20 câu Trắc nghiệm Toán 11 Cánh diều Bài tập cuối chương VII (Đúng-sai, trả lời ngắn) có đáp án
20 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN
Chọn mệnh đề đúng
\({\left( {{x^\alpha }} \right)^\prime } = \alpha {x^{\alpha - 1}}\) (x > 0, α Î ℝ).
\({\left( {{a^x}} \right)^\prime } = {a^x}\) (a > 0; a ≠ 1).
C' = 1 với C là hằng số.
(cosx)' = sinx.
A
\({\left( {{a^x}} \right)^\prime } = {a^x}.\ln a\); C' = 0; (cosx)' = −sinx.
Tính đạo hàm của hàm số y = cosx – lnx.
\(y' = \cos x + \frac{1}{x}\).
y' = −sinx + x.
\(y' = \sin x - \frac{1}{x}\).
\(y' = - \sin x - \frac{1}{x}\).
D
\(y' = - \sin x - \frac{1}{x}\).
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x - 3}}{{x - 1}}\) tại điểm có hoành độ x0 = 2 có hệ số góc bằng
\(\frac{1}{9}\).
−1.
1.
−5.
C
Có \(y' = \frac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\).
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x - 3}}{{x - 1}}\) tại điểm có hoành độ x0 = 2 có hệ số góc bằng \(y'\left( 2 \right) = \frac{1}{{{{\left( {2 - 1} \right)}^2}}} = 1\).
Đạo hàm của hàm số \(y = \sqrt {1 - 2{x^2}} \) là kết quả nào sau đây?
\(\frac{{2x}}{{\sqrt {1 - 2{x^2}} }}\).
\(\frac{{ - 4x}}{{\sqrt {1 - 2{x^2}} }}\).
\(\frac{{ - 2x}}{{\sqrt {1 - 2{x^2}} }}\).
\(\frac{1}{{2\sqrt {1 - 2{x^2}} }}\).
C
\(y' = \frac{{{{\left( {1 - 2{x^2}} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {1 - 2{x^2}} }} = \frac{{ - 4x}}{{2\sqrt {1 - 2{x^2}} }} = \frac{{ - 2x}}{{\sqrt {1 - 2{x^2}} }}\).
Tìm đạo hàm của hàm số y = ln(3x – 2).
\(y' = \frac{{3\ln 3}}{{\left( {3x - 2} \right)}}\).
\(y' = \frac{1}{{\left( {3x - 2} \right)\ln 2}}\).
\(y' = \frac{1}{{3x - 2}}\).
\(y' = \frac{3}{{3x - 2}}\).
D
Ta có \(y' = \frac{{{{\left( {3x - 2} \right)}^\prime }}}{{3x - 2}} = \frac{3}{{3x - 2}}\).
Tìm đạo hàm của hàm số y = (x + 1)ex.
y' = (x + 3)ex.
y' = (x + 1)ex.
y' = (x + 2)ex.
y' = (x – 1)ex.
C
Ta có y' = ex + (x+1)ex = (x + 2)ex.
Cho hàm số y = 2x với x Î ℝ. Đạo hàm y" của hàm số là
y" = 2xln2.
y" = 2xln4.
y" = 2x.
y" = 2xln22.
D
Ta có y' = 2xln2; y" = 2xln22.
Một chất điểm có phương trình chuyển động là \(s\left( t \right) = \sin \frac{\pi }{{3t + 1}} + 2{t^2}\)(m). Vận tốc chuyển động của chất điểm tại thời điểm t = 1 giây gần bằng
3,48 m/s.
3,58 m/s.
4,36 m/s.
4,28 m/s.
B
Có v(t) = s'(t) = \({\left( {\frac{\pi }{{3t + 1}}} \right)^\prime }\cos \frac{\pi }{{3t + 1}} + 4t\)\( = \frac{{ - 3\pi }}{{{{\left( {3t + 1} \right)}^2}}}\cos \frac{\pi }{{3t + 1}} + 4t\).
Suy ra \(v\left( 1 \right) = \frac{{ - 3\pi }}{{{{\left( {3.1 + 1} \right)}^2}}}\cos \frac{\pi }{{3.1 + 1}} + 4.1 \approx 3,58\) m/s.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{\ln \left( {{x^2} + 1} \right)}}{x}\). Biết rằng f'(1) = aln2 + b với a, b Î ℤ. Tính a2023 – 2b2024.
−3.
−1.
−2.
1.
A
\(f'\left( x \right) = \frac{{\frac{{2x}}{{{x^2} + 1}}.x - \ln \left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{x^2}}}\)\( = \frac{{2{x^2} - \left( {{x^2} + 1} \right)\ln \left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{x^2}\left( {{x^2} + 1} \right)}}\).
Khi đó \(f'\left( 1 \right) = \frac{{{{2.1}^2} - \left( {{1^2} + 1} \right)\ln \left( {{1^2} + 1} \right)}}{{{1^2}\left( {{1^2} + 1} \right)}} = 1 - \ln 2\).
Suy ra a = −1; b = 1. Do đó a2023 – 2b2024 = (−1)2023 – 2.12024 = −3.
Cho hàm số y = f(x) = x2 – x + 1 có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M(2; 3) là
y = 5x – 15.
y = 3x – 9.
y = 5x – 5.
y = 3x – 3.
D
Có y' = 2x – 1.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M(2; 3) có hệ số góc là y'(2) = 3.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M(2; 3) là y = 3(x – 2) + 3 = 3x – 3.
PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI
Cho hàm số y = (−2x – 3)(x2 + 3x – 1). Khi đó
a) y'(2) > y'(3).
b) y'(2) = −67.
c) Đồ thị của hàm số y' đi qua điểm A(3; 7).
d) Tích các nghiệm của phương trình y' = 0 bằng \(\frac{7}{6}\).
a) Có y' = −2(x2 + 3x – 1) + (−2x – 3)(2x + 3) = −6x2 – 18x – 7.
y'(2) = −67; y'(3) = −115. Suy ra y'(2) > y'(3).
b) y'(2) = −67.
c) Thay x = 3 vào y' ta được y' = −115.
Do đó đồ thị của hàm số y' đi qua điểm (3; −115).
d) Có y' = 0 Û−6x2 – 18x – 7 = 0 có D' = 39 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Theo định lí viet tích hai nghiệm của phương trình là \(\frac{7}{6}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{x}{{x + 1}}\) có đồ thị là (C). Khi đó:
a) f'(1) = 5.
b) f"(−2) = 2.
c) Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 1 có hệ số góc bằng \(\frac{1}{4}\).
d) Với g(x) = lnf(x) thì g'(1) + g'(2) + … + g'(100) ≈ 0,99.
a) Có \(f'\left( x \right) = \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\). Khi đó \(f'\left( 1 \right) = \frac{1}{{{{\left( {1 + 1} \right)}^2}}} = \frac{1}{4}\).
b) \(f''\left( x \right) = - \frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}\). Khi đó \(f''\left( { - 2} \right) = - \frac{2}{{{{\left( { - 2 + 1} \right)}^3}}} = 2\).
c) Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 1 có hệ số góc bằng \(f'\left( 1 \right) = \frac{1}{4}\).
d) Có \(g\left( x \right) = \ln \frac{x}{{x + 1}}\). Khi đó \(g'\left( x \right) = \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}\).
Do đó \(g'\left( 1 \right) = \frac{1}{1} - \frac{1}{{1 + 1}} = 1 - \frac{1}{2}\); \(g'\left( 2 \right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{{2 + 1}} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}\); …; \(g'\left( {100} \right) = \frac{1}{{100}} - \frac{1}{{101}}\).
Suy ra g'(1) + g'(2) + … + g'(100) \( = 1 - \frac{1}{{101}} \approx 0,99\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.
Cho hàm số \(y = 2\sin 2x - \cos \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right)\). Khi đó
a) \(y'\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = 2\).
b) \(y'' = - 8\sin 2x + \cos \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right)\).
c) y"(0) = 1.
d) \(y'\left( {\frac{\pi }{3}} \right) - 2y''\left( 0 \right) = - 2\).
a) Ta có \(y' = 4\cos 2x + \sin \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right)\). Khi đó \(y'\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = 4\cos \frac{{2\pi }}{3} + \sin \left( {\frac{\pi }{3} - \frac{\pi }{3}} \right) = - 2\).
b) \(y'' = - 8\sin 2x + \cos \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right)\).
c) \(y''\left( 0 \right) = - 8\sin 0 + \cos \left( {0 - \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2}\).
d) \(y'\left( {\frac{\pi }{3}} \right) - 2y''\left( 0 \right) = - 2 - 2.\frac{1}{2} = - 3\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
Một vật chuyển động trên đường thẳng được xác định bởi công thức s(t) = t3 – 3t2 + 7t – 2, trong đó t > 0 và tính bằng giây và s là quãng đường chuyển động được của vật trong t giây tính bằng mét. Khi đó:
a) Tốc độ của vật tại thời điểm t = 2 là 7 m/s.
b) Gia tốc của vật tại thời điểm t = 2 là 6 m/s2.
c) Gia tốc của vật tại thời điểm mà vận tốc của chuyển động bằng 16 m/s là 10 m/s2.
d) Thời điểm t = 1 giây tại đó vận tốc của chuyển động đạt giá trị nhỏ nhất.
Ta có v(t) = s'(t) = 3t2 – 6t + 7; a(t) = v'(t)= 6t – 6.
a) v(2) = 3.22 – 6.2 + 7 = 7 m/s.
b) a(2) = 6.2 – 6 = 6 m/s2.
c) Có v(t) = 16 Û 3t2 – 6t + 7 = 16 Û t = 3 (vì t > 0).
Khi đó a(3) = 6.3 – 6 = 12 m/s2.
d) Có v(t) = 3t2 – 6t + 7 = 3(t – 1)2 + 4 ³ 4.
Dấu “=” xảy ra khi t = 1.
Vậy vận tốc của chuyển động đạt giá trị nhỏ nhất khi t = 1 giây.
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Cho hàm số y = f(x) = x3 + 3x2 – 9x + 7 có đồ thị (C).
a) f'(x) = 3x2 + 6x – 9.
b) Phương trình f'(x) = 0 có hai nghiệm x = 1 và x = 3.
c) Tiếp tuyến của (C) tại điểm x0 = 2 có phương trình là y = 15x – 21.
d) f"(x) = 0 Û x = −1.
a) f'(x) = 3x2 + 6x – 9.
b) f'(x) = 0 Û 3x2 + 6x – 9 = 0 Û x = −3 hoặc x = 1.
c) Hệ số góc của tiếp tuyến (C) tại điểm x0 = 2 là k = y'(2) = 3.22 + 6.2 – 9 = 15.
Với x0 = 2 Þ y0 = 9.
Phương trình tiếp tuyến có dạng y = 15(x – 2) + 9 = 15x − 21.
d) Có f"(x) = 6x + 6.
Có f"(x) = 0 Û 6x + 6 = 0 Û x = −1.
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
PHẦN II. TRẢ LỜI NGẮN
Một chất điểm chuyển động có quãng đường được cho bởi phương trình \(s\left( t \right) = \frac{1}{6}{t^4} - \frac{4}{3}{t^3} + 5{t^2} - 7\), trong đó t > 0 với t tính bằng giây (s), s tính bằng mét (m). Vận tốc chuyển động của chất điểm tại thời điểm chất điểm có gia tốc chuyển động nhỏ nhất là \(\frac{a}{b}\) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản và a, b Î ℤ. Tính a – 2b.
Ta có \(v\left( t \right) = s'\left( t \right) = \frac{2}{3}{t^3} - 4{t^2} + 10t\);
a(t) = v'(t) = 2t2 – 8t + 10 = 2(t – 2)2 + 2 ≥ 2.
Do đó thời điểm chất điểm có gia tốc chuyển động nhỏ nhất là t = 2 giây.
Khi đó \(v\left( 2 \right) = \frac{2}{3}{.2^3} - {4.2^2} + 10.2 = \frac{{28}}{3}\).
Suy ra a = 28; b = 3. Vậy T = a – 2b = 28 – 2.3 = 22.
Trả lời: 22.
Cho hàm số \(y = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 3} }}\). Biết \(y' = \frac{a}{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + 3} } \right)}^b}}}\)(a, b Î ℕ). Tính a + b.
Ta có \(y' = \frac{{\sqrt {{x^2} + 3} - x.\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 3} }}}}{{\left( {{x^2} + 3} \right)}} = \frac{3}{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + 3} } \right)}^3}}}\).
Suy ra a = 3; b = 3. Do đó a + b = 6.
Trả lời: 6.
Gọi M(x0; y0) là điểm trên đồ thị hàm số y = x3 – 3x2 – 1 mà tiếp tuyến tại đó có hệ số góc bé nhất trong các tiếp tuyến của đồ thị hàm số. Tính \(x_0^2 + y_0^2\).
Ta có y' = 3x2 – 6x.
Suy ra hệ số góc \(k = 3x_0^2 - 6{x_0} = 3{\left( {{x_0} - 1} \right)^2} - 3 \ge - 3\).
Do đó kmin = −3 khi x0 = 1.
Suy ra y0 = −3.
Vậy \(x_0^2 + y_0^2 = 1 + {\left( { - 3} \right)^2} = 10\).
Trả lời: 10.
Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang trên mặt phẳng không ma sát, có phương trình chuyển động \(x = 4\cos \left( {\pi t - \frac{{2\pi }}{3}} \right) + 4\) (cm), trong đó t là thời gian tính bằng giây. Tìm thời điểm mà vận tốc tức thời của con lắc bằng 0 (cm/s) là \(t = \frac{a}{b} + k\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) (s), trong đó a, b là các số nguyên và phân số \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính tổng a + b.
Ta có v(t) = x'(t) = \( - 4\pi \sin \left( {\pi t - \frac{{2\pi }}{3}} \right)\).
v(t) = 0 \( \Leftrightarrow - 4\pi \sin \left( {\pi t - \frac{{2\pi }}{3}} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \pi t - \frac{{2\pi }}{3} = k\pi \)\( \Leftrightarrow t = \frac{2}{3} + k\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Suy ra a = 2; b = 3. Do đó a + b = 5.
Trả lời: 5.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = - \sin \left( {2x + \frac{\pi }{{12}}} \right)\). Tính \(f''\left( {\frac{\pi }{{24}}} \right)\).
Ta có \(f'\left( x \right) = - 2\cos \left( {2x + \frac{\pi }{{12}}} \right)\); \(f''\left( x \right) = 4\sin \left( {2x + \frac{\pi }{{12}}} \right)\).
Do đó \(f''\left( {\frac{\pi }{{24}}} \right) = 4\sin \left( {2.\frac{\pi }{{24}} + \frac{\pi }{{12}}} \right) = 2\).
Trả lời: 2.
