Đáp án đúng: A

Có \(R = d\left( {I,\left( {Oxz} \right)} \right) = 2\).

Mặt cầu (S): \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 4\)\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z + 10 = 0\).

Đáp án đúng: B

Ta có \(IB = 1 < R\) nên điểm B nằm bên trong mặt cầu trên, suy ra điểm B thuộc vùng phủ sóng của thiết bị.

Đáp án đúng: C

Mặt cầu có tâm I(−3; 0; 4) và bán kính R = 4 có phương trình là \({\left( {x + 3} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 16\) .

a) Thay tọa độ điểm M vào phương trình mặt cầu (S) ta được \({2^2} + {2^2} + {0^2} = 8\) (đúng).

Vậy M  (S).

b) Bán kính của mặt cầu (S) là \(R = 2\sqrt 2 \).

c) Tọa độ tâm mặt cầu (S) là I(0; −2; 2).

d) Hình chiếu của tâm mặt cầu lên trục Ox là điểm có tọa độ (0; 0; 0).

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

a) \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y + 4z + 5 = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 4\).

Mặt cầu (S) có tâm I(2; −1; −2) và bán kính R = 2.

b) Có \(\pi {r^2} = 4\pi \Rightarrow r = 2\).

c) Có \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {3; - 1;2} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

Vì (P) vuông góc với đường thẳng d nên mặt phẳng (P) nhận \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {3; - 1;2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến.

d) Có \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \sqrt {{R^2} - {r^2}} = \sqrt {4 - 4} = 0\).

Suy ra (P) là mặt phẳng đi qua tâm của mặt cầu.

Phương trình mặt phẳng (P): \(3\left( {x - 2} \right) - \left( {y + 1} \right) + 2\left( {z + 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 3x - y + 2z - 3 = 0\).

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

a) Tâm của mặt cầu đường kính AB là trung điểm của AB \( \Rightarrow I\left( {0;1;3} \right)\).

b) Có \(R = \frac{{AB}}{2} = \frac{{\sqrt {{{\left( {1 + 1} \right)}^2} + {{\left( {0 - 2} \right)}^2} + {{\left( {3 - 3} \right)}^2}} }}{2} = \sqrt 2 \).

Phương trình mặt cầu đường kính AB: \({x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 2\).

c) Có \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {0 + 1 + 3 + 1} \right|}}{{\sqrt 3 }} = \frac{5}{{\sqrt 3 }} > R\).

Suy ra mặt phẳng (P) không tiếp xúc với mặt cầu.

d) Có \(\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 2;0} \right)\) và \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;1;1} \right)\).

\(\sin \left( {AB,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.1 + \left( { - 2} \right).1 + 0.1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = 0\)\[ \Rightarrow \left( {AB,\left( P \right)} \right) = 0^\circ \].

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.

Gọi (S): \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\).

Vì (S) đi qua A(−3; 0; 1), B(0; −2; −3), C(0; 0; 3), D(−3; 1; 1) nên ta có hệ phương trình

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6a - 2c + d = - 10\\4b + 6c + d = - 13\\ - 6c + d = - 9\\6a - 2b - 2c + d = - 11\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{6}\\b = \frac{1}{2}\\c = - \frac{1}{2}\\d = - 12\end{array} \right.\).

Suy ra tâm mặt cầu (S) là \(I\left( {\frac{1}{6};\frac{1}{2}; - \frac{1}{2}} \right)\).

a) Hình chiếu vuông góc của I lên trục Oy là điểm \(H\left( {0;\frac{1}{2};0} \right)\).

b) Ta có \(OI = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{6}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{1}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {19} }}{6}\).

c) Bán kính \(R = OI = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{6}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{1}{2}} \right)}^2} - \left( { - 12} \right)} = \frac{{\sqrt {451} }}{6}\).

d) Thay tọa độ điểm I vào đường thẳng d ta được \(\frac{{\frac{1}{6} - 1}}{2} = \frac{{\frac{1}{2}}}{1} = \frac{{ - \frac{1}{2} - 2}}{3}\) (vô lí) nên d không đi qua I.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

a) \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y - 2z - 3 = 0\) \( \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9\) .

Mặt cầu (S) có tâm I(−1; 2; 1) và R = 3.

b) Có \(IA = \sqrt {{{\left( {1 + 1} \right)}^2} + {{\left( {3 - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 1} \right)}^2}} = 3 = R\) .

Suy ra mặt cầu (S) đi qua điểm A.

c) Có \(d\left( {I,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| { - 1 - 2.2 + 2.1 - 6} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} }} = 3 = R\) .

Suy ra mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (Q).

d)

Ta có \(IH = d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.\left( { - 1} \right) + 2.2 + 2 - 5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{3}\)

Khi đó \(HA = \sqrt {I{A^2} - I{H^2}} = \sqrt {9 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2}} = \frac{{4\sqrt 5 }}{3}\) .

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

Theo đề ta có I(0; 0; 10) và R = 2.

Phương trình mặt cầu bề mặt của quả bóng có phương trình là \({x^2} + {y^2} + {\left( {z - 10} \right)^2} = 4\)\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 20z + 96 = 0\).

Suy ra \(a = 0;b = 0;c = - 10;d = 96\).

Do đó \(a + b + c + d = 86\).

Trả lời: 86.

Giả sử \(I\left( {a;b;c} \right)\) là tâm của mặt cầu.

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}IM = IN\\IM = IP\\I \in \left( \alpha \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}I{M^2} = I{N^2}\\I{M^2} = I{P^2}\\I \in \left( \alpha \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {2 - a} \right)^2} + {\left( {3 - b} \right)^2} + {\left( {3 - c} \right)^2} = {\left( {2 - a} \right)^2} + {\left( { - 1 - b} \right)^2} + {\left( { - 1 - c} \right)^2}\\{\left( {2 - a} \right)^2} + {\left( {3 - b} \right)^2} + {\left( {3 - c} \right)^2} = {\left( { - 2 - a} \right)^2} + {\left( { - 1 - b} \right)^2} + {\left( {3 - c} \right)^2}\\2a + 3b - c + 2 = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b + c = 2\\a + b = 1\\2a + 3b - c + 2 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - 1\\c = 3\end{array} \right.\) \( \Rightarrow I\left( {2; - 1;3} \right)\).

\(R = IM = \sqrt {{0^2} + {4^2} + {0^2}} = 4\).

Trả lời: 4.

Có \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow i } \right] = \left( {0; - 3; - 4} \right)\).

Mặt phẳng (P) đi qua điểm O và nhận \(\overrightarrow n = \left( {0; - 3; - 4} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(3y + 4z = 0\).

Có \(R = d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {3.2 + 4.1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 2\).

Trả lời: 2.

Mặt cầu (S) có tâm I(20; 30; 10), R = 20.

Ta có \(IJ = d\left( {I,\left( P \right)} \right) = 10\).

Ta có tam giác IJM vuông tại J.

Có \(JM = \sqrt {I{M^2} - I{J^2}} = \sqrt {{{20}^2} - {{10}^2}} = 10\sqrt 3 \approx 17,3\) m.

Trả lời: 17,3.

Mặt cầu \({x^2} + {y^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 1\) có tâm \(I\left( {0;0;2} \right),R = 1\).

Ta có \(d\left( {I,\left( {Oxy} \right)} \right) = 2\).

Do đó chú chim cách mặt đất: 2 + 1 = 3 mét.

Trả lời: 3.