Sai.

Diện tích \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) là: \(S = \frac{1}{2}AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30\;\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).\)

Vậy diện tích \(\Delta ABC\) bằng \(30\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}.\)

c) Sai.

Vì \(AD\) là đường cao của \(\Delta ABC\) nên diện tích \(\Delta ABC\) là: \(S = \frac{1}{2}AD \cdot BC.\)

Do đó, \(\frac{1}{2} \cdot AD \cdot 13 = 30,\) suy ra \(AD = \frac{{60}}{{13}}\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\) Vậy \(AD = \frac{{60}}{{13}}\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

d) Đúng.  

Vì \(\Delta ABD\) vuông tại \(D\) nên theo định lí Pythagore ta có: \(B{D^2} + A{D^2} = A{B^2}\) nên \(B{D^2} + {\left( {\frac{{60}}{{13}}} \right)^2} = {5^2},\) hay \(B{D^2} = \frac{{625}}{{169}},\) suy ra \[BD = \sqrt {\frac{{625}}{{169}}} = \frac{{25}}{{13}}\;\left( {{\rm{cm}}} \right).\]

\(\Delta ABD\) có: \(BD < AD\;\left( {{\rm{Do}}\;\;\frac{{25}}{{13}} < \frac{{60}}{{13}}} \right)\) nên \(\widehat B > \widehat {DAB}.\) Vậy \(\widehat B > \widehat {DAB}.\)

Đáp án: \(120\)

Vì \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{5}{{12}}\) nên \(AB = \frac{5}{{12}}AC.\)

Vì \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) nên: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\) (định lí Pythagore), suy ra \({52^2} = A{C^2} + {\left( {\frac{5}{{12}}AC} \right)^2},\) suy ra \(A{C^2} = 2\;304\) nên \(AC = \sqrt {2\;304} = 48\;\left( {{\rm{cm}}} \right).\) Do đó, \(AB = \frac{5}{{12}} \cdot 48 = 20\;\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Chu vi \(\Delta ABC\) là: \(AB + AC + BC = 20 + 48 + 52 = 120\;\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Đáp án: \(16\)

Áp dụng định lý Pythagore vào \(\Delta ABD\) vuông tại \(A\) ta có:

\(B{D^2} = A{B^2} + A{D^2} = {5^2} + {15^2} = 250\) nên \(BD = \sqrt {250} \approx 16\;{\rm{km}}{\rm{.}}\)

Đáp án: \(26\)

Kẻ đường cao \(AD\) của tam giác đều \(ABC.\)

Vì tam giác \(ABC\) đều nên \(AD\) là đường cao đồng thời là đường trung tuyến của tam giác đó.

Suy ra \(CD = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 30 = 15\;\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Áp dụng định lí Pythagore vào \(\Delta ADC\) vuông tại \(D\) ta có:

\(A{D^2} + D{C^2} = A{C^2}\)

\(A{D^2} + {15^2} = {30^2}\)

\(A{D^2} = 675\)

\(AD = \sqrt {675} \approx 26\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

Vậy chiều cao của tam giác \(ABC\) đều khoảng \(26\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

Đáp án: \(14,1\)

Vẽ \(\Delta ABC\) như trong hình vẽ trên. Ta có: \(AC = 10\;{\rm{m,}}\;BC = 40 - 30 = 10\;{\rm{m}}{\rm{.}}\)

Áp dụng định lí Pythagore vào \(\Delta ABC\) vuông tại \(C\) ta có:

\(A{B^2} = A{C^2} + B{C^2} = {10^2} + {10^2} = 200\) nên \(AB = \sqrt {200} \approx 14,1\;\left( {\rm{m}} \right).\)

Vậy khoảng cách giữa hai điểm \(A\) và \(B\) trong hình vẽ bằng khoảng \(14,1\;{\rm{m}}{\rm{.}}\)

Đáp án: \(13,6\)

Theo định lí Pythagore ta có:

+ \(AB = \sqrt {{3^2} + {2^2}} = \sqrt {13} \;{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

+ \(AD = \sqrt {{3^2} + {2^2}} = \sqrt {13} \;{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

+ \(CD = \sqrt {{1^2} + {2^2}} = \sqrt 5 {\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

+ \(CB = \sqrt {{1^2} + {4^2}} = \sqrt {17} {\rm{ }}\;\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Chu vi tứ giác \(ABCD\) là: \(AB + BC + CD + AD = \sqrt {13} + \sqrt {17} + \sqrt 5 + \sqrt {13} \approx 13,6{\rm{ }}\;\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Vậy chu vi tứ giác \(ABCD\) khoảng \(13,6\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)