Đáp án đúng là: A

Ta có: \(\frac{{3a}}{4} \cdot x = \frac{{4a}}{5}\) nên \(x = \frac{{4a}}{5}:\frac{{3a}}{4}\) suy ra \(x = \frac{{4a}}{5} \cdot \frac{4}{{3a}}\). Do đó, \(x = \frac{{16}}{{15}}.\)

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(\frac{{ - x - 1}}{{3x + 1}}:\frac{{{x^2} - 1}}{{9{x^2} - 1}} = \frac{{ - x - 1}}{{3x + 1}}.\frac{{9{x^2} - 1}}{{{x^2} - 1}} = \frac{{ - \left( {x + 1} \right)\left( {3x - 1} \right)\left( {3x + 1} \right)}}{{\left( {3x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{ - \left( {3x - 1} \right)}}{{x - 1}} = \frac{{1 - 3x}}{{x - 1}}\).

Đáp án đúng là: C               

Ta có: \(\frac{{4x + 12}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}}:\frac{{3\left( {x + 3} \right)}}{{x + 4}} = \frac{{4x + 12}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}}.\frac{{x + 4}}{{3\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{4\left( {x + 3} \right)\left( {x + 4} \right)}}{{3{{\left( {x + 4} \right)}^2}\left( {x + 3} \right)}} = \frac{4}{{3\left( {x + 4} \right)}}\).

a) Đúng

Do tốc độ ca nô đi xuôi dòng là \(x + 3\) (km/h) nên phân thức biểu thị thời gian ca nô đi xuôi dòng từ \(A\) đến \(B\) là \(\frac{{20}}{{x + 3}}\) giờ.

b) Đúng

Do tốc độ ca nô đi ngược dòng là \(x - 3\) (km/h) nên phân thức biểu thị thời gian ca nô đi ngược dòng từ \(A\) đến \(B\) là \(\frac{{20}}{{x - 3}}\) giờ.

c) Sai

Tỉ số của thời gian ca nô đi xuôi dòng và thời gian ca nô đi ngược dòng là:

\(\frac{{20}}{{x + 3}}:\frac{{20}}{{x - 3}} = \frac{{20}}{{x + 3}}.\frac{{x - 3}}{{20}} = \frac{{x - 3}}{{x + 3}}.\)

d) Sai

Khi \(x = 4\) thì tỉ lệ thời gian ca nô đi xuôi dòng và thời gian ca nô đi ngược dòng là: \(\frac{{4 - 3}}{{4 + 3}} = \frac{1}{7}\).

Vậy thời gian ca nô đi xuôi dòng bằng \(\frac{1}{7}\) thời gian ca nô đi ngược dòng.

a) Đúng

Thời gian lúc đi của Tâm là \(\frac{{15}}{x}\) (giờ).

b) Sai

Vì lượt về thuận chiều gió nên tốc độ lúc này là: \(x + 4\) (km/h).

Thời gian lúc về của Tâm là \(\frac{{15}}{{x + 4}}\) (giờ).

c) Sai

Tỉ lệ thời gian lúc đi so với lúc về là: \(\frac{{15}}{x}:\frac{{15}}{{x + 4}} = \frac{{x + 4}}{x}\).

d) Đúng

Tổng thời gian hai lượt đi và về của Tâm là:

\(\frac{{15}}{x} + \frac{{15}}{{x + 4}} = \frac{{15\left( {x + 4} \right) + 15x}}{{x\left( {x + 4} \right)}} = \frac{{30x + 60}}{{x\left( {x + 4} \right)}} = \frac{{30\left( {x + 2} \right)}}{{x\left( {x + 4} \right)}}\) (giờ).

Tỉ lệ thời gian lúc về so với thổng thời gian hai lượt đi và về của Tâm là:

\(\frac{{15}}{{x + 4}}:\frac{{30\left( {x + 2} \right)}}{{x\left( {x + 4} \right)}} = \frac{{15}}{{x + 4}}.\frac{{x\left( {x + 4} \right)}}{{30\left( {x + 2} \right)}} = \frac{x}{{2\left( {x + 2} \right)}}\).

a) Đúng

Số tấn hàng xí nghiệp làm trong một ngày theo dự định là \(\frac{{120}}{x}\) tấn hàng.

b) Đúng

Số tấn hàng xí nghiệp làm trong 1 ngày trên thực tế là \(\frac{{120}}{{x - 1}} + 5\) tấn hàng.

c) Sai

Tỉ số của tấn hàng xí nghiệp làm trong một ngày trên thực tế và số tấn hàng xí nghiệp làm trong một ngày theo dự định là:

\(\left( {\frac{{120}}{{x - 1}} + 5} \right):\frac{{120}}{x} = \frac{{5x + 115}}{{x - 1}} \cdot \frac{x}{{120}} = \frac{{x\left( {x + 23} \right)}}{{24\left( {x - 1} \right)}}.\)

d) Sai

Khi \(x = 21\) thì tỉ số của tấn hàng xí nghiệp làm trong một ngày trên thực tế và số tấn hàng xí nghiệp làm trong một ngày theo dự định là: \(\frac{{21 \cdot \left( {21 + 23} \right)}}{{24\left( {21 - 1} \right)}} = \frac{{77}}{{40}} = 1,925\).

a) Đúng

Tốc độ ô tô chạy từ A đến B là \(\frac{{160}}{x}\) km/h.

b) Đúng

Tốc độ xe ô tô khi chạy từ B đến A là \(\frac{{160}}{{x - 1}}\) km/h.

c) Sai

Tỉ số của tốc độ xe chạy từ A đến B và tốc độ của xe khi chạy từ B đến A là:

\(\frac{{160}}{x}:\frac{{160}}{{x - 1}} = \frac{{160}}{x} \cdot \frac{{x - 1}}{{160}} = \frac{{x - 1}}{x}.\)

d) Đúng

Nhận thấy \(\frac{{x - 1}}{x} = \frac{x}{x} - \frac{1}{x} = 1 - \frac{1}{x} < 1\).

Do đó, tỉ số tốc độ xe ô tô khi chạy từ A đến B và tốc độ xe ô tô khi chạy từ B đến A nhỏ hơn 1.

a) Sai

Điều kiện xác định của \(P\) là \(x + 1 \ne 0;{\rm{ }}1 - x \ne 0;{\rm{ }}x - 2 \ne 0\) và \({x^2} - 1 \ne 0\).

Suy ra \(x \ne  \pm 1\) và \(x \ne 2\).

b) Đúng

Với \(x \ne  \pm 1\), \(x \ne 2\) ta có: \(P = \left( {\frac{x}{{x + 1}} - \frac{1}{{1 - x}} + \frac{1}{{1 - {x^2}}}} \right):\frac{{x - 2}}{{{x^2} - 1}}\)

                                 \( = \left[ {\frac{{x\left( {1 - x} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {1 - x} \right)}} - \frac{{1 \cdot \left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {1 - x} \right)}} + \frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {1 - x} \right)}}} \right]:\frac{{x - 2}}{{{x^2} - 1}}\)

                                \( = \frac{{x - {x^2} - x - 1 + 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {1 - x} \right)}} \cdot \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{x - 2}}\)

                                \( = \frac{{ - {x^2}}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {1 - x} \right)}} \cdot \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{x - 2}}\)

                               \( = \frac{{{x^2}}}{{x - 2}}\).

c) Đúng

Với \(\left| {2x - 1} \right| = 3\), ta có:

TH1. \(2x - 1 = 3\) suy ra \(2x = 4\) nên \(x = 2\).

TH2. \(2x - 1 =  - 3\) suy ra \(2x =  - 2\) nên \(x =  - 1\).

Vì điều kiện xác định của \(P\) là \(x \ne  \pm 1\) và \(x \ne 2\).

Nên \(P\) không xác định khi \(\left| {2x - 1} \right| = 3\).

d) Đúng

Với \(x > 2\) thì \(x - 2 > 0\).

Ta có: \(P - 8 = \frac{{{x^2}}}{{x - 2}} - 8 = \frac{{{x^2} - 8x + 16}}{{x - 2}} = \frac{{{{\left( {x - 4} \right)}^2}}}{{x - 2}}\).

Nhận thầy \({\left( {x - 4} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x.\)

Do đó, \(\frac{{{{\left( {x - 4} \right)}^2}}}{{x - 2}} \ge 0\) hay \(P - 8 \ge 0\) nên \(P \ge 8\) với \(x > 2\).

Đáp án: 1

Vì \(ab + bc + ca = 1\) nên \(1 + {a^2} = ab + bc + ca + {a^2}\)             

                                               \( = \left( {ab + {a^2}} \right) + \left( {bc + ca} \right)\)

                                               \( = a\left( {b + a} \right) + c\left( {b + a} \right)\)

                                               \( = \left( {a + c} \right)\left( {b + a} \right)\). (1)

Tương tự, \(1 + {b^2} = \left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\) (2)

                 \(1 + {c^2} = \left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)\) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra \(A = \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{\left( {a + c} \right)\left( {b + a} \right)}} \cdot \frac{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)}} \cdot \frac{{{{\left( {c + a} \right)}^2}}}{{\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}\)

                                  \(A = \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2} \cdot {{\left( {b + c} \right)}^2} \cdot {{\left( {a + c} \right)}^2}}}{{{{\left( {a + c} \right)}^2} \cdot {{\left( {b + a} \right)}^2} \cdot {{\left( {b + c} \right)}^2}}} = 1.\)

Đáp án: 1,4

Vận tốc tàu hỏa là \(\frac{s}{a}\) (km/h).

Vận tốc ô tô là \(\frac{s}{b}\) (km/h).

Vận tốc tàu hỏa gấp vận tốc ô tô là: \(\frac{s}{a}:\frac{s}{b} = \frac{s}{a}.\frac{b}{s} = \frac{b}{a}\).

Do đó, \(\frac{b}{a} = \frac{7}{5} = 1,4\).

Đáp án: \( - 1\)

Ta có: \(M = \left( {1 + \frac{a}{b}} \right) \cdot \left( {1 + \frac{b}{c}} \right) \cdot \left( {1 + \frac{c}{a}} \right)\)

                \( = \frac{{b + a}}{b} \cdot \frac{{c + b}}{c} \cdot \frac{{c + a}}{a}\)

                \( = \frac{{b + a}}{b} \cdot \frac{{c + b}}{c} \cdot \frac{{c + a}}{a}\)

               \( = \frac{{ - c}}{b} \cdot \frac{{\left( { - a} \right)}}{c} \cdot \frac{{\left( { - b} \right)}}{a}\)

               \( = \frac{{ - abc}}{{abc}} =  - 1.\)

Đáp án: 2,02

Ta có: \(P = \frac{{{x^2} - 1}}{{x + 5}} \cdot \frac{{2x + 10}}{{{x^2} - x}}\)

             \( = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{x + 5}} \cdot \frac{{2\left( {x + 5} \right)}}{{x\left( {x - 1} \right)}}\)

             \( = \frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{x}\).

Thay \(x = 99,\) ta có: \(P = \frac{{2 \cdot \left( {99 + 1} \right)}}{{99}} = \frac{{2 \cdot 100}}{{99}} = \frac{{200}}{{99}} \approx 2,02\).

Đáp án: 20

Ta có: \(A = \frac{{{5^2} - 1}}{{{3^2} - 1}}:\frac{{{9^2} - 1}}{{{7^2} - 1}}:\frac{{{{13}^2} - 1}}{{{{11}^2} - 1}}:...:\frac{{{{57}^2} - 1}}{{{{55}^2} - 1}}\)

             \( = \frac{{\left( {5 - 1} \right)\left( {5 + 1} \right)}}{{\left( {3 - 1} \right)\left( {3 + 1} \right)}} \cdot \frac{{\left( {7 - 1} \right)\left( {7 + 1} \right)}}{{\left( {9 - 1} \right)\left( {9 + 1} \right)}} \cdot \frac{{\left( {11 - 1} \right)\left( {11 + 1} \right)}}{{\left( {13 - 1} \right)\left( {13 + 1} \right)}} \cdot ... \cdot \frac{{\left( {55 - 1} \right)\left( {55 + 1} \right)}}{{\left( {57 - 1} \right)\left( {57 + 1} \right)}}\)

             \( = \frac{{4 \cdot 6}}{{2 \cdot 4}} \cdot \frac{{6 \cdot 8}}{{8 \cdot 10}} \cdot \frac{{10 \cdot 12}}{{12 \cdot 14}} \cdot .... \cdot \frac{{54 \cdot 56}}{{56 \cdot 58}}\)

             \( = \frac{{6 \cdot 6}}{{2 \cdot 58}} = \frac{9}{{29}}\).

Do đó, \(\frac{a}{b} = \frac{9}{{29}}\) hay \(a = 9;b = 29.\)

Vậy \(b - a = 29 - 9 = 20.\)