Vì SA = SC nên DSAC cân tại S có SO là trung tuyến nên SO ^ AC.

Vì SB = SD nên DSBD cân tại S có SO là trung tuyến nên SO ^ BD.

Từ đó suy ra SO ^ (ABCD).

Lại có ABCD là hình thoi nên BD ^ AC và BD ^ SO nên BD ^ (SAC) Þ BD ^ SC.

Vì SA ^ (ABC) Þ SA ^ BC mà BC ^ AC nên BC ^ (SAC) Þ BC ^ AH.

Lại có AH ^ SC nên AH ^ (SBC) Þ AH ^ SB.

Vì SA ^ (ABCD) nên SA ^ AB; SA ^ BC; SA ^ CD.

Vì BC ^ AB và SA ^ BC nên BC ^ (SAB).

Vì CD ^ AD và SA ^ CD nên CD ^ (SAD) Þ SD ^ DC.

a) Vì SA ^ (ABCD) nên SA ^ BC mà BC ^ AB nên BC ^ (SAB).

b) Vì SA ^ (ABCD) nên AC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng (ABCD).

c) Vì SA ^ (ABCD) nên SA ^ BC .

d) Hình chóp S.ABCD có tất cả 4 mặt bên là (SAB); (SBC); (SAD); (SCD).

Đáp án: a) Đúng;   b) Đúng;   c) Đúng;   d) Đúng.

a) (SAH) Ç (SBH) = SH.

b) H là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) nên HA, HB, HC lần lượt là hình chiếu của SA, SB, SC trên mặt phẳng (ABC).

Mà SA = SB = SC nên HA = HB = HC.

Suy ra H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Mà tam giác ABC vuông tại A nên H là trung điểm của BC.

c) Vì SH ^ (ABC) nên SH ^ AB.

d) Vì E Î AS, F Î AH mà AS, AH Ì (SAH) nên EF Ì (SAH).

Đáp án: a) Đúng;   b) Đúng;   c) Đúng;   d) Sai.

a) d) Vì SA ^ (ABC) nên hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) là điểm A.

Vì SA ^ (ABC) Þ SA ^ AB nên DSAB vuông tại A.

Xét DSAB có \(SA = \sqrt {S{B^2} - A{B^2}} = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2} - {a^2}} = a\sqrt 2 \).

b) Hạ AK ^ BC.

Vì DABC đều nên K là trung điểm của đường thẳng BC.

c) Trong mặt phẳng (SAK), hạ AH ^ SK

Vì SA ^ (ABC) nên SA ^ BC mà AK^ BC nên BC ^ (SAK) Þ BC ^ AH.

Suy ra AH ^ (SBC) mà SK là trung tuyến của DSBC.

Do đó H thuộc đường trung tuyến của DSBC.

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai;   c) Đúng;   d) Sai.

a) SA ^ (ABCD) Þ SA ^ CD Þ (SA, CD) = 90°.

b) Vì SA ^ CD và CD ^ AD nên CD ^ (SAD).

c) BD ^ SA nhưng BD không vuông góc với AC nên BD không vuông góc với (SAC).

d) Vì SA ^ (ABCD) nên SA ^ AC. Suy ra DSAC vuông tại A.

Đáp án: a) Đúng;   b) Đúng;   c) Sai;    d) Đúng.

a) Vì SA ^ (ABCD) nên BD ^ SA mà BD ^ AC suy ra BD ^ (SAC).

b) Do BD ^ (SAC) Þ BD ^ SC.

c) Vì CD ^ AD và CD ^ SA nên CD ^ (SAD) Þ CD ^ SD (1).

Nếu CD ^ (SBC) Þ CD ^ SC (2).

Từ (1) và (2) Þ DSCD có hai góc vuông (vô lí).

d) Đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a.

Ta có \(AO = \frac{{AC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow AO = SA\) Þ DSAO vuông cân tại A. Suy ra AM ^ SO (3).

Vì BD ^ (SAC) Þ BD ^ AM (4).

Từ (3) và (4) suy ra AM ^ (SBD) Þ AM ^ SB.

Đáp án: a) Đúng;   b) Đúng;   c) Sai;    d) Đúng.

Ta có BC ^ AB, BC ^ SA nên BC ^ (SAB).

Vậy hình chiếu của SC trên mặt phẳng (SAB) là SB.

Khi đó (SB, AB) = \(\widehat {SBA}\).

Xét DSAB: \(\tan \widehat {SBA} = \frac{{SA}}{{AB}} = \frac{{2a}}{{a\sqrt 3 }} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\) \( \Rightarrow \widehat {SBA} \approx 49,1^\circ \).

Trả lời: 49,1.

Ta có SA ^ (ABC) Þ SA ^ BC mà BC ^ AB nên BC ^ (SAB) Þ BC ^ SB.

Suy ra (SB, BC) = 90°.

Trả lời: 90.

Gọi H là trung điểm của CC'. Khi đó IH // BC'.

Do đó (AI, BC') = (AI, IH).

Vì AA' ^ (ABC) mà AA' // CC' nên CC' ^ (ABC) Þ CC' ^ BC.

Xét DBCC', có \(BC' = \sqrt {B{C^2} + C{{C'}^2}} = \sqrt {{a^2} + 4{a^2}} = a\sqrt 5 \).

Mà IH là đường trung bình của DBCC' nên \(IH = \frac{{BC'}}{2} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\).

Vì DABC đều cạnh a nên \(AI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Xét DACH vuông tại C có \(AH = \sqrt {A{C^2} + C{H^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \).

Xét DAIH có \(A{I^2} + I{H^2} = \frac{{5{a^2}}}{4} + \frac{{3{a^2}}}{4} = 2{a^2} = A{H^2}\) nên DAIH vuông tại I.

Do đó (AI, IH) = 90°.

Trả lời: 90.

Áp dụng tính chất nửa lục giác đều, ta có BD ^ AB và SA ^ BD (do SA ^ (ABCD)).

Suy ra BD ^ (SAB).

Vậy BD ^ AM.

Kết hợp AM ^ MD, ta được AM ^ (SBD). Suy ra AM ^ SB.

Khi đó \(\frac{{SM}}{{SB}} = \frac{{SM.SB}}{{S{B^2}}} = \frac{{S{A^2}}}{{S{A^2} + A{B^2}}} = \frac{{3{a^2}}}{{4{a^2}}} = \frac{3}{4} \approx 0,75\).

Trả lời: 0,75.

Gọi E là trung điểm của AB Þ AE = EB = AD = DC = 1.

Mà AE // CD nên AECD là hình thoi.

Lại có \(\widehat {ADC} = 90^\circ \) nên AECD là hình vuông.

Suy ra CE ^ AB mà SA ^ CE (do SA ^ (ABCD)) Þ CE ^ (SAB).

Do đó DSBE là hình chiếu vuông góc của tam giác SBC lên mặt phẳng (SAB).

Khi đó \({S_{\Delta SEB}} = \frac{1}{2}.SA.EB = \frac{1}{2}.3.1 = 1,5\).

Trả lời: 1,5.