20 câu trắc nghiệm Toán 12 Cánh diều Bài 3. Tích phân (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án
20 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN
Cho \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {1;2} \right]\). Biết \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(\left[ {1;2} \right]\) thỏa mãn \(F\left( 1 \right) = - 2,F\left( 2 \right) = 4\). Khi đó \(\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} \) bằng
2.
6.
−2.
−6.
Chọn B
\(\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} = \left. {F\left( x \right)} \right|_1^2 = F\left( 2 \right) - F\left( 1 \right) = 4 - \left( { - 2} \right) = 6\).
Nếu \(\int\limits_0^4 {f\left( x \right)dx} = 5\) và \(\int\limits_2^4 {f\left( x \right)dx} = - 1\) thì \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} \) bằng
−4.
6.
4.
−6.
Chọn B
\(\int\limits_0^4 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_2^4 {f\left( x \right)dx} \)\( \Rightarrow \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^4 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_2^4 {f\left( x \right)dx} = 5 - \left( { - 1} \right) = 6\).
Nếu \(\int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} = 3\) thì \(\int\limits_1^4 {\left[ {\frac{1}{3}f\left( x \right) - 5} \right]dx} \) bằng
−15.
−12.
−14.
−4.
Chọn C
\(\int\limits_1^4 {\left[ {\frac{1}{3}f\left( x \right) - 5} \right]dx} \)\( = \frac{1}{3}\int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} - \left. {5x} \right|_1^4\)\( = \frac{1}{3}.3 - 15 = - 14\).
Tích phân \(I = \int\limits_0^{2024} {{3^x}dx} \) bằng
\(\left( {{3^{2024}} - 1} \right)\ln 3\).
\(\frac{{{3^{2024}}}}{{\ln 3}}\).
\({3^{2024}} - 1\).
\(\frac{{{3^{2024}} - 1}}{{\ln 3}}\).
Chọn D
\(I = \int\limits_0^{2024} {{3^x}dx} = \left. {\frac{{{3^x}}}{{\ln 3}}} \right|_0^{2024} = \frac{{{3^{2024}} - 1}}{{\ln 3}}\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{\sqrt[4]{{{x^3}}}}} + 2\;\;khi\;x \ge 1\\{x^2} + x + 1\;\;khi\;x < 1\end{array} \right.\). Biết tích phân \(\int\limits_{ - 1}^{16} {f\left( x \right)dx} = \frac{a}{b}\) (\(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản, b > 0). Tính tổng a + b.
120.
113.
90.
80.
Chọn B
\(\int\limits_{ - 1}^{16} {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^{16} {f\left( x \right)dx} \)\( = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {{x^2} + x + 1} \right)dx} + \int\limits_1^{16} {\left( {\frac{1}{{\sqrt[4]{{{x^3}}}}} + 2} \right)dx} \)
\( = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2} + x} \right)} \right|_{ - 1}^1 + \left. {\left( {4\sqrt[4]{x} + 2x} \right)} \right|_1^{16}\)\( = \frac{8}{3} + 34 = \frac{{110}}{3}\).
Suy ra \(a = 110;b = 3\). Do đó \(a + b = 113\).
Cho \(\int\limits_0^6 {f\left( x \right)dx} = 12\). Tính \(I = \int\limits_0^2 {f\left( {3x} \right)dx} \).
5.
36.
4.
6.
Chọn C
\(I = \int\limits_0^2 {f\left( {3x} \right)dx} \)\( = \frac{1}{3}\int\limits_0^2 {f\left( {3x} \right)d\left( {3x} \right)} \)\( = \frac{1}{3}\int\limits_0^6 {f\left( u \right)du} = \)\( = \frac{1}{3}.12 = 4\).
Giả sử f là hàm số liên tục trên khoảng K và a, b, c là các số bất kỳ trên khoảng K. Khẳng định nào sau đây sai?
\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^b {f\left( t \right)dt} \).
\(\int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} + \int\limits_c^b {f\left( x \right)} dx = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \).
\(\int\limits_a^a {f\left( x \right)dx} = 1\).
\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = - \int\limits_b^a {f\left( x \right)dx} \).
Chọn C
\[\int\limits_a^a {f\left( x \right)dx} = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^a = F\left( a \right) - F\left( a \right) = 0\].
Cho biết \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {4 - \sin x} \right)dx} = a\pi + b\) với a, b là các số nguyên. Giá trị của biểu thức \(a + b\) bằng.
1.
−4.
6.
3.
Chọn A
\(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {4 - \sin x} \right)dx} = \left. {4x + \cos x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = 2\pi - 1\).
Suy ra \(a = 2;b = - 1\). Do đó \(a + b = 1\).
Tính tích phân \(\int\limits_0^8 {\left| {{x^2} - 6x} \right|dx} \).
\(\frac{{152}}{3}\).
\(\frac{{64}}{3}\).
\(\frac{{ - 64}}{3}\).
\(\frac{{ - 152}}{3}\).
Chọn A
\(\int\limits_0^8 {\left| {{x^2} - 6x} \right|dx} \)\[ = \int\limits_0^6 {\left| {{x^2} - 6x} \right|dx} + \int\limits_6^8 {\left| {{x^2} - 6x} \right|dx} \]\[ = \int\limits_0^6 {\left( { - {x^2} + 6x} \right)dx} + \int\limits_6^8 {\left( {{x^2} - 6x} \right)dx} \]
\[ = \left. {\left( {\frac{{ - {x^3}}}{3} + \frac{{6{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^6 + \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{6{x^2}}}{2}} \right)} \right|_6^8 = \frac{{152}}{3}\].
Một ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc \(v\left( t \right) = 27 - 9\sqrt t \). Tính quãng đường mà ô tô di chuyển từ thời điểm \(t = 0\) đến thời điểm mà vật dừng lại.
\(120\) m.
\(18\) m.
\(81\) m.
\(54\) m.
Chọn C
Thời điểm vật dừng lại là \(v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 27 - 9\sqrt t = 0 \Leftrightarrow t = 9\) giây.
Quãng đường mà ô tô di chuyển được từ thời điểm \(t = 0\) đến thời điểm mà vật dừng lại là:
\(s = \int\limits_0^9 {\left( {27 - 9\sqrt t } \right)dt} = \left. {\left( {27t - 6t\sqrt t } \right)} \right|_0^9 = 81\) m.
PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI
Cho \(f\left( x \right),g\left( x \right)\) là hai hàm số liên tục trên đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\) và \(f\left( x \right)\) là hàm số chẵn, \(g\left( x \right)\) là hàm số lẻ. Biết \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = 5,\int\limits_0^1 {g\left( x \right)dx} = 7\).
a) \(\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} = 10\).
b) \(\int\limits_{ - 1}^1 {g\left( x \right)dx} = 14\).
c) \(\int\limits_{ - 1}^1 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} = 10\).
d) \(\int\limits_{ - 1}^1 {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} = 10\).
a) \(\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \)\( = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = 2\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = 2.5 = 10\).
b) \(\int\limits_{ - 1}^1 {g\left( x \right)dx} = \int\limits_{ - 1}^0 {g\left( x \right)dx} + \int\limits_0^1 {g\left( x \right)dx} \)\( = - \int\limits_0^1 {g\left( x \right)dx} + \int\limits_0^1 {g\left( x \right)dx} = 0\).
c) \(\int\limits_{ - 1}^1 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_{ - 1}^1 {g\left( x \right)dx} = 10\).
d) \(\int\limits_{ - 1}^1 {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_{ - 1}^1 {g\left( x \right)dx} = 10\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Cho \(\int {f\left( x \right)dx} = {x^2} + x + {C_1},\int {g\left( x \right)dx} = {x^4} + {x^3} + {C_2}\).
a) \(f\left( x \right) = 2x + 1\).
b) \(g\left( 0 \right) = 1\).
c) \(\int\limits_0^1 {g\left( x \right)dx} = 3\).
d) \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)g\left( x \right)dx} = \frac{{51}}{{10}}\).
a)\(f\left( x \right) = {\left( {{x^2} + x + C} \right)^\prime } = 2x + 1\).
b) \(g\left( x \right) = {\left( {{x^4} + {x^3} + C} \right)^\prime } = 4{x^3} + 3{x^2}\). Suy ra \(g\left( 0 \right) = 0\).
c) \(\int\limits_0^1 {g\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {\left( {4{x^3} + 3{x^2}} \right)dx} = \left. {\left( {{x^4} + {x^3}} \right)} \right|_0^1 = 2\).
d) \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)g\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {\left( {2x + 1} \right)\left( {4{x^3} + 3{x^2}} \right)dx} \)\( = \int\limits_0^1 {\left( {8{x^4} + 10{x^3} + 3{x^2}} \right)dx} \)\( = \left. {\left( {\frac{8}{5}{x^5} + \frac{{10}}{4}{x^4} + {x^3}} \right)} \right|_0^1 = \frac{{51}}{{10}}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Sau khi xuất phát, ô tô di chuyển với tốc độ \(v\left( t \right) = 2,01t - 0,025{t^2}\left( {0 \le t \le 10} \right)\). Trong đó \(v\left( t \right)\) tính theo m/s, thời gian t tính bằng giây, t = 0 là thời điểm xe xuất phát.
a) Quãng đường xe di chuyển được tính theo công thức là \(s\left( t \right) = 2,01 - 0,05t\left( {0 \le t \le 10} \right)\).
b) Quãng đường xe di chuyển được trong 3 giây là 8,82 m.
c) Quãng đường xe di chuyển được trong giây thứ 9 xấp xỉ 15,277 m.
d) Trong khoảng thời gian không quá 10 giây đầu, khi vận tốc đạt giá trị lớn nhất thì gia tốc của xe là 1,51 m/s2.
a) Quãng đường xe di chuyển được phải là nguyên hàm của \(v\left( t \right)\), \(v'\left( t \right) = 2,01 - 0,05t\left( {0 \le t \le 10} \right)\) là công thức tính gia tốc của vật.
b) Quãng đường xe di chuyển được trong 3 giây là \(\int\limits_0^3 {\left( {2,01t - 0,025{t^2}} \right)dt} = 8,82\) m.
c) Quãng đường xe di chuyển được trong giây thứ 9 là:
\(s\left( 9 \right) - s\left( 8 \right) = \int\limits_8^9 {\left( {2,01t - 0,025{t^2}} \right)dt} \approx 15,277\) m.
d) Ta có \(v\left( t \right) = 2,01t - 0,025{t^2}\left( {0 \le t \le 10} \right)\) \( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;10} \right]} v\left( t \right) = 17,6\) m/s khi t = 10 giây.
Gia tốc vật khi đó là \(a\left( {10} \right) = v'\left( {10} \right) = 2,01 - 0,05.10 = 1,51\;{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng;d) Đúng.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên
a) \(\int\limits_1^2 {f'\left( x \right)dx} = 1\).
b) \(\int\limits_1^4 {\left[ {3 + f'\left( x \right)} \right]dx} = f\left( 4 \right) + 3\).
c) \(\int\limits_1^2 {\left| {f'\left( x \right)} \right|dx} = f\left( 1 \right) - f\left( 2 \right)\).
d) Nếu \(\int\limits_1^4 {\left| {f'\left( x \right)} \right|dx} = 5\) thì \(f\left( 4 \right) = 3\).
a) \(\int\limits_1^2 {f'\left( x \right)dx} = \left. {f\left( x \right)} \right|_1^2 = f\left( 2 \right) - f\left( 1 \right) = - 1 - 0 = - 1\).
b) \(\int\limits_1^4 {\left[ {3 + f'\left( x \right)} \right]dx} = \left. {3x} \right|_1^4 + \left. {f\left( x \right)} \right|_1^4 = 12 - 3 + f\left( 4 \right) - f\left( 1 \right) = 9 + f\left( 4 \right)\).
c) \(\int\limits_1^2 {\left| {f'\left( x \right)} \right|dx} = - \int\limits_1^2 {f'\left( x \right)dx} = \left. { - f\left( x \right)} \right|_1^2 = - f\left( 2 \right) + f\left( 1 \right)\).
d) \(\int\limits_1^4 {\left| {f'\left( x \right)} \right|dx} = 5\)\( \Leftrightarrow \int\limits_1^2 {\left| {f'\left( x \right)} \right|dx} + \int\limits_2^4 {\left| {f'\left( x \right)} \right|dx} = 5\)\[ \Leftrightarrow - f\left( 2 \right) + f\left( 1 \right) + \left. {f\left( x \right)} \right|_2^4 = 5\]\[ \Leftrightarrow - f\left( 2 \right) + f\left( 1 \right) + f\left( 4 \right) - f\left( 2 \right) = 5\]\[ \Leftrightarrow 1 + 0 + f\left( 4 \right) + 1 = 5 \Leftrightarrow f\left( 4 \right) = 3\].
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \sin 2x\) liên tục trên ℝ, \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của \(f\left( x \right)\).
a) \(\int\limits_0^\pi {f\left( x \right)dx} = 0\).
b) Biết \(F\left( 0 \right) = \frac{1}{2}\) thì \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1\).
c) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\cos x - f\left( x \right)} \right)dx} = 2\).
d) \(\int\limits_{ - \pi }^\pi {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = 4\).
a) \(\int\limits_0^\pi {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^\pi {\sin 2xdx} \)\( = \left. { - \frac{1}{2}\cos 2x} \right|_0^\pi = - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0\).
b) Có \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\sin 2x} dx = - \frac{1}{2}\cos 2x + C\).
Có \(F\left( 0 \right) = \frac{1}{2} \Rightarrow C = 1\). Suy ra \(F\left( x \right) = - \frac{1}{2}\cos 2x + 1\).
Do đó \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = - \frac{1}{2}\cos \pi + 1 = \frac{3}{2}\).
c) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\cos x - f\left( x \right)} \right)dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\cos x - \sin 2x} \right)dx} \)\( = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos xdx} - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2xdx} \)\( = \left. {\sin x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} + \left. {\frac{1}{2}\cos 2x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0\).
d) \(\int\limits_{ - \pi }^\pi {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_{ - \pi }^\pi {\left| {\sin 2x} \right|dx} \)\( = 2\int\limits_0^\pi {\sin 2xdx} = 2.0 = 0\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai;d) Sai.
PHẦN III. TRẢ LỜI NGẮN
Cho \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = 2\). Giá trị của \(\int\limits_0^1 {\left( {2f\left( x \right) + {e^{2x}}} \right)dx} \) bằng \(\frac{{{e^a} + b}}{c}\). Khi đó \(a + b + c\) bằng bao nhiêu?
\(\int\limits_0^1 {\left( {2f\left( x \right) + {e^{2x}}} \right)dx} = 2\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + \left. {\frac{{{e^{2x}}}}{2}} \right|_0^1 = 4 + \frac{{{e^2} - 1}}{2} = \frac{{{e^2} + 7}}{2}\).
Suy ra \(a = 2;b = 7;c = 2 \Rightarrow a + b + c = 11\).
Trả lời: 11.
Cho \(\int\limits_0^1 {\frac{{xdx}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}} = a + b\ln 2 + c\ln 3\) với a, b, c là các số hữu tỉ. Giá trị của 3a + b + c bằng bao nhiêu?
\(\int\limits_0^1 {\frac{{xdx}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}} = \int\limits_0^1 {\frac{{\left( {x + 2} \right) - 2}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}} dx\)\[ = \int\limits_0^1 {\frac{1}{{x + 2}}dx - \int\limits_0^1 {\frac{2}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}dx} } \]
\[ = \left. {\ln \left| {x + 2} \right|} \right|_0^1 + \left. {\frac{2}{{x + 2}}} \right|_0^1 = \ln 3 - \ln 2 + \frac{2}{3} - 1 = \frac{{ - 1}}{3} + \ln 3 - \ln 2\].
Suy ra \(a = - \frac{1}{3};b = - 1;c = 1\). Do đó \(3a + b + c = - 1 - 1 + 1 = - 1\).
Trả lời: −1.
Cho các hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Giả sử \(\int\limits_2^7 {\left[ {2f\left( x \right) + 3g\left( x \right)} \right]dx} = 2\) và \(\int\limits_2^7 {\left[ {f\left( x \right) - 2g\left( x \right)} \right]dx} = 4\). Khi đó \(\int\limits_2^7 {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} \) bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ 2).
\(\left\{ \begin{array}{l}\int\limits_2^7 {\left[ {2f\left( x \right) + 3g\left( x \right)} \right]dx} = 2\\\int\limits_2^7 {\left[ {f\left( x \right) - 2g\left( x \right)} \right]dx} = 4\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\int\limits_2^7 {f\left( x \right)dx} + 3\int\limits_2^7 {g\left( x \right)dx} = 2\\\int\limits_2^7 {f\left( x \right)dx} - 2\int\limits_2^7 {g\left( x \right)dx} = 4\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\int\limits_2^7 {f\left( x \right)dx} = \frac{{16}}{7}\\\int\limits_2^7 {g\left( x \right)dx} = - \frac{6}{7}\end{array} \right.\).
Do đó \(\int\limits_2^7 {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} \)\( = \int\limits_2^7 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_2^7 {g\left( x \right)dx} = \frac{{16}}{7} + \frac{6}{7} = \frac{{22}}{7} \approx 3,14\).
Trả lời: 3,14.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\). Giả sử \(y = F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(y = f\left( x \right)\) và \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = 3\) và \(F\left( 0 \right) = 2\). Tính \(F\left( 2 \right)\).
Ta có \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = F\left( 2 \right) - F\left( 0 \right)\)\( \Rightarrow F\left( 2 \right) = \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} + F\left( 0 \right) = 3 + 2 = 5\).
Trả lời: 5.
Một chiếc máy bay chuyển động trên đường băng với vận tốc \(v\left( t \right) = {t^2} + 10t\) (m/s) với \(t\) là thời gian được tính bằng đơn vị giây kể từ khi máy bay bắt đầu chuyển động. Biết khi máy bay đạt vận tốc 200 m/s thì nó rời đường băng. Quãng đường máy bay đã di chuyển trên đường băng là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Khi máy bay đạt vận tốc 200 m/s, suy ra \({t^2} + 10t = 200 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 10\\t = - 20\end{array} \right.\).
Vì \(t > 0\) nên \(t = 10\).
Quãng đường mãy bay di chuyển trên đường băng là \(\int\limits_0^{10} {\left( {{t^2} + 10t} \right)dt} = \frac{{2500}}{3} \approx 833\) m.
Trả lời: 833.
