20 câu Trắc nghiệm Toán 7 Chân trời sáng tạo Bài 6. Tính chất ba đường trung trực của tam giác (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án

Đáp án đúng là: B

⦁ Giao điểm của ba đường trung trực của một tam giác là điểm cách đều ba đỉnh của tam giác đó;

⦁ Giao điểm của ba đường phân giác của một tam giác là điểm cách đều ba cạnh của tam giác đó;

⦁ Trọng tâm của tam giác là giao điểm của ba đường trung tuyến;

⦁ Trực tâm của tam giác là giao điểm của ba đường cao.

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: B

Ba đường trung trực của tam giác cắt nhau tại một điểm, điểm đó cách đều ba đỉnh của tam giác.

Đáp án đúng là: A

Tam giác \(DEF\) có \(I\) là giao điểm của ba đường trung trực.

Suy ra \(ID = IE = IF.\)

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: D

Điểm \(G\) cách đều ba đỉnh của \(\Delta ABC\) thì \(G\) là giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác.

Do đó, hình 4 thỏa mãn.

Đáp án đúng là: D

Có \(O\) là giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác \(ABC\) nên \(O\) là điểm cách đều ba đỉnh của \(\Delta ABC\) và \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\).

Do đó, chọn đáp án D.

Đáp án đúng là: B

Một tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực của tam giác thì đó là tam giác cân.

Đáp án đúng là: C

Gọi \(D\) là trung điểm của \(BC\).

Xét \(\Delta MBC\) có \(MD\) vừa là đường cao vừa là đường trung trực nên \(\Delta MBC\) cân tại \(M\).

Do đó, \(\widehat {MCB} = \widehat {MBC} = 30^\circ \).

Có \(\widehat {ABM} = \widehat {ABC} - \widehat {MBD} = 60^\circ - 30^\circ = 30^\circ \).

Do đó, \(\widehat {ABM} = \widehat {MBC} = 30^\circ \).

Suy ra \(BM\) là phân giác \(\widehat {ABC}\) của \(\Delta ABC\).

Đáp án đúng là: A

Vì hai đường trung trực của \(AB\) và \(AC\) cắt nhau tại \(D\) nên \(D\) là giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác.

Do đó, \(D \in AM\) (do \(\Delta ABC\) cân tại \(A\), \(M\) là trung điểm \(BC\) nên \(AM\) cũng là đường trung trực).

Vậy ba điểm \(A,\,\,D,\,\,M\) thẳng hàng.

Đáp án đúng là: A

Vì hai đường trung trực của \(\Delta ABC\) cắt nhau ở \(D\) nên \(D\) là giao của ba đường trung trực trong tam giác.

Suy ra \(DA = DB.\)

Đáp án đúng là: D

Vì \(O\) là giao của hai đường trung trực trong \(\Delta ABC\) nên \(O\) cách đều ba đỉnh của \(\Delta ABC\).

Do đó, \(O\) cách đều ba đỉnh của \(\Delta ABC\).

a) Sai.

Ta có \(O\) là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác \(ABC.\)

Suy ra \(OA = OB = OC.\)

Tam giác \(ABC\) đều nên \(AO\) vừa là đường trung trực vừa là đường phân giác của tam giác \(ABC.\)

Suy ra \(\widehat {BAO} = \widehat {OAC} = \frac{{\widehat {BAC}}}{2} = \frac{{60^\circ }}{2} = 30^\circ \).

Tương tự, ta có \(\widehat {OCE} = 30^\circ \).

Tam giác \(ABC\) đều nên \(AB = BC = AC.\)

Mà \(CE = AC - AE;\,\,AD = AB - BD\) và \(AE = BD\).

Suy ra \(CE = AD.\)

b) Đúng.

Xét \(\Delta OAD\)và \(\Delta OCE\), có:

\(OA = OC\) (chứng minh trên)

\(\widehat {OAD} = \widehat {OCE} = 30^\circ \).

\(CE = AD\) (chứng minh trên)

Do đó \(\Delta OAD = \Delta OCE\) (c.g.c)

c) Đúng.

Vì \(\Delta OAD = \Delta OCE\) (cmt) nên \(OD = OE\) (cặp cạnh tương ứng)

Suy ra tam giác \(ODE\) cân tại \(O\).

d) Đúng.

Ta có \(OD = OE\) (\(\Delta ODE\) cân tại \(O\))

Suy ra \(O\) nằm trên đường trung trực của đoạn \(DE\).

a) Sai.

Xét \(\Delta OAP\) có \(Ox\) là đường trung trực của \(PA\) nên \(OA = OP,\,\,IA = IP\).

Xét hai tam giác vuông \(\Delta OAI\) và \(\Delta POI\), có: \(OA = OP,\,\,IA = IP\).

Do đó, \(\Delta OAI = \Delta OPI\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra \(\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\) (hai góc tương ứng)

b) Đúng.

Xét \(\Delta BOP\) có \(Oy\) là đường trung trực của \(PB\) nên \(OB = OP,\,\,EB = EP\).

Xét hai tam giác vuông \(\Delta OBE\) và \(\Delta OPE\) có: \(OB = OP,\,\,EB = EP\).

Suy ra \(\Delta OBE = \Delta OPE\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra \(\widehat {{O_3}} = \widehat {{O_4}}\) (hai góc tương ứng).

c) Đúng.

Ta có: \(\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\), \(\widehat {{O_3}} = \widehat {{O_4}}\) (cmt)

Lại có \(\widehat {{O_1}} + \widehat {{O_4}} = \widehat {{O_3}} + \widehat {{O_2}} = 90^\circ \).

Do đó, \(\widehat {AOB} = \widehat {{O_1}} + \widehat {{O_2}} + \widehat {{O_3}} + \widehat {{O_4}} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \).

Vậy ba điểm \(O,\,\,A,\,\,B\) thẳng hàng.

d) Đúng.

Ta có: \(OA = OP,\,\,OB = OP\) (cmt).

Suy ra \(OA = OB\left( { = OP} \right)\).

Do đó, \(O\) nằm trên đường trung trực của \(AB\).

Xét \(\Delta ABP\) có:

\(Ox\) là đường trung trực của \(PA;\)

\(Oy\) là đường trung trực của \(PB;\)

\(O\) nằm trên đường trung trực của \(AB\).

Suy ra \(O\) là giao điểm của ba đường trung trực trong \(\Delta ABP\).

a) Đúng.

Vì \(O\) là giao điểm hai đường trung trực của \(AB\) và \(AC\) nên \(O\) cách đều ba đỉnh trong \(\Delta ABC\).

Do đó \(OA = OB = OC\).

Mà theo giả thiết, có: \(OB = OD.\)

Suy ra \(OA = OD\) nên \(O\) thuộc trung trực của \(AD\).

Và \(OC = OD\) nên \(O\) thuộc trung trực của \(CD\).

b) Đúng.

Vì \(OA = OB = OD\) hay ta có \(AO = \,\frac{1}{2}BD\).

Có đường trung tuyến \(AO\) trong tam giác \(\Delta ADB\) bằng một nửa cách \(DB\) nên \(\Delta ADB\) vuông tại \(A\).

c) Đúng.

Ta có: \(\Delta BOC\) cân tại \(O\) nên \(\widehat {BCO} = \frac{{180^\circ - \widehat {BOC}}}{2}\).

\(\Delta COD\)cân tại \(O\) nên \(\widehat {DCO} = \frac{{180^\circ - \widehat {DOC}}}{2}\).

Do đó, \(\widehat {BCD} = \widehat {DCO} + \widehat {BCO} = \frac{{180^\circ - \widehat {DOC} + 180^\circ - \widehat {BOC}}}{2} = \frac{{360^\circ - \widehat {BOD}}}{2} = \frac{{360^\circ - 180^\circ }}{2} = 90^\circ \).

Do đó, \(\widehat {BCD} = 90^\circ \).

d) Sai.

Có \(\Delta ABD\) vuông tại \(A\) nên \(\widehat {ADB} = 90^\circ - \widehat {ABD}\).

\(\Delta BCD\) vuông tại \(C\) nên \(\widehat {BDC} = 90^\circ - \widehat {CBD}\).

Do đó, \[\widehat {ADO} + \widehat {ODC} = 180^\circ - \left( {\widehat {ABO} + \widehat {CBO}} \right)\]

Suy ra \(\widehat {ADC} = 180^\circ - \widehat {ABC} = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ \).

a) Đúng.

Vì điểm \(O\) là giao điểm các đường trung trực của \(\Delta ABC\) nên \(O\) thuộc đường trung trực của \(BC.\)

\(\Delta ABC\) cân tại \(A\), suy ra \(AB = AC\) nên \(A\) thuộc đường trung trực của \(BC.\)

Do đó, \(OA\) là đường trung trực của \(BC.\)

b) Sai.

Xét \(\Delta HBD\) và \(\Delta ECK\) có:

\(\widehat {BHD} = \widehat {CKE} = 90^\circ \)

\(BH = CK\)

\(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (\(\Delta ABC\) cân tại \(A\))

Do đó, \(\Delta HBD = \Delta KCE\) (g.c.g)

c) Đúng.

Vì \(\Delta HBD = \Delta KCE\) (cmt) nên \(BD = CE\) (hai cạnh tương ứng).

d) Đúng.

\(\Delta HBD = \Delta KCE\) (cmt) suy ra \(\widehat {HDB} = \widehat {KEC}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {ODE},\,\,\widehat {OED}\) lần lượt là hai góc đối đỉnh với \(\widehat {HDB},\,\,\widehat {KEC}\).

Suy ra \(\widehat {ODE} = \widehat {OED}\).

Do đó, \(\Delta ODE\) cân tại \(O.\)

a) Đúng.

Ta chứng minh được \(\Delta OAB = \Delta OAC\) (c.c.c) nên \(\widehat {OAB} = \widehat {OAC}\) (hai cạnh tương ứng).

b) Sai.

Ta có: \(AM = AN = AB + BM = AC + CN\) (\(AB = AC;\,\,AM = AN\))

\(\widehat {MAO} = \widehat {NAO}\) (cmt)

\(AO\) chung (gt)

Do đó, \(\Delta OAM = \Delta OAN\) (c.g.c)

c) Đúng.

Vì \(\Delta OAM = \Delta OAN\) (cmt) nên \(OM = ON\) (hai cạnh tương ứng).

Do đó, \(\Delta OMN\) cân tại \(O\).

d) Đúng.

Vì trung trực của \(OM,\,\,ON\) cắt nhau tại \(I\) nên \(I\) là giao điểm của ba đường trung trực trong \(\Delta MNO\)

Do đó, \(OI\) là đường trung trực của \(\Delta MNO\).

Đáp án: 30

Vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) nên \(\widehat B = \widehat C = \frac{{180^\circ - \widehat A}}{2} = \frac{{180^\circ - 40^\circ }}{2} = 70^\circ \).

Vì \(D\) thuộc đường trung trực của \(AB\) nên \(AD = BD\) (tính chất đường trung trực)

Suy ra \(\Delta ABD\) cân tại \(D\) (dấu hiệu nhận biết).

Suy ra \(\widehat {DAC} + \widehat {CAB} = \widehat {DAB} = \widehat B = 70^\circ \)

Suy ra \(\widehat {DAC} = 70^\circ - \widehat {CAB} = 70^\circ - 40^\circ = 30^\circ \).

Vậy \(\widehat {DAC} = 30^\circ \).

Đáp án: 20

Vì \(E\) thuộc đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\) nên \(AE = EB\) hay \(\Delta EAB\) cân tại đỉnh \(E\).

Suy ra \(\widehat {{A_1}} = \widehat B\) (1)

Vì \(F\) thuộc đường trung trực của đoạn thẳng \(AC\) nên \(AF = FC\) hay \(\Delta FAC\) cân tại đỉnh \(F\).

Suy ra \(\widehat {{A_2}} = \widehat C\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {{A_2}} + \widehat {{A_1}} = \widehat B + \widehat C\).

Ta có: \(\widehat {EAF} = \widehat {BAC} - \widehat {{A_1}} - \widehat {{A_2}} = \widehat {BAC} - \left( {\widehat B + \widehat C} \right)\).

Mặt khác \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \) (tổng ba góc trong tam giác) nên \(\widehat B + \widehat C = 180^\circ - \widehat A = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ \).

Do đó, \(\widehat {EAF} = \widehat {BAC} - \left( {\widehat B + \widehat C} \right) = 100^\circ - 80^\circ = 20^\circ \).

Đáp án: 80

Vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) và \(O\) là giao điểm các đường trung trực trong tam giác \(\Delta ABC\) nên \(AO\) vừa là đường trung trực vừa là đường phân giác.

Do đó, ta có: \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}} = 20^\circ \).

Vì \(O\) là giao điểm các đường trung trực trong tam giác \(\Delta ABC\) nên \(OA = OB = OC\).

Suy ra \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{B_1}} = 20^\circ ;\,\,\widehat {{A_2}} = \widehat {{C_1}} = 20^\circ \).

Lại có: \[\widehat B + \widehat C = 180^\circ - \widehat A = 140^\circ \] hay \[\widehat {{B_1}} + \widehat {{B_2}} + \widehat {{C_1}} + \widehat {{C_2}} = 140^\circ \],

suy ra \[\widehat {{B_2}} + \widehat {{C_2}} = 140^\circ - \left( {\widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}}} \right) = 140^\circ - 40^\circ = 100^\circ \].

Do đó, \[\widehat {BOC} = 180^\circ - \left( {\widehat {{B_2}} + \widehat {{C_2}}} \right) = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ \].

Đáp án: 140

Từ giả thiết suy ra \(I\) là đường trung trực của \(BC\).

Suy ra \(IB = IC\).

Do đó, \(\Delta BIC\) cân.

Có \(\widehat {BIA} = 180^\circ - 2\widehat {{A_2}}\); \(\widehat {CIA} = 180^\circ - 2\widehat {{A_1}}\)

Suy ra \(\widehat {BIC} = \widehat {BIA} + \widehat {AIC} = 180^\circ - 2\widehat {{A_1}} + 180^\circ - 2\widehat {{A_2}} = 2\left( {180^\circ - \widehat {BAC}} \right) = 2 \cdot \left( {180^\circ - 110^\circ } \right) = 140^\circ \).

Vậy \(\widehat {BIC} = 140^\circ \).

Đáp án: 45

Vì hai đường trung trực của hai cạnh \(AB,\,\,AC\) cắt nhau tại \(O\) nên \(O\) là giao điểm của ba đường trung trực trong \(\Delta ABC\).

Do đó, \(OA\) vừa là đường trung trực, đường cao, đường phân giác trong tam giác \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\).

Do đó, \(\widehat {OAC} = \frac{1}{2}\widehat {BAC} = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ \).