20 câu trắc nghiệm Toán 12 Kết nối tri thức Bài 17. Phương trình mặt cầu (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án
20 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN
Cho điểm M nằm ngoài mặt cầu tâm I, bán kính R. Khẳng định nào dưới đây đúng?
OM < R.
OM = R.
OM > R.
OM £ R.
Chọn C
Điểm M nằm ngoài mặt cầu tâm I, bán kính R khi OM > R.
Cho mặt cầu (S): \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9\). Tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S) là
I(−1; 2; 1) và R = 3.
I(1; −2; −1) và R = 3.
I(−1; 2; 1) và R = 9.
I(1; −2; −1) và R = 9.
Chọn A
Mặt cầu (S) có I(−1; 2; 1) và R = 3.
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): \({x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 6\). Đường kính của (S) bằng
\(\sqrt 6 \).
12.
\(2\sqrt 6 \).
3.
Chọn C
Mặt cầu (S) có bán kính \(R = \sqrt 6 \). Suy ra đường kính của (S) là \(2\sqrt 6 \).
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y + 2z - 3 = 0\). Tọa độ tâm I và bán kính R của (S) lần lượt là
I(1; −2; −1) và R = 3.
I(1; 2; 1) và R = 9.
I(1; 2; 1) và R = 3.
I(1; −2; −1) và R = 9.
Chọn A
\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y + 2z - 3 = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9\).
Suy ra I(1; −2; −1) và R = 3.
Trong không gian Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình của mặt cầu có tâm I(7; 6; −5) và bán kính 9?
\({\left( {x + 7} \right)^2} + {\left( {y + 6} \right)^2} + {\left( {z - 5} \right)^2} = 81\).
\({\left( {x + 7} \right)^2} + {\left( {y + 6} \right)^2} + {\left( {z - 5} \right)^2} = 9\).
\({\left( {x - 7} \right)^2} + {\left( {y - 6} \right)^2} + {\left( {z + 5} \right)^2} = 9\).
\({\left( {x - 7} \right)^2} + {\left( {y - 6} \right)^2} + {\left( {z + 5} \right)^2} = 81\).
Chọn D
\({\left( {x - 7} \right)^2} + {\left( {y - 6} \right)^2} + {\left( {z + 5} \right)^2} = 81\).
Trong không gian Oxyz, mặt cầu có tâm I(2; 1; −3) và bán kính 9 có phương trình là
\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 81\).
\({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 81\).
\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 9\).
\({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9\).
Chọn A
Mặt cầu có tâm I(2; 1; −3) và bán kính 9 có phương trình là \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 81\).
Mặt cầu tâm I(−3; 0; 4) và đi qua điểm A(−3; 0; 0) có phương trình là
\({\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = 4\).
\({\left( {x - 3} \right)^2} - {y^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = 16\).
\({\left( {x + 3} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 16\).
\({\left( {x + 3} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 4\).
Chọn C
\(R = IA = \sqrt {{{\left( { - 3 + 3} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} = 4\).
Phương trình cần tìm là \({\left( {x + 3} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 16\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; −2; 7), B(−3; 8; −1). Mặt cầu đường kính AB có phương trình là
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = \sqrt {45} \).
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 45\).
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = \sqrt {45} \).
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 45\).
Chọn D
Tâm của mặt cầu là trung điểm của AB Þ I(−1; 3; 3).
Bán kính \(R = \frac{{AB}}{2} = \frac{{\sqrt {{{\left( { - 3 - 1} \right)}^2} + {{\left( {8 + 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 7} \right)}^2}} }}{2} = 3\sqrt 5 \).
Phương trình mặt cầu cần tìm là \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 45\).
Mặt cầu có tâm I(1; −2; 3) và tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz) là
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9\).
\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 6z + 12 = 0\).
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 1\).
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 4\).
Chọn C
Phương trình mặt phẳng (Oyz): x = 0.
Ta có \(R = d\left( {I,\left( {Oyz} \right)} \right) = 1\).
Phương trình mặt cầu cần tìm là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 1\) \( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 6z + 13 = 0\).
Trong không gian (Oxyz), một thiết bị phát sóng đặt tại vị trí I(1; 0; −1). Vùng phủ sóng của thiết bị có ranh giới là một mặt cầu bán kính bằng \(\sqrt 2 \). Điểm nào sau đây thuộc vùng phủ sóng của thiết bị?
\(A\left( {1;0;1} \right)\).
\(B\left( {1;1; - 1} \right)\).
\(\left( { - 2;0;1} \right)\).
\(\left( {1; - 2; - 1} \right)\).
Chọn B
Ta có \(IB = 1 < R\) nên điểm B nằm bên trong mặt cầu trên, suy ra điểm B thuộc vùng phủ sóng của thiết bị.
PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2} = 4\).
a) Đường kính mặt cầu bằng 8.
b) Mặt cầu (S) đi qua điểm A(−1; 3; 0).
c) Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng (Oyz) bằng 2.
d) Mặt phẳng (P) có phương trình x + 2y – 2z – 2 = 0 tiếp xúc với mặt cầu (S).
a) Mặt cầu (S) có tâm I(−2; 1; 0) và bán kính R = 2.
Suy ra đường kính mặt cầu bằng 2R = 4.
b) Có \(IA = \sqrt {{{\left( { - 1 + 2} \right)}^2} + {{\left( {3 - 1} \right)}^2} + {0^2}} = \sqrt 5 > R\) nên mặt cầu (S) không đi qua điểm A.
c) Mặt phẳng (Oyz) có phương trình \(x = 0\).
Khi đó \(d\left( {I,\left( {Oyz} \right)} \right) = \left| { - 2} \right| = 2\).
d) Ta có \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - 2 + 2.1 - 2.0 - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{2}{3} < R\)nên mặt phẳng (P) không tiếp xúc với mặt cầu (S).
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y - 2z - 3 = 0\).
a) Tọa độ tâm I và bán kính R của (S) lần lượt là \(I\left( {1; - 2; - 1} \right)\) và R = 3.
b) Mặt cầu (S) đi qua điểm A(1; 3; −1).
c) Mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (Q): x – 2y + 2z – 6 = 0.
d) Giao tuyến của mặt phẳng (P): 2x + 2y + z − 5 = 0 và mặt cầu (S) là một đường tròn có bán kính \(\frac{{\sqrt {17} }}{3}\).
a) \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y - 2z - 3 = 0\) \( \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9\).
Mặt cầu (S) có tâm I(−1; 2; 1) và R = 3.
b) Có \(IA = \sqrt {{{\left( {1 + 1} \right)}^2} + {{\left( {3 - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 1} \right)}^2}} = 3 = R\).
Suy ra mặt cầu (S) đi qua điểm A.
c) Có \(d\left( {I,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| { - 1 - 2.2 + 2.1 - 6} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} }} = 3 = R\).
Suy ra mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (Q).
d)
Ta có \(IH = d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.\left( { - 1} \right) + 2.2 + 2 - 5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{3}\)
Khi đó \(HA = \sqrt {I{A^2} - I{H^2}} = \sqrt {9 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2}} = \frac{{4\sqrt 5 }}{3}\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): \({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 4\)và đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + t\\y = - 1 - t\\z = 0\end{array} \right.\).
a) Đường thẳng d đi qua M(4; −1; 0) và có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {1; - 1;1} \right)\).
b) Mặt cầu (S) có tâm I(0; 0; 0), R = 2.
c) Đường thẳng d cắt mặt cầu (S) tâm I cắt tại hai điểm phân biệt.
d) Tọa độ giao điểm của đường thẳng d với mặt cầu là A(3; 0; 0), B(1; 2; 0).
a) Đường thẳng d đi qua M(4; −1; 0) và có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {1; - 1;0} \right)\).
b) Mặt cầu (S) có tâm I(1; 0; 0), R = 2.
c) d) Tọa độ giao điểm của d và mặt cầu (S) là nghiệm của hệ
\(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 4\\x = 4 + t\\y = - 1 - t\\z = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {3 + t} \right)^2} + {\left( { - 1 - t} \right)^2} + {0^2} = 4\\x = 4 + t\\y = - 1 - t\\z = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{t^2} + 8t + 6 = 0\\x = 4 + t\\y = - 1 - t\\z = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}t = - 1\\t = - 3\end{array} \right.\\x = 4 + t\\y = - 1 - t\\z = 0\end{array} \right.\).
Với t = −1 thì \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 0\\z = 0\end{array} \right.\) \( \Rightarrow A\left( {3;0;0} \right)\).
Với t = −3 thì \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\\z = 0\end{array} \right.\) \( \Rightarrow B\left( {1;2;0} \right)\).
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 0; 0), B(0; 2; 0) và C(0; 0; 3). Khi đó:
a) Mặt cầu tâm B, bán kính R = 3 có phương trình \({x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {z^2} = 3\).
b) Mặt cầu tâm A, đi qua B có phương trình là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 5\).
c) Mặt cầu nhận BC làm đường kính có phương trình là \({x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = \frac{{13}}{4}\).
d) Mặt cầu tâm O và có bán kính R = OG với G là trọng tâm DABC, có phương trình là \({x^2} + {y^2} + {z^2} = \frac{{14}}{9}\).
a) Mặt cầu tâm B, bán kính R = 3 có phương trình \({x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {z^2} = 9\).
b) Có \(R = AB = \sqrt {{{\left( {0 - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - 0} \right)}^2} + {{\left( {0 - 0} \right)}^2}} = \sqrt 5 \).
Mặt cầu tâm A, đi qua B có phương trình là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 5\).
c) Mặt cầu đường kính BC nhận trung điểm \(I\left( {0;1;\frac{3}{2}} \right)\) của BC làm tâm và \(R = \frac{{BC}}{2} = \frac{{\sqrt {{2^2} + {3^2}} }}{2} = \frac{{\sqrt {13} }}{2}\).
Suy ra mặt cầu nhận BC làm đường kính có phương trình \({x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - \frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{{13}}{4}\).
d) \(G\left( {\frac{1}{3};\frac{2}{3};1} \right)\) là trọng tâm của DABC.
\(R = OG = \sqrt {\frac{1}{9} + \frac{4}{9} + 1} = \sqrt {\frac{{14}}{9}} \).
Phương trình mặt cầu cần tìm là \({x^2} + {y^2} + {z^2} = \frac{{14}}{9}\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm \(D\left( {4;0; - 1} \right),E\left( {2;2;3} \right),F\left( {5;3;7} \right)\). Gọi T là trung điểm của đoạn DE.
a) Tọa độ của điểm T là (3; 1; 1).
b) Phương trình mặt cầu (S) có đường kính DE là \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 24\).
c) Một trạm phát sóng điện thoại được đặt tại điểm T, có bán kính phủ sóng \(R = \sqrt 6 \;\left( {{\rm{km}}} \right)\). Người đứng ở vị trí F nhận được tín hiệu sóng của trạm.
d) Nếu 2 người dùng đều nhận được tín hiệu của trạm phát sóng thì khoảng cách giữa 2 người lớn hơn 5 km.
a) \(T\left( {\frac{{4 + 2}}{2};\frac{{0 + 2}}{2};\frac{{ - 1 + 3}}{2}} \right) = \left( {3;1;1} \right)\).
b) Có \(R = \frac{{DE}}{2} = \frac{{\sqrt {{{\left( {2 - 4} \right)}^2} + {{\left( {2 - 0} \right)}^2} + {{\left( {3 + 1} \right)}^2}} }}{2} = \sqrt 6 \).
Phương trình mặt cầu (S) là \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 6\).
c) Có \[TF = \sqrt {{{\left( {5 - 3} \right)}^2} + {{\left( {3 - 1} \right)}^2} + {{\left( {7 - 1} \right)}^2}} = 2\sqrt {11} > \sqrt 6 \].
Do đó một người dùng ở vị trí F thì không nhận được tín hiệu sóng của trạm.
d) Nếu hai người dùng đều nhận được tín hiệu của trạm phát sóng thì khoảng cách giữa hai người nhỏ hơn hoặc bằng đường kính phủ sóng là \(2\sqrt 6 \) km.
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.
PHẦN III. TRẢ LỜI NGẮN
Một quả bóng bay hình cầu có phương trình \({x^2} + {y^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 1\) trong hệ trục tọa độ Oxyz (với mặt phẳng (Oxy) là mặt đất, đơn vị trên trục là mét). Giả sử một chú chim bay lên cao và đậu lên đỉnh của quả bóng bay (xem hình vẽ minh họa). Hỏi chú chim cách mặt đất bao nhiêu mét?
Mặt cầu \({x^2} + {y^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 1\) có tâm \(I\left( {0;0;2} \right),R = 1\).
Ta có \(d\left( {I,\left( {Oxy} \right)} \right) = 2\).
Do đó chú chim cách mặt đất: 2 + 1 = 3 mét.
Trả lời: 3.
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 2}}{{ - 3}} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{2}\), \(\left( P \right):x + 2y - 2z - 2 = 0\), \(\left( Q \right):x + 2y - 2z + 4 = 0\). Gọi mặt cầu S(I, R) có tâm I thuộc D và tiếp xúc với (P), (Q). Khi đó đường kính của mặt cầu có giá trị bằng bao nhiêu?
Vì I Î D nên \(I\left( {2 - 3t;1 + 2t;1 + 2t} \right)\).
Vì \(R = d\left( {I,\left( P \right)} \right) = d\left( {I,\left( Q \right)} \right)\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {2 - 3t + 2 + 4t - 2 - 4t - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{\left| {2 - 3t + 2 + 4t - 2 - 4t + 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }}\)
\( \Leftrightarrow \left| { - 3t} \right| = \left| {6 - 3t} \right|\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 3t = 6 - 3t\\ - 3t = 3t - 6\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow t = 1\).
Với \(t = 1\) thì \(R = d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - 3} \right|}}{3} = 1\).
Đường kính của mặt cầu là 2.
Trả lời: 2.
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) đi qua hai điểm A(1; 0; −1), B(−1; 2; 1) và có tâm I thuộc mặt phẳng (P): x + y – z – 1 = 0. Tính bán kính nhỏ nhất của mặt cầu (S) (viết kết quả dưới dạng số thập phân và làm tròn đến hàng phần trăm).
Giả sử I(a; b; c) là tâm của mặt cầu (S).
Vì I Î (P) nên a + b – c – 1 = 0.
Lại có \(IA = IB\)\( \Leftrightarrow I{A^2} = I{B^2}\)\( \Leftrightarrow {\left( {1 - a} \right)^2} + {b^2} + {\left( { - 1 - c} \right)^2} = {\left( { - 1 - a} \right)^2} + {\left( {2 - b} \right)^2} + {\left( {1 - c} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow a - b - c + 1 = 0\).
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}a + b - c - 1 = 0\\a - b - c + 1 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 1\\a = c\end{array} \right.\).
Khi đó \(I\left( {c;1;c} \right)\).
Ta có \(R = IA = \sqrt {{{\left( {1 - c} \right)}^2} + {1^2} + {{\left( { - 1 - c} \right)}^2}} = \sqrt {2{c^2} + 3} \ge \sqrt 3 \).
Bán kính nhỏ nhất của mặt cầu (S) là \(\sqrt 3 \approx 1,73\) khi \(I\left( {0;1;0} \right)\).
Trả lời: 1,73.
Khi đặt hệ tọa độ Oxyz vào không gian với đơn vị trên trục tính theo kilômét, người ta thấy rằng một không gian phủ sóng điện thoại có dạng một hình cầu (S) (tập hợp những điểm nằm trong và nằm trên mặt cầu tương ứng). Biết mặt cầu (S) có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 8x - 4y - 6z + 13 = 0\). Khoảng cách xa nhất giữa hai điểm của vùng phủ sóng là a (km). Giá trị của a bằng bao nhiêu?
Khoảng cách xa nhất giữa hai điểm của vùng phủ sóng chính là đường kính của mặt cầu.
Mặt cầu (S) có tâm I(4; 2; 3) và R = 4.
Suy ra khoảng cách xa nhất giữa hai điểm phú sóng là 8 km.
Trả lời: 8.
Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S): \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 9} \right)^2} + {\left( {z + 12} \right)^2} = 25\) có tâm I(a; b; c). Hãy tính \(a + 2b - 3c\).
Mặt cầu (S) có tâm I(−3; 9; −12). Suy ra a = −3; b = 9; c = −12.
Do đó a + 2b – 3c = −3 + 2.9 – 3.(−12) = 51.
Trả lời: 51.
