20 câu trắc nghiệm Toán 12 Cánh diều Bài 3. Phương trình mặt cầu (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án
20 câu hỏi
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + \left( {z - 1} \right) = 9\). Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của (S).
I (−1; 2; 1) và R = 3.
I(1; −2; −1) và R = 3.
I(−1; 2; 1) và R = 9.
I(1; −2; −1) và R = 9.
Đáp án đúng: A
Mặt cầu (S) có tâm I (−1; 2; 1) và R = 3.
Trong không gian Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu có tâm nằm trên trục Oz?
\(\left( {{S_1}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y - 2 = 0\).
\(\left( {{S_2}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 6z - 2 = 0\).
\(\left( {{S_3}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 6z + 9 = 0\).
\(\left( {{S_4}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y + 6z - 2 = 0\).
Đáp án đúng: B
\(\left( {{S_2}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 6z - 2 = 0\)\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 11\).
Mặt cầu có tâm \(I\left( {0;0; - 3} \right) \in Oz\).
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 25\). Điểm nào sau đây nằm bên trong mặt cầu (S)?
\(M\left( {3; - 2; - 4} \right)\).
\(N\left( {0; - 2; - 2} \right)\).
\(P\left( {3;5;2} \right)\).
\(Q\left( {1;3;0} \right)\).
Đáp án đúng: D
Mặt cầu (S) có tâm I(0; 1; 2) và R = 5.
Có \(IM = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 2 - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 4 - 2} \right)}^2}} = 3\sqrt 6 > R\).
Có \(IN = \sqrt {{0^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} = 5 = R\).
Có \(IP = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5 = R\).
Có \(IQ = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = 3 < R\).
Suy ra Q là điểm nằm bên trong mặt cầu (S).
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y + 6z - 2 = 0\). Tính tọa độ tâm I và bán kính R của (S).
\(I\left( { - 1;2; - 3} \right),R = 4\).
\(I\left( {1; - 2;3} \right),R = 4\).
\(I\left( { - 1;2; - 3} \right),R = 2\sqrt 3 \).
\(I\left( {1; - 2;3} \right),R = 2\sqrt 3 \).
Đáp án đúng: A
\(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y + 6z - 2 = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 16\).
Mặt cầu (S) có \(I\left( { - 1;2; - 3} \right),R = 4\).
Trong không gian Oxyz, mặt cầu tâm I(6; 3; −4) tiếp xúc với Ox có bán kính R bằng
\(R = 6\).
\(R = 5\).
\(R = 4\).
\(R = 3\).
Đáp án đúng: A
\(R = d\left( {I,Ox} \right) = 6\).
Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; −3) và đi qua A(1; 0; 4).
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = \sqrt {53} \).
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 53\).
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 53\).
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 53\).
Đáp án đúng: B
\(R = IA = \sqrt {{{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {0 - 2} \right)}^2} + {{\left( {4 + 3} \right)}^2}} = \sqrt {53} \).
Phương trình mặt cầu (S) là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 53\).
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(3; −2; 5), N(−1; 6; −3). Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu có đường kính MN?
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 36\).
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 6\).
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 6\).
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 36\).
Đáp án Ta có I(1; 2; 1) là trung điểm của đoạn MN.
Có \(MN = \sqrt {{{\left( { - 1 - 3} \right)}^2} + {{\left( {6 + 2} \right)}^2} + {{\left( { - 3 - 5} \right)}^2}} = 12\).
Phương trình mặt cầu đường kính MN nhận I là tâm và \(R = \frac{{MN}}{2} = 6\) có phương trình \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 36\).
đúng: D
Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu có tâm I(1; 2; 3) và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz) là
\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z + 10 = 0\).
\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z - 10 = 0\).
\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 4y + 6z + 10 = 0\).
\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 4y + 6z - 10 = 0\).
Đáp án đúng: A
Có \(R = d\left( {I,\left( {Oxz} \right)} \right) = 2\).
Mặt cầu (S): \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 4\)\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z + 10 = 0\).
Trong không gian (Oxyz), một thiết bị phát sóng đặt tại vị trí I(1; 0; −1). Vùng phủ sóng của thiết bị có ranh giới là một mặt cầu bán kính bằng \(\sqrt 2 \). Điểm nào sau đây thuộc vùng phủ sóng của thiết bị?
\(A\left( {1;0;1} \right)\).
\(B\left( {1;1; - 1} \right)\).
\(\left( { - 2;0;1} \right)\).
\(\left( {1; - 2; - 1} \right)\).
Đáp án đúng: B
Ta có \(IB = 1 < R\) nên điểm B nằm bên trong mặt cầu trên, suy ra điểm B thuộc vùng phủ sóng của thiết bị.
Trong không gian Oxyz, mặt cầu có tâm I(−3; 0; 4) và bán kính R = 4 có phương trình là
\({\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = 4\).
\({\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = 16\).
\({\left( {x + 3} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 16\).
\({\left( {x + 3} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 4\).
Đáp án đúng: C
Mặt cầu có tâm I(−3; 0; 4) và bán kính R = 4 có phương trình là \({\left( {x + 3} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 16\) .
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2; 0; 2) và mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 8\). Khi đó:
(a) Điểm M(2; 0; 2) thuộc mặt cầu (S).
(b) Bán kính mặt cầu (S) là \(R = 2\sqrt 2 \).
( c) Tọa độ tâm mặt cầu (S) là I(0; −2; 2).
(d) Hình chiếu của tâm mặt cầu lên trục Ox là điểm có tọa độ (0; 0; 2).
a) Thay tọa độ điểm M vào phương trình mặt cầu (S) ta được \({2^2} + {2^2} + {0^2} = 8\) (đúng).
Vậy M (S).
b) Bán kính của mặt cầu (S) là \(R = 2\sqrt 2 \).
c) Tọa độ tâm mặt cầu (S) là I(0; −2; 2).
d) Hình chiếu của tâm mặt cầu lên trục Ox là điểm có tọa độ (0; 0; 0).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y + 4z + 5 = 0\). Mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng \(d:\frac{{x - 5}}{3} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z + 2}}{2}\), đồng thời cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn có diện tích bằng 4π. Khi đó:
( a) Mặt cầu (S) có tâm I(2; −1; −2) và bán kính R = 2.
(b) Đường tròn giao tuyến có bán kính r = 2.
(c) Mặt cầu (P) nhận \(\overrightarrow n = \left( {3;1;2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.
(d) Phương trình mặt cầu (P): \(3x - y + 2z - 3 = 0\).
a) \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y + 4z + 5 = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 4\).
Mặt cầu (S) có tâm I(2; −1; −2) và bán kính R = 2.
b) Có \(\pi {r^2} = 4\pi \Rightarrow r = 2\).
c) Có \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {3; - 1;2} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d.
Vì (P) vuông góc với đường thẳng d nên mặt phẳng (P) nhận \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {3; - 1;2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến.
d) Có \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \sqrt {{R^2} - {r^2}} = \sqrt {4 - 4} = 0\).
Suy ra (P) là mặt phẳng đi qua tâm của mặt cầu.
Phương trình mặt phẳng (P): \(3\left( {x - 2} \right) - \left( {y + 1} \right) + 2\left( {z + 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 3x - y + 2z - 3 = 0\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(−1; 2; 3), B(1; 0; 3) và mặt phẳng (P): \(x + y + z + 1 = 0\).
(a) Tâm của mặt cầu đường kính AB là điểm có tọa độ I(0; 1; 3).
(b) Phương trình mặt cầu đường kính AB là \({x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 2\).
(c) Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu đường kính AB.
(d) Góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (P) là 30° (làm tròn đến hàng đơn vị của độ).
a) Tâm của mặt cầu đường kính AB là trung điểm của AB \( \Rightarrow I\left( {0;1;3} \right)\).
b) Có \(R = \frac{{AB}}{2} = \frac{{\sqrt {{{\left( {1 + 1} \right)}^2} + {{\left( {0 - 2} \right)}^2} + {{\left( {3 - 3} \right)}^2}} }}{2} = \sqrt 2 \).
Phương trình mặt cầu đường kính AB: \({x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 2\).
c) Có \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {0 + 1 + 3 + 1} \right|}}{{\sqrt 3 }} = \frac{5}{{\sqrt 3 }} > R\).
Suy ra mặt phẳng (P) không tiếp xúc với mặt cầu.
d) Có \(\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 2;0} \right)\) và \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;1;1} \right)\).
\(\sin \left( {AB,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.1 + \left( { - 2} \right).1 + 0.1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = 0\)\[ \Rightarrow \left( {AB,\left( P \right)} \right) = 0^\circ \].
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(−3; 0; 1), B(0; −2; −3), C(0; 0; 3), D(−3; 1; 1). Gọi (S) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
(a) Hình chiếu vuông góc của tâm mặt cầu (S) lên trục Oy là điểm \(H\left( {0;\frac{1}{2};0} \right)\).
(b) Khoảng cách từ gốc tọa độ đến tâm của mặt cầu (S) bằng \(\frac{1}{2}\).
(c) Mặt cầu (S) có bán kính bằng \(\frac{{\sqrt {451} }}{6}\).
(d) Đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 2}}{3}\) đi qua tâm của mặt cầu (S).
Gọi (S): \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\).
Vì (S) đi qua A(−3; 0; 1), B(0; −2; −3), C(0; 0; 3), D(−3; 1; 1) nên ta có hệ phương trình
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6a - 2c + d = - 10\\4b + 6c + d = - 13\\ - 6c + d = - 9\\6a - 2b - 2c + d = - 11\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{6}\\b = \frac{1}{2}\\c = - \frac{1}{2}\\d = - 12\end{array} \right.\).
Suy ra tâm mặt cầu (S) là \(I\left( {\frac{1}{6};\frac{1}{2}; - \frac{1}{2}} \right)\).
a) Hình chiếu vuông góc của I lên trục Oy là điểm \(H\left( {0;\frac{1}{2};0} \right)\).
b) Ta có \(OI = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{6}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{1}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {19} }}{6}\).
c) Bán kính \(R = OI = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{6}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{1}{2}} \right)}^2} - \left( { - 12} \right)} = \frac{{\sqrt {451} }}{6}\).
d) Thay tọa độ điểm I vào đường thẳng d ta được \(\frac{{\frac{1}{6} - 1}}{2} = \frac{{\frac{1}{2}}}{1} = \frac{{ - \frac{1}{2} - 2}}{3}\) (vô lí) nên d không đi qua I.
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y - 2z - 3 = 0\).
(a) Tọa độ tâm I và bán kính R của (S) lần lượt là \(I\left( {1; - 2; - 1} \right)\) và R = 3.
(b) Mặt cầu (S) đi qua điểm A(1; 3; −1).
(c) Mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (Q): x – 2y + 2z – 6 = 0.
(d) Giao tuyến của mặt phẳng (P): 2x + 2y + z − 5 = 0 và mặt cầu (S) là một đường tròn có bán kính \(\frac{{\sqrt {17} }}{3}\).
a) \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y - 2z - 3 = 0\) \( \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9\) .
Mặt cầu (S) có tâm I(−1; 2; 1) và R = 3.
b) Có \(IA = \sqrt {{{\left( {1 + 1} \right)}^2} + {{\left( {3 - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 1} \right)}^2}} = 3 = R\) .
Suy ra mặt cầu (S) đi qua điểm A.
c) Có \(d\left( {I,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| { - 1 - 2.2 + 2.1 - 6} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} }} = 3 = R\) .
Suy ra mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (Q).
d)
Ta có \(IH = d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.\left( { - 1} \right) + 2.2 + 2 - 5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{3}\)
Khi đó \(HA = \sqrt {I{A^2} - I{H^2}} = \sqrt {9 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2}} = \frac{{4\sqrt 5 }}{3}\) .
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Một quả bóng hình cầu có bán kính 2 m được treo lơ lửng trên một mặt phẳng. Tâm quả bóng cách mặt đất 10 m. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc tọa độ O là hình chiếu của tâm quả cầu trên mặt đất, tia Oz chứa tâm quả cầu, các trục Ox, Oy thuộc mặt đất. Khi đó, phương trình mặt cầu bề mặt của quả bóng là \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\). Tính giá trị của \(a + b + c + d\).
Theo đề ta có I(0; 0; 10) và R = 2.
Phương trình mặt cầu bề mặt của quả bóng có phương trình là \({x^2} + {y^2} + {\left( {z - 10} \right)^2} = 4\)\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 20z + 96 = 0\).
Suy ra \(a = 0;b = 0;c = - 10;d = 96\).
Do đó \(a + b + c + d = 86\).
Trả lời: 86.
Cho 3 điểm M(2; 3; 3), N(2; −1; −1), P(−2; −1; 3) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right):2x + 3y - z + 2 = 0\). Phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm M, N, P và có tâm thuộc mặt phẳng (α) có bán kính bằng bao nhiêu?
Giả sử \(I\left( {a;b;c} \right)\) là tâm của mặt cầu.
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}IM = IN\\IM = IP\\I \in \left( \alpha \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}I{M^2} = I{N^2}\\I{M^2} = I{P^2}\\I \in \left( \alpha \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {2 - a} \right)^2} + {\left( {3 - b} \right)^2} + {\left( {3 - c} \right)^2} = {\left( {2 - a} \right)^2} + {\left( { - 1 - b} \right)^2} + {\left( { - 1 - c} \right)^2}\\{\left( {2 - a} \right)^2} + {\left( {3 - b} \right)^2} + {\left( {3 - c} \right)^2} = {\left( { - 2 - a} \right)^2} + {\left( { - 1 - b} \right)^2} + {\left( {3 - c} \right)^2}\\2a + 3b - c + 2 = 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b + c = 2\\a + b = 1\\2a + 3b - c + 2 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - 1\\c = 3\end{array} \right.\) \( \Rightarrow I\left( {2; - 1;3} \right)\).
\(R = IM = \sqrt {{0^2} + {4^2} + {0^2}} = 4\).
Trả lời: 4.
Trong không gian Oxyz, gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm A(1; 4; −3) và chứa trục Ox. Tính bán kính mặt cầu (S) có tâm I(1; 2;1) và tiếp xúc với mặt phẳng (P).
Có \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow i } \right] = \left( {0; - 3; - 4} \right)\).
Mặt phẳng (P) đi qua điểm O và nhận \(\overrightarrow n = \left( {0; - 3; - 4} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(3y + 4z = 0\).
Có \(R = d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {3.2 + 4.1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 2\).
Trả lời: 2.
Một khu vực đã được thiết lập một hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên các trục là mét). Một flycam đang ở vị trí I phát sóng wifi bao phủ một vùng không gian bên trong mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 20} \right)^2} + {\left( {y - 30} \right)^2} + {\left( {z - 10} \right)^2} = 400\). Một người đang sử dụng máy tính tại điểm M nằm trên điểm giao của mặt cầu (S) và mặt đất (P): z = 0. Biết IJ của đoạn vuông góc từ I đến (P). Tính độ dài đoạn JM (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của mét).
Mặt cầu (S) có tâm I(20; 30; 10), R = 20.
Ta có \(IJ = d\left( {I,\left( P \right)} \right) = 10\).
Ta có tam giác IJM vuông tại J.
Có \(JM = \sqrt {I{M^2} - I{J^2}} = \sqrt {{{20}^2} - {{10}^2}} = 10\sqrt 3 \approx 17,3\) m.
Trả lời: 17,3.
Một quả bóng bay hình cầu có phương trình \({x^2} + {y^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 1\) trong hệ trục tọa độ Oxyz (với mặt phẳng (Oxy) là mặt đất, đơn vị trên trục là mét). Giả sử một chú chim bay lên cao và đậu lên đỉnh của quả bóng bay (xem hình vẽ minh họa). Hỏi chú chim cách mặt đất bao nhiêu mét?
Mặt cầu \({x^2} + {y^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 1\) có tâm \(I\left( {0;0;2} \right),R = 1\).
Ta có \(d\left( {I,\left( {Oxy} \right)} \right) = 2\).
Do đó chú chim cách mặt đất: 2 + 1 = 3 mét.
Trả lời: 3.
