20 câu trắc nghiệm Toán 10 Cánh diều Bài 2. Hoán vị. Chỉnh hợp (Đúng sai - trả lời ngắn) có đáp án
20 câu hỏi
Xếp 6 người \(A,B,C,D,E,F\) vào một ghế dài. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho \(A\) và \(F\) ngồi ở hai đầu ghế.
\(48\).
\(42\).
\(46\).
\(50\).
Số cách xếp sao cho \(A\) và \(F\) ngồi ở hai đầu ghế là \(2!\) cách.
4 người còn lại có \(4!\) cách.
Vậy có tất cả \(2! \cdot 4! = 48\) cách. Chọn A.
Bạn Minh thực hiện thí nghiệm hóa học. Trên bàn có 4 ống nghiệm chứa 4 loại acid khác nhau và 4 ông nghiệm chứa 4 loại base khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách ghép cặp acid với base để tạo thành 4 phản ứng cùng lúc?
\(16\).
\(24\).
\(8\).
\(4\).
Cố định 4 ống nghiệm chứa acid và hoán vị 4 ống nghiệm chứa base để ghép cặp tạo thành 4 phản ứng có \(4! = 24\) cách. Chọn B.
Số cách xếp 4 bạn học sinh \(A,B,C,D\) vào 4 chiếc ghế ngồi theo hàng ngang (mỗi người ngồi một ghế) là
\(16\).
\(4\).
\(8\).
\(24\).
Số cách xếp 4 bạn học sinh \(A,B,C,D\) vào 4 chiếc ghế ngồi theo hàng ngang (mỗi người ngồi một ghế) là
\(4! = 24\). Chọn D.
Câu lạc bộ bóng đá có 16 thành viên. Số cách chọn một ban chấp hành bất kì gồm một trưởng ban, một phó ban, một thứ kí và một thủ quỹ được chọn từ 16 thành viên là:
\(4\).
\(\frac{{16!}}{4}\).
\(C_{16}^4\).
\(A_{16}^4\).
Có \(A_{16}^4\) một ban chấp hành bất kì gồm một trưởng ban, một phó ban, một thứ kí và một thủ quỹ được chọn từ 16 thành viên. Chọn D.
Cho tập \(A = \left\{ {0;1;2;3;4;5;6;7;8;9} \right\}\). Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được tạo từ tập \(A\)?
\(A_{10}^4\).
\(9 \cdot C_9^4\).
\(9 \cdot A_9^4\).
\(C_{10}^4\).
Có \(9 \cdot A_9^4\) số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được tạo từ tập \(A\). Chọn C.
Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác nhau được lập từ các chữ số \(1;2;3;4;5\)?
\(10\).
\(6\).
\(100\).
\(60\).
Từ các chữ số \(1;2;3;4;5\) ta lập được \(A_5^3 = 60\) số tự nhiên có ba chữ số khác nhau. Chọn D.
Số cách sắp 6 học sinh vào một bàn dài có 10 chỗ ngồi là
\(10\).
\(6 \cdot A_{10}^6\).
\(6!\).
\(A_{10}^6\).
Có \(A_{10}^6\) cách sắp 6 học sinh vào một bàn dài có 10 chỗ ngồi. Chọn D.
Một tổ có 7 bạn nam và 3 bạn nữ. Số các sắp xếp 10 bạn trên thành một hàng dọc sao cho các bạn cùng giới thì đứng cạnh nhau là
\(60680\).
\(60480\).
\(60580\).
\(60488\).
Nhóm 7 bạn nam thành 1 nhóm và 3 bạn nữ thành 1 nhóm. Suy ra có 2 cách xếp 2 nhóm.
Trong nhóm 7 bạn nam có \(7!\) cách xếp, trong nhóm 3 bạn nữ có \(3!\) cách xếp.
Vậy có \(2 \cdot 7! \cdot 3! = 60480\) cách xếp 10 bạn trên thành một hàng dọc sao cho các bạn cùng giới thì đứng cạnh nhau. Chọn B.
Một tổ có 10 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra hai học sinh từ tổ đó để giữ hai chức vụ tổ trưởng và tổ phó.
\(A_{10}^2\).
\(10!\).
\(A_{10}^8\).
\({10^2}\).
Có \(A_{10}^2\) cách chọn ra hai học sinh từ tổ đó để giữ hai chức vụ tổ trưởng và tổ phó. Chọn A.
Từ các chữ số \(1;2;3;4\) có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau.
\(42\).
\({4^4}\).
\(12\).
\(24\).
Có \(4! = 24\) số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau từ các chữ số \(1;2;3;4\). Chọn D.
Có 10 học sinh gồm 2 học sinh lớp 10A, 3 học sinh lớp 10B và 5 học sinh lớp 10C.
Số cách chọn một học sinh trong số học sinh trên là 10.
Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh trên thành một hàng ngang có \(9!\) cách.
Số các chọn 3 học sinh đủ cả 3 lớp là 30.
Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh trên thành một hàng ngang trong đó không có 2 học sinh cùng lớp đứng cạnh nhau có 384 cách.
a) Số cách chọn một học sinh trong số học sinh trên là 10.
b) Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh trên thành một hàng ngang có \(10!\) cách.
c) Số các chọn 3 học sinh đủ cả 3 lớp là \(2 \cdot 3 \cdot 5 = 30\).
d) Xếp 5 học sinh lớp 10C trước ta có \(5!\) cách.
Ở giữa 5 học sinh có tất cả 6 khoảng trống gồm 4 vị trí ở giữa và hai vị trí hai đầu để xếp các học sinh còn lại
| C1 |
| C2 |
| C3 |
| C4 |
| C5 |
|
Sắp 5 học sinh còn lại vào 6 vị trí trống, ta xếp 3 học sinh lớp 10B, sau đó sẽ sắp 2 học sinh lớp 10A.
Không thể sắp đồng thời 2 học sinh lớp 10B vào 2 vị trí hai đầu vì khi đó chắc chắn sẽ có ít nhất 2 học sinh lớp 10C đứng cạnh nhau. Vậy, có 2 trường hợp thỏa mãn.
TH1: Xếp 3 học sinh lớp 10B vào 4 vị trí trống ở giữa có \(A_4^3\) cách.
Ứng với mỗi cách xếp đó, chọn 1 trong 2 học sinh lớp 10A xếp vào vị trí trống thứ 4 (để 2 học sinh lớp 10C không đứng cạnh nhau), có 2 cách.
Học sinh lớp 10A còn lại có 8 vị trí để xếp, có 8 cách.
Vậy trong trường hợp này có \(A_4^3 \cdot 2 \cdot 8 = 384\) cách.
TH2: Xếp 2 trong 3 học sinh lớp 10B vào 4 vị trí trống ở giữa và học sinh còn lại vào hai đầu, có \(C_3^1 \cdot 2 \cdot A_4^2\) cách.
Ứng với mỗi cách xếp đó sẽ còn 2 vị trí trống ở giữa, xếp hai học sinh lớp 10A vào vị trí đó, có 2 cách.
Vậy trong trường hợp này ta có \(C_3^1 \cdot 2 \cdot A_4^2 \cdot 2 = 144\) cách.
Vậy có \(5! \cdot \left( {384 + 144} \right) = 63360\) cách.
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Cho tập \(E = \left\{ {0;1;2;3;4} \right\}\).
Từ các chữ số của tập \(E\) có thể lập được 16 số tự nhiên có 2 chữ số, các chữ số khác nhau.
Từ các chữ số của tập \(E\) có thể lập được 100 số tự nhiên có 3 chữ số.
Từ các chữ số của tập \(E\) có thể lập được 50 số tự nhiên lẻ có 3 chữ số.
Từ các chữ số của tập \(E\) có thể lập được 30 số tự nhiên chẵn có 3 chữ số, các chữ số khác nhau.
a) Gọi số cần tìm có dạng \(\overline {ab} \).
Có 4 cách chọn \(a\), có 4 cách chọn \(b\).
Do đó lập được \(4 \cdot 4 = 16\) số.
b) Gọi số cần tìm là \(\overline {abc} \).
Có 4 cách chọn \(a\), có 5 cách chọn \(b\), 5 cách chọn \(c\).
Do đó lập được \(4 \cdot 5 \cdot 5 = 100\) số.
c) Gọi số cần tìm là \(\overline {abc} \).
Vì số cần lập là số lẻ nên \(c \in \left\{ {1;3} \right\}\). Có 2 cách chọn \(c\).
Có 4 cách chọn \(a\) và 5 cách chọn \(b\).
Do đó \(4 \cdot 5 \cdot 2 = 40\) số.
d) Gọi số cần tìm là \(\overline {abc} \).
TH1: \(c = 0\).
Khi đó các số còn lại có \(A_4^2 = 12\) cách chọn. Do đó có \(12\) số được lập trong trường hợp này.
TH2: \(c \ne 0\). Có 2 cách chọn \(c\), có 3 cách chọn \(a\), có 3 cách chọn \(b\).
Do đó có \(2 \cdot 3 \cdot 3 = 18\) số trong trường hợp này.
Do đó có \(12 + 18 = 30\) số.
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Một nhóm 7 học sinh gồm 4 học sinh nam và 3 học sinh nữ.
Xếp nhóm 7 học sinh thành một hàng ngang có \(7!\) cách.
Có \(2! \cdot 7!\) cách chọn ra một cặp nam nữ để đi hát song ca.
Cần chọn 3 học sinh để tham gia trực nhật, trong đó có 1 bạn quét lớp, 1 bạn lau bảng, 1 bạn kê bàn ghế. Có \(A_7^3\) cách chọn.
Có 720 cách xếp 7 học sinh vào một hàng dọc sao cho 3 bạn nữ luôn đứng cạnh nhau.
a) Xếp nhóm 7 học sinh thành một hàng ngang có \(7!\) cách.
b) Có \(4 \cdot 3 = 12\) cách chọn ra một cặp nam nữ để đi hát song ca.
c) Có \(A_7^3\) cách chọn 3 học sinh để tham gia trực nhật, trong đó có 1 bạn quét lớp, 1 bạn lau bảng, 1 bạn kê bàn ghế.
d) Coi 3 nữ là 1 nhóm.
Khi có cách xếp 4 học sinh nam và nhóm nữ có \(5!\) cách.
Số cách xếp 3 nữ trong một nhóm là \(3!\) cách.
Do đó có \(5! \cdot 3! = 720\) cách.
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Cho các chữ số \(0;1;2;3;4;5;6;7;8;9\).
Lập được 27216 số có 5 chữ số đôi một khách nhau.
Lập được 13440 số có 5 chữ số lẻ khác nhau.
Lập được 3042 số có 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 10.
Lập được 12423 số có 5 chữ số khác nhau lớn hơn 59000.
a) Gọi số cần lập \(\overline {abcde} \).
Có 9 cách chọn \(a\).
4 chữ số còn lại có \(A_9^4\) cách chọn.
Do đó có \(9 \cdot A_9^4 = 27216\) số có 5 chữ số đôi một khách nhau.
b) Gọi số cần lập \(\overline {abcde} \).
Vì số cần lập là số lẻ nên \(e \in \left\{ {1;3;5;7;9} \right\}\). Suy ra có \(5\) cách chọn e.
Có 8 cách chọn \(a\).
Các số còn lại có \(A_8^3 = 336\) cách.
Do đó ta có \(5 \cdot 8 \cdot 336 = 13440\) cách.
c) Số có 5 chữ số khác nhau chia hết cho 10 có dạng \(\overline {abcd0} \).
Khi đó có \(A_9^4\) cách chọn cho các số \(a,b,c,d\).
Vậy có \(A_9^4 = 3024\) số.
d) Gọi số cần lập có dạng \(\overline {abcde} \).
TH1: \(a = 5;b = 9\). Có \(A_8^3 = 336\) số trong trường hợp này.
TH2: \(a > 5\). Khi đó \(a \in \left\{ {6;7;8;9} \right\}\). Có 4 cách chọn \(a\).
Các số còn lại có \(A_9^4 = 3024\) cách chọn.
Trường hợp này có \(4 \cdot A_9^4 = 12096\) cách chọn.
Vậy có tất cả \(336 + 12096 = 12432\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
Xếp một nhóm học sinh có 15 học sinh gồm 7 học sinh nam (trong đó có Minh) và 8 học sinh nữ (trong đó có Hạnh) thành hàng dọc.
Có \(15!\) cách xếp 15 học sinh thành một hàng dọc.
Có \(9!\) cách xếp 15 học sinh thành một hàng dọc sao cho 7 học sinh nam đứng cạnh nhau.
Có \(2! \cdot 14!\) cách xếp 15 học sinh thành một hàng dọc sao cho Minh và Hạnh đứng cạnh nhau.
Có \(2! \cdot 14!\) cách xếp 15 học sinh thành một hàng dọc sao cho Minh và Hạnh không đứng cạnh nhau.
a) Có \(15!\) cách xếp 15 học sinh thành một hàng dọc.
b) Coi 7 nhóm học sinh nam là 1 nhóm. Khi đó có \(7!\) cách xếp 7 học sinh nam trong nhóm.
Xếp nhóm 7 học sinh nam và 8 học sinh nữ có \(9!\) cách.
Do đó có \(7!9!\) cách xếp 15 học sinh thành một hàng dọc sao cho 7 học sinh nam đứng cạnh nhau.
c) Xét trường hợp Minh và Hạnh đứng cạnh nhau.
Xem 2 học sinh này là một nhóm. Có \(2!\) cách xếp trong nhóm.
Xếp nhóm 2 học sinh này với 13 học sinh còn lại có \(14!\) cách.
Do đó có \(2! \cdot 14!\) cách xếp 15 học sinh thành một hàng dọc sao cho Minh và Hạnh đứng cạnh nhau.
d) Có \(15! - 2! \cdot 14!\) cách xếp 15 học sinh thành một hàng dọc sao cho Minh và Hạnh không đứng cạnh nhau.
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Từ các chữ số \(0;1;2;3;4;5\). Lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 8 chữ số trong đó chữ số 1 xuất hiện 3 lần, các chữ số còn lại xuất hiện 1 lần.
Vì số 1 xuất hiện 3 lần nên ta coi số cần lập có 8 chữ số từ các chữ số \(0;1;1;1;2;3;4;5\).
Khi đó ta có \(8!\) số (kể cả số 0 đứng đầu). Tuy nhiên khi hoán vị ba số 1 cho nhau thì ta được số không đổi do đó có tất cả \(\frac{{8!}}{{3!}}\).
Xét trường hợp chữ số đầu tiên là số 0. Tương tự ta lập được \(\frac{{7!}}{{3!}}\).
Vậy có tất cả \(\frac{{8!}}{{3!}} - \frac{{7!}}{{3!}} = 5880\) số thỏa mãn.
Trả lời: 5880.
Từ các chữ số \(1;2;3;4;5;6;7\) lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau chia hết cho 2.
Số tự nhiên chia hết cho 2 thì có chữ số tận cùng là 2 hoặc 4 hoặc 6.
Do đó có 3 cách chọn chữ số hàng đơn vị.
Các số còn lại có \(A_6^5\) cách chọn.
Do đó có \(3 \cdot A_6^5 = 2160\) số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau chia hết cho 2 lập được từ các chữ số trên.
Trả lời: 2160.
Một nhóm hành khách, gồm 2 nam và 3 nữ, lên một chiếc xe buýt. Trên xe có 10 ghế trống, trong đó có 5 ghế cạnh cửa sổ. Các hành khách nữ mong muốn ngồi cạnh cửa sổ. Hỏi có bao nhiêu cách ngồi.
Ta xếp 3 hành khách nữ vào 3 chiếc ghế trong 5 chiếc ghế cạnh cửa sổ có \(A_5^3 = 60\) cách xếp.
Tiếp theo xếp chỗ cho 2 hành khách nam trong 7 ghế còn lại có \(A_7^2 = 42\) cách.
Vậy có tất cả \(60 \cdot 42 = 2520\) cách.
Trả lời: 2520.
Có 5 cặp vợ chồng được sắp xếp ngồi trên một dãy ghế dài. Có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho vợ và chồng của mỗi gia đình đều ngồi cạnh nhau.
Mỗi cặp vợ và chồng xem như một vị trí sắp xếp.
Ta có \(5!\) cách xếp cho 5 cặp vợ chồng sao cho vợ và chồng của mỗi gia đình đều ngồi cạnh nhau.
Trong mỗi cặp vợ và chồng có 2 cách hoán đổi vị trí cho nhau.
Vậy \(5! \cdot {2^5} = 3840\).
Trả lời: 3840.
Trong mặt phẳng cho 18 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu vectơ khác \(\overrightarrow 0 \) sao cho điểm đầu và điểm cuối của mỗi vectơ đó là 2 trong 18 điểm đã cho?
Có \(A_{18}^2 = 306\) vectơ có điểm đầu và điểm cuối của mỗi vectơ đó.
Trả lời: 306.
