Có v(t) = s'(t) = \({\left( {\frac{\pi }{{3t + 1}}} \right)^\prime }\cos \frac{\pi }{{3t + 1}} + 4t\)\( = \frac{{ - 3\pi }}{{{{\left( {3t + 1} \right)}^2}}}\cos \frac{\pi }{{3t + 1}} + 4t\).

Suy ra \(v\left( 1 \right) = \frac{{ - 3\pi }}{{{{\left( {3.1 + 1} \right)}^2}}}\cos \frac{\pi }{{3.1 + 1}} + 4.1 \approx 3,58\) m/s.

\(f'\left( x \right) = \frac{{\frac{{2x}}{{{x^2} + 1}}.x - \ln \left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{x^2}}}\)\( = \frac{{2{x^2} - \left( {{x^2} + 1} \right)\ln \left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{x^2}\left( {{x^2} + 1} \right)}}\).

Khi đó \(f'\left( 1 \right) = \frac{{{{2.1}^2} - \left( {{1^2} + 1} \right)\ln \left( {{1^2} + 1} \right)}}{{{1^2}\left( {{1^2} + 1} \right)}} = 1 - \ln 2\).

Suy ra a = −1; b = 1. Do đó a²⁰²³ – 2b²⁰²⁴ = (−1)²⁰²³ – 2.1²⁰²⁴ = −3.

Có y' = 2x – 1.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M(2; 3) có hệ số góc là y'(2) = 3.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M(2; 3) là y = 3(x – 2) + 3 = 3x – 3.

a) Có y' = −2(x² + 3x – 1) + (−2x – 3)(2x + 3) = −6x² – 18x – 7.

y'(2) = −67; y'(3) = −115. Suy ra y'(2) > y'(3).

b) y'(2) = −67.

c) Thay x = 3 vào y' ta được y' = −115.

Do đó đồ thị của hàm số y' đi qua điểm (3; −115).

d) Có y' = 0 Û −6x² – 18x – 7 = 0 có D' = 39 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Theo định lí viet tích hai nghiệm của phương trình là \(\frac{7}{6}\).

Đáp án: a) Đúng;   b) Đúng;   c) Sai;   d) Đúng.

a) Có \(f'\left( x \right) = \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\). Khi đó \(f'\left( 1 \right) = \frac{1}{{{{\left( {1 + 1} \right)}^2}}} = \frac{1}{4}\).

b) \(f''\left( x \right) = - \frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}\). Khi đó \(f''\left( { - 2} \right) = - \frac{2}{{{{\left( { - 2 + 1} \right)}^3}}} = 2\).

c) Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 1 có hệ số góc bằng \(f'\left( 1 \right) = \frac{1}{4}\).

d) Có \(g\left( x \right) = \ln \frac{x}{{x + 1}}\). Khi đó \(g'\left( x \right) = \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}\).

Do đó \(g'\left( 1 \right) = \frac{1}{1} - \frac{1}{{1 + 1}} = 1 - \frac{1}{2}\); \(g'\left( 2 \right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{{2 + 1}} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}\); …; \(g'\left( {100} \right) = \frac{1}{{100}} - \frac{1}{{101}}\).

Suy ra g'(1) + g'(2) + … + g'(100) \( = 1 - \frac{1}{{101}} \approx 0,99\).

Đáp án: a) Sai;   b) Đúng;   c) Đúng;   d) Đúng.

a) Ta có \(y' = 4\cos 2x + \sin \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right)\). Khi đó \(y'\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = 4\cos \frac{{2\pi }}{3} + \sin \left( {\frac{\pi }{3} - \frac{\pi }{3}} \right) = - 2\).

b) \(y'' = - 8\sin 2x + \cos \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right)\).

c) \(y''\left( 0 \right) = - 8\sin 0 + \cos \left( {0 - \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2}\).

d) \(y'\left( {\frac{\pi }{3}} \right) - 2y''\left( 0 \right) = - 2 - 2.\frac{1}{2} = - 3\).

Đáp án: a) Sai;   b) Đúng;   c) Sai;   d) Sai.

Ta có v(t) = s'(t) = 3t² – 6t + 7; a(t) = v'(t)= 6t – 6.

a) v(2) = 3.2² – 6.2 + 7 = 7 m/s.

b) a(2) = 6.2 – 6 = 6 m/s².

c) Có v(t) = 16 Û 3t² – 6t + 7 = 16 Û t = 3 (vì t > 0).

Khi đó a(3) = 6.3 – 6 = 12 m/s².

d) Có v(t) = 3t² – 6t + 7 = 3(t – 1)² + 4 ³ 4.

Dấu “=” xảy ra khi t = 1.

Vậy vận tốc của chuyển động đạt giá trị nhỏ nhất khi t = 1 giây.

Đáp án: a) Đúng;   b) Đúng;   c) Sai;   d) Đúng.

a) f'(x) = 3x² + 6x – 9.

b) f'(x) = 0 Û 3x² + 6x – 9 = 0 Û x = −3 hoặc x = 1.

c) Hệ số góc của tiếp tuyến (C) tại điểm x₀ = 2 là k = y'(2) = 3.2² + 6.2 – 9 = 15.

Với x₀ = 2 Þ y₀ = 9.

Phương trình tiếp tuyến có dạng y = 15(x – 2) + 9 = 15x − 21.

d) Có f"(x) = 6x + 6.

Có f"(x) = 0 Û 6x + 6 = 0 Û x = −1.

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai;   c) Đúng;   d) Đúng.

Ta có \(v\left( t \right) = s'\left( t \right) = \frac{2}{3}{t^3} - 4{t^2} + 10t\);

a(t) = v'(t) = 2t² – 8t + 10 = 2(t – 2)² + 2 ≥ 2.

Do đó thời điểm chất điểm có gia tốc chuyển động nhỏ nhất là t = 2 giây.

Khi đó \(v\left( 2 \right) = \frac{2}{3}{.2^3} - {4.2^2} + 10.2 = \frac{{28}}{3}\).

Suy ra a = 28; b = 3. Vậy T = a – 2b = 28 – 2.3 = 22.

Trả lời: 22.

Ta có \(y' = \frac{{\sqrt {{x^2} + 3} - x.\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 3} }}}}{{\left( {{x^2} + 3} \right)}} = \frac{3}{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + 3} } \right)}^3}}}\).

Suy ra a = 3; b = 3. Do đó a + b = 6.

Trả lời: 6.

Ta có y' = 3x² – 6x.

Suy ra hệ số góc \(k = 3x_0^2 - 6{x_0} = 3{\left( {{x_0} - 1} \right)^2} - 3 \ge - 3\).

Do đó k_min = −3 khi x₀ = 1.

Suy ra y₀ = −3.

Vậy \(x_0^2 + y_0^2 = 1 + {\left( { - 3} \right)^2} = 10\).

Trả lời: 10.

Ta có v(t) = x'(t) = \( - 4\pi \sin \left( {\pi t - \frac{{2\pi }}{3}} \right)\).

v(t) = 0 \( \Leftrightarrow - 4\pi \sin \left( {\pi t - \frac{{2\pi }}{3}} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \pi t - \frac{{2\pi }}{3} = k\pi \)\( \Leftrightarrow t = \frac{2}{3} + k\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Suy ra a = 2; b = 3. Do đó a + b = 5.

Trả lời: 5.

Ta có \(f'\left( x \right) = - 2\cos \left( {2x + \frac{\pi }{{12}}} \right)\); \(f''\left( x \right) = 4\sin \left( {2x + \frac{\pi }{{12}}} \right)\).

Do đó \(f''\left( {\frac{\pi }{{24}}} \right) = 4\sin \left( {2.\frac{\pi }{{24}} + \frac{\pi }{{12}}} \right) = 2\).

Trả lời: 2.