20 câu Trắc nghiệm Toán 12 Cánh diều Bài 3. Tích phân có đáp án
20 câu hỏi
I. Nhận biết
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục trên đoạn \[\left[ {a;b} \right]\]. Gọi \[F\left( x \right)\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right)\] trên đoạn \[\left[ {a;b} \right]\]. Chọn mệnh đề đúng.
\[\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx = F\left( b \right) - F\left( a \right).} \]
\[\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx = F\left( b \right) + F\left( a \right).} \]
\[\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx = F\left( a \right) - F\left( b \right).} \]
\[\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx = {F^2}\left( b \right) - {F^2}\left( a \right).} \]
Đáp án đúng là: A
Ta có: \[\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b = F\left( b \right) - F\left( a \right).} \]
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục trên đoạn \[\left[ {a;b} \right]\]. Gọi \[F\left( x \right)\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right)\] trên đoạn \[\left[ {a;b} \right]\]. Chọn mệnh đề sai.
\[\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx = F\left( b \right) - F\left( a \right).} \]
\[\int\limits_a^a {f\left( x \right)dx = 1.} \]
\[\int\limits_a^a {f\left( x \right)dx = 0.} \]
\[\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx = - } \int\limits_b^a {f\left( x \right)dx} .\]
Đáp án đúng là: B
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đạo hàm \[f'\left( x \right)\] và \[f'\left( x \right)\] liên tục trên đoạn \[\left[ {a;b} \right]\]. Gọi \[F\left( x \right)\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right)\] trên đoạn \[\left[ {a;b} \right]\]. Chọn mệnh đề đúng.
\[\int\limits_a^b {f'\left( x \right)dx = f\left( b \right) - f\left( a \right).} \]
\[\int\limits_a^b {f'\left( x \right)dx = F\left( b \right) - F\left( a \right).} \]
\[\int\limits_a^b {F\left( x \right)dx = f\left( b \right) - f\left( a \right).} \]
\[\int\limits_a^b {f'\left( x \right)dx = f'\left( b \right) - f'\left( a \right).} \]
Đáp án đúng là: A
Ta có: \[\int\limits_a^b {f'\left( x \right)dx = \left. {f\left( x \right)} \right|_a^b = f\left( b \right) - f\left( a \right).} \]
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\], \[y = g\left( x \right)\] liên tục trên \[\left[ {a;b} \right]\], \[k\] là hằng số. Xét các mệnh đề sau:
a) \[\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx + \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx.} } } \]
b) \[\int\limits_a^b {f\left( x \right).g\left( x \right)dx = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx.\int\limits_a^b {g\left( x \right)dx.} } } \]
c) \[\int\limits_a^b {kf\left( x \right)dx = k\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} } .\]
d) \[\int\limits_a^b {\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}dx = \frac{{\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} }}{{\int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} }}} .\]
Số mệnh đề đúng là
1.
2.
3.
4.
Đáp án đúng là: B
Ta có mệnh đề a và c là mệnh đề đúng.
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục trên \[\mathbb{R}\] và \[a,b,c \in \mathbb{R}\] thỏa mãn \[a < b < c\]. Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề đúng là
\[\int\limits_a^c {f\left( x \right)dx = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx.\int\limits_b^c {f\left( x \right)dx.} } } \]
\[\int\limits_a^c {f\left( x \right)dx = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx + \int\limits_b^c {f\left( x \right)dx.} } } \]
\[\int\limits_a^c {f\left( x \right)dx = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx - \int\limits_b^c {f\left( x \right)dx.} } } \]
\[\int\limits_a^c {f\left( x \right)dx = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx + \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx.} } } \]
Đáp án đúng là: B
Với hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục trên \[\mathbb{R}\] và \[a,b,c \in \mathbb{R}\] thỏa mãn \[a < b < c\] thì
\[\int\limits_a^c {f\left( x \right)dx = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx + \int\limits_b^c {f\left( x \right)dx.} } } \]
II. Thông hiểu
Tính \[I = \int\limits_{ - 1}^0 {{{\left( {2x + 3} \right)}^2}dx} \]
\[I = \frac{{13}}{3}.\]
\[I = \frac{{14}}{3}.\]
\[I = - \frac{{13}}{3}.\]
\[I = \frac{{26}}{3}.\]
Đáp án đúng là: A
Ta có: \[I = \int\limits_{ - 1}^0 {{{\left( {2x + 3} \right)}^2}dx} = \left. {\frac{{{{\left( {2x + 3} \right)}^3}}}{6}} \right|_{ - 1}^0 = \frac{{27}}{6} - \frac{1}{6} = \frac{{13}}{3}.\]
Cho \[\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx = - 1} \]; \[\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx = 5} \]. Tính \[\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} \]
3.
6.
5.
4.
Đáp án đúng là: B
Ta có: \[\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx = } \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx + } \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} \]
Suy ra \[\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = 5 - \left( { - 1} \right) = 6\].
Tính tích phân \[\int\limits_0^1 {{e^{3x + 1}}dx} \] bằng
\[\frac{1}{3}\left( {{e^4} + e} \right).\]
\[{e^4} - e.\]
\[\frac{1}{3}\left( {{e^4} - e} \right).\]
\[{e^3} - e.\]
Đáp án đúng là: C
Ta có: \[\int\limits_0^1 {{e^{3x + 1}}dx} = \left. {\frac{1}{3}{e^{3x + 1}}} \right|_0^1 = \frac{1}{3}\left( {{e^4} - e} \right)\].
Giá trị \[\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx} \] bằng
0.
1.
−1.
\[\frac{\pi }{2}.\]
Đáp án đúng là: B
Ta có: \[\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx} = \left. { - \cos x} \right|_0^{^{\frac{\pi }{2}}} = 1.\]
Giá trị của \[I = \int\limits_0^2 {\left| {x - 2} \right|dx} \] bằng
\[I = - 2.\]
\[I = 2.\]
\[I = 4.\]
\[I = 0.\]
Đáp án đúng là:
Với \[x \in \left[ {0;2} \right]\] thì \[\left| {x - 2} \right| = - \left( {x - 2} \right) = 2 - x\]
Ta có: \[I = \int\limits_0^2 {\left| {x - 2} \right|dx} = \int\limits_0^2 {\left( {2 - x} \right)dx} \]\[ = \left. {\left( {2x - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^2 = 2.\]
Cho \[f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}1,{\rm{ }}x \ge 1\\2x - 1,{\rm{ }}x < 1\end{array} \right.\]. Tính giá trị \[I = \int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)dx} \]
</>
\[ - 1.\]
\[\frac{1}{2}.\]
\[4.\]
\[5.\]
Đáp án đúng là: A
Ta có: \[I = \int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} \]
\[ = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {2x - 1} \right)dx + \int\limits_1^2 {1dx} } \]
\[ = \left. {\left( {{x^2} - x} \right)} \right|_{ - 1}^1 + \left. x \right|_1^2 = - 1\].
Cho \[\int\limits_{ - 3}^0 {f\left( x \right)dx = - 4} \] và \[\int\limits_{ - 3}^0 {g\left( x \right)dx = - 3} \]. Xét các mệnh đề sau:
a) \[\int\limits_{ - 3}^0 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx = - 7} .\]
b) \[\int\limits_{ - 3}^0 {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx = 1} .\]
c) \[\int\limits_{ - 3}^0 { - 3f\left( x \right)dx = 12} .\]
d) \[\int\limits_{ - 3}^0 {\left[ {f\left( x \right) + 3g\left( x \right)} \right]dx = - 51} .\]
Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là
1.
2.
3.
4.
Đáp án đúng là: B
Xét các mệnh đề, ta có:
a) \[\int\limits_{ - 3}^0 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx = \int\limits_{ - 3}^0 {f\left( x \right)dx + } } \int\limits_{ - 3}^0 {g\left( x \right)dx} \]
\[ = - 4 + \left( { - 3} \right) = - 7\].
b) \[\int\limits_{ - 3}^0 {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx = \int\limits_{ - 3}^0 {f\left( x \right)dx - } } \int\limits_{ - 3}^0 {g\left( x \right)dx} \]
\[ = - 4 - \left( { - 3} \right) = - 1\].
c) \[\int\limits_{ - 3}^0 { - 3f\left( x \right)dx = } - 3\int\limits_{ - 3}^0 {f\left( x \right)dx = - 3.\left( { - 4} \right) = 12.} \]
d) \[\int\limits_{ - 3}^0 {\left[ {f\left( x \right) + 3g\left( x \right)} \right]dx = \int\limits_{ - 3}^0 {f\left( x \right)dx + } } 3\int\limits_{ - 3}^0 {g\left( x \right)dx} \]
\[ = - 4 + \left( { - 3} \right).3 = - 13.\]
Vậy có mệnh đề a và c là mệnh đề đúng.
Cho \[f\left( x \right),\] \[g\left( x \right)\] là hai hàm liên tục trên đoạn \[\left[ {1;3} \right]\] thỏa mãn \[\int\limits_1^3 {\left[ {f\left( x \right) + 3g\left( x \right)} \right]dx} = 10,\]\[\int\limits_1^3 {\left[ {2f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} = 6.\] Tính giá trị \[I = \int\limits_1^3 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} \]
\[I = 6.\]
\[I = 4.\]
\[I = 8.\]
\[I = 2.\]
Đáp án đúng là: A
Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}\int\limits_1^3 {\left[ {f\left( x \right) + 3g\left( x \right)} \right]dx} = 10\\\int\limits_1^3 {\left[ {2f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} = 6\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx + } 3\int\limits_1^3 {g\left( x \right)dx} = 10\\2\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx - } \int\limits_1^3 {g\left( x \right)dx} = 6\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx = 4} \\\int\limits_1^3 {g\left( x \right)dx} = 2\end{array} \right.\]
Do đó, \[I = \int\limits_1^3 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} = \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx + \int\limits_1^3 {g\left( x \right)dx = 6} } \].
Biết \[F\left( x \right) = {x^2}\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right)\]. Giá trị của \[\int\limits_1^3 {\left[ {1 + f\left( x \right)} \right]dx} \] bằng
10.
8.
\[\frac{{26}}{3}.\]
\[\frac{{32}}{3}.\]
Đáp án đúng là: A
Ta có: \[f\left( x \right) = F'\left( x \right) = 2x\]
Do đó, \[\int\limits_1^3 {\left[ {1 + f\left( x \right)} \right]dx} = \int\limits_1^3 {\left( {1 + 2x} \right)dx} = \left. {\left( {{x^2} + x} \right)} \right|_1^3 = 10\].
Vận tốc của một vật chuyển động là \[v\left( t \right) = 3{t^2} + 5{\rm{ }}\left( {m/s} \right)\]. Quãng đường vật đó đi được từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là
\[669{\rm{ }}m.\]
\[696{\rm{ }}m.\]
\[699{\rm{ }}m.\]
\[966{\rm{ }}m.\]
Đáp án đúng là:
Quãng đường vật đi được từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là
\[s\left( t \right) = \int\limits_4^{10} {v\left( t \right)dt} = \int\limits_4^{10} {\left( {3{t^2} + 5} \right)} dt = \left. {\left( {{t^3} + \frac{5}{2}t} \right)} \right|_4^{10} = 966\] m.
Một vật chuyển động với vận tốc \[10\] m/s thì tăng tốc với gia tốc được tính theo thời gian là \[a\left( t \right) = {t^2} + 3t\]. Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 6 giây kể từ khi vật bắt đầu tăng tốc.
136 m.
126 m.
276 m.
216 m.
Đáp án đúng là: C
Ta có: \[v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt} = \int {\left( {{t^2} + 3t} \right)} dt = \frac{{{t^3}}}{3} + \frac{3}{2}{t^2} + C\].
Mà có \[v\left( 0 \right) = 10\] m/s nên ta có C = 10.
Suy ra \[v\left( t \right) = \frac{{{t^3}}}{3} + \frac{3}{2}{t^2} + 10\].
Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 6 giây kể từ khi vật bắt đầu tăng tốc là \[s\left( t \right) = \int\limits_0^6 {v\left( t \right)dt} = \int\limits_0^6 {\left( {\frac{{{t^3}}}{3} + \frac{3}{2}{t^2} + 10} \right)dt} = 276\] m.
Biết \[\int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {2\sin x + 3\cos x + x} \right)dx = \frac{{a + b\sqrt 3 }}{2} + \frac{{5{\pi ^2}}}{c}} \] với \[\left( {a,b,c \in \mathbb{Z}} \right)\]. Khi đó giá trị của \[P = a + 2b + 3c\] là
\[P = 218.\]
\[P = 60.\]
\[P = 230.\]
\[P = 74.\]
Đáp án đúng là: A
Ta có: \[\int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {2\sin x + 3\cos x + x} \right)dx} \]
\[ = \left. {\left( { - 2\cos x + 3\sin x + \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}\]
\[ = 3 + \frac{{{\pi ^2}}}{8} + 1 - \frac{{3\sqrt 3 }}{2} - \frac{{{\pi ^2}}}{{18}} = \frac{{8 - 3\sqrt 3 }}{2} - \frac{{5{\pi ^2}}}{{72}}\].
Do đó, \[a = 8,b = - 3,c = 72.\]
Vậy \[P = a + 2b + 3c = 8 + 2.\left( { - 3} \right) + 3.72 = 218.\]
Cho hàm số \[f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 1,{\rm{ }}x \ge 2\\{x^2} - 2x + 3,{\rm{ }}x < 2\end{array} \right.\]. Tính tích phân \[I = \frac{1}{2}\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} \] bằng bao nhiêu?
</>
\[\frac{{23}}{6}.\]
\[\frac{{10}}{3}.\]
\[\frac{{20}}{3}.\]
\[\frac{{23}}{3}.\]
Đáp án đúng là: A
Ta có: \[I = \frac{1}{2}\left[ {\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_2^3 {f\left( x \right)dx} } \right]\]
\[ = \frac{1}{2}\left[ {\int\limits_1^2 {\left( {{x^2} - 2x + 3} \right)dx} + \int\limits_2^3 {\left( {{x^2} - 1} \right)dx} } \right]\]
\[ = \frac{1}{2}\left[ {\left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - {x^2} + 3x} \right)} \right|_1^2 + \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - x} \right)} \right|_2^3} \right] = \frac{{23}}{6}.\]
Một chất điểm đang chuyển động với vận tốc \[{v_0} = 15\] m/s thì tăng tốc với gia tốc \[a\left( t \right) = {t^2} + 4t\] (m/s2). Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc.
70,5 m.
58,25 m.
67,25 m.
69,75 m.
Đáp án đúng là: D
Ta có: \[a\left( t \right) = {t^2} + 4t\] suy ra \[v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt} = \int {\left( {{t^2} + 4t} \right)} dt = \frac{{{t^3}}}{3} + 2{t^2} + C.\]
Mà \[{v_0} = 15\]m/s nên C = 15.
Do đó, \[v\left( t \right) = \frac{{{t^3}}}{3} + 2{t^2} + 15\].
Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là
\[s\left( t \right) = \int\limits_0^3 {v\left( t \right)dt} = \int\limits_0^3 {\left( {\frac{{{t^3}}}{3} + 2{t^2} + 15} \right)} dt = 69,75\] m.
Cho hàm số \[f\left( x \right)\] nhận giá trị không âm và có đạo hàm liên tục trên \[\mathbb{R}\] thỏa mãn \[f'\left( x \right) = \left( {2x + 1} \right){\left[ {f\left( x \right)} \right]^2},\forall x \in \mathbb{R}\] và \[f\left( 0 \right) = - 1\].
Giá trị của tích phân \[\int\limits_0^1 {\left( {{x^3} - 1} \right)f\left( x \right)dx} \] bằng
\[1.\]
\[\frac{2}{3}.\]
\[\frac{1}{2}.\]
\[\frac{3}{2}.\]
Đáp án đúng là: C
Ta có: \[f'\left( x \right) = \left( {2x + 1} \right){\left[ {f\left( x \right)} \right]^2},\forall x \in \mathbb{R}\] \[ \Rightarrow \frac{{ - f'\left( x \right)}}{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}}} = - \left( {2x + 1} \right),\forall x \in \mathbb{R}\].
\[ \Rightarrow {\left( {\frac{1}{{f\left( x \right)}}} \right)^\prime } = - \left( {2x + 1} \right),\forall x \in \mathbb{R}\]
Vậy \[\frac{1}{{f\left( x \right)}} = - \int {\left( {2x + 1} \right)dx} = - {x^2} - x + C\]
Suy ra \[f\left( x \right) = \frac{1}{{ - {x^2} - x + C}}\].
Mà \[f\left( 0 \right) = - 1 \Leftrightarrow C = - 1.\]
Vậy \[f\left( x \right) = - \frac{1}{{{x^2} + x + 1}}\].
Ta có: \[\int\limits_0^1 {\left( {{x^3} - 1} \right)f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {\left[ { - \frac{{\left( {{x^3} - 1} \right)}}{{{x^2} + x + 1}}} \right]dx} = \int\limits_0^1 {\left( {1 - x} \right)dx} = \frac{1}{2}.\]
