18 bài tập Toán 9 Chân trời sáng tạo Ôn tập cuối chương 1 có đáp án
18 câu hỏi
Giải các phương trình:
a) \({x^2} - 9 = 2(x + 3)\); b) \((x - 1)(3x + 10) = {x^3} - {x^2}\).
a)\({x^2} - 9 = 2(x + 3)\) \((x - 3)(x + 3) - 2(x + 3) = 0\) \((x + 3)(x - 3 - 2) = 0\) \((x + 3)(x - 5) = 0\) \[x + 3 = 0\] hoặc \[x - 5 = 0\] \(x = - 3\) hoặc \(x = 5\) Vậy \(S = \{ - 3;5\} \).
| b)\((x - 1)(3x + 10) = {x^3} - {x^2}\) \((x - 1)(3x + 10) - {{\rm{x}}^2}({\rm{x}} - 1) = 0\)\((x - 1)\left( {3x + 10 - {x^2}} \right) = 0\) \((x - 1)\left( {{x^2} - 3x - 10} \right) = 0\) \((x - 1)(x + 2)(x - 5) = 0\) \(x = 1\) hoặc \[x = - 2\] \(x = 5\) Vậy \(S = \{ - 2;1;5\} \). |
Giải các phương trình:
a) \(\frac{{5x - 8}}{7} - \frac{{3\left( {2x + 1} \right)}}{{14}} = \frac{{4x - 5}}{{21}} - 1,5\);
b) \(\frac{{{{(2x + 1)}^2}}}{6} - \frac{{{{(x - 3)}^2}}}{{10}} = \frac{{29{x^2} - 22}}{{30}} - \frac{{x\left( {6x - 19} \right)}}{{15}}\).
a) \(\frac{{5x - 8}}{7} - \frac{{3\left( {2x + 1} \right)}}{{14}} = \frac{{4x - 5}}{{21}} - 1,5\)
\(6\left( {5x - 8} \right) - 9\left( {2x + 1} \right) = 2\left( {4x - 5} \right) - 63\)
\(30x - 48 - 18x - 9 = 8x - 10 - 63\)
\(\begin{array}{l}30x - 18x - 8x = - 10 - 63 + 48 + 9\\4x = - 16\\x = - 4\end{array}\)
b) \(\frac{{{{(2x + 1)}^2}}}{6} - \frac{{{{(x - 3)}^2}}}{{10}} = \frac{{29{x^2} - 22}}{{30}} - \frac{{x\left( {6x - 19} \right)}}{{15}}\)
\(\begin{array}{l}5\left( {4{x^2} + 4x + 1} \right) - 3\left( {{x^2} - 6x + 9} \right) = 29{x^2} - 22 - 2x\left( {6x - 19} \right)\\20{x^2} + 20x + 5 - 3{x^2} + 18x - 27 = 29{x^2} - 22 - 12{x^2} + 38x\\{\rm{\;}}0x = 0.\end{array}\)
Phương trình nghiệm đúng với mọi \(x\).
Giải các phương trình:
a) \(\frac{{x - 2}}{{x - 5}} + \frac{{x + 13}}{{{x^2} - 25}} = 1\);
b) \(\frac{{3x + 2}}{{x + 4}} + \frac{{2x + 1}}{{x - 2}} = 5 - \frac{{x - 32}}{{{x^2} + 2x - 8}}\)
a)
ĐKХĐ: \(x \ne \pm 5\).
\(\frac{{x - 2}}{{x - 5}} + \frac{{x + 13}}{{{x^2} - 25}} = 1\)
\(\begin{array}{l}\left( {x - 2} \right)\left( {x + 5} \right) + x + 13 = {x^2} - 25\\{\rm{\;}}{x^2} + 3x - 10 + x + 13 = {x^2} - 25\end{array}\)
\(4x = - 28\)
\(x = - 7\) (TMĐK)
Vậy \(S = \left\{ { - 7} \right\}\).
b) \(\frac{{3x + 2}}{{x + 4}} + \frac{{2x + 1}}{{x - 2}} = 5 - \frac{{x - 32}}{{{x^2} + 2x - 8}}\) (2)
Ta có: \({\rm{\;}}{x^2} + 2x - 8 = \left( {x + 4} \right)\left( {x - 2} \right)\)
ĐKХĐ: \(x \ne - 4;x \ne 2\).
\(\begin{array}{l}\left( 2 \right)\; \Rightarrow {\rm{\;}}\left( {3x + 2} \right)\left( {x - 2} \right) + \left( {2x + 1} \right)\left( {x + 4} \right) = 5\left( {{x^2} + 2x - 8} \right) - \left( {x - 32} \right)\\3{x^2} - 6x + 2x - 4 + 2{x^2} + 8x + x + 4 = 5{x^2} + 10x - 40 - x + 32\end{array}\)
\( - 4x = - 8\)
\(x = 2\) (không thoả mãn ĐKXĐ).
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Giải các phương trình:
a) \(\frac{{10 - x}}{{51}} + \frac{{9 - x}}{{52}} + \frac{{8 - x}}{{53}} + 3 = 0\);
b) \(\frac{{2x + 5}}{{195}} + \frac{{2x + 7}}{{197}} = \frac{{2x}}{{95}}\).
a) \(\frac{{10 - x}}{{51}} + \frac{{9 - x}}{{52}} + \frac{{8 - x}}{{53}} + 3 = 0\)
\(\begin{array}{l}\left( {\frac{{10 - x}}{{51}} + 1} \right) + \left( {\frac{{9 - x}}{{52}} + 1} \right) + \left( {\frac{{8 - x}}{{53}} + 1} \right) = 0\\\frac{{61 - x}}{{51}} + \frac{{61 - x}}{{52}} + \frac{{61 - x}}{{53}} = 0\end{array}\)
\(\begin{array}{l}\left( {61 - {\rm{x}}} \right)\left( {\frac{1}{{51}} + \frac{1}{{52}} + \frac{1}{{53}}} \right) = 0\\61 - {\rm{x}} = 0\left( {{\rm{\;v\`i \;}}\frac{1}{{51}} + \frac{1}{{52}} + \frac{1}{{53}} \ne 0} \right)\\{\rm{\;}}x = 61\end{array}\)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \(x = 61\).
\[\begin{array}{l}{\rm{b)\;}}\frac{{2x + 5}}{{195}} + \frac{{2x + 7}}{{197}} = \frac{{2x}}{{95}}\\\left( {\frac{{2x + 5}}{{195}} - 1} \right) + \left( {\frac{{2x + 7}}{{197}} - 1} \right) = \frac{{2x}}{{95}} - 2\\\frac{{2{\rm{x}} - 190}}{{195}} + \frac{{2{\rm{x}} - 190}}{{197}} = \frac{{2{\rm{x}} - 190}}{{95}}\\\left( {2x - 190} \right)\left( {\frac{1}{{195}} + \frac{1}{{197}} - \frac{1}{{95}}} \right) = 0\end{array}\]
\(\begin{array}{l}2x - 190 = 0\left( {{\rm{v\`i }}\frac{1}{{195}} + \frac{1}{{197}} - \frac{1}{{95}} \ne 0} \right)\\2x = 190\\x = 95\end{array}\)
Vạy \(S = \left\{ {95} \right\}\).
Cho phương trình: \(\frac{{x + 2m}}{{x + 3}} + \frac{{x - m}}{{x - 3}} = \frac{{mx\left( {x + 1} \right)}}{{{x^2} - 9}}\). Giải phương trình trong các trương hợp sau:
a) \({\rm{m}} = 1\); b) \({\rm{m}} = 2\); c) \({\rm{m}} = 1,6\).
ĐKXĐ: \(x = \pm 3\)
\(\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Rightarrow \left( {x + 2m} \right)\left( {x - 3} \right) + \left( {x - m} \right)\left( {x + 3} \right) = mx\left( {x + 1} \right)\\{x^2} - 3x + 2mx - 6m + {x^2} + 3x - mx - 3m = m{x^2} + mx\\2{x^2} - m{x^2} = 9m \Leftrightarrow \left( {2 - m} \right){x^2} = 9m\end{array}\)
Khi \(m = 1\) ta được \({x^2} = 9 \Leftrightarrow x = \pm 3\) (loại).
Khi \(m = 2\) ta được \(0{x^2} = 18\), vô nghiệm.
Khi \({\rm{m}} = 1,6\) ta được \(0,4{{\rm{x}}^2} = 14,4\) hay \[{x^2} = 36\] nên \[x = \pm 6\] (thoả mãn ĐKXĐ).
Vậy khi \(m = 1\) hoặc \(m = 2\) thì phương trình vô nghiệm
khi \({\rm{m}} = 1,6\) thì phương trình có nghiệm \({\rm{x}} = \pm 6\).
Cho phương trình \(mx + (m + 1)y = 3\).
1. Với \(m = 1\), xét xem các cặp số sau, cặp số nào là nghiệm của phương trình.
i) \((3\,; - 2)\) ii) \((0\,;1)\) iii) \(( - 1\,;0)\).
2. Tìm nghiệm tồng quát của phương trình trên ứng với
i) \(m = - 1\) ii) \(m = 2\).
3. Tìm giá trị \(m\) tương ứng khi phương trình nhận các cặp số sau làm nghiệm.
i) \((3\,;1)\) ii) \((2\,;3)\).
1. Với \(m = 1\), ta có phương trình \(2x + 3y = 3\).
i) Thay \(x = 3,y = - 2\) vào phương trình, ta có \(2 \cdot 3 + 3 \cdot ( - 2) = 6 \ne 3\) nên \((\,3\,; - 2)\) không là nghiệm của phương trình.
ii) Thay \(x = 0,y = 1\) vào phương trình, ta có \(2 \cdot 0 + 3 \cdot 1 = 3\) nên \((0\,;1)\) là nghiệm của phương trình.
iii) Thay \(x = - 1,y = 0\) vào phương trình, ta có \(2 \cdot ( - 1) + 3 \cdot 0 = - 2 \ne 3\) nên \(( - 1\,;0)\) không là nghiệm của phương trình.
2. Tìm nghiệm tổng quát.
i) Với \(m = - 1\) ta có phương trình \( - 1 \cdot x + ( - 1 + 1)y = 3 \Leftrightarrow x = - 3\).
Vậy phương trình có nghiệm tổng quát \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 3}\\{y \in \mathbb{R}{\rm{ }}}\end{array}.} \right.\)
ii) Với \(m = 2\) ta có phương trình \(2x + 3y = 3\)\( \Leftrightarrow y = - \frac{2}{3}x + 1\).
Vậy phương trình có nghiệm tổng quát \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \in \mathbb{R}}\\{y = - \frac{2}{3}x + 1{\rm{ }}}\end{array}} \right..\)
Hoặc: \(2x + 3y = 3 \Leftrightarrow x = - \frac{3}{2}y + \frac{3}{2}\). Vậy phương trình có nghiệm tổng quát \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - \frac{3}{2}y + \frac{3}{2}}\\{y \in \mathbb{R}}\end{array}} \right..\)
3. Tìm giá trị \(m\) tương ứng khi phương trình nhận các cặp số sau làm nghiệm.
i) Thay \(x = 3,y = 1\) vào phương trình, ta có \(3m + (m + 1) \cdot 1 = 3\) hay \(m = \frac{1}{2}\).
ii) Thay \(x = 2,y = 3\) vào phương trình, ta có \(2m + (m + 1) \cdot 3 = 3\) hay \(m = 0\).
Giải các hệ phương trình sau và minh họa hình học kết quả tìm được:
a) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + 5y = 2}\\{\frac{2}{5}x + y = 1}\end{array}} \right.\)
b) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0,2x + 0,1y = 0,3}\\{3x + y = 5}\end{array}} \right.\)
c) \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{3}{2}x - y = \frac{1}{2}}\\{3x - 2y = 1}\end{array}} \right.\]
a) Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + 5y = 2}\\{\frac{2}{5}x + y = 1}\end{array}} \right.\) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + 5y = 2}\\{2x + 5y = 5}\end{array}} \right.\). Hệ vô nghiệm. Học sinh tự vẽ hình. Hai đường thẳng \(2x + 5y = 2\) và \(2x + 5y = 5\) song song với nhau. | b) Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0,2x + 0,1y = 0,3}\\{3x + y = 5}\end{array}} \right.\) \[\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + y = 3}\\{3x + y = 5}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = - 1}\end{array}} \right.\end{array}\] \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x - 2y = 1}\\{3x - 2y = 1}\end{array}} \right.\] Khi đó \[y = \frac{1}{2}(3x - 1)\] Hệ có nghiệm duy nhất \[\left( {2\,;\,\, - 1} \right)\]. Hai đường thẳng \(0,2x + 0,1y = 0,3\) và \(3x + y = 5\)cắt nhau tại điểm \[\left( {2\,;\,\, - 1} \right)\]. | c) \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{3}{2}x - y = \frac{1}{2}}\\{3x - 2y = 1}\end{array}} \right.\] \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x - 2y = 1}\\{3x - 2y = 1}\end{array}} \right.\] Khi đó \[y = \frac{1}{2}\left( {3x - 1} \right)\] Hệ có vô số nghiệm \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = \frac{1}{2}(3x - 1)}\\{x \in \mathbb{R}}\end{array}} \right.\]. Hai đường thẳng \[\frac{3}{2}x - y = \frac{1}{2}\] và \[3x - 2y = 1\] trùng nhau. |
Giải các hệ phương trình sau:
\[{\rm{a) }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x\sqrt 5 - (1 + \sqrt 3 )y = 1}\\{(1 - \sqrt 3 )x + y\sqrt 5 = 1}\end{array}} \right.\] | \[{\rm{b) }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{2x}}{{x + 1}} + \frac{y}{{y + 1}} = \sqrt 2 }\\{\frac{x}{{x + 1}} + \frac{{3y}}{{y + 1}} = - 1}\end{array}} \right.\] |
a) Ta có: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x\sqrt 5 - (1 + \sqrt 3 )y = 1}\\{(1 - \sqrt 3 )x + y\sqrt 5 = 1}\end{array}} \right.\] \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{5x - \sqrt 5 (1 + \sqrt 3 )y = \sqrt 5 }\\{ - 2x + \sqrt 5 (1 + \sqrt 3 )y = 1 + \sqrt 3 }\end{array}} \right.\] \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x\sqrt 5 - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)y = 1}\\{3x = 1 + \sqrt 3 + \sqrt 5 }\end{array}} \right.\] \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{{1 + \sqrt 3 + \sqrt 5 }}{3}}\\{y = \frac{{2 + \sqrt 5 + \sqrt {15} }}{{3\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}}\end{array}} \right.\] \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{{1 + \sqrt 3 + \sqrt 5 }}{3}}\\{y = \frac{{ - 1 + \sqrt 3 + \sqrt 5 }}{3}}\end{array}} \right.\] Vậy hệ có nghiệm duy nhất \[\left( {\frac{{1 + \sqrt 3 + \sqrt 5 }}{3};\frac{{ - 1 + \sqrt 3 + \sqrt 5 }}{3}} \right)\]. | b) Điều kiện: \[x \ne - 1\,;y \ne - 1\] Đặt: \[{\rm{u}} = \frac{x}{{x + {\rm{l}}}};{\rm{v}} = \frac{{\rm{y}}}{{{\rm{y}} + {\rm{l}}}}\]. Ta có hệ phương trình: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2u + v = \sqrt 2 }\\{u + 3v = - 1}\end{array}} \right.\] \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{u}} = \frac{{1 + 3\sqrt 2 }}{5}}\\{{\rm{v}} = \frac{{ - 2 - \sqrt 2 }}{5}}\end{array}} \right.\] \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{\rm{x}}}{{{\rm{x}} + 1}} = \frac{{1 + 3\sqrt 2 }}{5}}\\{\frac{{\rm{y}}}{{{\rm{y}} + 1}} = \frac{{ - 2 - \sqrt 2 }}{5}}\end{array}} \right.\] \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{x}} = \frac{{1 + 3\sqrt 2 }}{{4 - 3\sqrt 2 }}}\\{{\rm{y}} = - \frac{{2 + \sqrt 2 }}{{7 + \sqrt 2 }}}\end{array}} \right.\] Hệ có nghiệm duy nhất: \[\left( {\frac{{1 + 3\sqrt 2 }}{{4 - 3\sqrt 2 }}; - \frac{{2 + \sqrt 2 }}{{7 + \sqrt 2 }}} \right)\]. |
Giải hệ phương trình \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - y = m}\\{4x - {m^2}y = 2\sqrt 2 }\end{array}} \right.\] trong mỗi trường hợp sau:
a) \[m = - \sqrt 2 \] b) \[{\rm{m}} = \sqrt 2 \] c) \[{\rm{m}} = 1\]
Ta có: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - y = m}\\{4x - {m^2}y = 2\sqrt 2 }\end{array}\,\,} \right.\]
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = 2x - m}\\{4x - {m^2}\left( {2x - m} \right) = 2\sqrt 2 }\end{array}} \right.\]
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = 2x - m}\\{2\left( {2 - {m^2}} \right)x = 2\sqrt 2 - {m^3}}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\].
a) Với \[{\rm{m}} = - \sqrt 2 \]phương trình (1) trở thành \[0.x = 4\sqrt 2 \], vô nghiệm.
Vậy hệ đã cho vô nghiệm.
b) Với \[{\rm{m}} = \sqrt 2 \]phương trình (1) trở thành \[0.x = 0\], đúng với mọi \[x\].
Vậy hệ đã cho có nghiệm \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \in \mathbb{R}}\\{y = 2x - \sqrt 2 }\end{array}} \right.\].
c) Với \[{\rm{m}} = 1\] phương trình (1) trở thành \[2x = 2\sqrt 2 - 1\] hay \[x = \frac{{2\sqrt 2 - 1}}{2}\].
Vậy hệ đã cho có nghiệm: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{{2\sqrt 2 - 1}}{2}}\\{y = 2\sqrt 2 - 2}\end{array}} \right.\].
Gọi vận tốc của người xuất phát từ A là \[{{\rm{v}}_1}\](m/phút), của người đi từ B là \[{{\rm{v}}_2}\] (m/phút). Điều kiện \[{{\rm{v}}_1} > 0,{{\rm{v}}_2} > 0\],
Khi gặp nhau tại địa điểm cách A là 2 km, người xuất phát từ A đi được 2000 m, người xuất phát từ B đi được 1600.
Ta có phương trình: \[\frac{{2000}}{{{v_1}}} = \frac{{1600}}{{{v_2}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\]
Điều đó còn cho thấy người xuất phát từ B đi chậm hơn.
Khi người đi từ B xuất phát trước người kia 6 phút thì hai người gặp nhau ở chính giữa quãng đường, nghĩa là mỗi người đi được 1,8 km = 1800 m. Ta có phương trình: \[\frac{{1800}}{{{v_1}}} + 6 = \frac{{1800}}{{{v_2}}}\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\].
Đặt \[\frac{{100}}{{{v_1}}} = x\,\,\] và \[\frac{{100}}{{{v_2}}} = y\], từ (1) và (2), ta có hệ phương trình: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{20x = 16y}\\{18x + 6 = 18y}\end{array}} \right.\]
Hệ phương trình này có nghiệm \[(x,y) = \left( {\frac{4}{3};\frac{5}{3}} \right)\].
Từ đó suy ra \[\frac{{100}}{{{v_1}}} = \frac{4}{3}\] nên \[{v_1} = 75;\frac{{100}}{{{v_2}}} = \frac{5}{3}\], suy ra \[{v_2} = 60\].
Các giá trị tìm được \[{v_1}\]và \[{v_2}\] thỏa mãn các điều kiện của bài toán.
Vậy vận tốc đi từ A là 75 m/phút, của người đi từ B là 60 m/phút.
Gọi x và y lần lượt là số gam đồng và kẽm có trong vật đó \[{\rm{(x}}{\rm{, y}}\,{\rm{ > 0)}}\].
Vì khối lượng của vật là 124g nên ta có phương trình \[{\rm{x}}\,{\rm{ + y = 124}}\].
Thể tích của x gam đồng là \[\frac{{10}}{{89}}x\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\]. Thể tích của y gam kẽm là \[\frac{1}{7}y\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\]
Vì thể tích của vật là \[15\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\] nên ta có phương trình: \[\frac{{10}}{{89}}x + \frac{1}{7}y = 15\]
Từ đó ta có hệ phương trình:\[\left\{ \begin{array}{l}x + y = 124\\\frac{{10}}{{89}}x + \frac{1}{7}y = 15\end{array} \right.\]
Giải hệ phương trình ta được \[x = 89\,;\,y = \,35\]
Vậy số gam đồng trong vật là \[89\,\,{\rm{gam}}\,\]và số gam kẽm trong vật là \[35\,\,{\rm{gam}}\].
Giải
Với năng suất ban đầu, giả sử đội I làm xong công việc trong x ngày, đội II làm trong y ngày \(\left( {x,\,\,y \in \mathbb{N}*} \right)\)
Theo dự định hai đội hoàn thành công việc trong 12 ngày nên có phương trình: \[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{12}}\].
Trong 8 ngày, cả hai đội làm được \[\frac{8}{{12}} = \frac{2}{3}\] (công việc); còn lại \[\frac{1}{3}\]công việc do đội II làm.
Do năng suất gấp đôi nên đội II làm mỗi ngày được \[\frac{2}{y}\]công việc và hoàn thành nốt \[\frac{1}{3}\] công việc nói trên trong 3,5 ngày.
Do đó ta có phương trình: \[3,5.\frac{2}{y} = \frac{1}{3}\] hay \[y = 21\]
Ta có hệ phương trình:\[\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{12}}\\y = 21\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}x = 28\\y = 21\end{array} \right.\].
Vậy đội I làm trong 28 ngày và đội II làm trong 21 ngày.
Gọi x, y (tấn) lần lượt là số thóc mà hai đơn vị thu hoạch được trong năm ngoái ( x, y > 0).
Khi đó ta có: \[x + y = 720\] (1)
Năm năy đơn vị thứ nhất vượt 15% mà đơn vị thứ hai vượt 12% nên số tấn thọc thu được của mỗi đơn vị trong năm nay lần lượt là:\[\frac{{115}}{{100}}x\,;\,\,\,\frac{{112}}{{100}}y\]
Do đó ta có phương trình: \[\frac{{115}}{{100}}x\, + \frac{{112}}{{100}}y = 819\] (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{115}}{{100}}x\, + \frac{{112}}{{100}}y = 819\\x + y = 720\end{array} \right.\].
Giải hệ phương trình ta được: \[x = 420\,;\,y = 300\].
Vậy năm ngoái đội I thu hoạch được 420 tấn thóc, đội II thu hoạch được 300 tấn thóc.
Năm nay đội I thu hoạch được 483 tấn thóc, đội II thu hoạch được 336 tấn thóc.
Từ phương trình thứ hai của hệ ta có \(4y - 4 \ge 0 \Rightarrow y \ge 1\).
Ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {x + 1} \right| + y - 1 = 5\\\left| {x + 1} \right| = 4y - 4\end{array} \right.\)
Giải tìm \(y = 2\). Hệ có hai nghiệm \(\left( {3;2} \right),\left( { - 5;2} \right).\)
Gọi vận tốc lên dốc và vận tốc xuống dốc lần lượt là \(x\) và \(y\) \(\left( {km/h} \right)\) \(\left( {x,y > 0} \right)\).
Thời gian đi từ A đến B là: \(\frac{4}{x} + \frac{5}{y}\left( h \right)\)và thời gian đi từ B về A là: \(\frac{5}{x} + \frac{4}{y}\left( h \right)\). Ta có hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{4}{x} + \frac{5}{y} = \frac{2}{3}\\\frac{5}{x} + \frac{4}{y} = \frac{{41}}{{60}}\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = 12\\y = 15\end{array} \right.\)
Gọi \(x,y\) lần lượt là tuổi anh và em hiện nay.
Ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 21\\x - y = y - \frac{x}{2}\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = 12\\y = 9\end{array} \right.\).
Hệ có nghiệm \(\left( { - 1\,;\,\,0} \right)\) khi và chỉ khi cặp số trên thỏa mãn cả hai phương trình của hệ, hay
\(m.(\, - 1\,) - 0 = 1\)và \((\, - 1\,) + 0 = n\)
Từ đó \(m = - 1;n = - 1\).
Cho ba đường thẳng
\(\left( {{d_1}} \right):x - 2y = - 3\);
\(\left( {{d_2}} \right):\sqrt 2 x + y = \sqrt 2 + 2;\)
\(\left( {{d_m}} \right):mx - (\,1 - 2m\,)y = 5 - m\)
1. Xác định \(m\) để ba đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right);\left( {{d_2}} \right)\) và \(\left( {{d_m}} \right)\) đồng quy.
2. Chứng minh rằng \(\left( {{d_m}} \right)\) luôn đi qua một điểm cố định với mọi \(m\).
1. Tọa độ giao điểm của \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 2y = - 3}\\{\sqrt 2 x + y = \sqrt 2 + 2}\end{array}} \right.\) hay \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{y = 2}\end{array}} \right.\)
Vậy tọa độ giao điểm của \(\left( {\,{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) là \(M(\,1;2\,)\).
Ba đường thẳng \(\left( {\,{d_1}\,} \right);\left( {\,{d_2}} \right)\) và \(\left( {\,{d_m}} \right)\) đồng quy khi và chỉ khi \(M \in \left( {\,{d_m}\,} \right)\) nên
\(m \cdot 1 - (\,1 - 2m\,) \cdot 2 = 5 - m\) hay \(m = \frac{7}{6}.\)
Vậy với \(m = \frac{7}{6}\) thì ba đường thẳng \(\left( {\,{d_1}\,} \right);\left( {\,{d_2}\,} \right)\) và \(\left( {\,{d_m}\,} \right)\) đồng quy.
2. Đặt \(E\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là điểm cố định thuộc \(\left( {{d_m}} \right)\).
Khi đó \(m{x_0} - (\,1 - 2m\,){y_0} = 5 - m,\) với mọi \(m \in \mathbb{R}\).
\(\left( {\,{x_0} + 2{y_0} + 1\,} \right)m = {y_0} + 5,\) với mọi \(m \in \mathbb{R}\)
Do đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_0} + 2{y_0} + 1 = 0}\\{{y_0} + 5 = 0}\end{array}} \right.\) hay \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_0} = 9}\\{{y_0} = - 5.}\end{array}} \right.\)
Vậy điểm cố định mà \(\left( {{d_m}} \right)\) luôn đi qua là \(E(9; - 5)\).
